国防科技大学线性代数试卷

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线性代数模试题试题库(带)

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题 (每题 4 分，共 24 分 )1、若 a 1i a 23a 35a 5 j a 44 是五阶队列式中带正号的一项，则i1 , j2 。

令 i1, j2 ， (12354) (13524) 134 ，取正号。

2、若将 n 阶队列式 D 的每一个元素添上负号获得新队列式D ，则 D = ( 1)n D。

即队列式 D 的每一行都有一个 (-1)的公因子，因此 D = ( 1)n D。

3、设 A1 1 , 则 A 100 = 1 100 。

0 1 0 1A21 1 1 11 2 , A31 21 11 3 01 0 1 0 1 0 1 010 , L 可得14、设 A 为 5 阶方阵，A5 ，则 5A5n 1。

由矩阵的队列式运算法例可知：5 A 5n A 5n 1 。

5、 A 为 n 阶方阵 , AA TE 且 A 0,则 A E。

由已知条件： AA TEAA T A A T2E1A 1, A1，A而：A E A AA TAE A TA A EA EA E0 。

2 0 06、设三阶方阵 A0 x y 可逆，则 x, y 应知足条件 3x2y 。

0 2 32 0 0可逆，则队列式不等于零：A0 x y 2 (3 x 2 y)3x2 y 。

0 2 3二、单项选择题 (每题4 分，共 24 分)a11a12a 13，则队列式2a 112a 122a 137、设a 21a 22a 23M0 2a 31 2a 322aA。

33a31a32a332a 212a 22 2a 23A ． 8MB ． 2MC ． 2MD ． 8M2a 11 2a 12 2a 13a11a12a 13a11a 12a132a31 2a 32 2a 332 3 aa32 a8 ( 1) aaa23 8M3133 21 22因为2a 212a 222a 23a21a22a23a31a32a338、设 n 阶队列式 D n ，则 D n0 的必需条件是D。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2013科大

线性代数期末试卷一一、填空题（每小题3分）（4）设A 为n 阶矩阵，*||0,≠A A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()+A E 必有特征值__________.解：2||1⎛⎫+ ⎪⎝⎭A λ.设0x ≠，使x x λ=A . 由*||⋅=A A A E 知，***||()x x x x ===A A A A A λλ. 由||0≠A 知≠λ0.**2**2||||,()()()x x x x x ===A A A A A A λλ，*22||[()][()1]x x ==+A A E λ，*2()+A E 有一特征值 2||1+A λ.二、选择题（每小题3分）（4）设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭是满秩的，则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---.（A ）相交于一点；（B ）重合；（C ）平行但不重合；（D ）异面。

解：（A ）正确记 1111{,,}a b c =α 1111(,,)a b c =A 2222{,,}a b c =α 2222(,,)a b c =A 3333{,,}a b c =α 3333(,,)a b c =A因为矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭是满秩的，故123,,ααα线性无关，所以112223,s s =-=-r r αααα线性无关，12//s s r r且23,,A A A 三点不共线，确定一平面π，记 1l 为直线333121212,x a y b z c a a b b c c ---==--- 2l 为直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---，则 1l 为过3A ，且平行12A A 的直线，所以1l π∈， 2l 为过1A ，且平行23A A 的直线，所以2l π∈，因为12//s s r r，12//l l ∴，且同在π上，故相交，所以（A ）正确，当然（B ）、（C ）、（D ）不正确.三、（本题满分5分）求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程，并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.解：将l 的标准方程改为一般方程为 1010x y y z --=⎧⎨+-=⎩过l 的平面束方程为：1(1)0x y y z --++-=λ 由投影关系1(1)20--+=λλ，解之2=-λ 所以过l 且垂直平面π的方程为 3210x y z --==故0l 的方程为2103210x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩设点(,,)M x y z 为直线上的点111(,,)M x y z 所旋转而成的曲面上的点，则1y y =且= 即 222211x z x z +=+ （1）由1M 在0l 上，故111210x y z -+-= （2） 1113210x y z --+= （3）（2）、（3）联立，将11,x z 由1y 表出有11112211(1)(1)22x y yz y y ==⎧⎪⎨=-=-⎪⎩ 代入（1）得： 222214(1)4y y x z +-=+ 所求曲面为2224174210x y z y -++-= 为单叶双曲面. 十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++= 可以经过正交变换x y P z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξηζ化为椭圆柱面方程2244+=ηζ，求,a b 的值和正交矩阵P .解：由111111b b a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 与014⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似得11111114b b a------=-----λλλλλλ，解之得到3, 1.a b ==对应于特征值10=λ的单位特征向量为T1x =；对应于特征值11=λ的单位特征向量为T2x =；对应于特征值34=λ的单位特征向量为T3x =；因此P ⎛=⎝.十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵，若存在正整数k ，使线性方程组0k x =A 有解向量α，且10k -≠A α. 证明：向量组1,,,k -A A L ααα是线性无关的. 解：设有常数12,,,k L λλλ，使得112,k k -+++=A A L λαλαλα0则有1112(),k k k --+++=A A A L λαλαλα0从而有11.k -=A λα0由于10k -≠A α，所以1.=λ0类似可证得 230,k ====L λλλ因此向量组1,,,k -A A L ααα线性无关.十二、（本题满分5分）已知线性方程组（I ）1111221,222112222,221122,220,0,0.n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L的一个基础解系为T T T 11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,)n n n n n n b b b b b b b b b L L L L . 试写出线性方程组（II ）1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L的通解，并说明理由.解：（II ）的通解为T T111121,2221222,2(,,,)(,,,)n n y c a a a c a a a =++L L L T 12,2(,,,)n n n n n c a a a +L ，其中12,,,n c c c L 为任意常数.理由：方程组（I ）、（II ）的系数矩阵分别记为,A B ，则由（I ）的已知基础解系可知T=AB 0，于是T T ()==BA AB 0，因此可知A 的n 向个向量的转置向量为（II ）的n 个解向量.由于B 的秩为n ，故（II ）的解空间维数为2n n n -=，又A 的秩为2n 与（I ）的解空间维数之差，即为n ，故A 的n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（II ）的一个基础解系，于是得到（II ）的上述通解。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2018科大

线性代数期末试卷一一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（5）设矩阵210120001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵B 满足*2=+ABA BA E ，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则||=B __________.解：||=B 19.显然||3=A ，在等式*2=+ABA BA E 两端右乘A 得36=+AB B A (36)-=A E B A 上式取行列式03030||3003=-B故 1||9=B . 方法二：因||3=A ，则*31||||9-==A A将**2=+ABA BA E 移项得 *(2)-=A E BA E 两端取行列式得1||91⋅⋅=B ，故1||9=B .二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（A ）010100.101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.解：（D ）正确. 由题意12=AE B ，其中12010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第一种类型初等矩阵，23(1)=BE C ，其中23100(1)011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第三种类型初等矩阵.于是有 1223(1)==AE E C AQ则 1223010100011(1)100011100001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q E E与所给答案比较，选（D ）.（12）设,A B 为满足=AB 0的任意两个非零矩阵，则必有（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 解：（A ）正确.设A 为m n ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，因为 =AB 0故 ()()r r n +≤A B ，其中(),()r r A B 分别表示矩阵,A B 的秩.又因为,A B 皆是非零矩阵，故()0,()0r r >>A B ，所以()r n <A ，()r n <B .因此A 的列秩数，B 的行秩数小于n ，这说明A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选（A ）.取101000⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由B 的列向量组线性无关知（B ）、（D ）错误.取101010-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由A 的行向量组线性无关知（C ）错误.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2)()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222220000aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B L L L L L L L L L L. 当0a =时，()1r n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为120n x x x +++=L ，由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.001001n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎝⎭B L L L L L L L L LL可知(1)2n n a +=-时，()1r n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为 1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式为111112222(1)||.2n aa n n a a nnn n a-+++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+A L L L LL当||0=A ，即0a =或(1)2n n a +=-时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有1111111122220000,0000n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数.当(1)2n n a +=-时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000aa a a an n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪+-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A L L LLL L L L L L . 1111000021002100.00101a n n +⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L LL L L L L L L 故方程组的同解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （21）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.解：A 的特征多项式为1232201431431515a aλλλλλλλ-----=-------11010(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根，则有22161830a -++=，解得2a =-.当2a =-时，A 的特征值为2,2,6，矩阵1232123123-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭E A 的秩为1，故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根，则28183a λλ-++为完全平方，从而18316a +=，解得23 a=-.当23a=-时，A的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫⎪-⎪-= ⎪⎪--⎪⎝⎭E A的秩为2，故4λ=对应的线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.线性代数期末试卷二一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中的横线上.）（6）同数学（一）一、（5）.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内.）（13）同数学（一）二、（11）. （14）同数学（一）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.33333004444400aa a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()14r =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为 12340x x x x +++=.由此得基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时，11111000021002100,3010301040014001a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B 可知10a =-时，()34r =<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为 T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为 k =x η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式311112222||(10)33334444aa a a a a++==+++A .当||0=A ，即0a =或10a =-时，方程组有零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222200003333000044450000⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，故方程组的同解方程组为12340.x x x x +++= 其基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时，对A 作初等行变换，有911191112822201000337330010*******0010--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （23）（本题满分9分）同数学（一）三、（21）.线性代数期末试卷三一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（4）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为_________.解：秩为 2 .222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++ 222123121323222222x x x x x x x x x =++++-于是二次型f 的表示矩阵为211121112⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A易求得()2r =A ，故二次型f 的秩为2.二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（A ）当||(0)a a =≠A 时，||a =B . （B ）当||(0)a a =≠A 时，||a =-B . （C ）当||0≠A 时，||0=B . （D ）当||0=A 时，||0=B . 解：（D ）正确.因为n 阶矩阵A 与B 等价，故存在n 阶可逆矩阵,P Q 使 =PAP B故 ||||||||=B P A Q当||0=A 时，自然有||0=B ，故（D ）正确.当||0≠A 时，由||,||P Q 皆不为零，故||0≠B ，所以（C ）错误.当||0a =≠A 时，||||||a =B P Q ，仅由A 与B 等价，无法推出||||1=±P Q ，故（A ）、（B ）不正确.当,A B 相似时，（A ）才正确.（13）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax 0的基础解系.（A ）不存在. （B ）仅含一个非零解向量. （C ）含有两个线性无关的解向量. （D ）含有三个线性无关的解向量. 解：（B ）正确.因*=A 0，故*A 中至少有一个非零元素. 由于*A 中元素恰为A 的1n -阶代数余子式所组成，故A 至少有一个1n -阶子式非零，这表明()1r n ≥-A .现断言()r n ≠A ，否则A 可逆，则线性方程组=Ax b 有惟一解，这与12,ξξ是非齐次线性方程组=Ax b 不同的解矛盾.由此必有()1r n =-A ，所以齐次线性方程组=Ax 0的解空间维数为(1)1n n --=，即=Ax 0的基础解仅含一个非零解向量. 可见（B ）正确，（A ）错误.尽管从1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，可以得出=Ax 0有三个不同的非零解，如121314,,,---ξξξξξξ但是它们是成比例的线性相关解，也就是说=Ax 0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C ）、（D ）不正确.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题分13分）设T T T 123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)a a b a b ==+-=---+ααα，T(1,3,3)=-β. 试讨论当,a b为何值时，（I ）β不能由123,,ααα线性表示；（II ）β可由123,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；（III ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解：设有数123,,k k k ，使得112233k k k ++=αααβ. （*）记123(,,)=A ααα. 对矩阵()Aβ施以初等行变换，有1111()22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭.（I ）当0,a b =为任意常数时，有1111()0010001b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A β.可知()()r r ≠A A β. 故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.（II ）当0a ≠，且a b ≠时()()3r r ==A A β，故方程组（*）有惟一解 123111,,0,k k k a a=-== 则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为1211(1)a a=-+βαα.（III ）当0a b =≠时，对()A β施以初等行变换，有110011()011.0000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A β. 可知()()2r r ==A A β，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,(),k k c k c a a=-=+=，其中c 为任意常数.β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα. （21）（本题满分13分）111b b bb b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A L L M M M L. （I ）求A 的特征值和特征向量；（II ）求可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵. 解：（I ）1º当0b ≠时，11||1b b b b bbλλλλ-------=---E A L LM M ML1[1(1)][(1)]n n b b λλ-=-----.故A 的特征值为121(1),1n n b b λλλ=+-===-L .对于11(1)/n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则1111[1(1)]1b b b b n b b b ⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξξL L M M M L ，解得T1(1,1,,1)=ξL ，所以全部特征向量为T1(1,1,,1)k k =ξL （k 为任意非零常数）.对于21n b λλ===-L ，解齐次线性方程组[(1)]0b --=E A x ，由111000(1)000b b b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪--=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A L L LL M M M M M M L L，解得基础解系T2(1,1,0,,0)=-ξL ，T3(1,0,1,,0)=-ξL ，… …T(1,0,0,,1)n =-ξL .故全部特征向量为2233n n k k k +++ξξξL （2,,n k k L 是不全为零的常数）. 2º当0b =时，特征值11n λλ===L ，任意非零列向量均为特征向量. （II ）1º当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n =P ξξξL ，则 1diag{1(1),1,,1}.n b b b -=+---P AP L 2º当0b =时，=A E ，对任意可逆矩阵P ，均有 1-=P AP E .注：T1(1,1,,1)=ξL 也可由求解齐次线性方程组1()λ-=E A x 0得出.线性代数期末试卷四一、填空题（本题共6小题，每小4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）（4）设1010100,001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵，则200422-=B A _________. 解：300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 由010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 得2100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，故4=A E ，其中E 是3阶单位阵，所以2004=A E .由1-=B P AP 得200412004-==B P A P E于是 20042210020030022010020030001002001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA E A . （5）设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且T 111,(1,0,0)a b ==，则线性方程组=Ax b 的解是__________.解：T (1,0,0).在方程=Ax b 两端左乘TAT T =A Ax A b 则 2131T 122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x A b将 12131a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 代回=Ax b 有2131122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此得22121311a a ++=因A 为实矩阵，故12130a a ==，因此=Ax b 的解为100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）同数学（三）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分13分）设线性方程组1234123412340,220,3(2)(4)41,x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩已知T(1,1,1,1)--是该方程组的一个解. 试求（I ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（II ）该方程组满足23x x =的全部解.解：将T (1,11,1)--代入方程组，得λμ=. 对方程组的增广矩阵施以初等变换，得 1102112032441λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭A 102101311.002(21)2121λλλλλλ---⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭（I ）当12λ≠时，有 1001011010.221100122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 因()()34r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T 11(0,,,0)(2,1,1,2)22k =-+--ξ，其中k 为任意常数.当12λ=时，有 11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .因()()24r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T T 121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k =-+-+--ξ，其中12,k k 为任意常数.（II ）当12λ≠时，由于23x x =，即 1122k k -+=-. 解得12k =，方程组的解为T T T 111(0,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ. 当12λ=时，由于23x x =，即 121132k k k --=. 解得121142k k =-，故全部解为 T T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---ξ，其中2k 为任意常数.[注]：在题（II ）中，12λ=时，解得21122k k =-时，全部解也可以表示为 T T 1(1,0,0,1)(3,1,1,4)k =-+-ξ，其中1k 为任意常数.（21）（本题满分13分）设三阶实对称矩阵A 的秩为122,6λλ==是A 的二重特征值. 若T T T 123(1,1,0),(2,1,1),(1,2,3)===--ααα都是A 的属于特征值6的特征向量. （I ）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（II ）求矩阵A .解：（I ）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个. 由题设可得123,,ααα的一个极大无关组为12,αα，故12,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量.由()2r =A 可知，||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=. 设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T T120,0==αααα，即 121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩ 解得此方程组的基础解系为T (1,1,1)=-α，即A 的属于特征值30λ=的特征向量为T (1,1,1)c c =-α，（c 为不为零的任意常数）.（II ）令矩阵123(,,)=P ααα，则1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P .又1011112333111333-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P ，故422242.224⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A。

线性代数试题及答案

线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数期终考试试题(B)

国防科技大学2011 —2012 学年秋季学期《线性代数》考试试卷（B ）卷注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效．2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记．一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1．设4阶矩阵1101,,0100⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦B A BC C 00，且整数2n ≥，则n =A _ ． 2．设矩阵300140003⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，则1(2)--=A E ． 3．设行列式4531235708002222D =---，则21222324M M M M +-+= ． 4．设n 阶矩阵A 的特征值互不相等，且0=A ，则rank =A ．5．若1031012t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 是正定矩阵，则t 的取值范围是． 6．3 中的向量T (1,1,1)=α在基T 1(1,2,2)=α，T 2(2,1,2)=α，T 3(2,2,1)=α下的坐标为．学号：姓名：学院：年级：专业：------------------------------------------------- 密－封－线 ---------------------------------------------------二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）1．设A 是三阶矩阵，将A 的第二行加到第一行上得到矩阵B ，将B 的第一列的-1倍加到第二列上得到矩阵C ，若1-=C P AP ，则=P 【】 (A) 110010001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． (B) 100110001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦． (C) 110010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． (D) 100110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 2．设n 阶矩阵,A B 的伴随矩阵分别为,**A B ，则分块矩阵⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 00的伴随矩阵为【】 (A) **⎡⎤⎢⎥⎣⎦A A B B 00． (B) **⎡⎤⎢⎥⎣⎦B B A A 00． (C) **⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B B A 00． (D) **⎡⎤⎢⎥⎣⎦B A A B 00． 3．设三阶矩阵,A B 满足2--=A B A B E ，若101020201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，则B 等于【】 (A) 12-． (B) 12． (C) 1-． (D) 1．4．设A 是n 阶矩阵，b 是n 维列向量，若T rank rank ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A b A b 0，则【】 (A) =Ax b 有无穷多个解． (B) =Ax b 有唯一解．(C) T⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A b x b y 00有非零解． (D) T ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A b x b y 00仅有零解． 5．设n 维列向量组12(I):,,,m ααα 线性无关，且m n <，则n 维列向量组12(II):,,,m βββ 线性无关的充要条件是【】 (A) 向量组(I)可由向量组(II)线性表示．(B) 向量组(II)可由向量组(I)线性表示．(C) 向量组(I)与向量组(II)等价． (D) 矩阵12[]m ααα 与12[]m βββ 等价． 6．设12,λλ是n 阶矩阵A 的两个特征值，12,p p 分别为它们对应的特征向量，且 120λλ=-≠，则【】 (A) 12+p p 是A 的特征向量． (B) 12-p p 是A 的特征向量． (C) 12+p p 是2A 的特征向量． (D) 12+p p 不是2A 的特征向量．三、（10分）计算4阶行列式1111234549162560403024A ．号：姓名：学院：年级：专业： ----------------------------------------------- 密－封－线 -----------------------------------------------------四、（10分）设100011110,101111110⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B，E是三阶单位矩阵，解矩阵方程+=++AXA BXB AXB BXA E．学号：姓名：学院：年级：专业：------------------------------------------------- 密－封－线 ------------------------------------------------------五、（10分）设n 阶实矩阵A 有n 个两两正交的特征向量，证明A 是对称矩阵．问,a b 为何值时，(1) β不能由123,,ααα线性表示；(2) β能由123,,ααα唯一线性表示，并求出其表达式；(3) β能由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一，并求出一般表达式．六、(10分) 设123120347110,,,011234b a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦αααβ．学号：姓名：学院：年级：专业：------------------------------------------------- 密－封－线 ------------------------------------------------------七、（12分）设3阶实对称矩阵A 的秩为2，126λλ==是A 的二重特征值，T 1(1,1,0)=α，T 2(2,1,1)=α都是对应于特征值6的特征向量． (1) 求A 的另一特征值及其对应的特征向量；(2) 求矩阵A ．八、（12分）设n阶矩阵A满足，且234A A E，证明+=(1) rank(4)rank()nA E A E；++-=(2) A可对角化；(3) 2+A E逆，并求其逆．。

线性代数A卷试卷+答案

线性代数A卷试卷+答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1《线性代数》期末考试题A 题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分） 1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A =（A ）A E ；（B ）A ；（C ）n A A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭；（B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关；（B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

线性代数试卷及答案(最新整理)

4．下列不是 n 维向量组1,2 ,...,s 线性无关的充分必要条件是（ A ） ( A) 存在一组不全为零的数 k1, k2 ,..., ks 使得 k11 k22 ... kss O ；
第1页共6页
(B) 不存在一组不全为零的数 k1, k2 ,..., ks 使得 k11 k22 ... kss O
解.――――（6 分）
(3) 当 p 2时, 此时方程组有无穷多组解.
方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1 2
2 1
1 1
1 1
0 0
3 3
3 3
33
0 0
1 0
1 0
1 0
1 0 1 1
0 0
1 0
1 0
01 （8分）
故原方程组与下列方程组同解:
( A) 充分非必要条件；
(B) 必要非充分条件；
(C) 既非充分又非必要条件；
(D) 充分必要条件；
二．填空题（每小题 3 分，共 18 分）
0004
0043
1．计算行列式
。
0432
432 1
1 0 0 1 2 3 1 0 0
2.
0 1 0 4 5 6 0 0 1 _______________________。
5 5
4 5 15
2 3
T 1,2,3
25 5
2 5 15
1 3
0
5 3
2 3
3
则T
是一个正交矩阵，且 T
1 AT
3
。――――（14
分）
6
七．证明：(1) 因为 ( A AT )T AT ( AT )T A AT , 因此 A AT

线性代数试题及答案

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

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高等数学（上）期中考试试卷1（答卷时间为120分钟）一.选择题（每小题4分）1.以下条件中（）不是函数)(x f 在0x 处连续的充分条件.（A ）)(lim )(lim 00000x f x f x x x x −→+→= （B ）)()(lim 00x f x f x x =→ （C ）)(0x f ′存在（D ）)(x f 在0x 可微2.以下条件中（）是函数)(x f 在0x 处有导数的必要且充分条件.（A ）)(x f 在0x 处连续（B ）)(x f 在0x 处可微分（C ）xx x f x x f x ∆∆∆∆)()(lim 000−−+→存在（D ）)(lim 0x f x x ′→存在 3.1=x 是函数xx x f πsin 1)(−=的（）间断点. （A ）可去（B ）跳跃（C ）无穷（D ）振荡4.设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续并在开区间),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(>′x f ，那么必有（）.（A ）在],[b a 上0)(>x f（B ）在],[b a 上)(x f 单调增加（C ）在],[b a 上)(x f 单调减少（D ）在],[b a 上)(x f 是凸的5.设函数 x x x x f sin )23()(2+−=，则方程0)(=′x f 在),0(π内根的个数为（）.（A）0个（B）至多1个（C） 2个（D）至少3个二.求下列极限（每题5分） 1.ax ax b x sin )1(ln lim 0+→（0>a ）. 2.xd cx x b ax x cos sin lim ++∞→（0≠c ）. 3.xe x a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−∞→1lim （0≠a ）. 4.10sin lim x x x x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛→. 三.求下列函数的导数（每题6分） 1.)ln(tan cos 2tan ln x x x y −⎟⎠⎞⎜⎝⎛=,求y ′. 2.设)(x F 是可导的单调函数，满足0)(≠′x F ，0)0(=F .方程)()()(y F x F xy F +=确定了隐函数)(x y y =，求0=x dx dy . 3.设)(x y y =是参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2确定的函数，求22dx y d . 4.设函数⎩⎨⎧≤>+=00)ln()(x ax e x x f x （0>a ），问a 取何值时)0(f ′存在？. 四.（8分）证明：当0>x 时有e x x e ≥，且仅当e x =时成立等式.五.（8分）假定足球门宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角？六.（10分）设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在区间),(b a 内有二阶导数.如果)()(b f a f =且存在),(b a c ∈使得)()(a f c f >，证明在),(b a 内至少有一点ξ，使得0)(<′′ξf .七.（10分）已知函数)(x f y =为一指数函数与一幂函数之积，满足：（1）0)(lim =+∞→x f x ，+∞=−∞→)(lim x f x ；（2）)(x f y =在),(+∞−∞内的图形只有一条水平切线与一个拐点. 试写出)(x f 的表达式.高等数学（上）期中考试试卷2（答卷时间为120分钟）一.填空题（每小题4分）1.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠−=00)sin 1()(1x ax x x f x 在0=x 连续，则=a . 2.0=x 是函数11)(1+=x e x f 的间断点.（可去.跳跃.无穷.振荡） 3.若1)(0=′x f ，则=−−→εεε2)()3(lim000x f x f . 4.函数x x x x f sin )23()(2+−=在),0(π内的驻点的个数为（）.（A）0个（B）至多1个（C） 2个（D）至少3个5.设0>a ，若e dx c bx ax x =++++∞→2lim，则a 与d 的关系是 .二.计算题（每题6分） 1.求⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+→x x x 1)1ln(1lim 0.2.求()21cos lim x x x →3.)ln(tan cos 2tanln x x x y −⎟⎠⎞⎜⎝⎛=,求y ′.4.设)(x y y =是参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==te y te x ttsin cos 确定的函数，求22dx y d 5.求∫+dx x x x 4sin 1cos sin .6.求∫−12x x dx三.（8分）证明：当20π<<x 时有x x x 2tan sin >+.四.（8分）设函数)(x f 有二阶导数，且0)0(=f ，又满足方程x x f x f =+′)()(，证明)0(f 是极值，并说出它是极大值还是极小值？五.（8分）设a 和b 是任意两个满足1=ab 的正数，试求nmb a +的最小值（其中常数0`>n m ）六.（10分）设函数)(x f 在区间]1,0[上可导，且1)(0<<x f ，证明)1,0(∈∃ξ，使得ξξ=)(f ；又若1)(≠′x f （)1,0(∈x ），证明这样的ξ是唯一的.七.（10分）（1）设∞=1)(n n a 是单调增加的正数列，在什么条件下，存在极限n n a ∞→lim ？（2）对上述数列∞=1)(n n a ，令()n n nn n n aa a x 121+++="，试用夹逼准则证明n n n n a x ∞→∞→=lim lim .高等数学（上）期末考试试卷1（答卷时间为120分钟）一.填空题（每题4分）1.函数)(x f 在],[b a 上有界是)(x f 在],[b a 上可积的条件，函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的条件.2.函数xy tan 11+=的间断点为x = ，它是间断点.3.当0→x 时，把以下的无穷小：（A ）()1,01≠>−a a a x；（B ）x x sin −；（C ）x 4cos 1−；（D ）)1ln(x + 按x 的低阶至高阶重新排列是，，， .（以字母表示）4.⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+++∞→n n n n n n πππ)1(sin 2sin sin 1lim"=dx ∫1= .5.设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，且0)(10=∫dx x f ，则存在)1,0(0∈x ，使0)1()(00=−+x f x f .证法如下：令dt t f dt t f x F xx∫∫−+=110)()()(，]1,0[∈x ，则)(x F 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内，且=)0(F ，=)1(F ，故根据微分学中的定理知，)1,0(0∈x 使得0)1()()(000=−+=′x f x f x F ，证毕.二.计算题（每题6分） 1.若210)1(lim e x xc x =+−→，求c 的值.2.设)(x y y =是由方程)sin(xy y e y=+确定的隐函数，求y ′.3.求极限())1ln(1lim622x dtex t x +−∫→.4.求∫dx xx ln5.求∫−+224)cos (sin ππdx x x x .6.求∫∞+−2241x xdx三.（8分）设∫−=xt dt ex f 12)(，求∫1)(dx x f四.（8分）设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，且1)(<x f ，证明方程1)(20=−∫xdt t f x 在开区间)1,0(内有且仅有一个根.五.（8分）求由抛物线x y 22=与直线21=x 所围成的图形绕直线1−=y 旋转而成的立体的体积.六.（8分）设半圆形材料的方程为22x R y −=，其线密度为y k −=ρ，)(R k >求该材料的质量.七.（12分）在一高为4的椭圆底柱形容器内储存某种液体，并将容器水平放置，如果椭圆方程为1422=+y x （单位：m ），问：（1）液面在)11(≤≤−y y 时，容器内液体的体积V 与y 的函数关系是什么？（2）如果容器内储满了液体后以每分钟0.16m 3的速度将液体从容器顶端抽出，当液面在0=y 时，液面下降的速度是每分钟多少m ？（3）如果液体的比重为1（3m N ），抽完全部液体需作多少功？高等数学（上）期末考试试卷2（答卷时间为120分钟）一.填空题（每小题4分）1.极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在0x 处连续的条件；导数)(0x f ′存在是函数)(x f 在0x 处连续的条件. ——填入适当的字母即可：（A）充分（B)必要（C)充分且必要（D）既不充分也不必要2.若1)0(=′f ，则=−−→hh f h f )()2(lim0ε .3.设)1()13)(12)(1()(−−−−=nx x x x x x f "，则)(x f ′′在)1,0(内有个零点.4.设)(x f 是]1,1[−上连续的偶函数，则=+∫−x d x xf ππ)](sin 1[ .5.平面过点)1,1,1(−，)2,2,2(−−和)2,1,1(−，则该平面的法向量为 . 二.基本题（每小题7分）（须有计算步骤）1.求极限xdtt x x cos 1)1ln(lim20−+∫→.2.求定积分∫42tan πxdx x .3.设)(x y y =是方程0102=−−+∫x dt e e yt y确定的隐函数，证明)(x y y =是单调增加函数并求0=′x y .4.求反常积分∫−10231du uu .三.（10分）设a 和b 是任意两个满足1=+b a 的正数，试求nmb a ⋅的最大值（其中常数0`>n m ）四.（10分）一酒杯的容器部分是由曲线3x y =（20≤≤x ，单位：cm）绕y 轴旋转而成，若把满杯的饮料吸入杯口上方2cm 的嘴中，要做多少功？（饮料的密度为1g/cm 3）五.（10分）教材中有一例叙述了用定积分换元法可得等式∫∫=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf . 如果将上式左端的积分上限换成π)12(−k （Z k ∈），则将有怎样的结果？进一步设)(x f 是周期为T 的连续的偶函数，∫kTdx x xf 0)(将有怎样相应的表达式？六.（10分）设动点),,(z y x M 到xOy 面的距离与其到定点)1,1,1(−的距离相等，M 的轨迹为Σ.若L 是Σ和柱面22y z =的交线在xOy 面上的投影曲线，求L 上对应于21≤≤x 的一段弧的长度.七.（12分）设)(0x f 是),0[∞+上的连续的单调增加函数，函数xdtt f x f x∫=01)()(.（1）如何补充定义)(1x f 在0=x 的值，使得补充定义后的函数（仍记为)(1x f ）在),0[∞+上连续？（2）证明)()(01x f x f <（0>x ）且)(1x f 也是),0[∞+上的连续的单调增加函数；（3）若xdtt f x f x∫=12)()(，xdt t f x f x∫=23)()(，…，xdt t f x f xn n∫−=1)()(，则对任意的0>x ，极限)(lim x f n n ∞→存在.高等数学（下）期中考试试卷1（答卷时间为120分钟）一.填空题（每小题6分） 1.有关多元函数的各性质：（A ）连续；（B ）可微分；（C ）可偏导；（D ）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号“X ⇒Y ”表示由X 可推得Y ，则（）⇒（）⇒⎩⎨⎧)()(. 2.函数),(y x f 22y xy x +−=在点)1,1(处的梯度为，该点处各方向导数中的最大值是 .3.设函数),(y x F 可微，则柱面0),(=y x F 在点),,(z y x 处的法向为，平面曲线⎩⎨⎧==0),(z y x F 在点),(y x 处的切向量为 . 4.设函数),(y x f 连续，则二次积分=∫∫1sin 2),(xdy y x f dx ππ .(A) ∫∫+ππy dx y x f dy arcsin 10),(； (B) ∫∫−ππy dx y x f dy arcsin 1),(；(C)∫∫+ydx y x f dy arcsin 1),(ππ；(D) ∫∫−ydx y x f dyarcsin 10),(ππ.二.（6分）试就方程0),,(=z y x F 可确定有连续偏导的函数),(x z y y =，正确叙述隐函数存在定理. 三.计算题（每小题8分）1.设),(y x z z =是由方程0),(=−−z y z x f 所确定的隐函数，其中),(v u f 具有连续的偏导数且0≠∂∂+∂∂v f u f ，求yzx z ∂∂+∂∂的值. 2.设二元函数),(v u f 有连续的偏导数，且1)0,1()0,1(==v u f f . 又函数),(y x u u =与),(y x v v =由方程组⎩⎨⎧−=+=bvau y bv au x （022≠+b a ）确定，求复合函数)],(),,([y x v y x u f z =的偏导数),(),(a a y x xz =∂∂，),(),(a a y x yz =∂∂.3.已知曲面221y x z −−=上的点P 处的切平面平行于平面122=++z y x ，求点P 处的切平面方程.4计算二重积分：∫∫Dd yxσsin，其中D 是以直线x y =，2=y 和曲线3x y =为边界的曲边三角形区域.5.求曲线积分∫−++Ldy y x dx y x )()(2222，L 为曲线|1|1x y −−=沿x 从0增大到2的方向.五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为R 高为h 的球冠的面积与整个球面面积之比为R h 2:.六.（10分）设线材L 的形状为锥面曲线，其方程为：t t x cos =，t t y sin =，t z =（π20≤≤t ），其线密度z z y x =),,(ρ，试求L 的质量.七.（10分）求密度为µ的均匀柱体122≤+y x ，10≤≤z ，对位于点)2,0,0(M 的单位质点的引力.高等数学（下）期中考试试卷2（答卷时间为120分钟）一.简答题（每小题8分）1.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=−=tz t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点⎟⎠⎞⎜⎝⎛1,3,2π处的切线方程. 2.方程1ln =+−xzey z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：设椭球面1222222=++cz b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面之间的最小距离.4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若1)1,1(−=y f ，求)1,1(x f .二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求yx u∂∂∂2.三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dxdy . 四.（8分）求曲线⎩⎨⎧=−−=01,02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分）∫∫D ydxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤−+−y x 上的最大值和最小值.七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z −−=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线1000222=+y x 上的点.（1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；（2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标.八.（14分）设曲面Σ是双曲线2422=−y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面Π与平面0=++z y x 平行.（1）写出曲面Σ的方程并求出点M 的坐标；（2）若Ω是Σ.Π和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.高等数学（下）期末考试试卷1（答卷时间为120分钟）一.简答题（每小题5分，要求：简洁.明确）1.函数22x y z −=在点)1,1(处沿什么方向有最大的增长率，该增长率为多少？2.设函数1ln )1(),,(−++=xzey z z y x F ，为什么方程0),,(=z y x F 在点)0,1,1(M 的某个邻域内可以确定一个可微的二元函数),(y x z z =？3.曲线32,1,1tz t y t x =+=−=在点)1,2,0(P 处的切线方程是什么？4.设平面区域,)0,0(1:2222>>≤+b a b y a x D 积分∫∫++Ddxdy c by ax )(53是多少？ 5.级数∑∞=+0212n n nx n 的收敛域是什么？ 6.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤−−≤≤+=−0,1,0,1)(x e x e x f x x ππ的傅里叶系数为),3,2,1(,,0"=n b a a n n ，问级数∑∞=+122n n a a 的和是多少？二.计算积分 1.（8分）∫∫−=ππππy dx xx dy I sin 22.（8分）∫−++=Ldy x y dx y x I )()(，L 为上半椭圆)0(12222≥=+y b y a x 取逆时针方向.三.（12分）设Σ是由曲线⎩⎨⎧==0,2x y z )20(≤≤z 绕z 轴旋转而成的曲面.（1）写出Σ的方程和Σ取外侧（即朝着z 轴负方向的一侧）的单位法向量；（2）对（1）中的定向曲面Σ，求积分∫∫++−=Σzdxdy y dzdx y I )18()1(42.四.（10分）求微分方程222)1(y x xy y x +=′+的通解五.（10分）把函数)0(2)(ππ≤≤−=x x x f 展成正弦级数.六.应用题1.（10分）求曲面1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a 在第一卦限的切平面，使该切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为最小，并写出该四面体的体积.2.（12分）设Ω是由曲面22ln y x z +=与平面1,0==z z 所围成的立体. 求：（1）Ω的体积V ；（2）Ω的表面积A .高等数学（下）期末考试试卷2（答卷时间为120分钟）一.填空题（每小题4分） 1.函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂与yz ∂∂在区域D 内连续是),(y x f z =在D 内可微的条件.（充分，必要，充要）2.函数),(y x f z =在点),(00y x 处沿}cos ,{cos βα=l G的方向导数可以用公式 βαcos ),(cos ),(0000y x f y x f lfy x +=∂∂来计算的充分条件为),(y x f z =在点),(00y x 处 .（连续，偏导数存在，可微分）3.若三阶常系数齐次线性微分方程有解xe y −=1.xxe y −=2.x e y =3，则该微分方程为 .4.周期为2的函数)(x f 在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤≤−<<5.01115.0x x x ，则它的傅里叶级数在5.3−=x 处的和为 .5.幂级数∑∞=2ln n nn x 的收敛域是 .二.（8分）设函数),(v u f 有二阶连续的偏导数，且1)0,0(=u f ，1)0,0(−=v f . 函数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y x xy f z ,，求)1,0(),(2=∂∂∂y x y x z .三.（8分）求抛物面22y x z +=到平面01=+++z y x 的最近距离.四.计算下列积分：（每题8分） 1.∫∫Dxd e σ2，其中D 为三直线0=y .x y =与1=x 所围成的平面区域. 2.∫∫++Σzxdxdy yzdzdx xydydz ，其中Σ是平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的四面体的边界面的外侧.3.∫Γdz xyz ，其中Γ是曲线⎩⎨⎧=++=−10222z y x z y ，从z 轴正向看去，沿逆时针方向.五.级数1.（8分）设n a 是等差数列，公差0≠d ，n n a a a s +++="21.问：级数∑∞=−−11)1(n n n s 是绝对收敛还是条件收敛或是发散的？说明理由.2.（12分）求幂级数nn n x n 21112)1(∑∞=−−−的收敛域与和函数)(x s .六.微分方程1.（8分）求微分方程x x y y x ln =+′的通解.2.（12分）设函数)(x f 有二阶连续的导数且0)0(=f ，1)0(=′f .如果积分∫+′+−Ldy y x f dx y x f x])([)]([23与L 的路径无关，求)(x f .41。

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