112余弦定理
2.1.2余弦定理课件ppt(
sin C＝c·sian A＝
6＋ 2
2·22＝ 2
6＋ 4
2，∴C＝75°，
由三角形内角和定理，得 B＝180°－75°－45°＝60°.
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当 c＝ 6－ 2时，由正弦定理，得
sin C＝c·sian A＝
6－ 2·22＝ 22
6－ 4
2，
∴C＝15°，∴B＝180°－15°－45°＝120°.
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当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形， ∴a＝3.
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规律方法 已知三角形的两边与一角解三角形，必须 先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边 的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第 三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定 理建立一元二次方程，解方程求出第三边互动
当 a＝6 时，由正弦定理得 sin A＝asibn B＝6×3 12＝1. ∴A＝90°，C＝60°. 法二 由 b<c，B＝30°，b>csin 30°＝3 3×12＝323知本题有两 解．由正弦定理得 sin C＝csibn B＝3 33×12＝ 23， ∴C＝60°或 120°，当 C＝60°时，A＝90°， 由勾股定理得 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，
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规律方法 已知三边解三角形的方法及注意事项： (1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值，确定角的大小． (2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小； 由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角 对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确 定第三个角的大小． (3)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为 锐角，值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一．
余弦定理公式
余弦定理公式一、引言余弦定理是解决三角形中的边长或角度关系问题的重要工具。
在数学和物理领域广泛应用，特别是在解决三角形的非直角问题以及相关定理的证明过程中。
本文将对余弦定理的定义、推导过程以及实际应用进行详细介绍。
二、余弦定理的定义余弦定理是三角学中的一个定理，用于计算三角形的边长、角度或判断三角形的形状。
余弦定理的表达式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，a、b为三角形中的两边，c为斜边，C为斜边对应的角。
三、余弦定理的推导过程余弦定理的推导过程并不复杂。
首先，我们需要设想一个任意的三角形ABC，其中a、b为两条边，C是它们的夹角。
假设c是它们的斜边，我们需要找到c的表达式。
根据正余弦的定义，我们可以得到以下等式：cosA = Adjacent / HypotenusecosB = Opposite / Hypotenuse将这两个等式改写为：Hypotenuse = Adjacent / cosA （1）Hypotenuse = Opposite / cosB （2）我们可以将(1)和(2)两个等式相等：Adjacent / cosA = Opposite / cosB进一步改写为：cosB / cosA = Adjacent / Opposite根据三角公式sinA = 1 / cscA 和 sinB = 1 / cscB，可以将cosB / cosA转换为sinB / sinA：sinB / sinA = Adjacent / Opposite将A和B两个角度的角替换为C， sinA和sinB替换为a和b，可以得到余弦定理的表达式：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC这就是余弦定理的最终表达式。
四、余弦定理的实际应用1. 计算三角形的边长：通过已知两边和它们夹角的大小，可以利用余弦定理计算第三边的长度。
这对于求解航海、测量不可达距离等问题非常有用。
数学正弦定理余弦定理公式
数学正弦定理余弦定理公式正弦定理和余弦定理是数学中用于解决三角形相关问题的重要定理。
它们可以帮助我们求解不完全信息的三角形，包括边长和角度等。
本文将分别介绍正弦定理和余弦定理的公式及应用。
一、正弦定理：正弦定理是指在任意三角形ABC中，三角形的三条边与其对应的角度之间存在一个关系。
假设三角形的边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C，则正弦定理的公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用非常广泛，可以用于求解未知角度或边长。
例如，已知一个三角形的两条边长和它们之间的夹角，可以利用正弦定理求解第三条边长。
另外，如果已知三角形的一个角度和它对应的边长，也可以利用正弦定理求解其他未知边长或角度。
二、余弦定理：余弦定理是指在任意三角形ABC中，三角形的三条边与其对应的角度之间存在一个关系。
假设三角形的边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C，则余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2ab * cosC余弦定理的应用也非常广泛，可以用于求解未知角度或边长。
例如，已知一个三角形的三条边长，可以利用余弦定理求解任意一个角度。
另外，如果已知三角形的两条边长和它们夹角的余弦值，也可以利用余弦定理求解第三条边长或其他未知角度。
三、正弦定理和余弦定理的应用举例：1. 已知一个三角形的两条边长分别为a和b，夹角为C，求第三条边长c。
根据正弦定理可得：c/sinC = a/sinA = b/sinB根据已知条件代入公式即可求解出c的值。
2. 已知一个三角形的两条边长分别为a和b，夹角为C，求角度A 和角度B。
根据正弦定理可得：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据已知条件代入公式即可求解出角度A和角度B的值。
3. 已知一个三角形的三个角度A、B、C，求边长a、b、c。
根据正弦定理可得：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据已知条件代入公式即可求解出边长a、b、c的值。
三角形余弦定理公式大全
三角形余弦定理公式大全三角形余弦定理是解决三角形相关问题时常用的定理之一。
它能帮助我们在已知两边和夹角的情况下求解第三边的长度，或者在已知三边长度时求解夹角的大小。
下面将介绍一些常见的三角形余弦定理公式。
公式1：已知两边及夹角，求解第三边长度对于一个三角形ABC，已知边AB和AC的长度分别为a和b，夹角∠BAC的大小为θ，我们可以根据三角形余弦定理计算边BC的长度c：c² = a² + b² - 2abcosθ公式2：已知三边长度，求解夹角的大小如果我们已知三角形ABC的边长a、b和c，请根据三角形余弦定理计算∠BAC的大小θ：cosθ = (b² + c² - a²) / (2bc)cosθ = (a² + c² - b²) / (2ac)cosθ = (a² + b² - c²) / (2ab)公式3：正弦函数与余弦函数的关系在三角形中，正弦函数与余弦函数有着密切的关系。
根据正弦函数的定义，我们可以将余弦函数表示为正弦函数的倒数：sinθ = √(1 - cos²θ)cosθ = √(1 - sin²θ)公式4：应用示例假设一个三角形ABC，已知边AB和BC的长度分别为12cm和8cm，夹角∠ABC的大小为60°，我们可以使用公式1来计算边AC的长度：AC² = AB² + BC² - 2 × AB × BC × cos∠ABCAC² = (12)² + (8)² - 2 × 12 × 8 × cos60°AC² = 144 + 64 - 2 × 12 × 8 × 0.5AC² = 208 - 96AC² = 112AC ≈ √112AC ≈ 10.58cm通过计算，我们得知边AC的长度约为10.58cm。
余弦定理公式大全
余弦定理公式大全余弦定理是三角形中一个重要的几何定理，它可以通过三个边的长度来计算出三个角的大小。
余弦定理的公式包含了三个版本，根据给定的已知条件来选择相应的公式。
第一个版本的余弦定理是用于计算三角形的边长的。
假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a，b和c，对应的顶点角度为A，B和C。
那么可以使用以下公式计算出任意边长：c² = a² + b² - 2ab cos(C)a² = b² + c² - 2bc cos(A)b² = a² + c² - 2ac cos(B)这些公式可以根据已知的两个边长和它们之间的夹角来计算第三个边长。
第二个版本的余弦定理是用于计算三角形的角度的。
假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a，b和c，对应的顶点角度为A，B和C。
那么可以使用以下公式计算出任意角度的值：cos(A) = (b² + c² - a²) / 2bccos(B) = (a² + c² - b²) / 2accos(C) = (a² + b² - c²) / 2ab这些公式可以根据已知的三个边长来计算出相应的角度。
第三个版本的余弦定理是用于计算三角形的面积的。
假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a，b和c，对应的顶点角度为A，B和C。
那么可以使用以下公式计算出三角形的面积：Area = (1/2)ab sin(C)Area = (1/2)bc sin(A)Area = (1/2)ac sin(B)这些公式可以根据已知的两个边长和它们之间的夹角来计算三角形的面积。
余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具，可以计算未知长度、未知角度以及三角形的面积。
这些公式的推导过程可以使用几何或者代数方法来完成，可以在几何相关的书籍、教材以及网上的数学资源中找到相关的推导过程。
112余弦定理二
即 c2=a2＋b2－2abcosC.
C
c
b
A
同理 b2=c2＋a2－2cacosB.
∴ A=
练习(1):在三角形ABC中，a=20,b=29,c=21,求B (2)在三角形ABC中，a2=b2+c2+bc,求A (3)在三角形ABC中，AB=5，BC=4，AC= 21 求B
小结
1.余弦定理是解三角形的一重要工具
c2=a2＋b2－2abcosC;
cosA＝ b2＋c2－a2 ; 2bc
练习：
(1) 已知 a 6, b 4 且a 与b 的夹角为60 ，则a b =________
（2）已知 a 5, b 4 且 a b =10，求a 与b 的夹角____________
（3）已知 AC 3, AB 4, AC AB ,则| BC | _______ | AC AB | ____
a2=b2＋c2－2bccosA. b2=c2＋a2－2cacosB; c2=a2＋b2－2abcosC; 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其 他两边平 方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍
观察： (1)定理左边有几项？右边有几项？式子中有几项？ (2)有什么特点？
(3)这个定理有什么作用？若已知b=8,c=3, A 60
（4）如图在三角形 ABC 中， AC 4, AB 6,A 60 ，则| BC | _______
B
（5）拓：在三角形 ABC 中， AC b, AB c, A ,
则 | BC | _______Βιβλιοθήκη CAab c
B
( a b) ( a b) cc a
| a |2 | b |2 2 a b | c |2
112 余弦定理课件.ppt
3
B＝30°，面积为 2 ，求b的值.
1+ 3
例3 在△ABC中，已知C＝30°，求
sin2 A + sin2 B -
3 sin A sin B 的值.
1 4
例4 在△ABC中，求证：
c - b cos A = cos B b - c cos A cosC
例5 在△ABC中，求证：
三角形中任何一边的平方，等于其他 两边的平方和，减去这两边与其夹角的 余弦值之积的两倍.
探究（二）：余弦定理的变式
思考1：在△ABC中，若已知边a，b和 角C，如何求边c和角A，B？
A
b
c
C
a
B
思考2：已知三角形的三边a，b，c， 求三内角A，B，C，其计算公式如 何？
b2 + c2 - a2 cos A =
1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理 第一课时
问题提出
1.正弦定理的外在形式是什么？ 其数学意义如何？
a = b = c = 2R sin A sin B sinC
在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦之比相等，且等于外接 圆直径.
3.利用正弦定理可以解决两类解三 角形的问题：
一是、已知两角和一边解三角形；即求 另外两边和其余一角；
2bc cos B = c2 + a2 - b2
2ca cosC = a2 + b2 - c2
2ab
b2 + c2 - a2 cos A =
2bc c2 + a2 - b2 cos B =
2ca
a2 + b2 - c2 cosC =
2ab
余弦定理公式6个
余弦定理公式6个余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要工具。
它可以帮助我们计算未知的边长或角度，从而更好地理解和分析三角形。
1. 第一个余弦定理公式是用于计算三角形边长的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：c = a + b - 2abcos(C)。
这个公式可以帮助我们计算未知边长，只需要已知两个边长和它们之间的夹角即可。
2. 第二个余弦定理公式是用于计算三角形内角的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：cos(C) = (a + b - c) / 2ab。
这个公式可以帮助我们计算未知角度，只需要已知三个边长即可。
3. 第三个余弦定理公式是用于计算三角形面积的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：Area = 0.5 * ab * sin(C)。
这个公式可以帮助我们计算未知面积，只需要已知两个边长和它们之间的夹角即可。
4. 第四个余弦定理公式是用于判断三角形形状的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，则余弦定理可以表达为：c < a + b，如果等号成立，则表示三角形是直角三角形；如果等号不成立，则表示三角形是锐角三角形；如果等号反向成立，则表示三角形是钝角三角形。
5. 第五个余弦定理公式是用于计算三角形的高度的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：h = b * sin(A)，其中h表示三角形的高度。
这个公式可以帮助我们计算未知高度，只需要已知一个边长和它对应的角度即可。
6. 第六个余弦定理公式是用于计算三角形的周长的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，则余弦定理可以表达为：Perimeter = a + b + c。
这个公式可以帮助我们计算未知周长，只需要已知三个边长即可。
综上所述，余弦定理提供了多种公式和方法来解决三角形中的边长和角度之间的关系。
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名称
适用范围
形式
2、三角形形状、最大角、最大角的余弦值、边关系，三者间的关系：
例题：
例1、在 ABC中，已知a 2 3 ，c 6 2 ，B 450，求b与A。
例2、在ABC中，已知sinA 3，sin A cos A 0, 5
a 3 5,b 5,求c.
练习:
1、在ABC中，角A, B,C所对的边分别为a，b，c，已知A ，a 3，
3 b 1，求c。 2、在ABC中，已原点，以△ABC的边AB所在直线为x轴， 建立直角坐标系，
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去 这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
a2 b2 c2 2bc cosA b2 a2 c2 2ac cosB
c2 a2 b2 2ab cosC
探究余弦定理表达式
§1.1.2 余弦定理
问题：1、在确定三角形形状时、大小时，若已知三角形的两边 的长度及夹角的大小，那么这个三角形能否被唯一确定？ 2、如果这个三角形可以被唯一确定，那么它的其他元素 改如何确定？
A 在ABC 中，设BC a，AC b，AB c,已知a，b及C. 求c 法1、向量的数量积
C
B
法2、解析法
a2 b2 c2 2bc cosA
问题：若已知三角形的三边 a，b，c，能否求出角 A ？
余弦定理的推论：
cos A b2 c2 a 2 2bc
余弦定理及其推论的应用：
1、已知三角形的任意两边及它们的夹角，就可以求出第三边。 2、已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：1、勾股定理与余弦定理的关系？