第七讲 散射 一、散射截面
散射截面和费曼振幅的关系
散射截面和费曼振幅的关系
散射截面和费曼振幅之间的关系可以通过量子场论中的斯瓦兹-希尔德公式来描述。
斯瓦兹-希尔德公式是一个数学公式，用于计算散射振幅和散射截面。
散射截面是一个测量散射过程中的粒子散射到某一方向的概率的物理量。
它可以通过散射交叉截面（即散射微分截面乘以某个立体角）进行定义。
散射截面通常会随着粒子的能量、动量和散射角度的变化而变化。
费曼振幅是描述粒子在某个量子场论中的散射过程的数学量。
它表示散射过程中不同入射态和出射态之间的转换概率。
费曼振幅是通过对费曼图进行计算获得的。
根据斯瓦兹-希尔德公式，散射截面可以通过费曼振幅进行计算。
公式的具体形式为：
散射截面 = |费曼振幅|²
其中，|费曼振幅|表示费曼振幅的模的平方。
这意味着散射截面直接与费曼振幅的振幅大小相关。
需要注意的是，斯瓦兹-希尔德公式是在相对论性量子场论框架下推导得到的。
对于非相对论性情况，散射截面和费曼振幅之间的关系可能会有所不同。
第七讲 散射 一、散射截面
（6） （7）
令
r
将（6）式写成 ˆ2 2 2 L k 2 0 2 r r
在 r 的情形下，此方程简化为
2 2 k 0 2 r
（8 ）
此方程类似一维波动方程，我们知道： 对于一维势垒或势阱的散射情况
ds θ
Z
散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。
弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称
弹性散射，否则称为非弹性散射。
入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入 射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为 入射粒子流强度。 散射截面：
ikx
ik r ( r , , ) f ( , ) e
ikr e ( r , , )f( , ) 因此， 2 r ikr e ( r , , )f( , ) 2 r
2 代表由散射中心向外传播的球面散射波， 2 代表向散射中心会聚的球面波，
2
之和。
ikx 2 e | | 为方便起见，取入射平面波 的系数A=1，这表明 1 1 ，入射粒子束单
（10）
散射波的几率流密度
* i * 2 2 2 J | f ( , ) | （11） r 2 2 2 r 2 r r
1 i (l ) l 2
（3-13）
将此结果代入（3-11）式
i 2 l l 0 l
( 2 l 1 ) eP (cos ) 2 ikf ( ) ( 2 l 1 ) P (cos )
微分散射截面的卢瑟福公式
微分散射截面的卢瑟福公式引言：微分散射截面是研究微观粒子与物质相互作用的重要参数之一。
卢瑟福公式是描述微分散射截面的经典理论，它为我们理解原子核结构和粒子之间相互作用提供了关键线索。
本文将介绍卢瑟福公式的基本原理和应用，并探讨其在科学研究和工程应用中的重要性。
一、卢瑟福散射实验卢瑟福散射实验是物理学历史上的里程碑之一。
实验中，卢瑟福用α粒子轰击金箔，观察其在金属箔上的散射情况。
实验结果显示，大多数α粒子直线通过金箔，但少数粒子发生明显的散射。
这一观察揭示了原子核的存在，并推翻了汤姆逊的“杏仁布丁模型”。
二、微分散射截面的定义微分散射截面是描述入射粒子在散射过程中与靶粒子相互作用的参数。
它表示在单位立体角范围内，入射粒子被散射到该方向的概率。
微分散射截面通常用符号σ表示，单位为平方米或玻尔恩。
三、卢瑟福公式的推导卢瑟福公式是描述微分散射截面的经典理论。
根据卢瑟福实验的结果，可以推导出以下公式：σ(θ) = (1/4πε₀) * (Z₁Z₂e²/mv²) * (1/sin²(θ/2))其中，σ(θ)表示微分散射截面，Z₁和Z₂分别是入射和靶粒子的电荷数，e是元电荷，m是入射粒子的质量，v是入射粒子的速度，θ是散射角度。
四、卢瑟福公式的应用卢瑟福公式在原子核物理和粒子物理研究中有广泛的应用。
通过测量散射角度和微分散射截面，可以推断出粒子和原子核的结构信息。
此外，卢瑟福公式还可以用于设计粒子加速器和核反应堆等工程应用。
五、卢瑟福公式的局限性尽管卢瑟福公式在经典物理下是有效的，但它忽略了量子力学效应。
在高能散射和微观粒子研究中，需要使用量子力学的散射理论来描述粒子的行为。
因此，卢瑟福公式只适用于低能和经典散射情况。
六、结论卢瑟福公式是描述微分散射截面的重要理论，它为我们研究原子核结构和粒子相互作用提供了关键线索。
虽然卢瑟福公式在经典物理下是有效的，但在高能和微观领域需要使用量子力学的散射理论。
光的散射与散射理论
光的散射与散射理论光的散射是指当光线与物体表面相互作用时，光线发生方向的变化，从而在各个方向上扩散的现象。
散射理论则是用于解释光在散射过程中的物理现象和行为的理论框架。
本文将探讨光的散射原理以及相关的散射理论。
1. 光的散射原理光的散射是由于光线与物体表面发生碰撞或遇到不均匀介质时，其传播方向发生改变的现象。
散射可以分为弹性散射和非弹性散射两种类型。
1.1 弹性散射弹性散射是指在光与物体碰撞后，光的能量和频率不发生改变，但传播方向发生偏转的现象。
这种散射发生在比较小的颗粒或分子上，如气体的分子、悬浮在空气中的微粒等。
弹性散射的角度与入射角度相等，这符合反射定律。
1.2 非弹性散射非弹性散射是指在光与物体碰撞后，光的能量和频率发生变化的现象。
这种散射通常发生在光线经过较大分子或表面粗糙的物体时。
非弹性散射会导致光的频率发生变化，产生色散的效应，使光具有不同的波长和颜色。
2. 散射理论散射理论是用于解释光散射现象的理论框架，其中最重要的是散射方程和散射截面。
2.1 散射方程散射方程描述了光在与物体相互作用时传播方向的变化。
根据散射方程，可以计算出光在某一方向上的散射强度。
最常用的散射方程是著名的光的散射方程-拉德方程（Rayleigh Equation），适用于小尺寸比较小的颗粒的弹性散射。
2.2 散射截面散射截面是描述光与物体散射相互作用的物理量，表示单位面积上散射的光子数。
散射截面与散射器的大小、形状、材料以及光的波长等因素有关。
根据散射截面的大小，可以推断出物体对光的散射强度及方向分布的信息。
3. 应用与意义散射理论在多个领域中得到了广泛的应用，具有重要的科学研究价值和工程应用价值。
3.1 大气散射大气中的气体分子和悬浮微粒对太阳光的散射是引起蓝天和彩虹的重要原因。
通过研究大气散射，可以了解大气中的颗粒分布、浓度和物理特性等，对气象学和环境科学具有重要意义。
3.2 光学材料设计光的散射性质对于光学材料的设计和应用具有决定性的影响。
第七讲散射理论
第七讲散射理论一、散射现象的一般描述1、什么是散射？简单地说，散射就是指粒子与粒子之间或粒子与力场之间的碰撞（相互作用）过程，是一种具有重要实际意义的现象，所以散射现象也称碰撞现象，其可以示意为：粒子流散射中心如：原子物理中的α粒子散射实验。
2、散射的分类：弹性散射：一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变。
非弹性散射：两粒子碰撞中粒子的内部状态有所改变（例如原子被激发或电离）。
在这里我们只讨论弹性散射，即假设碰撞过程中粒子的内部状态未变，并假设散射中心质量很大、碰撞对其运动没有影响。
3、散射的经典力学描述从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一个确定的碰撞参数（瞄准距离）b 和方位角0ϕ射向靶子，由于靶子的作用，入射粒子的轨道将发生偏转，沿某方向(,)θϕ出射。
例如在α粒子的散射实验中，有22cot 422M b Ze θυπε= （偏转角θ与瞄准距离之间的关系） 那些瞄准距离在b b db -和之间的α粒子，散射后，必定向着d θθθ+和之间的角度射出，如下图所示：凡通过图中所示环形面积d σ的α粒子，必定散射到角度在d θθθ+和之间的一个空心圆锥体之中。
环形面积d σ称为有效散射截面，又称微分截面。
且2222401()()4sin 2Ze d d M σθπευΩ= 然而，在散射实验中，人们并不对每个粒子的轨道感兴趣，而是研究入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布。
设一束粒子流以稳定的入射流强度沿Z 轴方向射向靶粒子A ，由于靶粒子的作用，设在单位时间内有dn 个粒子沿(,)θϕ方向的立体角d Ω中射出，显然，,(,)dn Nd dn q Nd θϕ∝Ω=Ω令，即1(,)()dn q N d θϕ=Ω显然，(,)q θϕ具有面积的量纲，称为微分散射截面。
微分散射截面),(ϕθq 表示单位时间内散射到单位立体角Ωd （面积/距离平方）的粒子数占总粒子数比率，即Ω=Nd q dn ),(ϕθ。
第7章 散射理论
第七章 散射理论本章介绍：前面讨论了薛定谔方程中的束缚态问题。
而对于能量连续的散射态，能级间隔趋于零，因此一般说来，不能用微扰论来处理。
另一方面，微观粒子之间的散射或称碰撞过程的研究，对于了解许多实验现象十分重要，所以，建立一套散射理论无论从实验上看，还是使理论更加完善上看，都是完全必要的。
本章将分别就弹性散射和非弹性散射，按入射粒子的能量高低，分别建立不同的散射理论，并介绍了分波法和玻恩近似两种处理散射问题的近似方法。
7.1 散射截面在经典力学中，弹性散射是按照粒子在散射过程中，同时满足动量守恒和能量守恒来定义的。
在量子力学中，一般说来，除非完全略去粒子之间的相互作用势能，否则，动量将不守恒。
因此，在量子力学中，不可能按经典力学的公式来定义弹性散射。
在量子力学中，如果在散射过程中两粒子之间只有动量交换，粒子由内部运动状态决定，则这种碰撞过程成为弹性散射。
如果在散射过程中粒子内部运动状态有所变化，如激发、电离等则称为非弹性散射。
本章只讨论弹性散射问题。
考虑一束入射粒子流向粒子A 射来，取粒子流入射方向为z 轴。
A 为散射中心。
为讨论方便起见，假定A 的质量比入射粒子大得多，由碰撞引起的A 的运动可以忽略。
应当指出，散射过程是两体问题。
因为它涉及两个互相散射的粒子。
对于两体问题，最好的处理方法是采用质心坐标系。
因为在质心坐标系中，一个两体问题将被归结为一个粒子因为与质心的相互作用而被散射。
另一粒子的运动可对称给出。
从而归结为单体问题。
如果散射中心粒子A 的质量比入射粒子大得多，可以认为质心就在A 上，这样就使问题处理简单多了。
如图所示，入射粒子受A 的作用而偏离原来的运动方向，发生散射。
图中A 角为散射粒子的方向与入射粒子方向的夹角，称为散射角。
单位时间内散射到面积元dS 上的粒子数dn 应与dS 成正比，而与dS 到A 点的距离r 的平方成反比，即与dS 对A 所张的立体角成比例：2~dSdn d r=Ω同时，dn 还应与入射粒子流强度N 成正比。
散射参数的物理意义
散射参数的物理意义散射是指入射波在与物体相互作用后改变传播方向和传播速度的现象。
散射参数是描述散射现象的物理量，它包括散射截面、散射强度、相位移等。
散射截面是描述散射过程中入射波与物体相互作用的概率的物理量。
入射波与物体相互作用后，波的能量会分散到不同的方向上，而散射截面则是描述这种分散效果的大小。
散射截面越大，表示入射波与物体相互作用的概率越高，散射现象越明显。
散射强度是描述散射过程中入射波与物体相互作用后在不同方向上的能量分布的物理量。
入射波与物体相互作用后，波的能量会向不同的方向上传播，散射强度描述了在各个方向上的能量分布情况。
散射强度的分布规律可以帮助我们理解散射现象的本质，以及入射波在与物体相互作用后如何改变传播方向和传播速度。
相位移是描述散射过程中入射波与物体相互作用后波的相位变化的物理量。
入射波在与物体相互作用后，波的相位会发生变化，相位移描述了这种变化的大小。
相位移的大小与物体的形状、材料特性等因素有关，通过测量相位移可以获得关于物体的信息，例如物体的形状、材料特性等。
散射参数的物理意义在于揭示了入射波与物体相互作用后的变化规律，帮助我们理解散射现象的本质以及入射波在与物体相互作用后的行为。
通过研究散射参数，我们可以获得关于物体的信息，例如物体的形状、材料特性等。
散射参数在物理、电子、声学等领域都有广泛的应用，例如在物体表面缺陷检测、医学成像等方面都有重要的应用价值。
总结起来，散射参数是描述散射现象的物理量，包括散射截面、散射强度、相位移等。
它们揭示了入射波与物体相互作用后的变化规律，帮助我们理解散射现象的本质以及入射波在与物体相互作用后的行为。
散射参数在物理学和工程学等领域都有重要的应用价值。
通过研究散射参数，我们可以获得关于物体的信息，例如物体的形状、材料特性等。
散射参数的研究对于深入理解散射现象、开展相关应用具有重要意义。
雷达散射截面
雷达散射截面
雷达散射截面(Radar Cross section,缩写RCS)是雷达隐身技术中最关键的概念，它表征了目标在雷达波照射下所产生回波强度的一种物理量。
雷达散射截面又称后向散射截面，是雷达入射方向上目标散射雷达信号能力的度量,用入射场的功率密度归一化表示。
RCS是指雷达入射方向上单位立体角内返回散射功率与目标截状的功率密度之比。
雷达散射截面是入射方向单位立体角内返回的散射功率与目标的入射功率密度之比。
表征地面的目标对于雷达波束的回波强度。
雷达散射截面既与目标的形状、尺寸、结构及材料有关，也与入射电磁波的频率、极化方式和入射角等有关。
后向散射系数是单位面积上的雷达散射截面。
后向散射系数越大，表示目标的回波越强。
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i 1* 1 Jz 1* 1 2 z z i (ik 1 1* ik 1* ) 2
k
N
（10）
散射波的几率流密度
* i 2 * 2 2 Jr 2 2 r r
2 ll 2l 1
1 i l 2
可以得到
Al e
(2l 1)i e
l
即 Al (2l 1)i l e i l (2l 1)e
1 i ( l l ) 2
（3-13）
将此结果代入（3-11）式
(2l 1)e
l 0
i 2 l
Pl (cos ) 2ikf ( ) (2l 1)Pl (cos )
Pl (cos ) (2l 1)i e
l l 0
1 i l 2
Pl (cos )
（3-12）
用 Pl (cos ) 乘以（12）式，再对从 0 积分，并利用Legradrer多项式 的正交性
0
Pl (cos )Pl (cos ) sin d
1 i ( l l ) 2
2 k 2 0
令
（6） （7）
r
将（6）式写成 ˆ 2 2 L2 k 2 0 2 r r 在 r 的情形下，此方程简化为
2 k 2 0 r 2
（8）
此方程类似一维波动方程，我们知道： 对于一维势垒或势阱的散射情况
(r, ) Rl (r ) Pl (cos )
l
（3-2）
Rl(r)为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波，Rl (r ) Pl (cos ) 称为第l个分 波，通常称l=0,1,2,3…的分波分别为s, p, d, f…分波 （3-2）代入（3-1），得径向方程
1 d 2 dRl 2 l (l 1) r k V (r ) 2 2 Rl (r ) 0 r dr dr r
弹性散射，否则称为非弹性散射。
入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入 射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为 入射粒子流强度。 散射截面：
设单位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）的粒子数为dn，显 然
dn
ds d 2 r
dn N
下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法——分波法，玻恩近似方法。 分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。
三、分波法
讨论粒子在中心力场中的散射。 粒子在辏力场中的势能为U (r )，状态方程
2 [k 2 V (r )] 0
（3-1）
取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，按照§3.3.的 讨论，对于具有确定能量的粒子，方程（3-1）的特解为 Rl (r )Ylm ( , ) 由于现在与无关(m=0)，所以，方程（1）的特解可写成 Rl (r ) Pl (cos ) 方程（3-1）的通解为所有特解的线性迭加
（3-14）
可见，求散射振幅f()的问题归结为求 l ，求l的具体值关键是解径向波函数 R(r)的方程（3-3）
l的物理意义：
1 k r l 是入射平面波的第 l 个分波的位相；由 由（3-8），（3-9）知， 2 1 k r l l 是散射波第l个分波的位相。所以，l是入射波经 （3-6）知， 2
Al i ( kr 1 l l ) i ( kr 1 l l ) 2 [e 2 e ]Pl (cos ) l 0 2ikr
另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数
e ikr (r , )r e f ( ) r
ikz
（3-6）
令
k2
2E 2
2 V (r ) 2 U (r )
方程（4）改写为
2 [k 2 V (r )] 0
（5）
由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为r 。因 此，在计算时 q( , ) ，仅需考虑 r 处的散射粒子的行为，即仅需考虑 r 处的散射体系的波函数。 V r 时， (r ) 0 ，方程（5）变为 设
k x Aeikx Be ikx
k x ce ikx
式中 e 为入射波或透射波， e ikx 为散射波，波只沿一方向散射。 对于三维情形，波可沿各方向散射，三维散射时，在r 处的粒子的波函数 应为入射波和散射波之和。 方程（8）有两个特解
ikx
(r , , ) f ( , )e ikr
不是散射波，应略去。 在 r 处，散射粒子的波函数是入射平面波 1 e ikz 和球面散射波 2 之和。 即 e ikr ikz (r )r Ae f ( , ) （9） r
e ikx 的系数A=1，这表明 | 1 | 2 1 ，入射粒子束单 为方便起见，取入射平面波
1 1
（3-10）
（3-6）和（3-10）两式右边应相等，即
i ( kr l l ) Al i ( kr 2 l l ) 2 e ]Pl (cos ) 2ikr[e l 0 1 1
e ikr (2l 1)i l i ( kr 2 l ) i ( kr 2 l ) f ( ) [e e ]PL cos r l 0 2ikr
故称q(，)为微分散射截面，简称为截面或角分布 如果在垂直于入射粒子流的入射方向取面积q(， )，则单位时间内通过此截 面q(，)的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。
q( , ) N
总散射截面：
dn d
0
（2）
Q q( , )d
2 0
（13）
由此可知，若知道了f ( , )，即可求得 q( , ) ，f ( , ) 称为散射振幅，所以， 对于给定能量的入射粒子，速率 v 给定，于是入射粒子流密度N= v 给定，只要 知道了散射振幅 f ( , ) ，也就能求出微分散射截面，f ( , ) 的具体形式通过求 schrö dinger方程（5）的解并要求在 r 时具有渐近形式（9）而得出。
(2l 1)(2l 1)e
2 | f ( , ) |2 r
（11）
单位时间内，在沿( , ) 方向d立体角内出现的粒子数为
dn J r ds | f ( , ) | 2
r
2
ds | f ( , ) | 2 Nd
（12）
比较（1）式与（12），得到
q ( , ) | f ( , ) | 2
（3-7）
将平面波 e ikz 按球Fra bibliotek波展开e e
ikz
ikr cos
(2l 1)i l jl (kr) Pl (cos )
l 0
1 ( kr) r 2
（3-8）
式中jl(kr)是球贝塞尔函数
jl (kr) 2kr J
l
1 1 sin kr l kr 2
（3-5）
为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数
Al kAl,
l l l 2
将（3-5）代入（3-2），得到方程（3-1）在 r 情形下通解的渐近形式
(r , )r
l 0
Al 1 sin kr l l Pl (cos ) kr 2
1 1
分别比较等式两边 e
ikr
和e
ikr
前边的系数，即得
1 i l 2 l 0
Ae
1 i ( l l ) 2
Ae
l 0 l
l 0
l
Pl (cos ) 2ikf ( ) (2l 1)i l e
Pl (cos )
（3-11）
1 i ( l l ) 2
散射后第l个分波的位相移动（相移）。
微分散射截面
1 2 q ( ) | f ( ) | (2l 1) Pl (cos )e i l sin l k l 1
总散射截面
2
（3-15）
Q q ( )d 2 q ( ) sin d
2 2 k 2 2 k
综合之，则有： dn Nd 或
dn q( , ) Nd
（1）
比例系数q(，)的性质： q(， )与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及 入射粒子的动能有关，是，的函数。 q(，)具有面积的量纲
dn [q] L2 Nd
q( , ) sindd
（3）
[注] dn 由（2）式知，由于N、 可通过实验测定，故而求得 q( , ) 。
d
量子力学的任务是从理论上计算出 q( , )，以便于同实验比较，从而反过来研 究粒子间的相互作用以及其它问题。
二、散射振幅
现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量， 在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。 取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的定态schrö dinger方程 2 2 U (r ) E （4） 2
(r , , ) f ( , )e ikr
e ikr 因此， 2 (r , , ) f ( , ) r e ikr 2 (r , , ) f ( , ) r
2 代表由散射中心向外传播的球面散射波， 2 代表向散射中心会聚的球面波，
1