数字信号处理第7章 FIR滤波器设计
数字信号处理实验七FIR滤波器设计
学生实验报告
开课学院及实验室： 电子楼3172018年 05月27日
滤波器的设计问题在于寻求一系统函数想频率响应
，其对应的单位脉冲响应
设计思想：从时域从发，设计
逼近理想
的单位脉冲响应为
，最直接的方法是截断
，
其频率响应为：
其幅度响应为：
，式中：
数字低通滤波器，截止频率带衰减dB
，阻带最小衰减
确定期望滤波器的单位脉冲响应
④对一段频率在滤波器通带范围内的正弦波进行滤波，滤波结果存在延时，延时与所选的窗函数长度有关，用布莱克曼窗的滤波结果明显比另外两种的滤波结果延时明显。
大致可以看出，延时为1>/2。
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
数字信号处理第七章1FIR数字滤波器的设计方法
2020/6/14
课件
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故H ()对 0, ，2呈奇对称
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4）h(n)奇对称，N为偶数
幅度函数：
H
(
)
N 1
h(n) sin
n0
N 1 2
n
N 1
2 n0
2h(n)
sin
N 1 2
n
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N 1
H ()
2 n0
2h(n) sin
N 1 2
n
令 N n m 2
h(n) h(N 1 n) 0 n N 1
n = (N – 1) /2 为h(n)的奇对称中心 N 1
2
0 / 2
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2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点
由 h(n) h(N 1 n) 0 n N 1
系统函数：
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h(N 1 n)zn
1
1 ri
z
1
1
ri
1 ri
z 1
z 2
" " i 负实轴上
" " i 0 正实轴上
N 3 N 1 1
2
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4） zi rie ji ri 1 i 0或
即零点既在实轴上，又在单位圆上 零点： 1
Hi (z) (1 z1)
" " i z 1 " " i 0 z 1 N 2 N 1 1
1
2ri
cosi z1
ri2 z2 ri2
第七章FIR滤波器的设计方法
第七章FIR滤波器的设计方法7.1引言数字滤波器是数字信号处理中的重要组成部分，其中FIR（有限冲激响应）滤波器是一种常见的数字滤波器。
FIR滤波器具有线性相位、稳定性和易于设计的特点，在各种应用领域如音频处理、图像处理和通信系统等都得到广泛应用。
本章将介绍FIR滤波器的设计方法。
首先，将介绍FIR滤波器的基本原理和结构，然后介绍常见的FIR滤波器设计方法，包括窗函数法、最小二乘法和频率采样法。
7.2FIR滤波器的原理和结构FIR滤波器是一种线性时不变系统，其输出信号是输入信号与滤波器的冲激响应之间的卷积运算结果。
FIR滤波器的冲激响应是有限长度的，因此称为有限冲激响应滤波器。
FIR滤波器的结构包括延迟单元和加权系数。
延迟单元用于存储输入信号的历史样本，而加权系数用于乘以相应的延迟单元样本。
滤波器的输出是延迟单元样本与加权系数的乘积之和。
7.3.1窗函数法窗函数法是一种常见的FIR滤波器设计方法。
其基本思想是通过窗函数将理想滤波器的频域特性调整到所需的频率响应特性。
常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗等。
具体的设计步骤包括选择窗函数、确定滤波器的阶数和剪切频率，并计算出相应的加权系数。
7.3.2最小二乘法最小二乘法是一种优化设计FIR滤波器的方法。
其基本思想是通过最小化实际输出与期望输出之间的均方误差来确定滤波器的加权系数。
常见的最小二乘法设计算法有布莱克曼算法和逆频域法等。
具体的设计步骤包括选择目标响应和误差函数，然后使用最小二乘法求解滤波器的加权系数。
7.3.3频率采样法频率采样法是一种常见的FIR滤波器设计方法。
其基本思想是在频域上对所需的频率响应进行采样，并计算出相应的加权系数。
常见的频率采样法设计算法有均匀频率采样法和非均匀频率采样法等。
具体的设计步骤包括选择目标响应和采样频率，然后使用插值法计算滤波器的加权系数。
7.4总结本章介绍了FIR滤波器的设计方法，包括窗函数法、最小二乘法和频率采样法。
数字信号处理第七章有限单位冲激响应FIR数字滤波器的设计方法(共95张PPT)
线性相位分析
H (z)z (N 2 1 )N n 0 1h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
H (ej)e e j j(( N )2 1) N n 0 1 h( n) c o s(n (N 2 1 ) ) (1) H ()
m 0
即 H (z) z (N 1 )H (z 1 )
H (z) z (N 1 )H (z 1 )
所以有： h (z) 1H (z) z (N 1 )H (z 1 ) 2
1N 1h (n )z nz (N 1 )zn 2n 0
z (N 2 1 )N n 0 1 h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
m1
(N 1)/2a(n)con s)(
n0
其中: a ( 0 ) h (N 1 ),a ( n ) 2 h ( n N 1 ),( n 1 )
2
2
由于con s对 0,,2
是偶对称的。
因此，H()对0,,2
为偶对称。
线性相位滤波器的幅度特点
2、h(n)偶对称，N为偶数
对（1）式与如上合并项，注意到由于N为偶数， h(N 1) 项即为0，则
四种线性相位滤波器
偶对称单位冲激响应
h (n ) ＝h (N－ 1－n )
相位响应
( ) N 1 2
情
况
( )
1
o
－ N( － 1)
N为 奇 数 h (n )
0 a (n )
N－ 1 n
0
N 1
n
2
( N 1) / 2
H ( ) a (n) cos n
n0
数字信号处理第三版第七章
对称，是满足式（7.1.9）的一组解，
因为cos［ω(n－τ)］关于n=τ偶对称，所以要求τ和h(n)满
足如下条件：
()
,
N1
2
2
h(n)h(N1n), 0≤ n≤ N1
（7.1.10）
2． 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波
因为cos［ω(n-τ)］关于ω=0, π, 2π三点偶对称，所以由 式（7.1.11）可以看出，Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称。 因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤 波器。
情况2： h(n)=h(N－n－1), N为偶数。
仿照情况1的推导方法得到:
H ( e j ) H g () e j = N 1 h ( n ) e j n e j M 2 h ( n )c o s (( n ) )
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介 7.7 滤波器分析设计工具FDATool
用情况3的推导过程可以得到:
M
Hg() 2h(n)sin[(n)] n0
（7.1.13）
N是偶数，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，当ω=0, 2π时，
sin［ω(n－τ)］=0；当ω=π时，sin［ω(n－τ)］=(－1)n－ N/2, 为峰值点。而且sin ［ω(n－τ)］关于过零点ω=0和
如何减少吉布斯效应的影响，设计一个满足要求的FIR滤波器呢？ 直观上，增加矩形窗口的宽度（即加大N）可以减少吉布斯效应 的影响。N 时， 在主瓣附近， WRg(ω)近似为：
第七章FIR滤波器设计
幅度函数为
( N 1) / 2
H ()
c(k) sin(k)
k 1
（7.17）
相位函数为
() (N 1)
2
2
（7.18）
Ⅲ型线性相位滤波器的幅度函数和相位函数的特点：
幅度函数的特点：
（1）当 0, , 2 时，H( ) =0，也就是说H(z) 在z 1处都为
零点 ；
（2）H() 对 0, , 2 均呈奇对称。
点；
（2）H() 在 0, 2处呈奇对称，在 处呈偶对称
相位函数的特点：同Ⅲ型线性相位滤波器。
7.1.3 零点位置
对于I型或Ⅱ型线性相位滤波器，h(n) h(N 1 n)
意味着 H (z) z(N 1)H (z1) 对于Ⅲ型或Ⅳ型线性相位滤波器，h(n) h(N 1 n)
意味着 H (z) z(N 1)H (z1) 在上述两种情况下，如果H (z)在 z z0处等于零，则在 z 1/ z0 处也一定等于零。所以 H (z)的零点呈倒数对出现。 另外，若 h(n)是实值的，则复零点呈共轭倒数对出现，或者说 是共轭镜像的。
1．I型线性相位滤波器
由于偶对称性，一个I型线性相位滤波器的频率响应可表示为
其中
( N 1) / 2
H (e j ) e j( N 1) / 2
a(k) cos(k)
n0
a(k) 2h( N 1 k) 2
k 1, 2,..., N 1 2
（7.10）
a(0) h( N 1) 2
幅度函数为 相位函数为
2
（7.5）式，该滤波器具有第一类线性相位。
FIR滤波器具有式（7.4）的线性相位的充分必要条件是：
单位抽样响应 h(n)关于群延时 奇对称，即满足
数字信号处理第七章 FIR数字滤波器设计
窗函数的几个参数:
旁瓣瓣的峰最值大值n相—对窗主函瓣数最的大幅值频的函衰数减W（g (dB)）的；最大旁
过渡带宽度B—用该窗函数设计的FIRDF的过渡带宽
度；
阻带最小衰减s—用该窗函数设计的FIRDF的阻带
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④ h(n)奇对称，N为偶数
• 相位特性:
• 频率特性:
N 3 2
Hg () 2hnsin n n0
• Hg()在=0，2 处为零，即H(z)在 z=1处有零点； • Hg() 在=0，2 奇对称，在=处偶对称。
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（3）线性相位FIRDF的零点分布特点
N 1
将 h(n) h(N 1 n) 代入式 H (z) h(n)zn 得到：
①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； ②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量 集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提 高阻带衰减和通带平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣 宽度来换取对旁瓣的抑制。
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回到本节 7.2.3 典型窗函数介绍
1．矩形窗（Rectangle Window）
N 1
H e j Hg e j h(n)e jn n0
N 1 2
[h(n)e jn h(N n 1)e j(N n1) ] n0
j N 1 N / 21
j (n N 1)
j (n N 1)
e 2 [h(n)e
2 h(n)e 2 ]
n0
N / 21
e j 2h(n) cos(n ) n0
1
e
j
] N 1 2
数字信号处理讲义第7章滤波器的设计方法
第７章滤波器的设计方法教学目的1．掌握由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．了解常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；3．掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。
教学重点与难点重点：本章是本课程的重中之重，滤波器的设计是核心内容之一。
1．连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；3．掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。
难点：1.冲激响应不变法，双线性变换法2.用窗函数法设计FIR滤波器FIR滤波器的逼近原理与设计方法基本概念7.0.1 选频滤波器的分类数字滤波器是数字信号处理的重要基础。
在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。
数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。
它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。
因此，数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。
我们已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为∑∞-)(y))()()(n(nn=m*=xmhnhx将上式两边经过傅里叶变换，可得式中，Y (e j ω)、X (e j ω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数， H (ejω)是系统的频率响应函数。
可以看出，输入序列的频谱X (e j ω)经过滤波后，变为X (e j ω)H (e j ω)。
如果|H (e j ω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。
因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H (ej ω)，使得滤波后的X (e j ω)H (e j ω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。
和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。
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旁瓣幅度最小
凯泽（Kaiser）窗
2 2n I 0 1 1 N 1 w(n ) I0 ( )
0 n N 1
I 0 () ：第一类变形零阶
贝塞尔函数
改变 可同时调整主瓣 宽度和旁瓣幅度
N 1 16 2
5）确定FIR滤波器的h(n)
h(n) hd (n) w(n)
sin 0.3 n 16 0.54 0.46cos n R ( n ) 33 n 16 16
6）求 H (e j )，验证 若不满足，则改变N 或窗形状重新设计
（升余弦窗）
1 2 n w( n ) 1 cos RN ( n ) 2 N 1
幅度函数： N 1
2 2 W ( ) 0.5WR ( ) 0.25 WR WR N N 8 主瓣宽度宽： 旁瓣幅度小 N
1/ 2 p st c 2 0.3 c s fs
1 hd (n) 2
e
j
e
j n
1 d 2
c
e j ( n ) d
c
1 sin[c (n )] n (n ) c n
H
N 1 2
d
( )e
j
N 1 2
WR ( )e
j
N 1 ( ) 2
d
e
j
1 2
H
d
( )WR ( )d
1 其幅度函数：H 2
H
d
( )WR ( )d
幅度函数：H ( ) 1 2
例：设计一个线性相位FIR低通滤波器， 给定抽样频率为 s 2 1.5 104 (rad /sec)， 3 通带截止频率为 p 2 1.5 10 (rad / sec)，
st 2 3 103 (rad / sec)， 阻带起始频率为
阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示
旁瓣幅度
但主瓣宽度
窗谱性能指标
窗函数
旁瓣峰值 /dB
加窗后滤波器性能指标
主瓣宽度 过渡带宽 阻带最小衰减 / 2 / N / 2 / N /dB
矩形窗 三角形窗 汉宁窗 海明窗 布拉克曼窗 凯泽窗 7.865
-13 -25 -31 -41 -57 -57
2 WR N
旁瓣幅度更小
布莱克曼（Blackman）窗
（二阶升余弦窗）
2 n 4 n w(n ) 0.42 0.5cos 0.08cos RN ( n ) N 1 N 1
幅度函数： N 1
第七章 FIR数字滤波器的设计方法 -----窗函数设计法
一、窗函数设计法
1、设计方法
H (e j ) h(n)e jn H d (e j )
n 0 N 1
1 hd ( n ) 2
H d e j e j n d
h(n) w(n)hd (n)
加窗处理后对频率响应的影响：
时域乘积相当于频域卷积
1 H (e ) 2
j
h(n) hd (n) w(n)
H d e j W e
j
d
sin
而矩形窗的频率响应：
WR (e ) w(n)e
j n 0
N 1
j n
e
sin
j
N 1 2
海明（Hamming）窗
（改进的升余弦窗）
2 n w( n ) 0.54 0.46cos RN ( n ) N 1
2 W ( ) 0.54WR ( ) 0.23 WR N
8 主瓣宽度宽： N
幅度函数： N 1
根据阻带衰减选择窗函数 w(n)
根据过渡带宽度确定N值 N A /
求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应
h(n) hd (n) w(n)
H (e j ) ，验算指标是否满足要求 计算频率响应
H d ) 2
窗谱： W (e j ) W e
幅度函数：
N 1 0n 2 N 1 n N 1 2
j N 1 2
N sin 2 4 N 1 W ( ) N sin 2 8 主瓣宽度宽： 旁瓣幅度较小 N
2
汉宁（Hanning）窗
随 ，H ( )绕零值波动 随 ，H ( )绕H (0)波动
加窗函数的影响：
不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩
峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。
2 在 c 处出现肩峰值，两侧形成起伏振 N 荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少
改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主
7、线性相位FIR带阻滤波器的设计
理想带阻的频响： e j H d (e j ) 0
0 1 , 2 其它 N 1 2
其单位抽样响应：
1 1 2 j ( n ) j ( n ) hd (n ) e d e d e j ( n ) d 1 2 2
N
2 2
sin
N
2 2
其幅度函数： WR ( )
sin
理想滤波器的频率响应：
H d (e j ) H d ( )e
j
N 1 2
1 c 其幅度函数：H d ( ) 0 c
则FIR滤波器的频率响应：
1 H (e ) 2
j
5、线性相位FIR高通滤波器的设计
理想高通的频响：
N 1 e j c j H d (e ) 2 其它 0 其单位抽样响应： 1 c j ( n ) hd (n ) e d e j ( n ) d c 2
c sin[c (n )] e d c ( n )
j n
中心点为 α 的偶对称无限长非因果序列
取矩形窗： w(n) RN (n)
c sin[ c (n )] hd (n ) c (n )
则FIR滤波器的单位抽样响应： hd (n) 0 n N 1 h(n) hd (n) w(n) 其它n 0 N 1 按第一类线性相位条件，得 2 N 1 sin c n 2 c 0 n N 1 h n N 1 c n 2 0 其它n
N 1 2
3）选择窗函数：由 2 50dB 确定海明窗（-53dB）
2 n w( n ) 0.54 0.46cos RN ( n ) N 1
6.6 4）确定N 值 海明窗带宽： N st p 2 0.2 s A 6.6 N 33 0.2
2 4 4 4 6
0.9 2.1 3.1 3.3 5.5 5
-21 -25 -44 -53 -74 -80
阻带最小衰减只由窗形状决定
过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关
3、窗函数法的设计步骤
给定理想的频率响应函数 H d (e )
j
及技术指标 2 ,
求出理想的单位抽样响应 hd (n)
1 ( n ) sin n sin c n 1 ( c )
n n
高通滤波器(c )=全通滤波器 低通滤波器(c )
6、线性相位FIR带通滤波器的设计
理想带通的频响： e j H d (e j ) 0 其单位抽样响应：
H d e j e j n d
IFFT法： 对 H d (e j ) M点等间隔抽样：H d ( e 计算其IFFT，得： hM (n)
r d
j 2 k M
)
h (n rM )
当M N时, hd (n) hM (n)
4、线性相位FIR低通滤波器的设计
H
d
( )WR ( )d
0
H (0)近似于WR ( )的全部积分面积
H (c ) 0.5H (0)
2 H c N 2 H c N 为最大值，正肩峰 为最小值，负肩峰
c
2 c N 2 c N 2 c N 2 c N
瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状 决定，称为Gibbs效应 N N sin sin 2 N 2 N sin x 幅度函数： R ( ) W x sin N 2 2
2、各种窗函数
窗函数的要求：
– 窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带 – 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度 以减小肩峰和波纹
解：1）求数字频率
p p / f s 2 p / s 0.2
st st / f s 2st / s 0.4
2 50dB
2）求hd(n)
e j H d (e j ) 0
c c c , c
矩形窗
w(n) RN (n)
窗谱：
WR (e j ) w( n )e j n WR e
n 0 N 1 j N 1 2
幅度函数：