【解析版】广东省江门、佛山市2013年高考数学二模试卷(理科)

2013年广东省江门、佛山市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
B．
±
求解．
，
∴
4．（5分）（2013•江门二模）为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（）
5．（5分）（2013•江门二模）函数f（x）=sin，x∈[﹣1，1]，则（）
=sin
7．（5分）（2011•湖北）直线2x+y﹣10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有（）
8．（5分）（2013•江门二模）将边长为2的等边三角形PAB沿x轴滚动，某时刻P与坐标原点重合（如图），设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），关于函数y=f（x）的有下列说法：
①f（x）的值域为[0，2]；
②f（x）是周期函数；
③f（﹣1.9）＜f（π）＜f（2013）；
④．
其中正确的说法个数为（）
④表示函数
其值为×=+2，故④
二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分35分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）（2013•江门二模）命题“∃x0∈R，≤0”的否定是∀x∈R，＞0．
，
≤
＞
，
10．（5分）（2013•太原一模）已知向量，满足，（﹣）⊥，向量与的夹角为
．
•==0＜即可求得向量与
==0××
=
再由＜，可得＜＞，
．
11．（5分）（2013•江门二模）（1+2x）n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n等于8．
（•
，
．
=44
=2×
12．（5分）（2013•江门二模）已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2），且圆心C在直线y=x上，则圆C 的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．
=
r=
13．（5分）（2013•江门二模）将集合{2s+2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第i行第j列的数记为b ij（i≥j＞0），则b65=80．
14．（5分）（2013•江门二模）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线C1：ρ=2sinθ与C2：ρ=2cosθ的交点分别为A、B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1．
15．（5分）（2013•江门二模）（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=9，直线CE与圆O相切于点C，
AD⊥CE于D，若AD=1，设∠ABC=θ，则sinθ=．
，∴
∴．
故答案为．
16．（12分）（2013•江门二模）在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，已知A（﹣1，3）．
（1）若OA⊥OB，求tanα的值．
（2）若B点横坐标为，求S△AOB．
，其中
，），从而得到向量、
AOB=AOB=||=1、||=
，
∴•=0
=；
点横坐标为
，可得=
的坐标为（，
|=
AOB==
AOB==
||||sin AOB=××．
17．（12分）（2013•江门二模）市民李生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲
地赶去乙地上班．假设道路A、B、D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C、E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．
（1）求李生小孩按时到校的概率；
（2）李生是否有七成把握能够按时上班？
（3）设ξ表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求ξ的均值．
）的结论可得：甲到丙没有遇到拥堵的概率是
；先求出：甲到乙遇到拥堵的概率，由对立事件的概率即可得到甲到乙没有遇到拥堵的概率，利
和．
因此从甲到丙遇到拥堵的概率是
）甲到丙没有遇到拥堵的概率是，
丙到甲没有遇到拥堵的概率也是
甲到乙遇到拥堵的概率是
甲到乙没有遇到拥堵的概率是
，，=
P
18．（14分）（2013•江门二模）如图甲，设正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在AB、CD上，并且满足AE=2EB，CF=2FD，如图乙，将直角梯形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置，使点A1在平面EBCF 上的射影G恰好在BC上．
（1）证明：A1E∥平面CD1F；
（2）求平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角的余弦值．
AG=
，得
，
中，=
，
，，
∴是平面
，∴．
∴=
．
19．（14分）（2013•江门二模）在平面直角坐标系内，动圆C过定点F（1，0），且与定直线x=﹣1相切．（1）求动圆圆心C的轨迹C2的方程；
（2）中心在O的椭圆C1的一个焦点为F，直线l过点M（4，0）．若坐标原点O关于直线l的对称点P 在曲线C2上，且直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长取得最小值时的椭圆方程．
且．将
，由此即可得到椭圆
中点为（，
∴，即，解之得
（﹣×
的方程为
≥
长轴长的最小值为，此时椭圆的方程为
20．（14分）（2013•江门二模）某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染．为减少对环境的影响，环保部门迅速反应，
及时向污染河道投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度f（x）与时间x（小时）的关系可近似地表示
为：f（x）=，只有当污染河道水中碱的浓度不低于时，才能对污染
产生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？
（2）第一次投放1单位固体碱后，当污染河道水中的碱浓度减少到时，马上再投放1个单位的固体碱，
设第二次投放后水中碱浓度为g（x），求g（x）的函数式及水中碱浓度的最大值．（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加）
或
）﹣]=
﹣=；
=
=
=；
当且仅当x=1+3
，
，
x=1+3时，水中碱浓度的最大值为
1+3水中碱浓度的达到最大值为
21．（14分）（2013•江门二模）设函数，记f0（x）的导函数f'0（x）=f1（x），f1（x）
的导函数f'1（x）=f2（x），f2（x）的导函数f'2（x）=f3（x），…，f n﹣1（x）的导函数f'n﹣1（x）=f n（x），n=1，2，…．
（1）求f3（0）；
（2）用n表示f n（0）；
（3）设S n=f2（0）+f3（0）+…+f n+1（0），是否存在n∈N*使S n最大？证明你的结论．
）由函数
代入即得：
（﹣）
（﹣x e，
x e
x x e
，即
，即
﹣）
（﹣）
）
，）
））。