[原创]2021年 《南方新中考》 数学 第二部分 专题五 函数与图象[配套课件](精品课件在线)_
2021年《南方新课堂·高考总复习》数学(文科)训练：第二章函数、导数及其应用
其次章 函数、导数及其应用第1讲 函数与映射的概念1．(2021年重庆)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1] B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)2．(2022年江西)下列函数中，与函数y ＝31x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝x －12B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x1004．(2022年大纲)函数y ＝x ＋1(x ≥－1)的反函数为( ) A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1)5．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2022]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2021]B ．[0,1)∪(1,2021]C ．(1,2022]D ．[－1,1)∪(1,2021] 6．函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)7．已知映射f ：P (m ，n )→P ′(m ，n )(m ≥0，n ≥0)．设点A (1,3)，B (2,2)，点M 是线段AB 上一动点，f ：M →M ′.当点M 在线段AB 上从点A 开头运动到点B 结束时，点M 的对应点M ′所经过的路线长度为( )A.π12B.π6C. π4D. π38．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)．(1)若∀x 1∈[－1,2]，∃x 2∈[－1,2]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是________； (2)若∀x 1∈[－1,2]，∃x 2∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围是________．9．(1)求函数f (x )＝lg (x 2－2x )9－x 2的定义域；(2)已知函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．10．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)求x 的取值范围，使它同时满足f 1(x )＝1，f 2(x )＝3.第2讲 函数的表示法1．设f (x ＋2)＝2x ＋3，则f (x )＝( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋72．(2022年江西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，2x (x ≤0).若f (a )＝12，则实数a 的值为( )A ．－1或 2 B. 2C ．－1D ．1或 24．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x 5．如图X2-2-1(1)，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 动身，由B →C →D →A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f (x )．若函数y ＝f (x )的图象如图X2-2-1(2)，则△ABC 的面积为( )(1) (2) 图X2-2-1A ．10B ．32C ．18D ．166．(2021年山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1，若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34 D.127．(2021年福建)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π4＝______. 8．(2021年北京东城一模)对定义域内的任意x ，若有f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫1x 的函数，我们称为满足“翻负”变换的函数，下列函数①y ＝x －1x ；②y ＝log ax ＋1；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1中，满足“翻负”变换的函数是________．(写出全部满足条件的函数的序号)9．依据条件求下列各函数的解析式：(1)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式．10．定义：假如函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个“均值点”．如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．(1)推断函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间[0,9]上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是区间[－1,1]上的平均值函数，试确定实数m 的取值范围．第3讲 函数的奇偶性与周期性1．(2021年山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－22．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，则a ＋b ＝( )A ．0 B.13C ．1D ．－13．(2021年福建)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x4．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．35．(2021年湖北)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．周期函数6．(2021年大纲)设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝______. 7．(2021年安徽)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝______________.8．(2021年上海奉贤区一模)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上的解析式是____________．9．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0.(1)求实数m 的值，并在如图X2-3-1所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上是增函数，结合函数f (x )的图象，求实数a 的取值范围； (3)结合图象，求函数f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值．图X2-3-110．已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)试推断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2011,2011]上根的个数，并证明你的结论．第4讲函数的单调性与最值1．(2022年北京)下列函数中，定义域是R，且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|2．(2021年湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式f(x)－f(－x)x<0的解集为() A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)4．(2021年陕西)设f(x)＝x－sin x，则f(x)()A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数5．(2021年新课标Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)6．已知函数f(x)＝x3＋sin x，x∈(－1,1)，假如f(1－m)＋f(1－m2)＜0，则m的取值范围是________．7．(2021年浙江)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x≤1，x＋6x－6，x＞1，则f[f(－2)]＝________，f(x)的最小值是________．8．(2021年福建)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x＋6，x≤2，3＋log a x，x＞2(a＞0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．9．(2021年上海)已知函数f(x)＝ax2＋1x，其中a为实数．(1)依据a的不同取值，推断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若a∈(1,3)，推断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由．10．(2021年广东揭阳一模)已知函数f(x)＝13x3－(2k＋1)·x2＋3k(k＋2)x＋1，其中k为实数．(1)当k＝－1时，求函数f(x)在[0,6]上的最大值和最小值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数f(x)的导函数f′(x)在(0,6)上有唯一的零点，求k的取值范围．第5讲 指数式与指数函数1．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33 C ．1 D. 32．(2021年广东揭阳二模)函数y ＝1－2x 的定义域为( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)3．(2021年广东深圳一模)若函数y ＝a x ＋b 的部分图象如图X2-5-1，则( )图X2-5-1A ．0<a <1，－1<b <0B ．0<a <1,0<b <1C ．a >1，－1<b <0D ．a >1,0<b <1 4．下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x－2 D ．y ＝1－2x5．若函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过其次、三、四象限，则肯定有( ) A ．0<a <1，且b >1 B ．a >1，且b >0 C ．0<a <1，且b <0 D ．a >1，且b <06．(2022年山东)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)D.1x 2＋1>1y 2＋17．(2021年山东)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)8．(2022年新课标Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．9．当实数k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？10．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)求f (x )的定义域； (2)推断函数的奇偶性； (3)求f (x )的值域；(4)证明：f (x )在定义域上是增函数．第6讲 对数式与对数函数1．(2022年辽宁)已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a2．(2021年陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q3．已知A ＝{x |2≤x ≤π}，定义在A 上的函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的最大值比最小值大1，则底数a 的值为( )A.2πB.π2C ．π－2 D.π2或2π4．(2022年四川)已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式肯定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c5．(2021年天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a6．(2021年安徽)lg 52＋2lg2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________. 7．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是__________．8．(2021年上海)方程log 2(9x －1－5)＝log 2(3x －1－2)＋2的解为____________．9．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－log 2(1－x )． (1)求f (x )的定义域； (2)推断f (x )的奇偶性；(3)求使得不等式f (x )>0成立的x 的解集．10．已知函数f (x )＝ln kx －1x －1(k >0)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[10，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围．第7讲 一次函数、反比例函数及二次函数1．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]2．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为如图X2-7-1所示的四个图中的一个，则a ＝( )图X2-7-1A ．1 B.－1C.－1－52D.－1＋523．(2021年重庆)y ＝(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3 224．(2022年江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意的x ∈[m ，m ＋1]都有f (x )＜0，则实数m 的取值范围为________．5．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝____________.6．(2022年大纲)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________． 7．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．8．(2022年浙江)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值为______．9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数．10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图X2-7-2，请依据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．图X2-7-2第8讲 幂函数1．已知点⎝⎛⎭⎫33，39在幂函数y ＝f (x )的图象上，则f (x )的表达式是( )A ．f (x )＝3xB ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝x －2 D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x2．(2021年上海)函数f (x )＝x －12的大致图象是( )A B C D3．在同始终角坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )A BC D4．已知函数f (x )＝(m 2－m ＋1)·223m m x --是幂函数，且f (－x )＝f (x )，则实数m 的值为( ) A ．0或1 B ．1C ．0 D.1±725．(2021年山东)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a6．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且该函数为奇函数的全部α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,37．(2021年广东惠州一模)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 4f (2)＝( )A.14 B ．－14 C ．2 D ．－28．(2022年上海)若f (x )＝x 23－x 12，则满足f (x )<0的x 的取值范围是______．9．将下列各数从小到大排列起来：⎝⎛⎭⎫2313-，⎝⎛⎭⎫3512，323，⎝⎛⎭⎫2512，⎝⎛⎭⎫3223，⎝⎛⎭⎫560，(－2)3，⎝⎛⎭⎫5313-.10．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，求满足下列条件的m 的值： (1)f (x )为幂函数；(2)f (x )为幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数； (3)f (x )为正比例函数； (4)f (x )为反比例函数； (5)f (x )为二次函数．第9讲 函数的图象1．(2022年山东)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图X2-9-1，则下列结论成立的是( )图X2-9-1A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜12．函数y ＝ln xx的图象大致是( )A B C D3．(2022年福建)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图X2-9-2，则下列函数图象正确的是( )图X2-9-2A B C D4．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程y ＝f (x )与y ＝log 5x 的实数根的个数为( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．(2022年福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是__________．6．(2021年安徽)函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图X2-9-3，则下列结论成立的是( )图X2-9-3A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜07．(2021年福建)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)单调递增，则实数m 的最小值等于__________．8．已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π4对称，当x ≤－π4时，f (x )＝sin x ，假如关于x 的方程f (x )＝a 有解，记全部解的和为S ，则S 不行能为( )A ．－54πB ．－πC ．－34πD ．－π29．(1)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图X2-9-4，则y ＝－f (2－x )的图象为( )图X2-9-4A B C D(2)已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．10．(1)已知f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4，求m 为何值时， ①f (x )有且仅有1个零点？②f (x )有2个零点，且均比－1大？(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．第10讲 函数与方程1．(2021年安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin x D ．y ＝cos x2．(2021年北京东城一模)依据表格中的数据，可以断定函数f (x )＝ln x －3x的零点所在的区间是( )项目 1 2 e 3 5 ln x 0 0.69 1 1.10 1.61 3x3 1.5 1.10 1 0.6 A.(1,2) B ．(2，e) C ．(e,3) D ．(3,5)3．若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．(2021年广东广州华附一模)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－sin x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．(2021年天津)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b ) D ．f (b )<g (a )<06．(2022年湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的全部零点所构成的集合为______________．8．关于x 的一元二次方程5x 2－ax －1＝0有两个不同的实根，若其中一个根位于区间(－1,0)上，另一个根位于区间(1,2)上，则实数a 的取值范围为__________．9．已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x .(1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点，并用二分法求该函数取得极值时相应x 的近似值(误差不超过0.2，参考数据e ≈2.7，e ≈1.6，e 0.3≈1.3)；(2)当x ≥1时，若关于x 的不等式f (x )≥ax 恒成立，试求实数a 的取值范围．10．已知f (x )是二次函数，不等式f (x )＜0的解集是(0,5)，且f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线6x ＋y ＋1＝0平行．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在t ∈N ，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(t ，t ＋1)内有两个不相等的实数根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．第11讲 抽象函数1．下列四类函数中，有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( ) A ．幂函数 B ．对数函数 C ．指数函数 D ．余弦函数2．(由2021年广东惠州三模改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对于任意两个实数x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则不等式f (x ＋3)<0的解集为( )A ．(－∞，－3)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－4) 3．(2022年陕西)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 23D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 4．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2021)＝( )A ．2B ．－3C ．－12 D.135．给出下列三个等式：f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋y )＝f (x )f (y )，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )1－f (x )f (y ).下列函数中，不满足其中任何一个等式的是( )A ．f (x )＝3xB ．f (x )＝sin xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝tan x6．已知定义域为(－1,1)的奇函数y ＝f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)<0，则a 的取值范围是( ) A ．(3，10) B ．(2 2，3) C ．(2 2，4) D ．(－2,3)7．(2021年广东广州调研)已知函数f (x )＝x ＋sinπx －3，则f ⎝⎛⎭⎫12021＋f ⎝⎛⎭⎫22021＋f ⎝⎛⎭⎫32021＋…＋f ⎝⎛⎭⎫40292021的值为( )A ．4029B ．－4029C ．8058D ．－80588．函数f (x )在定义域R 上不是常函数，且f (x )满足条件：对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝ f (2－x )，f (1＋x )＝－f (x )，则f (x )( )A ．是奇函数但非偶函数B ．是偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数9．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)推断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.10．设f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a ，b ∈[－1,1]，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b>0.(1)若a >b ，比较f (a )与f (b )的大小；(2)解不等式f ⎝⎛⎭⎫x －12<f ⎝⎛⎭⎫x －14； (3)记P ＝{x |y ＝f (x －c )}，Q ＝{x |y ＝f (x －c 2)}，且P ∩Q ＝∅，求c 的取值范围．第12讲函数模型及其应用1．(2021年北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，图X2-12-1描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况. 下列叙述中正确的是()图X2-12-1A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油2．用长度为24的材料围一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为() A．3 B．4C．6 D．123．(2021年湖北武汉调研)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元4．(2022年北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足的函数关系为p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，图X2-12-2记录了三次试验的数据．依据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为()图X2-12-2A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟5．(2021年上海闸北一模)某商场在节日期间进行促销活动，规定：①若所购商品标价不超过200元，则不赐予优待；②若所购商品标价超过200元，但不超过500元，则超过200元的部分赐予9折优待；③若所购商品标价超过500元，其500元内(含500元)的部分按第②条规定赐予优待，超过500元的部分赐予8折优待．某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场的标价为()A．1600元B．1800元C．2000元D．2200元6．有一批材料可以建成200 m长的围墙，假如用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图X2-12-3)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．图X2-12-37．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费肯定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A．10 B．11C．13 D．218．(2021年广东汕头一模)某种上市股票在30天内每股的交易价格P(单位：元)、日交易量Q(单位：万股)与时间t(单位：天)的对应关系分别如下：有序数对(t，P)落在如图X2-12-4所示的折线上，日交易量Q与时间t的部分数据如下表：图X2-12-4第t天4101622Q/万股36302418(1)依据如图X2-12-4t所满足的函数关系式；(2)依据表中数据确定日交易量Q与时间t的一次函数关系式；(3)用y(单位：万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求这30天中第几天日交易额最大？最大值为多少？(注：各函数关系式都要写出定义域)9．(2021年上海)如图X2-12-5，O，P，Q三地有直道相通，OP＝3千米，PQ＝4千米，OQ＝5千米．现甲、乙两警员同时从O地动身匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米)．甲的路线是OQ，速度为5千米/时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/时．乙到达Q地后原地等待．设t＝t1时乙到达Q 地．(1)求t1与f(t1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤t2时，求f(t)的表达式，并推断f(t)在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．图X2-12-5第13讲 导数的意义及运算1．已知函数f (x )＝a 3＋sin x ，则f ′(x )＝( ) A ．3a 2＋cos x B ．a 3＋cos x C ．3a 2＋sin x D ．cos x2．已知函数f (x )＝2ln x ＋8x ，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx的值为( )A ．－10B ．－20C ．10D ．203．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－124．(2021年北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的状况．加油时间 加油量/升 加油时的累计里程/千米 2021年5月1日 12 35 000 2021年5月15日 48 35 600“累计里程”指汽车从出厂开头累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升5．(2022年江西)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．6．函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________. 7．物体的运动方程是s ＝－13t 3＋2t 2－5，则物体在t ＝3时的瞬时速度为________，加速度为________．8．如图X2-13-1，函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.图X2-13-19．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．10．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．第14讲导数在函数中的应用1．(2021年广东广州二模)已知函数y＝f(x)的图象如图X2-14-1，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是() 图X2-14-1A BC D2．(2021年安徽)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图X2-14-2，则下列结论成立的是()图X2-14-2A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜03．(2022年新课标Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)4．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()A．－2或2 B．－9或3C．－1或1 D．－3或15．(2022年湖南)若0<x1<x2<1，则()A．2e x－1e x>ln x2－ln x1B．2e x－1e x<ln x2－ln x1C．x21e x>x12e x D．x21e x<x12e x6．(2021年新课标Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)7．(2021年陕西)函数y＝x e x在其极值点处的切线方程为____________．8．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是____________．9．(2022年重庆)已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．10．(2021年广东广州一模)已知函数f(x)＝x－ax－2ln x，a∈R.(1)争辩函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2, 且x1＜x2, 求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，证明：f(x2)＜x2－1.第15讲 导数在生活中的优化问题举例1．从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )A ．12 cm 3B ．72 cm 3C ．144 cm 3D ．160 cm 32．若函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －a 恰好有两个不同的零点，则a 可能的值为( ) A ．4 B ．6 C ．7 D ．83．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件4．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( )A.33 cmB.10 33 cmC.16 33 cmD.20 33cm5．设0＜a ≤1，函数f (x )＝x ＋a 2x，g (x )＝x －ln x ，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．6．已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________．7．(2021年四川)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有______________(写出全部真命题的序号)． 8．(2021年安徽)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是__________(写出全部正确条件的编号)．①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b ＞2； ④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.9．(2021年重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，争辩g (x )的单调性．10．(2021年江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型大路，为进一步改善山区的交通现状，方案修建一条连接两条大路的山区边界的直线型大路，记两条相互垂直的大路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，方案修建的大路为l ，如图X2-15-1，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 1，l 2所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设大路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出大路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，大路l 的长度最短？求出最短长度．图X2-15-1专题一 函数与导数1．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 2．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )＞1，则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集是( ) A ．{x |x ＞0} B ．{x |x ＜0}C ．|x |x ＜－1或x ＞1|D ．{x |x ＜－1或0＜x ＜1}3．某厂生产某种产品x 件的总成本C (x )＝1200＋275x 3(单位：万元)，又知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为______元时总利润最大．( )A ．10B ．25C ．30D ．404．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，则a ＋b 的最小值是( )A.23B.32C ．2D ．3 5．已知f (x )＝x 3－3x ，并设：p ：∀c ∈R ，f (f (x ))＝c 至少有3个实根；q ：当c ∈(－2,2)时，方程f (f (x ))＝c 有9个实根；r ：当c ＝2时，方程f (f (x ))＝c 有5个实根，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨rB ．q ∧rC ．仅有rD ．p ∧q6．(2021年重庆)设函数f (x )＝3x 2＋axe x(a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在[3，＋∞]上为减函数，求a 的取值范围．7．(2021年广东肇庆一模)已知函数f (x )＝x 3－3x . (1)争辩f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个零点，求实数m 的取值范围； (3)设函数h (x )＝e x －e x ＋4n 2－2n (e 为自然对数的底数)，假如对任意的x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (x 1)≤h (x 2)恒成立，求实数n 的取值范围．8．已知函数f (x )＝ln x －a (x －1)，其中a ＞0.(1)若函数f (x )在(0，＋∞)上有极大值0，求a 的值；(2)争辩并求出函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值；(3)在(1)的条件下设h (x )＝f (x )＋x －1，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)(x 1≠x 2)，证明：不等式x 1－x 2h (x 1)－h (x 2)＜x 1＋x 22恒成立．其次章 函数、导数及其应用 第1讲 函数与映射的概念1．D 解析：由x 2＋2x －3＞0⇒(x ＋3)(x －1)＞0，解得x ＜－3，或x ＞1.故选D.2．D 解析：函数y ＝31x 的定义域为{x |x ≠0}，y ＝1sin x 的定义域为{x |sin x ≠0}＝{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln x x 的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin xx的定义域为{x |x ≠0}．故选D.3．D4．A 解析：由y ＝x ＋1⇒x ＋1＝y 2⇒x ＝y 2－1.而x ≥－1，故y ≥0互换x ，y 得到y ＝x 2－1(x ≥0)．故选A.5．B 解析：要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2022.解得0≤x ≤2021.故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2021]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2021，x －1≠0，解得0≤x ＜1，或1＜x ≤2021.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1,2021]．故选B.6．C 解析：∵4x >0，∴0≤16－4x <16.∴16－4x ∈[0,4)．7．B 解析：线段AB ：x ＋y ＝4，(1≤x ≤2)，f ：P (m ，n )→P ′(m ，n )(m ≥0，n ≥0)．设P ′(x ，y )，则P (x 2，y 2)．有x 2＋y 2＝4，(1≤x ≤2)，点M 的对应点M ′所经过的路线长度为如图D66所示的两段圆弧2×⎝⎛⎭⎫π3－π4＝π6.故选B.图D668．a ≥3 0＜a ≤12解析：(1)f (x )＝x 2－2x 在[－1,2]上的值域为[－1,3]，而g (x )＝ax ＋2(a ＞0)在[－1,2]上单调递增，则g (x )＝ax ＋2的值域为[2－a,2a ＋2]．由题意，得[－1,3]⊆[2－a,2a ＋2]，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤－1，2a ＋2≥3.解得a ≥3.(2)由题意，得[－a ＋2,2a ＋2]⊆[－1,3]，有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，a ≤12，a ＞0.故0＜a ≤12.9．解：(1)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x >0，9－x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >2，或x <0，－3<x <3.解得－3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数f (x )的定义域是(－3,0)∪(2,3)． (2)∵y ＝f (2x )的定义域是[－1,1]，即－1≤x ≤1. ∴12≤2x ≤2. ∴对于函数y ＝f (log 2x )，有12≤log 2x ≤2，即log 2 2≤log 2x ≤log 24.∴2≤x ≤4. 故函数f (log 2x )的定义域为[2，4]．10．解：(1)∵当x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎡⎦⎤74＝1，g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34. ∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛⎭⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4.∴716≤x <12.第2讲 函数的表示法1．B2．A 解析：f [f (－1)]＝f (2)＝a ×22＝4a ＝1，a ＝14.3．A 解析：当a >0时，log 2a ＝12，a ＝2；当a ≤0时，2a ＝12，a ＝－1.故选A.4．C 解析：将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等．对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )．故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )．故选C.5．D 解析：由y ＝f (x )的图象，得当x ＝4和x ＝9时，△ABP 的面积相等．∴BC ＝4，BC ＋CD ＝9，即CD ＝5.易知AD ＝14－9＝5.如图D67，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵∠B ＝90°，∴DE ＝BC ＝4.在Rt △AED 中，AE ＝AD 2－DE 2＝3.∴AB ＝AE ＋EB ＝3＋5＝8.∴S △ABC ＝12AB ×BC ＝12×8×4＝16.图D676．D 解析：由题意，f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，由f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫56＝4，得⎩⎨⎧52－b ＜1，3⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，或⎩⎨⎧52－b ≥1，252－b ＝4.解得b ＝12.故选D.7．－2 解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝－tan π4＝－1. ∴f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 8．①③ 解析：f (x )＝x －1x ，－f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －x ＝x －1x＝f (x )；f (x )＝log a x ＋1，－f ⎝⎛⎭⎫1x ＝ －⎝⎛⎭⎫log a 1x ＋1＝log a x －1≠f (x )；③明显满足． 9．解：(1) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，得f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ≠0，a ＋b ＝1.∴a ＝b ＝12.因此f (x )＝12x 2＋12x .(2)令t ＝1－x 1＋x ，由此，得x ＝1－t1＋t(t ≠－1)．∴f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t1＋t2. 从而f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)．(3)∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② ①×2－②，得3f (x )＝6x －3x.∴f (x )＝2x －1x (x ≠0)．10．解：(1)由定义知，关于x的方程－x 2＋4x ＝f (9)－f (0)9－0在(0,9)上有实数根时， 函数f (x )＝－x 2＋4x 是[0,9]上的平均值函数．而－x 2＋4x ＝f (9)－f (0)9－0，即x 2－4x －5＝0.解得x 1＝5或x 2＝－1.又x 1＝5∈(0,9)[x 2＝－1(0,9)．故舍去]，∴f (x )＝－x 2＋4x 是[0,9]上的平均值函数，5是它的均值点． (2)∵f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数， ∴关于x的方程－x 2＋mx ＋1＝f (1)－f (－1)1－(－1)在(－1,1)内有实数根．由－x 2＋mx ＋1＝f (1)－f (－1)1－(－1)，得x 2－mx ＋m －1＝0.解得x 1＝m －1或x 2＝1. 又x 2＝1(－1,1)，∴x 1＝m －1必为均值点，即－1<m －1<1. ∴所求实数m 的取值范围是0<m <2.第3讲 函数的奇偶性与周期性1．D 解析：f (－1)＝－f (1)＝－⎝⎛⎭⎫12＋11＝－2. 2．B 解析：由函数f (x )是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，得b ＝0，且a －1＝－2a ，即a ＝13.故a ＋b ＝13.3．D 解析：函数y ＝x 和y ＝e x 是非奇非偶函数； y ＝cos x 是偶函数；y ＝e x －e －x 是奇函数．故选D. 4．A 解析：∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴有f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1.∴当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1，∴f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.5．D 解析：f (x )＝x －[x ]，f (x ＋1)＝x ＋1－[x ＋1]＝x ＋1－[x ]－1＝x －[x ]＝f (x )，∴f (x )为周期函数． 6．－1 解析：由于f (x )的周期为2，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，所以f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1－2＝－1.7．－x (x ＋1)2 解析：当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，f (x )＝f (x ＋1)2＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]2＝－x (x ＋1)2.8．y ＝log 12(x －1) 解析：当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)，f (－x )＝log 12(1＋x )．又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(1＋x )，x ∈(－1,0)；当x ∈(1,2)时， x －2∈(－1,0)．又f (x )是定义在R 上以2为周期的函数，f (x )＝f (x －2)＝log 12(1＋x －2)＝log 12(x －1)．9．解：(1)当x <0时，－x >0， 则f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又函数f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x 2－2x )＝x 2＋2x .又当x <0时，f (x )＝x 2＋mx ，对任意x <0，总有x 2＋2x ＝x 2＋mx ，∴m ＝2. 函数f (x )的图象如图D68.图D68(2)由(1)知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋2x ，x <0.由图象知，函数f (x )在区间[－1,1]上是增函数． 要使f (x )在[－1，a －2]上是增函数，需有⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1.解得1<a ≤3.即实数a 的取值范围是(1,3]．(3)由图象知，函数f (x )的图象在区间[－2,2]上的最高点是(1，f (1))，最低点是(－1，f (－1))． 又f (1)＝－1＋2＝1，f (－1)＝1－2＝－1，∴函数f (x )在区间[－2,2]上的最大值是1，最小值是－1. 10．解：(1)若y ＝f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (2－(x ＋2))＝f (2＋(x ＋2))＝f (4＋x )＝f (x )， ∴f (7)＝f (3)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上， 只有f (1)＝f (3)＝0冲突；因此f (x )不是偶函数． 若y ＝f (x )为奇函数，则f (0)＝f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0冲突；因此f (x )不是奇函数．综上所述，函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)∵f (x )＝f (2＋(x －2))＝f (2－(x －2))＝f (4－x )， f (x )＝f (7＋(x －7))＝f (7－(x －7))＝f (14－x )， ∴f (14－x )＝f (4－x )，即f (10＋(4－x ))＝f (4－x )， ∴f (x ＋10)＝f (x )，即函数f (x )的周期为10. 又∵f (1)＝f (3)＝0，∴f (1)＝f (1＋10n )＝0(n ∈Z )， f (3)＝f (3＋10n )＝0(n ∈Z )，即x ＝1＋10n 和x ＝3＋10n (n ∈Z )均是方程f (x )＝0的根．由－2011≤1＋10n ≤2011及n ∈Z 可得n ＝0，±1，±2，±3，…，±201，共403个； 由－2011≤3＋10n ≤2011及n ∈Z 可得n ＝0，±1，±2，±3，…，±200，－201，共402个；∴方程f (x )＝0在闭区间[－2 011,2 011]上的根共有805个．第4讲 函数的单调性与最值1．B解析：y ＝e －x ＝⎝⎛⎭⎫1e x 在R 上单调递减；y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)；y ＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，当x <0时，函数单调递减；只有函数y ＝x 3的定义域是R ，且为增函数．2．A 解析：明显，f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，明显，f (x )在(0,1)上单调递增．故选A.3．D 解析：由f (x )－f (－x )x ＝2f (x )x＜0，得xf (x )＜0，结合图象可求解集为(－1,0)∪(0,1)．4．B 解析：由f (x )＝x －sin x ⇒f (－x )＝(－x )－sin(－x )＝－x ＋sin x ＝－(x －sin x )＝－f (x )，又f (x )的定义域为R 关于原点对称，所以f (x )是奇函数；由f ′(x )＝1－cos x ≥0⇒f (x )在R 上是增函数．故选B.5．D 解析：若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，即存在正数x 使x －a <12x ，a >x －12x 成立，即a >⎝⎛⎭⎫x －12x max .又x －12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以⎝⎛⎭⎫x －12x max ＝0－120＝－1.故a >－1.故选D. 6．(1，2) 解析：易知函数f (x )＝x 3＋sin x [x ∈(－1,1)]是奇函数又是增函数．由f (1－m )＋f (1－m 2)＜0，得f (1－m )＜－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，有⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－m ＜1，－1＜m 2－1＜1，1－m ＜m 2－1，解得1＜m ＜ 2.7．－12 2 6－6 解析：f (－2)＝(－2)2＝4，所以f [f (－2)]＝f (4)＝4＋64－6＝－12.当x ≤1时，f (x )≥0；当x ＞1时，f (x )≥2 6－6，当且仅当x ＝6x ，即x ＝6时取到＝.由于26－6＜0，所以函数的最小值为2 6－6.8．(1,2] 解析：当x ≤2，有－x ＋6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，只需f 1(x )＝3＋log a x (x ＞2)的值域包含于[4，＋∞)，故a ＞1，所以f 1(x )＞3＋log a 2，所以3＋log a 2≥4，解得1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围是(1,2]．9．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝1x，明显是奇函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝a －1，f (1)≠f (－1)且f (1)＋f (－1)≠0， 所以此时f (x )是非奇非偶函数． (2)设∀x 1＜x 2∈[1,2]，则f (x 1)－f (x 2)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2. 由于x 1＜x 2∈[1,2]，所以x 1－x 2＜0,2＜x 1＋x 2＜4,1＜x 1x 2＜4.所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，14＜1x 1x 2＜1.。
[原创]2021年 《南方新中考》 数学 第二部分 专题四 作图与证明[配套课件](精品课件在线)_
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当你好得不得了的时候不是要洋洋得意反而要非常小心。爱护珍惜善待你的人独守嫣然以静好度流。，至于绝美处则不免令人五内惊动鹰扬处又令人奋然思飞
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较复杂的作图 例3：(2015 年浙江杭州)如图 Z4-6，已知⊙O 的直径为 10， 点 C 是圆内一点，且 OC＝3. (1)请利用尺规作图，找出圆心 O； (2)经过点 C 的所有弦当中，长度为整数的有几条？长度分 别是多少？
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图 Z4-6垂径定理得出圆心的位置进而得出答案. (2)利用过圆内一点最长弦以及最短弦的性质求出其长度 进而得出答案. 解：(1)尺规作出两条弦中垂线，取交点， 如图 Z4-7 点 O 就是所求圆心；
图 Z4-7
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(2)过点 C 最长的弦是直径，长度为 10. ∵OC＝3，r＝5， ∴过点 C 最短的弦长是以 OC 为弦心距的弦，长度为 8. ∴过点 C 的弦长大于等于 8 小于等于 10. ∴过点 C 弦有 3 条，长度分别为 8,9,10. [解题技巧]不平行的两个弦的垂直平分线交点即为所求圆 的圆心，所以本题问题转化为作线段的垂直平分线.较为复杂的 作图一般是基本作图的灵活运用.
[原创]2021年 《南方新中考》 数学 第一部分 第五章 第2讲 图形的相似[配套课件]
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(1)当 t＝2 时，连接 DE，DF，求证：四边形 AEDF 为菱形；
(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，
当△PEF 的面积最大时，求线段 BP 的长；
(3)是否存在某一时刻 t，使△PEF 为直角三角形？若存在，
请求出此时刻 t 的值；若不存在，请说明理由.
注意：平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 所构成的三角形和原三角形相似
如果两个多边形不仅相似，而且对应
概念 顶点的连线相交于一点，这样的图形 叫做位似图形，这个点叫做位似中心
性质
位似图形上任意一对对应点到位似中 心的距离之比等于相似比
相似三角形的判定与性质 例 1：(2019 年广西百色)如图 5-2-5，已知 AC，AD 是⊙O 的两条割线，AC 与⊙O 交于 B，C 两点，AD 过圆心 O 且与⊙ O 交于 E，D 两点，OB 平分∠AOC.
()
A.4 个 答案：C
图 5-2-8
B.5 个
C.6 个
D.7 个
[解题技巧](1)相似的判定方法可类比全等三角形的判定方 法，找对应边(角)时应遵循一定的对应原则，如长(大)对长(大)， 短(小)对短(小)，或找相等的边(角)帮助确定；(2)利用相似三角 形的性质可以证明有关线段成比例、角相等，也可计算三角形 中边的长度或角的大小.关键要注意相似三角形的对应边的确 认及性质的综合运用，尤其是在运用相似图形的面积比等于相 似比的平方时，不要漏了“平方”.
＝2，四边形 3
BCFE
的面积为
21，则△ABC
的面积是(
)
A.931 答案：B
图 5-2-6
B.25
C.35
D.63
[原创]2021年 《南方新中考》 数学 第一部分 第五章 第1讲 图形的轴对称、平移与旋转[配套课
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4
1
2.(2015 年湖南长沙)下列图形中，是轴对称图形，但不是 中心对称图形的是( )
A.
B.C.D.Fra bibliotek答案：B
[名师点评]判断轴对称图形，关键看对称轴两旁的部分是
否能够完全重合；判断中心对称图形，关键看图形绕某一点旋
转 180°后是否与原图形完全重合.
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2
轴对称及应用 例 1：(2015 年山东营口)如图 5-1-1，点 P 是∠AOB 内任意 一点，OP＝5 cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的 动点，△PMN 周长的最小值是 5 cm，则∠AOB 的度数是( )
16岁的林洛施喜欢上了16岁的陆齐铭曾经说好一辈子21岁的他们却还是分开曾经以为天长地久的情事在青春里一发酵却成了兵荒马乱的少悲歌……《后来我们都哭了》 爱情是一百的孤独直到遇上那个矢志不渝的守护你的人那一刻所有苦涩的孤独都有了归途。 —— 村上春树 “岸是永远不消失的希望是永远的一种期待与守望；岸是我们最温暖的归宿又是我们残酷而冰冷的终点。其实大多数时候我们没资格优雅的活着。
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对爱情的专情不是你曾经拒绝过多少暧昧而是你是否能为爱人终生拒绝所有暧昧！ 我交朋友最看重的两种品质就是：1自己能解决的事绝不轻易麻烦别人2保持善意不在公共场合让别人难堪不缺朋友 更不需要乱七八糟的朋友 “曾经为了所谓的公平在他不秒回我的时候都会隔上几分钟再回后来才知道哪有所谓的公平我患得患失的时候你一如既往从一开始就是你掌了舵我拿什么要求你返航。” 《悬崖上的金鱼姬》情侣壁纸 “不管波妞她是鱼还是半人鱼还是人类都好我全都喜欢。，现实浮躁岁聒噪～ 长大后才知道“尽量不给别人添麻烦别人最好也别麻烦我
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[原创]2021年 《南方新中考》 数学 第二部分 专题三 突破解答题之2——函数与图象[配套课件]
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∵∠DCB＝∠DCH＋∠ECB＝2∠ABC， ∴∠DCH＝∠ABC. ∵∠DHC＝∠COB＝90°， ∴△DCH∽△CBO，
∴DCOH＝CBOH.
图 Z3-6
设点 D 的横坐标为 t，则 t，－34t2＋94t＋3. ∵C(0，3)，∴DH＝－34t2＋94t，
∵点 B 是 y＝－34x2＋94x＋3 与 x 轴的交点， ∴－34x2＋94x＋3＝0， 解得 x1＝4，x2＝－1， ∴B 的坐标为(4，0)，∴OB＝4， ∴－34t32＋94t＝4t ， 解得 t1＝0(舍去)，t2＝2，
图 Z3-1
解析：方法 1：由图象，得货车行驶的路程 y(km)与行驶时 间 x(h)的函数关系为 y＝78x(x≤2)和 y＝kx＋b(x＞2).
把(2，156)和(3，221)代入 y＝kx＋b， 可得32kk＋＋bb＝＝212516，， 解得bk＝＝6256，， ∴x>2 时的解析式为 y＝65x＋26(x＞2)， ∴2 小时后货车的速度是 65 km/h.
∴点 D 的纵坐标为－34t2＋94t＋3＝92， 则点 D 坐标为2，92. (3)设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b，
则b4＝k＋3b，＝0，
解得k＝－34， b＝3，
∴直线 BC 的解析式为 y＝－34x＋3. 设 Nm，－34m＋3，分两种情况：
①如图 Z3-7，以 DF 为边，N 在 x 轴的上方时，四边形
式中，列方程组解出即可；
(2)如图 Z3-6，作辅助线，构建相似三角形，证明△DCH∽ △CBO，则DCOH＝CBOH，设点 D 的横坐标为 t，则 Dt，－34t2＋94t＋3， 列关于 t 的方程解出可得结论；
(3)利用待定系数法求直线 BC 的解析式为 y＝－34x＋3，设 Nm，－34m＋3，当以 D，F，M，N 为顶点的四边形是平行四 边形时，存在两种情况：如图 Z3-7 和图 Z3-8，分别画图，根据 平移的性质可表示点 M 的坐标，代入抛物线的解析式列方程可 解答.
2021-2022年广东深圳中考数学试卷分类解析汇编-专项5函数的图像与性质
2021-2022年广东深圳中考数学试卷分类解析汇编-专项5函数的图像与性质专题5：函数的图象与性质一、选择题1.（深圳2002年3分）反比例函数y=)0k (xk>在第一象限内的图象如图，点M 是图象上一点，MP 垂直x 轴于点P ，假如△MOP 的面积为1，那么k 的值是【 】 A 、1 B 、2 C 、4 D 、21 【答案】B 。
【考点】反比例函数系数k 的几何意义。
【分析】依照双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系S=21|k|即可求得k 的值： ∵点M 是反比例函数y=)0k (xk >图象上一点，∴S △MOP = 21|k|=1。
又∵k ＞0，则k=2。
故选B 。
2.（深圳2003年5分）已知一元二次方程2x 2－3x －6=0有两个实数根x 1、x 2，直线l 通过点A （x 1＋x 2，0）、B （0，x 1x 2），则直线l 的解析式为【 】A 、y=2x －3B 、y=2x ＋3C 、y=－2x-3D 、y=－2x ＋3 【答案】A 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，待定系数法求一次函数解析式。
【分析】依照一元二次方程根与系数的关系，求出A ，B 的坐标，代入直线的解析式，求出k ，b 的值，从而确定直线的解析式：由题意知，x 1+x 2=32，x 1•x 2=－3，∴A （32，0），B （0，－3）。
设直线l 的解析式为：y=kx+b ，把点A ，点B 的坐标代入，解得，k=2，b=－3， ∴直线l 的解析式为：y=2x －3。
故选A 。
3.（深圳2004年3分）函数y=x 2－2x ＋3的图象顶点坐标是【 】 A 、（1，-4） B 、（－1，2） C 、（1，2） D 、（0，3）【答案】C 。
【考点】二次函数的性质。
【分析】利用配方法将一样式化为顶点式即可确定顶点的坐标：∵y=x 2－2x+3=x 2－2x ＋1＋2=（x －1）2＋2， ∴顶点的坐标是（1，2）。
[原创]2021年 《南方新中考》 数学 第二部分 专题四 作图与证明[配套课件](精品课件在线)_
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[解题技巧]尺规作图需要进一步证明结论时，一般需要运 用尺规作图中的结论，结合已知图形的性质进行推理、证明即 可.
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2
基本作图与求值 例2：(2015 年广东广州)如图 Z4-3，AC 是⊙O 的直径，点 B 在⊙O 上，∠ACB＝30°. (1)利用尺规作∠ABC 的平分线 BD，交 AC 于点 E，交⊙O 于点 D，连接 CD；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比.
是∠ABC 的平分线推理出点 D 是 ADC 的中点，故△COD 是等 腰直角三角形.用 r 表示出 AB，CD 的长，然后根据相似三角形 的性质求解.
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图 Z4- 为圆心，以任意长为半径画弧，两 弧交∠ABC 两边于点 M，N；②分别以点 M，N 为圆心，以大 于12MN 的长度为半径画弧，两弧交于一点 E；③作射线 BE 交 AC 与 E，交⊙O 于点 D，则线段 BD 为∠ABC 的平分线.
(2)连接 OD.设⊙O 的半径为 r，易证△ABE∽△DCE.由 BD
△“如果有一天你突然想起了我请相信我从未忘记你；如果有一天关于我你再也记不起 我确定在我生命结束你一直在我心里。放过自己很容易让生活放过你很难。 好了我们撇开一切的世俗和纯粹的理智与逻辑再来回到爱情本身吧。
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与人相处是门艺术不戳人伤疤不揭人短处给他人留下余地也是给自己留福气坚持善心无需谁称颂什么但求踏实不把谁愧对！ “世上圆滑标准的人很多但出类拔萃的人极少而往往出类拔萃又隐藏在卑琐狂荡之下。——陈道明 人生不断做出选择有对的也有错的。，整天溺在甜蜜中的人往往会失去挑战未来的信心和能力终享受随时会消失的顺利到头来还是一样的失败
[原创]2021年 《南方新中考》 数学 第一部分 第一章 第2讲 第2课时 分式[配套课件]
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()
x＋1 A. x
x B.x－1
x－1 C. x
x D.x＋1
答案：B
3.(2020 年四川雅安)分式xx2＋－11＝0，则 x 的值是(
)
A.1
B.－1
C.±1
D.0
答案：A
4.(2020 年湖北随州)x2－2 4÷x2－1 2x的计算结果为(
)
x A.x＋2
2x B.x＋2
2x C.x－2
2 D.2xx＋2
解：原式＝x－x－3＋3 2×x＋x1－3x－2 1＝xx－＋31.
解不等式组3－x<2x2<x＋4，4，①② 得－2＜x＜4， ∴其整数解为－1,0,1,2,3.
∵要使原分式有意义，∴x 可取 0,2.
∴当 x＝0
时，原式＝－3或当x＝2
时，原式＝－13.
【试题精选】
4.(2020 年天津)计算x＋x12＋x＋112的结果是(
考向 分式的化简及求值
1.(2017 年广东)先化简，再求值：x－1 2＋x＋1 2·(x2－4)，其 中 x＝ 5.
解：原式＝xx＋－22＋xx＋－22·(x＋2)(x－2)＝2x. 当 x＝ 5时，原式＝2 5.
2.(2018
年广东)先化简，再求值：a2＋a24·aa22－－146a，其中
a＝
3 2.
解：原式＝a2＋a24·a＋a4a－a4－ 4＝2a.
当 a＝ 23时，原式＝2× 23＝ 3.
3.(2019 年广东)先化简，再求值：x－x 2－x－1 2÷xx22－－4x， 其中 x＝ 2.
解：原式＝xx－ －12·x＋x2x－x1－ 2＝x＋x 2.
当 x＝
2时，原式＝
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爱你的人给了你温暖伤你的人给了你历练。 “ 最可惜的是有些重要的人直到离开和你的一张合影都没有。，心若向阳生命之花自然绽放；人若豁达幸运之神必然拜访！ 做人要想心不累就要放宽心别胡思乱想别事事较真能放下的放下别背着能原谅的原谅别记恨把心灵清空心才会宽敞心没了负累便不会累
1
解：(1)∵反比例函数 y＝kx的图象经过点 M(2,1)， ∴k＝2×1＝2. ∴该函数的表达式为 y＝2x. (2)∵y＝2x，∴x＝2y. ∵2＜x＜4，∴2＜2y＜4，解得12＜y＜1.
[名师点评]本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析 式，以及反比例函数的性质，关键是正确确定函数解析式.
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2
代数几何综合题 例4：(2013 年广东深圳)如图 Z5-2，过点 A(0,4)的圆的圆心 坐标为 C(2,0)，B 是第一象限圆弧上的一点，且 BC⊥AC，抛物 线 y＝－12x2＋bx＋c 经过 C，B 两点，与 x 轴的另一交点为 D.
(1) 点 B 的 坐 标 为 (____ ， ____) ， 抛 物 线 的 表 达式为 ________________________；
(2)如图 Z5-3，求证：BD∥AC；
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Байду номын сангаас
3
(3)如图 Z5-4，点 Q 为线段 BC 上一点，且 AQ＝5，直线 AQ 交⊙C 于点 P，求 AP 的长.
图 Z5-2
图 Z5-3
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图 Z5-4
4