A Linear Matrix Inequality Approach to Output
鲁棒控制理论综述
[3]R.E.Kalman.When is a linear control system optimal?[J].Transaction ASME,Ser.D,1964,86:51-60.
2、未来拓展方向
线性系统的鲁棒控制理论已经基本形成，然而，对于非线性系统由于问题本身的复杂性以及数学建模的困难性，其研究还需要不断加以完善，当然现在就有大量学者在这个领域从事研究，比如2012年西班牙学者Saleh S.Delshad等人就利用LMI优化方法针对非线性不确定时滞系统做了关于 观测器设计方面的研究[12]。但是关于非线性系统的鲁棒控制问题还有待进一步深入探讨。我们充分利用现有各种方法的特点，有机的结合其中几种方法较之孤立的研究某一方法要有效的多，几种方法结合会为非线性鲁棒控制的研究开辟新的方向。
参考文献：
[1]Cruz.J B,PerkinsW R.A new approach to the sensitivity problem in multivariable feedback system design[J].IEEE Transaction on Automatic Control.1964,AC-9(3):216-223.
三、发展历程
鲁棒控制系统设计思想最早可以追溯到1927年Black针对具有摄动的精确系统的大增益反馈设计。由于当时不知道反馈增益和控制系统稳定性之间的确切关系，所以设计出来的控制系统往往是动态不稳定的。早期的鲁棒研究主要集中在Bode图，1932年Nyquist提出了基于Nyquist曲线的频域稳定性判据，使得反馈增益和控制系统稳定性之间的关系明朗化。1945年Bode讨论了单输入单输出（SISO）反馈系统的鲁棒性，提出了利用幅值和相位稳定裕度来得到系统能容许的不确定范围。这些方法主要用于单输入单输出系统而且这些关于鲁棒控制的早期研究主要局限于系统的不确定性是微小的参数摄动情形，尚属灵敏度分析的范畴，从数学上说是无穷小分析思想，并且只是停留在理论上。20世纪六七十年代，鲁棒控制只是将SISO系统的灵敏度分析结果向MIMIO进行了初步的推广[1]，与此同时，状态空间理论引入控制论后，系统控制取得了很大的发展，鲁棒问题也显得更加重要，其中就要提到两篇对现代鲁棒控制理论的建立有重要影响的文章：一篇是Zames在1963年关于小增益定理的论文[2]，另一篇是1964年Kalman关于单入单输出系统LQ调节器稳定裕量分析的研究报告[3]。鲁棒控制这一术语第一次在论文中出现是在1971年Davion的论文[4]，而首先将鲁棒控制写进论文标题的是Pearson等人于1974年发表的论文[5]。当然，鲁棒控制能够被推广到现代控制理论研究的前沿，与这一时期有关的Nyquist判据在多变量系统中的推广、有理函数矩阵分解理论以及Youla参数化方法等基础理论的进展是密切相关的。
基于变尺度寻优混合求解算法的航空发动机状态变量模型建立方法
基于变尺度寻优混合求解算法的航空发动机状态变量模型建立方法杨征山;仇小杰;王铁;黄金泉【摘要】为了克服小扰动方法精度不高、稳态终值响应法动态过程不一致以及传统拟合法的随着维数增加精度下降和拟合时间长等缺点,综合了3种算法(小扰动法、稳态终值响应法和传统拟合法)的优点,设计了基于变尺度法的混合求解方法建立了航空发动机状态变量线性模型.仿真结果表明:建立的航空发动机状态变量线性模型与非线性部件级模型在动态过程响应中吻合良好,而且具有较高的稳态精度,能够保证航空发动机最终稳定值的一致性.【期刊名称】《航空发动机》【年(卷),期】2014(040)002【总页数】6页(P70-75)【关键词】航空发动机;状态变量模型;变尺度寻优;混合求解法【作者】杨征山;仇小杰;王铁;黄金泉【作者单位】中航工业航空动力控制系统研究所,江苏无锡214063;南京航空航天大学能源与动力学院,南京210016;中航工业航空动力控制系统研究所,江苏无锡214063;总参陆航部驻上海地区军事代表室,上海200233;南京航空航天大学能源与动力学院,南京210016【正文语种】中文【中图分类】V233.70 引言随着航空发动机技术的发展，对发动机控制技术的研究提出了更高、更复杂的要求。
在控制技术领域，包括综合飞行和推进控制、机载自适应模型、降低裕度的逻辑、先进多变量控制技术等方面[1-5]，开展了一系列研究。
先进控制算法的研究基础，即如何建立精确的航空发动机状态变量模型成为研究热点[6-9]。
目前求取航空发动机状态变量模型的算法主要包括小扰动法、稳态终值响应法和拟合方法[10-14]。
其中，小扰动方法最简单，且易于计算，但结果精度不高；稳态终值响应法在处理线性模型和非线性模型的终值一致问题上效果较好，但不能保证动态过程的一致性；运用拟合法求取的结果精度较高，但需要理想的初猜值，否则会出现拟合过程发散的情况，同时精度随着矩阵维数的增加而降低，耗时也随之增加。
有关lmi的引理
有关lmi的引理LMI（Linear Matrix Inequality）是一种重要的数学工具，在控制理论、优化问题和系统辨识等领域都有广泛的应用。
本文将介绍与LMI相关的几个重要引理，以帮助读者更好地理解和应用LMI。
一、Schur补引理Schur补引理是LMI理论中的一个基本引理，它在LMI问题的化简和求解中起到了重要的作用。
Schur补引理的基本思想是将LMI问题转化为一个更简单的形式，从而更方便地进行求解。
Schur补引理可以用于将一个大的矩阵不等式分解为几个小的矩阵不等式。
通过引入一个辅助矩阵，可以将原始的大矩阵不等式转化为一个关于辅助矩阵的小矩阵不等式。
这样，原始的LMI问题就可以通过求解小矩阵不等式来得到解。
二、Lyapunov引理Lyapunov引理是LMI理论中的另一个重要引理，它与稳定性分析和控制设计密切相关。
Lyapunov引理提供了一种用LMI表示稳定性的方法，通过构造一个Lyapunov函数和一个LMI条件，可以判断一个系统的稳定性。
Lyapunov引理的基本思想是通过构造一个满足一定条件的二次型函数（即Lyapunov函数），来刻画系统的稳定性。
通过对Lyapunov函数进行LMI条件的约束，可以得到系统稳定性的充分条件。
如果存在满足LMI条件的Lyapunov函数，那么系统就是稳定的。
三、S-procedure引理S-procedure引理是LMI理论中的一种重要的判定工具，它常用于判定一组不等式是否同时成立。
通过引入松弛变量和LMI条件，S-procedure引理可以将多个不等式约束转化为一个LMI问题，从而更方便地进行求解。
S-procedure引理的基本思想是将一组不等式约束转化为一个等式约束加一个LMI条件的形式。
通过引入一个松弛变量，将不等式约束转化为等式约束，并使用LMI条件来保证等式约束的成立。
这样，原始的多个不等式约束就可以通过求解一个LMI问题来判定是否同时成立。
基于事件触发的电力系统H_(∞)优化控制
基于事件触发的电力系统H ∞优化控制陈华昊，施寅跃，龙瑞华，吉 亮，居一峰(海南电网有限责任公司海口供电局，海南 海口 570100)摘要：针对大规模集中用电导致电力系统负荷端激增从而影响电力系统稳定性的问题，提出一种基于事件触发的H ∞优化控制方式。
本文采用扇区法对单机无穷大电力系统进行线性化处理，之后通过模糊逻辑建立电力系统的T -S 模糊模型。
通过事件触发理论和模糊逻辑利用并行分布补偿(parallel distribution compensation ，PDC)的方法设计系统控制器。
H ∞优化控制相比于传统的控制方法提高了系统的稳定性及抗干扰能力，因此本文根据李雅普诺夫稳定性理论和H ∞优化控制理论，基于线性矩阵不等式(linear Matrix Inequality ，LMI)，给出了保证单机无穷大电力系统闭环渐进稳定的充分条件，并采用MATLAB 仿真软件对系统进行仿真，从而证明稳定条件的存在。
关键词：单机无穷大电力系统； H ∞优化控制；T -S 模糊模型；事件触发理论；线性矩阵不等式中图分类号：TP273；TM712 文献标志码：A 文章编号：1671-9913(2021)04-74-07H ∞ Optimal Control of Power System Based on Event-TriggeredCHEN Hua-hao, SHI Yin-yue, LONG Rui-hua, JI Liang, JU Yi-feng(Haikou Power Supply Bureau of Hainan Power Grid Co., Ltd., Haikou 570100, China)Abstract: Based on event-triggered an H ∞ optimal control method is proposed to solve the problem that power system stability is affected by this situation that large-scale centralized power consumption cause a surge in the load side of the power system. In this paper, the sector method is used to linearize the single machine infinite power system. The T-S fuzzy model of power system is established by fuzzy logic. Through event-triggered theory and fuzzy logic, the system controller is designed by parallel distributed compensation ( PDC ). Compared with traditional control methods, H ∞ optimal control improves the stability and anti-interference ability of the system. According to Lyapunov stability theory and H ∞ optimal control theory, based on linear matrix inequality ( LMI ), sufficient conditions are given to ensure the closed-loop asymptotic stability of a single machine infinite power system. Finally, MA TLAB simulation software is used to simulate the system, thus proving the existence of stable conditions.Keywords: single machine infinite power system; H ∞optimal control; T-S fuzzy control; event-triggered theory; linearmatrix inequalities* 收稿日期：2019-05-09第一作者简介：陈华昊(1993-)，男，硕士，工程师，主要从事电力系统稳定分析和电力系统智能技术工作。
离散线性多时滞系统稳定的充分必要条件
N
x[k +=1] A1x[k ] + ∑ Ai x[k − di ] 。
(1)
i=2
其中， Ai 是方阵， di ≥ 0 为非负整数，N 为正整数。对 N > 2 情形的强稳定性研究，鲜少有文献报道，可 能的原因之一是，多时滞问题本身巨大的复杂性，另一原因可能是采用 K-L 泛函，在处理问题的过程中
性检验是失效的。近年来出现了研究系统强稳定的充分必要条件[5] [6] [8]，这一类研究结果避免了检验
失效的问题，但计算复杂度是系统矩阵规模的平方，这在系统规模较大时实际计算不可行。
对式(1)进行傅立叶(Fourie)变换，得到系统稳定的充分必要条件为：
∑ =∆
det
e
jω I
−
A1
−
N i=2
N
考虑到 ∑ A1 + Aie− jθi 是关于 θi 的周期函数(周期为 2π )，为方便后文描述，将上述分析概括为下列引
i=2
理 1：
引理 1 系统(1)强稳定的充分必要条件为：
∑ [ ] ρ
A1
+
N i=2
Ai e− jθi
< 1,∀θi
∈
−π, π
。
(3)
N
N
当 Ai 为实矩阵时，式(3)的验证区间可缩短 θi ∈[0, π] (因为 A1 + ∑ Aie− jθi 与 A1 + ∑ Aie jθi 具有相同的特
对于含有连续参数的二次型，为了判断二次型的符号，根据连续函数的性质，可以求得二次型关于
参数的驻点，如果所有驻点处的二次型函数值均小于零，则可以断定参数矩阵是稳定的。
引理 3 设 A 具有线性无关的特征向量，λ= i ( A) ri= e jϕi ,i 1, 2,, n1 ，是矩阵 A 的非零特征值，n1 为非
matlab lmi工具箱使用实例
MATLAB（Matrix Laboratory）是一款广泛应用于科学计算和工程领域的专业软件，其功能强大、灵活性高，并且具有丰富的工具箱支持。
LMI（Linear Matrix Inequality）工具箱是MATLAB中的一种工具箱，用于解决线性矩阵不等式相关的问题。
本文将介绍LMI工具箱的基本使用方法，并结合具体实例进行详细讲解。
一、LMI工具箱的安装1.确保已经安装了MATLAB软件，并且软件版本是R2015b及以上版本。
只有在这些版本中，LMI工具箱才会被自动安装。
2.在MATLAB的命令行中输入“ver”，可以查看当前安装的工具箱列表，确认LMI工具箱是否已经成功安装。
二、LMI工具箱的基本功能1. LMI工具箱主要用于解决线性矩阵不等式问题，例如矩阵的稳定性分析、最优控制问题等。
2. LMI工具箱提供了一系列的函数和工具，能够方便地构建和求解线性矩阵不等式问题，同时也包括了一些经典的稳定性分析方法和控制器设计方法。
三、LMI工具箱的基本使用方法1. 定义变量：在使用LMI工具箱时，首先需要定义相关的变量。
可以使用“sdpvar”函数来定义实数变量，使用“sdpvar”函数和“size”函数可以定义矩阵变量。
2. 构建约束：在定义变量之后，需要构建线性矩阵不等式的约束条件。
可以使用“sdpvar”变量的线性组合来构建约束条件，使用“>=”来表示大于等于关系。
3. 求解问题：构建好约束条件之后，即可使用“optimize”函数来求解线性矩阵不等式问题。
在求解问题时，可以指定优化的目标函数和一些额外的约束条件。
四、LMI工具箱的实例应用下面我们通过一个具体的实例来演示LMI工具箱的使用方法。
假设有一个线性时不变系统，其状态方程可以表示为：$\dot{x} = Ax + Bu$其中，A和B分别为系统的状态矩阵和输入矩阵。
我们希望设计一个状态反馈控制器K，使得系统在闭环下能够保持稳定。
Dissipative Dynamical Systems
Dissipative systems provide a strong link biiween physics, system theory, and control engineering. Dissipativity is first explained in the classical setting oJ inputlstateloutput systems. In the context of linear systems with quadratic supply rates, the construction of (t storage leads to a linear matrix inequality ( LMI). It is in this context that LMI's first emerged in the field. Next, we phrase dissipativity in the setting of behavioralsystems,and present the constructionof two canonical storages, the available storqge and the required supply. This leads to a new notion of dissipativity, purely in terms of boundednessof the free supply that can be extracted from a system. The storage is then introduced as a latent variable associatedwith the supply rate as the manifest variable. The equivalenceof dissipativity with the existence of a non-negativestorage is proven. Finally, we deal with supply rates that are given as quadratic dffirential forms and state severalresults that relate the existence of a (non-negative) storage to the two-variable polynomial matrix that defines the quadratic dffirential form. In the ECC presentation, we mainly discuss distributed dissipative systems described by constqnt coefficient linear PDE's. In this setting, the constructionof storagefunctions leads to Hilbert's l7th problem on the representation of non-negative polynomials as a sum of squares. supply rate; storage; Keywords: Dissipativity; dissipation inequality; LMI; quadratic differential forms
LMI(线性矩阵不等式)工具箱介绍学习
LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。
在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。
对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）： feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。
mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
gevp：解决广义特征值最小化问题。
例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制条件下。
要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。
对于以下类型的任意的LMI问题N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。
左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。
左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。
每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。
解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。
2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)<B(x)，那么X就叫做矩阵变量。
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Introduction
Fractional calculus was initiated more than 300 years ago but theories of fractional calculus have only been studied and developed as a pure theoretical field of mathematics. Recently, numerous literatures have reported that many dynamical systems can be effectively represented by fractional-order differential equations (e.g., see Ref. [1–3]) and fractional-order difference equations (e.g., see Ref. [4–6]). Consequently, a large number of works have been devoted to fractional-order chaotic systems (e.g., see Ref. [7–10]) and control of fractional-order systems (e.g., see Ref. [11–13]). Chaos control and synchronization have become important topics in nonlinear science and engineering. They have been extensively studied in the past decades (e.g., see Ref. [14–18]) since the idea of controlling integer-order chaotic systems was first introduced by Ott et al. [19]. Moreover, since Hartley et al. [20] showed that there are chaotic solutions in fractional-order equations, chaos control and synchronization of fractional-order chaotic systems have received a lot of considerations by researchers [21–30]. In Ref. [21], linear control of fractional-order Liu systems was introduced. The control design is based on fractionalorder Routh–Hurwitz criteria, which yields local stability of the control system. Sliding mode controller design for robust stabilization of fractional-order chaotic systems with unknown perturbations using one control input was proposed in Ref. [22]. The design is based on the Lyapunov stability theorem. In Ref. [23], a robust chattering-free sliding mode controller for stabilization of fractional-order chaotic systems in spite of system uncertainties was presented. The chattering is avoided by transferring the sign function in the control input into the fractional derivative of the control input. In Ref. [24], robust stabilization of fractional-order chaotic systems with linear controllers was presented. The chaotic systems are transformed into linear interval systems, and a sufficient stabilizability is derived in terms of LMI. Takagi–Sugeno fuzzy control for a class of fractional-order chaotic systems with
Suwat Kuntanapreeda1
Department of Mechanical and Aerospace Engineering, Faculty of Engineering, King Mongkut’s University of Technology North Bangkok, Bangkok 10800, Thailand e-mails: suwat@kmutnb.ac.th; suwatkd@
uncertain parameters was studied in Ref. [25]. A sufficient stability condition is presented as a set of LMIs. In Ref. [26], tensor product model transformation-based controller design for control of a class of the fractional-order chaotic systems was presented. An LMI-based stabilization condition is derived by using a stabilization theorem of fractional-order interval systems. In Ref. [27], suppressing chaos for fractional-order chaotic systems based on adaptive feedback control was presented. The control design utilizes some essential properties of fractional calculus and Barbalat’s Lyapunov-like stability theorem. Control of a class of piecewise continuous chaotic systems of the fractional order was investigated in Ref. [28]. The control design is based on the active control method. Chaos synchronization of two identical and nonidentical fractional orders of a chaotic system was studied in Ref. [29]. The synchronization is achieved by using active control. In Ref. [30], master–slave synchronization for fractional-order difference equations was investigated. A nonlinear coupling method to design the synchronization is proposed. Several theoretical results related to the stability of fractionalorder differential systems have been recently introduced [31–36]. In Refs. [31,32], Li et al. introduced a fractional-order extension of the Lyapunov direct method with introduction of Mittag–Leffler stability and generalized Mittag–Leffler stability notations. This extension is considered as one of the most powerful methods for stability analysis of fractional-order nonlinear systems. However, use of this method still has some difficulties since the standard Leibniz rule is not valid for fractional derivatives [33]. Recently, a new lemma for the Caputo fractional derivative of quadratic functions has been presented in Refs. [34,35]. The lemma makes use of the fractional-order extension of the Lyapunov direct method much easy. In Ref. [36], global stability of some nonlinear fractional dynamical systems was studied. It was shown that the stability or asymptotic stability of some integerorder systems indicates the asymptotic stability of their fractionalorder counterpart with a positive fractional order less than one. Regarding the stability of the fractional-order difference systems, some recent stability results can be found in Ref. [37–39]. This paper proposes an LMI approach for control of fractionalorder unified chaotic systems. LMI is considered as one of the most efficient tools in controller design. It has been illustrated to be an effective tool for designing controllers of integer- and SEPTEMBER 2016, Vol. 11 / 051021-1