5.1 不等关系与不等式
高中数学必修五-不等关系与不等式
不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。
第一节 不等关系与不等式
C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1}
答案
A
集合A= x x
x
1
0={x|0≤x<1},B={x|x2<2x}={x|0<x<2},所以
A∩B={x|0<x<1}.
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1-2 设a,b∈[0,+∞),A= a + b ,B= a b ,则A,B的大小关系是 ( B ) A.A≤B B.A≥B C.A<B D.A>B 答案 B 由题意得,B2-A2=-2 ab ≤0,且A≥0,B≥0,所以A≥B,故选B.
∵a1,a2∈(0,1),∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0,即M>N.故选B.
(2)易知a,b>0,
a
1816
18
16
1
9 16 1 16 9 16
所以 b = 1618 = 16 × 162 = 8 × 2 = 8 2 ,
2
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比较代数式的大小
典例1 (1)已知a1,a2∈(0,1).记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是
(B )
A.M<N
B.M>N
C.M=N
D.不确定
(2)若a=1816,b=1618,则a与b的大小关系为
.
答案 (1)B (2)a<b
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解析 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1),
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规律总结 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时 有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题,一般是利用整体思想,通过 “一次性”不等关系的运算求得整体范围.
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案【导语】高考竞争异常激烈，千军万马争过独木桥，秋天到了，而你正以凌厉的步伐迈进这段特别的岁月中。
这是一段青涩而又平淡的日子，每个人都隐身于高考，而平淡之中的张力却只有真正的勇士才可以破译。
为了助你一臂之力，无忧考网高中频道为你精心准备了《高三数学必修五《不等关系与不等式》教案》助你金榜题名！教案【一】整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.实例6，若用v表示速度，则v≤40km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0��a>b;a-b=0��a=b;a-b<0��a应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.∴a4-b4<4a3(a-b).点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差――变形――判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0.∴xy<1;当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=m b-a b b+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()A.3B.2C.1D.02.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.∴只有①恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3―1A组3;习题3―1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.备课资料备用习题1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x.4.若x5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2.∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.∴m2-2m+5≥-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2.∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.∴a2-4a+3>-4a+1.3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2=1+x+x24-(x+1)=x24，又∵x>0，∴x24>0.∴(1+x2)2>(1+x)2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).∵x0，x-y<0.∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0则(ab)a-b>1.于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba. 教案【二】教学准备教学目标熟练掌握不等式的证明问题教学重难点熟练掌握不等式的证明问题教学过程不等式的�C明二【基�A��】1.若，，�t下列不等始�K正�_的是()2.�Oa，b����担�且，�t的最小值是()4.求�C：�θ魏问��x，y，z，下述三��不等式不可能同�r成立。
不等关系与不等式
不等关系与不等式一、学习指导不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用， 要弄清条件和结论，考试中多以小题出现，题目难度不大，学 习时，应抓好基本概念，少做偏难题．二、基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数 学符号 连接两个数或代数式以表示它们 之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ；a －b ＜0⇔ . 另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b ＜1⇔a ＜b .3．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔ ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．三、典型题型题型一 比较大小【例1】已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与 ab ＋bc ＋ca 的大小．解：∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )．A.a b ＞1B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b题型二 不等式的性质【例2】 若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b c ＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立 的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4方法总结：在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的 命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应 用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如 对数函数，指数函数的性质等．题型三 不等式性质的应用【例3】已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. 求f (－2)的取值范围．[审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式f (－2)与已知式f (－1)， f (1)之间的关系，即用f (－1)，f (1)整体表示f (－2)，再利用 不等式的性质求f (－2)的范围．解：f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.题型四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a ＞0. 证明：∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b .∴a －c ＞a －b ＞0，∴1a －b ＞1a －c ＞0. ∴1a －b ＋1c －a ＞0.又b －c ＞0，∴1b －c＞0. 1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.四 、小结。
不等式与不等关系
2．实数的运算性质与大小顺序之间的关系 a＞b ；a－b＝0⇔ ______ a－b＞0⇔_____ a＝b ；a－b＜0⇔ ______. a＜b 实数的运算性质 ，右边反映的是 等价符号的左边反映的是_______________ 实数的大小顺序 ，它是不等式这一章内容的理论基础，是 _______________ 不等式性质的证明，也是解(或证)不等式的重要依据． 想一想：不等关系与不等式有什么区别？ 提示 不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号 “＞”、“＜”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表 示不等关系的，可用“a＞b”、“a＜b”、“a≠b”、“a≥b”或 “a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的．
a b ab 0 a b ab 0
知识上,本节课我们主要学习了如何将实际问 题中的不等关系表示成不等式. 方法上,用不等式（组）表示实际问题中的不 等关系时， (1)要先读懂题,设出未知量; (2)抓关键词，找到不等关系; (3)用不等式表示不等关系.
思维要严密、规范.
(设儿童身高为h，物品外部尺寸长、宽、高之和为p.)
文字表述 符号表示
1.1 1.4m 1.1 h 1.4
超过1.4m
不足1.1m
不超过 160cm
p 160
h 1.4
h 1.1
例3 如图所示，y=f(x)反映了某公司产品的 销售收入y万元与销售量x t的函数关系，y=g(x)反 映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系。 （1）当销售量为多少时，该公司盈利（收入大于 成本）； （2）当销售量为多少时，该公司亏损（收入小于 成本）？
如果a－b是正数，则a>b；如果a>b ，则a－b为正数； 如果a－b是负数，则a<b；如果a<b ，则a－b为负数； 如果a－b等于零，则a=b；如果a=b ，则a－b等于零.
不等式不等关系与不等
2023不等式不等关系与不等式ppt•不等式的定义和分类•不等式的性质和证明•不等式的解法和求解技巧•不等式不等关系的建立和应用目•不等式在数学和实际生活中的应用录01不等式的定义和分类不等式是指用不等号（如“$<$”,“$>$”,“$\leqslant$”,“$\geqslant$”）连接两个数或表达式的数学式子。
不等式的定义不等式可以用数学符号表示为$a < b$或$a \geqslant b$等，其中$a$和$b$是两个数学表达式或数值。
不等式的表达不等式的含义和表达不等式的分类不等式可以分为严格不等式和广义不等式。
不等式的相互关系不等式可以传递性、加法逆元、乘法逆元、正值性和正值传递性的关系。
不等式的分类及相互关系不等式在优化问题中的应用不等式可以用来描述限制条件，如时间、资源、成本等，在优化问题中起到重要作用。
不等式在数学建模中的应用不等式可以用来描述客观世界中的不等关系，如物理学、经济学、工程学等领域中的问题，通过数学建模的方法可以解决这些问题。
不等式在实际问题中的应用02不等式的性质和证明1不等式的性质和定理23如果`a>b`和`b>c`，那么`a>c`。
传递性如果`a>b`且`b>a`，那么`a=b`。
反对称性如果`a>b`，那么`a+c>b+c`。
可加性通过代数运算和代数式变形来证明不等式。
不等式的证明方法代数证明通过几何图形和几何性质来证明不等式。
几何证明通过三角函数的性质和变换来证明不等式。
三角函数证明最值问题优化问题理论证明利用不等式优化生产、分配、消费等实际问题。
利用不等式证明数学理论中的一些重要结论。
03不等式的应用举例02 01利用不等式求函数的最值。
03不等式的解法和求解技巧不等式的解法及步骤求解不等式化简合并同类项理解不等式的定义和性质移项观察不等式中未知数的系数和常数项利用不等式的性质简化不等式将不等式中的未知数分离出来构造函数或方程利用单调性或极值求解不等式的求解技巧不等式解的应用举例求最值比较大小求解概率统计问题解决实际问题04不等式不等关系的建立和应用不等式不等关系是指两个或多个数值或变量之间存在的不平等关系，这种关系通常用不等号（如“<”、“>”、“≤”、“≥”）来表示。
2015高考总复习数学(文)课件：5.1 不等式的概念与性质
【方法与技巧】第(2)小题要分 k 为奇数和偶数两种情况来 讨论；第(3)小题利用作商法判断数列的单调性.所谓作商法：若
A B＞0，欲证 A≥B，只需证 ≥1.其步骤为：作商式；商式变形； B
判断商值与 1 的大小关系.指数不等式常用比商法证明.有时要 用到指数函数的性质.如若 a＞1，且 x＞0，则 ax＞1 等.
2 2 解析：(1)当 q＝1 时，S4a5－S5a4＝4a2 － 5 a ＝－ a 1 1 1<0.
a1(1－q4) (2) 当 q≠1 ， 且 q>0 时 ， S4a5 － S5a4 ＝ · a1q4 － 1－q
2 3 2 3 a1(1－q5) a q a 1 1q 3 4 5 · a1q ＝ [(1－q )q－(1－q )]＝ (q－q5－1＋q5) 1－q 1－q 1－q 3 ＝－a2 1q <0，则 S4a5<S5a4.故选 A.
n n a＞ b (5)可开方(正)：a＞b＞0⇒____________( n∈N*，n≥2).
1.“a＋c＞b＋d”是“a＞b 且 c＞d”的(A ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.a，b∈R，若 a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是( D ) A.b－a＞0 C.a2－b2＜0 B.a3＋b3＜0 D.b＋a＞0
＞b＋(－d)，即 a－c＞b－d，∴③正确.∵a＞b，d－c＞0，
∴a(d－c)＞b(d－c)，∴④正确.故选 C. 答案：C
考点 2 利用作差比较大小 例2 ：在等比数列 {an} 和等差数列 {bn}中，a1 ＝b1>0 ，a3 ＝ b3>0，且a1≠a3，试比较下列各组数的大小. (1)a2与b2； (2)a5与b5.
不等关系与不等式
a －b ＞0 ⇔ a ＞b a＞
思考4 如果两个实数的差等于零， 思考4：如果两个实数的差等于零，那么这两个实
数的大小关系如何？反之成立吗？ 数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语 言描述这个原理？ 言描述这个原理？
学生活动one 学生活动one
雷电的温度大约是28000℃，比太阳 ℃ 雷电的温度大约是 表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温 倍还要高。 表面温度的 倍还要高 度为t 那么t应满足怎样的关系式 应满足怎样的关系式？ 度为 ℃，那么 应满足怎样的关系式？
4.5t<28000
课堂评价：用不等式表示下面的不等关系： 课堂评价：用不等式表示下面的不等关系：
698 x + 518 y ≤ 4000 x ≥ 0 y≥0 x, y ∈N*
实际应用中建构数学
实际问题： 实际问题：不等关系
抽象 概括 刻 画
数学问题： 数学问题：不等式
三、不等式基本原理 思考1 实数可以比较大小，对于两个实数a 思考1：实数可以比较大小，对于两个实数a，b，
1.a与b的和是非负数； 与 的和是非负数 的和是非负数；
a+b≥0
2.某公路立交桥对通过车辆的高度 “限高 某公路立交桥对通过车辆的高度h“ 某公路立交桥对通过车辆的高度 4m” ”
0<h≤4
数学应用
二、用不等式组来表示不等关系
学生活动two 学生活动two
这是某酸奶的质量检查规定 脂肪含量（ ） 脂肪含量（f） 不少于2.5％ ％ 不少于 蛋白质含量（ ） 蛋白质含量（p） 不少于2.3％ ％ 不少于
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依题意得，第二次钉子没有全部入木板；
【例2】对于实数a、b、c，判断下列命题的真假. （1）若a>b，则ac>bc; （2）若a>b,则ac2>bc2; （3）若a<b<0，则a2>ab>b2;
1 1 （4）若a<b<0，则 ; a b b a （5）若a<b<0,则 . a b
解
（1）因未知c的正负或是否为零，无法确
基础自测
1.（2010·盐城模拟）已知a<0,-1<b<0，那么 a,ab,ab2的大小关系是 ab>ab2>a . 解析 由-1<b<0，可得b<b2<1. 又a<0, ∴ab>ab2>a.
2.下列四个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b
1 1 ＜0＜a；④0＜b＜a，其中能使 成立的充 a b
当f(-2)=4a-2b过点A ( , ) 时, ［8分］ ［12分］ ［14分］ 当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时, 取得最大值4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10.
跟踪练习4
取值范围.
已知-1<a+b<3且2<a-b<4,求2a+3b的
分析 将2a+3b用a+b和a-b表示出来，再利用不 等式的性质求解2a+3b的取值范围. 解 设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),
m n 2 5 1 , m , n . 2 2 m n 3 5 1 2a 3b (a b) (a b). 2 2 1 a b 3,2 a b 4, 5 5 15 1 (a b) ,2 (a b) 1, 2 2 2 2 9 5 1 13 9 13 (a b) (a b) ，即 2a 3b . 2 2 2 2 2 2
用一些不等式性质的推广命题,本题就可以利用结 论“a>b,n∈N,n为奇数,则 n a n b ”.
（4）要比较两个实数的大小，通常可以归结为判 断它们的差的符号（仅判断差的符号，至于确切 值是多少无关紧要）.在具体判断两个实数（或代 数式）的差的符号的过程中，常会涉及一些具体 变形，如因式分解、配方法等.对于具体问题，如 何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问 题而定.
思想方法 感悟提高
高考动态展望
高考中主要是以填空题的形式出现，不会单独出
解答题，主要以利用不等式的性质去判断不等式 以及列出应用题中的不等关系，有时也和其他知
识相联系.
方法规律总结
(1)判断一个关于不等式的命题的真假时,先把要
判断的命题与不等式性质联系起来考虑,找到与命
题相近的性质,并应用性质判断命题的真假,当然 判断的同时可能还要用到其它知识,比如对数函数、 指数函数的性质.
1 1 （5）倒数法则：a>b,ab>0 < a b 1 1 ,ab>0a > b.（同号即可，而不要求a,b a b
a>b>0,c>d>0ac > bd.
均大于0）
（6）乘方性质：a>b>0an > bn(n∈N,n>1). （7）开方性质：a>b>0 n a >
n
b(n∈N,n>ຫໍສະໝຸດ ).方法二∵x<y<0,∴x-y<0,x2>y2,x+y<0.
∴(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0, ( x 2 y 2 )(x y) x2 y 2 0 2 2 1, 2 2 ( x y )(x y) x y 2 xy ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). (2)∵a,b,c∈{正实数}，∴an,bn,cn>0,
s s 2 2 s s s a b , T a b 2a 2b 2ab 2s ta tb s 2t , ab
s ( a b) 2s (a b) 2 4ab T 2t s 2ab ab 2ab(a b) s ( a b) 2 0, 2ab(a b)
a b 0 或者由a b 0 1 1 b a 0 a b 0 a b 1 , 命题是假命题 . 1 b a 0 b a
跟踪练习2
已知a,b,c满足c<b<a且ac<0，则下列
ba ② 0 c ac ④ 0 ac
[8分]
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.［14分］
方法三
由
1≤a-b≤2
2≤a+b≤4
确定的平面区域如图.
［4分］
3 1 2 2 取得最小值 4 3 2 1 5, 2 2
跟踪练习3
比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）(x-3)2与(x-2)(x-4); (2)当x>1时，x3与x2-x+1; (3) 7 10与2 13. 解（1）（x-3）2-(x-2)(x-4)
=x2-6x+9-(x2-6x+8)=1>0, ∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
(2)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1 =x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),
【例4】（14分）设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2, 2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. 解题示范 解 方法一 设f(-2)=mf(-1)+nf(1) ［2分］ ［4分］ ［8分］ (m,n为待定系数), 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b, m+n=4 n-m=-2 m=3 n=1,
定ac与bc的大小，所以是假命题. （2）因为c2≥0，所以只有c≠0时才正确.
c=0时，ac2=bc2,所以是假命题.
（3）因为a<b,a<0a2>ab;a<b,b<0ab>b2， 所以a2>ab>b2,命题是真命题.
（4）由性质定理a<b<0
3 2
1 1 , 命题是真命题. a b
（5）例如-3<-2<0, 2 3 , 命题是假命题.
∵x>1，∴(x-1)(x2+1)>0，∴x3-(x2-x+1)>0,
∴当x>1时，x3>x2-x+1.
(3)( 7 10) 2 (2 13) 2 2 70 4 13 2 70 2 52 0, 7 10 0,2 13 0, 7 10 2 13.
∴a-x=b-y，因此①不成立. 又∵ax=-6,by=-6,∴ax=by，因此③也不正确.
a 3 b 2 a b 又∵ y 3 1, x 2 1, y x ,
因此⑤不正确.
由不等式的性质可推出②④成立.
典型例题
深度剖析
【例1】某电脑用户计划使用不超过500元的资金 购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装
于是得
,解得
∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故5≤f(-2)≤10. ［14分］
f(-1)=a-b
方法二 由 f(1)=a+b,
1 a [ f (1) f (1)] 2 得 , b 1 [ f (1) f (1)] 2
第五编
基础知识
要点梳理
不等式
自主学习
§5.1 不等关系与不等式
1.实数大小顺序与运算性质之间的关系
a-b>0 a>b a-b=0 a=b; a-b<0 a<b . ;
2.不等式的基本性质
（1）对称性：a>b b<a . （2）传递性：a>b,b>c a>c
.
（3）加法性质：a>ba+c > b+c; a>b,c>da+c > b+d. （4）乘法性质：a>b,c>0ac > bc; a>b,c<0ac < bc;
故T>2t. 所以乙先到教室.
4.若x>y,a>b，则在①a-x>b-y;②a+x>b+y;③ax>by;
a b ④x-b>y-a;⑤ 这五个式子中，恒成立的所 y x
有不等式的序号是 ②④ . 解析 令x=-2,y=-3,a=3,b=2, 符合题设条件x>y,a>b,
∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5,
的
进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁 钉长度是钉长的 个不等式组. 解 第三次全部入板，
4 4 7 7 k 1, ∴ 4 4 4 1, 7 7k 7k 2 k N*
1 * （k∈N ），已知一个铁钉受击3次后全部 k
4 ，请从这个实例中提炼出一 7
a n bn a n b n 而 ( ) ( ) . a 2 b 2 c 2 , cn c c a 2 b 2 a b 则( ) ( ) 1, 0 1,0 1. n N, n 2, c c c c a n a 2 b n b 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) , c c c c a n bn a n b n a 2 b2 ( ) ( ) 1, n 2 c c c c a n bn cn .