2013-2014学年高中数学 3.1.3+4 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示课后知能检测 苏教版选修2-1

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.3+4 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示课后知能检测 苏教版选修
2-1
一、填空题
1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．
【解析】 命题q 中，{a ，b ，c }为空间的一个基底，则根据基底的定义，可知a ，b ，
c 为非零向量，且为不共面向量．故q ⇒p ，p
q ，所以命题p 是命题q 的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
2．设向量a ，b ，c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是________． ①{a ＋b ，b －a ，a }； ②{a ＋b ，b －a ，b }； ③{a ＋b ，b －a ，c }; ④{a ＋b ＋c ，a ＋b ，c }．
【解析】 因为只有③中三个向量不共面，所以可以作为一个基底． 【答案】 ③
3．已知{i ，j ，k }为空间的一个基底，若a ＝i －j ＋k ，b ＝i ＋j ＋k ，c ＝i ＋j －k ，d ＝3i ＋2j －4k ，又d ＝α a ＋β b ＋γc ，则α＝________，β＝________，γ＝________.
【解析】 由题意知：⎩⎪⎨⎪
⎧
α＋β＋γ＝3－α＋β＋γ＝2
α＋β－γ＝－4
，
解之得：⎩⎪⎨⎪⎧
α＝
12
β＝－1γ＝72
.
【答案】 12 －1 7
2
图3－1－13
4．如图3－1－13，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 是底面A ′B ′C ′D ′的中心，
a ＝
12，b ＝12AB →，c ＝13
AD →，AE →
＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 的值分别为x ＝________，y ＝
________，z ＝________.
【解析】 由题意知，AB →，AD →为不共面向量，而AE →
＝
＋
＝
＋12
(
) ＝
＋12AB →＋12
AD → ＝2a ＋b ＋3
2c ，
∴x ＝2，y ＝1，z ＝3
2.
【答案】 2 1 3
2
5．已知A (3,2,1)，B (－4,5,3)，C (－1,2,1)，则2AB →＋5AC →
的坐标为________． 【解析】 2AB →＋5AC →
＝2(－7,3,2)＋5(－4,0,0) ＝(－14－20,6＋0,4＋0)＝(－34,6,4)． 【答案】 (－34,6,4)
6．(2013·平遥高二检测)已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝ (6,2μ－1,2)，a ∥b ，则λ与μ的值分别为________． 【解析】 根据已知a ∥b ，则有λ＋16＝2λ
2
且2μ－1＝0，解得：λ＝15，μ＝1
2.
【答案】 15，1
2
图3－1－14
7．在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π
2
，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，
则在如图3－1－14所示的空间直角坐标系中，DO →
的坐标是________．
【解析】 由题意得A 1(4,0,4)，B 1(0，2,4)，由D 为A 1B 1的中点可得D (2,1,4)，故OD →
＝(2,1,4)，所以DO →＝－OD →
＝(－2，－1，－4)．
【答案】 (－2，－1，－4)
8．(2013·威海高二检测)有下列命题： ①若AB →∥CD →
，则A ，B ，C ，D 四点共线； ②若AB →∥AC →
，则A ，B ，C 三点共线；
③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－2
5
e 2，
b ＝－e 1＋110
e 2，则a ∥b ；
④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2
＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
【解析】 ①AB →∥CD →
时，四点A ，B ，C ，D 可能共线也可能AB ∥CD ，故①为假命题； ②AB →∥AC →时，又AB →，AC →
共起点，所以A ，B ，C 三点共线，②为真命题； ③a ＝4e 1－25e 2＝－4(－e 1＋1
10
e 2)＝－4b ，∴a ∥b ，故③为真命题；
④中，k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，又e 1，e 2，e 3不共面，根据空间向量基本定理可知，只能k 1
＝0，k 2＝0，k 3＝0，所以④为真命题．
【答案】 ②③④ 二、解答题
图3－1－15
9．如图3－1－15所示，M 、N 分别是四面体OABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →和OQ →
.
【解】 OP →＝OM →＋MP →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →
)
＝12OA →＋23(ON →－12
OA →
)
＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →. OQ →
＝OM →＋MQ →
＝12OA →＋13
MN →
＝12OA →＋13(ON →－OM →) ＝12OA →＋13(ON →－12OA →) ＝13OA →＋13×12(OB →＋OC →) ＝13OA →＋16OB →＋16
OC →. 10．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的
空间直角坐标系，并写出AA 1→，AB 1→，AC 1→
的坐标．
【解】 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→
的方向为x 轴，
y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0，
32，0)，A 1(0，3
2
，2)，B 1(－12，0,2)，C 1(1
2
，0,2)， 所以AA 1→＝(0,0,2)，AB 1→＝(－12，－32，2)，AC 1→
＝(12，－32，2)．
11．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)． (1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →
，求点D 的坐标．
(2)是否存在实数x ，y ，使AC →＝xAB →＋yBC →
成立．若存在，求出x ，y 的值；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)设D (x ，y ，z )，则有 DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)， DC →
＝(－x ，－y,2－z )，AB →
＝(－1,1,0)．
∵DB →∥AC →，DC →∥AB →， ∴DB →＝λ1AC →且DC →＝λ2AB →， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧ －x ＝－λ11－y ＝0－z ＝2λ1
且⎩⎪⎨⎪
⎧ －x ＝－λ2，－y ＝λ2，2－z ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝λ1y ＝1z ＝－2λ
1
且⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝λ2，y ＝－λ2，z ＝2，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1，y ＝1，z ＝2，
∴D 点坐标为(－1,1,2)．
(2)∵AC →＝(－1,0,2)，AB →
＝(－1,1,0)， BC →
＝(0，－1,2)，
假设满足条件的x ，y 存在， 即AC →＝xAB →＋yBC →，
也即(－1,0,2)＝(－x ，x,0)＋(0，－y ，2y ) ＝(－x ，x －y,2y )， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
－1＝－x ，x －y ＝0，2＝2y ，
解得x ＝1，y ＝1. ∴存在实数x ＝1，y ＝1， 使AC →＝xAB →＋yBC →
成立．。