高考数学考前三个月复习冲刺专题7 第33练直线与圆锥曲线的综合问题理

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浙江高考考前三个月数学文二轮复习冲刺压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(一)(含答案详析)

压轴大题打破练 —— 直线与圆锥曲线 (一 )226，右焦点为 (2x 2 y 2的离心率为 2， 0)，斜率为 1 的直线 l1．已知椭圆 G ： a ＋ b ＝ 1 (a>b>0) 3与椭圆 G 交于 A 、 B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，极点为P( －3,2)．(1)求椭圆 G 的方程；(2)求△ PAB 的面积．c 6解 (1)由已知得 c ＝ 2 2，a ＝ 3 .解得 a ＝ 2 3，又 b 2＝ a 2 －c 2 ＝4.x 2 y 2 因此椭圆 G 的方程为 12＋ 4＝ 1. (2)设直线 l 的方程为 y ＝ x ＋ m.y ＝x ＋ m，得 4x 2＋ 6mx ＋ 3m 2－12＝ 0.①由 x 2y 212＋4 ＝1设 A 、 B 的坐标分别为 (x 1，y 1)， (x 2， y 2) (x 1<x 2)， AB 中点为 E(x 0， y 0)，则 x 0＝x 1＋ x 2＝ 3mm2－ 4 ， y 0＝ x 0＋ m ＝ 4 ；由于 AB 是等腰 △ PAB 的底边，因此 PE ⊥ AB.m 2－ 4因此 PE 的斜率 k ＝ 3m ＝－ 1.解得 m ＝ 2.－3＋ 4此时方程 ① 为 4x 2＋12x ＝ 0.解得 x 1＝－ 3， x 2＝ 0.因此 y 1＝－ 1，y 2＝2.因此 |AB |＝ 3 2.此时，点 P(－ 3,2)到直线 AB ：x － y ＋ 2＝0 的距离 d ＝|－ 3－2＋ 2|32，2＝ 2 1 9因此 △PAB 的面积 S ＝ 2|AB| d ·＝ 2.2．如图，倾斜角为α的直线经过抛物线 y 2＝8x 的焦点 F ，且与抛物线交于A 、B 两点，(1)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程；(2)若 α为锐角，作线段 AB 的垂直均分线 m 交 x 轴于点 P ，证明 |FP|－ |FP|cos 2α为定值，并求此定值．p(1)解由已知得 2p ＝8， ∴ 2＝2.∴ 抛物线的焦点坐标为 F(2,0)，准线方程为x ＝－ 2.(2)证明A ， y AB ， y B)，直线 AB 的斜率为 k ＝ tan α，设 A(x )， B(x则直线方程为 y ＝ k(x － 2)．将此式代入 y 2＝ 8x ，得 k 2x 2－ 4(k 2＋2)x ＋ 4k 2＝ 0，故 x A ＋ x B ＝4 k 2＋ 2.2k设直线 m 与 AB 的交点为 E(x E ，y E )，x A ＋ x B 2 k 2＋ 2 ， y E ＝ k(x E － 2)＝4，则 x E ＝＝ 22 kk 故直线 m 的方程为 y － 4＝－ 1 2k 2＋ 4k 2.k kx － 2k 2＋ 4令 y ＝0，得点 P 的横坐标为 x P ＝ k 2 ＋ 4，4 k 2＋ 14故 |FP|＝ x P － 2＝ k 2＝ 2 .4 sin α4·2sin 2α ∴ |FP|－ |FP|cos 2α＝2 (1－ cos 2α)＝ 2 ＝ 8.sin αsin α ∴ |FP|－ |FP|cos 2α为定值．3．已知过点 A(－ 4,0)的动直线 l 与抛物线 G ：x 2＝ 2py (p>0)订交于 B 、C 两点．当直线l 的斜率是 1 → →2 时， AC ＝ 4AB .(1)求抛物线 G 的方程；(2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为b ，求 b 的取值范围．解 (1)设 B(x 1， y 1)， C(x 2， y 2)，当直线 l 的斜率是 11 时， l 的方程为y ＝ ( x ＋ 4)，即 x ＝2 22y － 4.x 2＝ 2py ，得 2y2－ (8＋ p)y ＋ 8＝ 0，由x ＝2y － 4y 1y 2＝ 4，①∴8＋ p1＋ y 2＝，②y2→ →又 ∵AC ＝4AB ， ∴ y 2＝ 4y 1， ③由 ①②③ 及 p>0 得： y 1＝ 1， y 2 ＝4， p ＝ 2，则抛物线 G 的方程为 x 2＝ 4y.(2)设 l ： y ＝ k(x ＋ 4)， BC 的中点坐标为 (x 0， y 0)，x 2＝ 4y 得 x 2－ 4kx － 16k ＝0， ④由y ＝k x ＋ 4∴ x 0＝ x C ＋x B＝ 2k ，y 0＝k(x 0＋4) ＝2k 2 ＋4k. 2∴线段 BC 的中垂线方程为 y－ 2k2－ 4k＝－1k(x－2k)，∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为：b＝ 2k2＋4k＋ 2＝ 2(k＋ 1)2，关于方程④ ，由＝ 16k2＋ 64k>0 得：k>0 或 k<－ 4.∴ b∈(2，＋∞ )．4．已知过抛物线 y2＝2px(p>0) 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A( x1， y1)，B(x2， y2)(x1<x2)两点，且 |AB|＝ 9.(1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若→→→OC＝ OA＋λOB，求λ的值．p222解 (1)直线 AB 的方程是 y＝ 2 2(x－2)，与 y ＝ 2px联立，进而有4x － 5px＋ p ＝ 0，5p因此 x1＋x2＝.4由抛物线定义得|AB|＝ x1＋ x2＋ p＝9，2222(2)由 p＝ 4 知 4x － 5px＋ p ＝0 可化为 x － 5x＋ 4＝ 0，进而 A(1，－ 2 2)， B(4,4 2)．→设 OC＝( x3， y3)＝ (1，－ 2 2)＋λ(4,4 2)＝(4λ＋ 1， 4 2λ－ 2 2)，又 y23＝ 8x3，因此 [2 2(2λ－ 1)]2＝8(4λ＋ 1)，即 (2λ－ 1)2＝ 4λ＋ 1，解得λ＝ 0 或λ＝ 2.。

浙江高考考前三个月数学文二轮专题复习训练6.3圆锥曲线的综合问题(含答案详析)

第三讲圆锥曲线的综合问题1．直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2，|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．3．圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有①|OP|∈[b，a]．②|PF1|∈[a－c，a＋c]．③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]．④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1、F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有①|OP|≥a.②|PF1|≥c－a.(3)抛物线中的最值点P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有：①|PF |≥p2.②A (m ，n )为一定点，则|P A |＋|PF |有最小值．1． (2013·课标全国Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，所以⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y 22b2＝1运用点差法，所以直线AB 的斜率为k ＝b 2a2，设直线方程为y ＝b2a2(x －3)，联立直线与椭圆的方程得(a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0，所以x 1＋x 2＝6b 2a 2＋b 2＝2；又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2＝18.2． (2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3答案 B解析 ∵S△AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.(也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)． 3． (2013·大纲全国)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1]答案 B解析利用直线P A 2斜率的取值范围确定点P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线P A 1斜率的边界值．由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程式为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝⎛⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38. 同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝⎛⎭⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤38，34.4． (2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△F AB的周长最大时，△F AB 的面积是________．答案 3解析直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △F AB ＝12×2×3＝3.5． (2012·北京)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为______．答案3解析 ∵y 2＝4x 的焦点F (1,0)，又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°，故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0，即3x 2－10x ＋3＝0.∴x ＝13或x ＝3.又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3.∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题例1 已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP →＝λAQ →.(1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ；(2)若λ∈⎣⎡⎦⎤13，12，求|PQ |的最大值．审题破题 (1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ；(2)建立|PQ |和λ的关系，然后求最值． (1)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)． ∵AP →＝λAQ →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2，∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，又F (1,0)，∴MF →＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2)＝λ⎝⎛⎭⎫1－1，y 2＝λFQ →， ∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F .(2)解由(1)知x 2＝1λ，x 1＝λ，得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16， ∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4，则|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)＝⎝⎛⎭⎫λ＋1λ2＋4⎝⎛⎭⎫λ＋1λ－12 ＝⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋22－16， λ∈⎣⎡⎦⎤13，12，λ＋1λ∈⎣⎡⎤52，103，当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473.反思归纳求最值或求范围问题常见的解法有两种：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．变式训练1 (2013·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y－2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，又点P (x 0，y 0)在切线P A 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解，所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0， ∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，∴|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1 ＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎫y 0＋122＋92， ∴当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.题型二圆锥曲线中的定点、定值问题例2 (2012·福建)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．审题破题 (1)先求出B 点坐标，代入抛物线方程，可得p 的值；(2)假设在y 轴上存在定点M ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点M ，转化为MP →·MQ →＝0，从而判断点M 是否存在．(1)解依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明方法一由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1. 设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．方法二由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)、M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y ＋382＝12564，交y 轴于点M 3(0,1)、M 4⎝⎛⎭⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)．以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－2，所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．反思归纳定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．变式训练2 已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．(1)解设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3， ∴b ＝5－3＝ 2. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33a 2＝b 2＋c2b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0y 23＋x 22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得，(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1. 题型三圆锥曲线中的存在性问题例3 如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，且a 2c＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．审题破题 (1)列方程组求出a 、c 即可；(2)由k OM ·k ON ＝－12先确定点M 、N 坐标满足条件，再根据OP →＝OM →＋2ON →寻找点P 满足条件：点P 在F 1、F 2为焦点的椭圆上．解 (1)由e ＝c a ＝22，a 2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →，得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20. 所以P 点是椭圆x 2(25)2＋y 2(10)2＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝(25)2－(10)2＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．反思归纳探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论．变式训练3 (2012·江西)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2.(1)求曲线C 的方程；(2)动点Q (x 0，y 0)(－2<x 0<2)在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l .问：是否存在定点P (0，t )(t <0)，使得l 与P A ，PB 都相交，交点分别为D ，E ，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．解 (1)由MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )， |MA →＋MB →|＝(－2x )2＋(2－2y )2， OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程：x 2＝4y .(2)假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件，则直线P A 的方程是y ＝t －12x ＋t ，PB 的方程是y ＝1－t2x ＋t .曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，它与y 轴的交点为F ⎝⎛⎭⎫0，－x 204. 由于－2<x 0<2，因此－1<x 02<1.①当－1<t <0时，－1<t －12<－12，存在x 0∈(－2,2)，使得x 02＝t －12，即l 与直线P A 平行，故当－1<t <0时不符合题意．②当t ≤－1时，t －12≤－1<x 02，1－t 2≥1>x 02，所以l 与直线P A ，PB 一定相交．分别联立方程组⎩⎨⎧ y ＝t －12x ＋t ，y ＝x 02x －x204，⎩⎨⎧y ＝1－t2x ＋t ，y ＝x 02x －x204，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 20＋4t2(x 0＋1－t )，x E ＝x 20＋4t 2(x 0＋t －1)，则x E －x D ＝(1－t )x 20＋4tx 20－(t －1)2.又|FP |＝－x 204－t ，有S △PDE ＝12·|FP |·|x E －x D |＝1－t 8·(x 20＋4t )2(t －1)2－x 20，又S △QAB ＝12·4·⎝⎛⎭⎫1－x 204＝4－x 22，于是S △QAB S △PDE ＝41－t ·(x 20－4)[x 20－(t －1)2](x 20＋4t )2＝41－t ·x 40－[4＋(t －1)2]x 20＋4(t －1)2x 40＋8tx 20＋16t2. 对任意x 0∈(－2,2)，要使S △QABS △PDE 为常数，即只需t 满足⎩⎪⎨⎪⎧－4－(t －1)2＝8t ，4(t －1)2＝16t 2. 解得t ＝－1.此时S △QABS △PDE＝2，故存在t ＝－1，使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.典例 (14分)抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值．规范解答解 (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0. [2分] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线的方程为x 2＝－2y .[7分](2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大．对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离 d ＝|2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.[10分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22·(－4)2－4·(－4)＝410.于是，△ABP 面积的最大值为12×410×455＝8 2. [14分]评分细则 (1)由OA →＋OB →＝(－4，－12)得到关于p ，k 的方程组得2分；解出p 、k 的值给1分；(2)确定△ABP 面积最大的条件给1分；(3)得到方程x 2＋4x －4＝0给1分．阅卷老师提醒最值问题解法有几何法和代数法两种，本题中的曲线上一点到直线的距离的最值可以转化为两条平行线的距离；代数法求最值的基本思路是转化为函数的最值．1．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于( )A.34 B ．－34C ．3D ．－3 答案 B解析方法一 (特殊值法)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A (12，1)，B (12，－1)， ∴OA →·OB →＝⎝⎛⎭⎫12，1·⎝⎛⎭⎫12，－1＝14－1＝－34. 方法二设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2. 由抛物线的过焦点的弦的性质知：x 1x 2＝p 24＝14，y 1y 2＝－p 2＝－1.∴OA →·OB →＝14－1＝－34.2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48答案 C解析不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得，y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.3．已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点( )A ．(2,0)B ．(1,0)C ．(0,1)D ．(0，－1)答案 B解析因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)，所以选B.4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 ∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|FM |＝y 0＋2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.5．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．答案 y 2＝4x解析设抛物线方程为y 2＝ax .将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a2＝2.∴a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x .6．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎦⎤33，22解析设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，所以2c 2≤a 2≤3c 2，所以离心率e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤33，22.专题限时规范训练一、选择题1．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又AM →＝M B →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线 l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°.∴||BP ＝12||AB ＝||BM .∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.2．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0答案 A解析由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y ) (x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.3．设AB 是过椭圆x 2a 2＋y2b2(a >b >0)中心的弦，椭圆的左焦点为F 1(－c,0)，则△F 1AB 的面积最大为( )A ．bcB ．abC ．acD ．b 2答案 A解析如图，由椭圆对称性知O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半．又OF 1＝c ，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值为b .所以△F 1OB 的面积最大值为12cb .所以△F 1AB 的面积最大值为bc .4．已知点A (－1,0)，B (1,0)及抛物线y 2＝2x ，若抛物线上点P 满足|P A |＝m |PB |，则m 的最大值为( )A ．3B ．2C. 3D. 2答案 C解析据已知设P (x ，y )，则有m ＝|P A ||PB |＝(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y 2＝ (x ＋1)2＋2x(x －1)2＋2x＝x 2＋4x ＋1x 2＋1＝1＋4x x 2＋1＝1＋4x ＋1x ，据基本不等式有m ＝1＋4x ＋1x≤1＋42x ×1x＝3，即m 的最大值为 3.故选C.5．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为( )A ．16B ．116C ．4D ．14答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y 得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5， ∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116.故选B. 6．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是 ( )A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)答案 C解析点B 的横坐标是c ，故B 的坐标(c ，±b 2a)，已知k ∈(13，12)，∴B (c ，b2a)．又A (－a,0)，则斜率k ＝b 2a c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. 7．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值( )A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4 答案 A解析设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A. 8．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在P 使线段PF 1的中垂线过点F 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22B.⎝⎛⎦⎤0，33C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1 答案 D解析设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y2，当kQF 2存在时，则kF 1P ＝cy a 2＋c 2，kQF 2＝cyb 2－2c 2，由kF 1P ·kQF 2＝－1，得y 2＝(a 2＋c 2)·(2c 2－b 2)c 2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0，即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当kQF 2不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0，此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1，即所求的椭圆离心率的范围是⎣⎡⎭⎫33，1.二、填空题9．已知椭圆的焦点是F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长是6，直线y ＝x ＋2与此椭圆交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－95，15 解析由已知得椭圆方程是x 29＋y 2＝1，直线与椭圆相交有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋9y 2＝9，y ＝x ＋2，则10x 2＋36x＋27＝0，AB 中点(x 0，y 0)有x 0＝12(x A ＋x B )＝－95，y 0＝x 0＋2＝15，所以，AB 中点坐标是⎝⎛⎭⎫－95，15. 10．点P 在抛物线x 2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使|PF |＋|P A |最小，则相应P 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，14 解析由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝⎛⎭⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时|PF |＋|P A |最小． 11．斜率为3的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点且与该抛物线交于A ，B 两点，则|AB |＝_______.答案 163解析如图，过A 作AA1⊥l ′，l ′为抛物线的准线．过B 作BB 1⊥ l ′，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，过焦点F 作FM ⊥A 1A 交A 1A 于M 点，直线l 的倾斜角为60°，所以|AF |＝|AA 1|＝|A 1M |＋|AM |＝2＋|AF |·cos 60°，所以|AF |＝4，同理得|BF |＝43，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝163.12．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．答案 32解析 (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y－16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32.综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32.三、解答题13．(2013·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 求解可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以 AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程．(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2.设椭圆上的点到点Q (0,2)的距离为d ，则 d ＝(x －0)2＋(y －2)2＝x 2＋(y －2)2＝3b 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋3b 2＋6， ∴当y ＝－1时，d 取得最大值，d max ＝3b 2＋6＝3，解得b 2＝1，∴a 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 23＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2.设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1，d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2.∴|AB |＝212－d ′2＝2 1－1m 2＋n2.∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝12·2 1－1m 2＋n 2·1m 2＋n 2＝ 1m 2＋n 2⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2. ∵d ′<1，∴m 2＋n 2>1，∴0<1m 2＋n 2<1，∴1－1m 2＋n 2>0. ∴S △OAB ＝ 1m 2＋n 2⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 2＋n 2＋1－1m 2＋n 222＝12，当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n2，即m 2＋n 2＝2>1时，S △OAB 取得最大值12. 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＝3－3n 2得⎩⎨⎧m 2＝32，n 2＝12，∴存在点M 满足题意，M 点坐标为 ⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22或 ⎝⎛⎭⎫－62，－22，此时△OAB 的面积为12.。

高考数学专题：直线与圆锥曲线的综合问题

关系、等差数列的证
关系、圆的方
明问题·T19
程·T19
明·T20
椭圆的标准方程、直点的轨迹方程、椭直线与抛物线的位
2017 线与椭圆的位置关圆方程、向量的数置关系、直线的方
系、定点问题·T20
量积等·T20
程、圆的方程·T20
[考情分析] 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等。圆锥曲线综合问题包括：轨迹问题、探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等．这类问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，参数处理为核心，需要运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识求解，试题难度较大，多以压轴题出现。
y＝kx＋t，
由 x2＋y2＝1 2
得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0。
则 x1＋x2＝－1＋4k2tk2，x1x2＝12＋t2－2k22。
| | | | | | x1
x2
x1x2
所以|OM|·|ON|＝ kx1＋t－1 ·kx2＋t－1 ＝ k2x1x2＋kt－1x1＋x2＋t－12
设 t＝k＋1，则由 k>0 得 t≥2，当且仅当 k＝1 时取等号。 k
因为 S＝1＋8t2t2在[2，＋∞)单调递减，
所以当
t＝2，即
k＝1
时，S
取得最大值，最大值为16。 9
因此，△PQG 面积的最大值为16。 9
有关范围、最值问题的解题步骤如下：第一步：设参数：依题意设出相关的参数，如设点的坐标，设比例式的参数或设直线的方程等；第二步：联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于 x(或 y) 的一元二次方程；第三步：建立函数：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式；第四步：求最值(或范围)：利用配方法、基本不等式法、单调性法(基本初等函数或导数)等求其最值．

数学高职高考专题复习直线、圆锥曲线问题

数学高职高考专题复习直线、圆锥曲线问题数学高职高考专题复习：直线与圆锥曲线问题在数学高职高考中，直线与圆锥曲线问题是一个重要的考点，也是考生在复习过程中需要重点掌握的内容。

本文将从以下几个方面对这一问题进行专题复习：一、直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率是直线的重要属性，也是解决直线问题的基础。

在高职高考中，倾斜角与斜率的计算、斜截式方程以及直线的平行与垂直等都是需要考生熟练掌握的内容。

例题1：已知直线过点A(3,2)，且与直线y=x+1平行，求该直线的方程。

解析：根据直线的平行关系，可设所求直线的方程为y=x+c。

由于直线过点A(3,2)，将该点坐标代入方程得：2=3+c，解得c=-1。

因此，所求直线的方程为y=x-1。

二、圆锥曲线的定义与标准方程圆锥曲线是平面解析几何中的一个重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线等。

在高职高考中，考生需要掌握圆锥曲线的定义、标准方程以及它们的几何性质。

例题2：已知椭圆的两焦点为F1(-2,0)、F2(2,0)，且椭圆经过点(0,2)，求该椭圆的标准方程。

解析：根据椭圆的定义，可知该椭圆的焦点在x轴上，且半焦距c=2。

再由椭圆的性质可知，a=√(b^2+c^2)=2√2，从而得出b=√(a^2-c^2)=√(8-4)=2。

因此，所求椭圆的标准方程为：x^2/8+y^2/4=1。

三、直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的综合问题往往是高职高考中的难题，这类问题需要考生综合运用直线和圆锥曲线的知识进行求解。

考生在复习时，应注重对这类问题的练习和掌握。

例题3：已知直线l过点(1,-2)，且与椭圆5x^2+4y^2=20相交于A、B两点，求弦AB的长度。

解析：设直线l的方程为y+2=k(x-1)。

然后，将该方程代入椭圆方程5x^2+4y^2=20中，得到一个关于x的二次方程。

再根据韦达定理，可以求出交点A、B的横坐标之和x1+x2和纵坐标之和y1+y2。

利用两点间的距离公式求出|AB|的值。

齐河县高考数学三轮冲刺圆锥曲线中的综合问题练习(含解析)

圆锥曲线中的综合问题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1。

已知F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A. 2 B 。

3 C 。

17√28 D 。

√10 （正确答案）B解:设直线AB 的方程为：x =ty +m ，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2), 直线AB 与x 轴的交点为M(m,0),由{y 2=x x=ty+m⇒y 2−ty −m =0，根据韦达定理有y 1⋅y 2=−m , ∵OA⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗ =2，∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=2，结合y 12=x 1及y 22=x 2，得(y 1⋅y 2)2+y 1⋅y 2−2=0，∵点A,B 位于x 轴的两侧，∴y 1⋅y 2=−2,故m =2．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F(14,0)， ∴S △ABO +S △AFO ═12×2×(y 1−y 2)+12×14y 1,=98y 1+2y 1≥2√98y 1⋅2y 1=3．当且仅当98y 1=2y 1，即y 1=43时，取“=”号，∴△ABO与△AFO 面积之和的最小值是3，故选B ．可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及OA ⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗ =2消元，最后将面积之和表示出来,探求最值问题．求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程,消x 或y 后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．2。

已知椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x −4y =0交椭圆E 于A,B 两点,若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A. (0,√32] B 。

高考数学专题7第33练.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第33练直线与圆锥曲线的综合问题[题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高.常考题型精析题型一直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用例1 (1)(2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1 (2)设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1 (b >0)，其离心率为22. ①求椭圆M 的方程；②若直线l 过点P (0,4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？点评对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.变式训练1已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(2，3).(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,22)，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.题型二直线与圆锥曲线的弦的问题例2 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为6，点P 是椭圆短轴的一个端点，△PF 1F 2的周长为16.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线l 被椭圆C 所截得的线段中点的坐标.点评直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程(组)，不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决.变式训练2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP →＝tOE →，求实数t 的值.高考题型精练1.(2015·北京)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.2.已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点.若直线AO、BO分别交直线l：y＝x－2于M、N 两点，求|MN|的最小值.3.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点.(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值.4.已知点A ，B 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上不同的两点，点D 在抛物线C 的准线l 上，且焦点F 到直线x －y ＋2＝0的距离为322. (1)求抛物线C 的方程；(2)现给出以下三个论断：①直线AB 过焦点F ；②直线AD 过原点O ；③直线BD 平行于x 轴. 请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明.答案精析第33练直线与圆锥曲线的综合问题常考题型精析例1 (1)A解析设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则|3×0－4×b |32＋(－4)2＝4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32，故选A. (2)解 ①因为椭圆M 的离心率为22，所以4－b 24＝⎝⎛⎭⎫222，得b 2＝2. 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 22＝1. ②(ⅰ)过点P (0,4)的直线l 垂直于x 轴时，直线l 与椭圆M 相交.(ⅱ)过点P (0,4)的直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 24＋y 22＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋28＝0.因为直线l 与椭圆M 相交，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×28＝16(2k 2－7)>0，解得k <－142或k >142. 综上，当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－142∪⎝⎛⎭⎫142，＋∞时，直线l 与椭圆M 相交.变式训练1 解 (1)由已知条件得椭圆C 的焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，|PF 1|＝(2＋2)2＋3＝9＋42＝22＋1，|PF 2|＝(2－2)2＋3＝9－42＝22－1，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝42，则a ＝2 2.b 2＝a 2－c 2＝4，因此椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设D (x 1,0)，DA →＝(－x 1,22)，EA →＝(－x 0,22)；由DA →⊥EA →，得DA →·EA →＝0，则G (－x 1,0)x 1x 0＋8＝0，则x 1＝－8x 0， k QG ＝y 0x 0＋x 1＝y 0x 0－8x 0＝x 0y 0x 20－8，直线QG 的方程为y ＝x 0y 0x 20－8⎝⎛⎭⎫x －8x 0＝y 0x 20－8(x 0x －8)，又x 208＋y 204＝1，y 20＝4⎝⎛⎭⎫1－x 208＝12(8－x 20)，可得y ＝±28－x 202(x 20－8)(x 0x －8)，① 将①代入x 28＋y 24＝1整理得8x 2－16x 0x ＋8x 20＝0， Δ＝(－16x 0)2－4×64x 20＝0，∴直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.例2 解 (1)设椭圆的半焦距为c ，则由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2c ＝6，2a ＋2c ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.故所求椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)方法一过点(3,0)且斜率为45的直线l 的方程为y ＝45(x －3)，将之代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.因为点(3,0)在椭圆内，设直线l 与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45×(32－3)＝－65. 故所求线段的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－65. 方法二过点(3,0)且斜率为45的直线l 的方程为y ＝45(x －3)，因为(3,0)在椭圆内，所以直线l 与椭圆有两个交点，设两交点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，中点M 的坐标为(x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧ x 2125＋y 2116＝1， ①x 2225＋y 2216＝1， ②由①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)25＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)16，即16x 025y 0＝－45.又y 0＝45(x 0－3), 所以⎩⎨⎧ x 0＝32，y 0＝－65.故所求线段的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－65. 变式训练2 解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)①当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意得－2<m <0或0<m < 2. 将x ＝m 代入椭圆方程得|y |＝ 2－m 22，所以S △AOB ＝|m | 2－m 22＝64. 解得m 2＝32或m 2＝12.(ⅰ) 又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (2m,0)＝(mt,0)，又点P 在椭圆上，所以(mt )22＝1.(ⅱ) 由(ⅰ)(ⅱ)得t 2＝4或t 2＝43. 又因为t >0，所以t ＝2或t ＝233. ②当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋n ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋n ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4knx ＋2n 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Δ＝16k 2n 2－4(1＋2k 2)(2n 2－2)>0得1＋2k 2>n 2.此时x 1＋x 2＝－4kn 1＋2k 2，x 1x 2＝2n 2－21＋2k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2n ＝2n 1＋2k 2. 所以|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2 2 1＋k 2 1＋2k 2－n 2(1＋2k 2)2. 又点O 到直线AB 的距离d ＝|n |1＋k 2. 所以S △AOB ＝12|AB |d ＝12×2 2 1＋k 2 1＋2k 2－n 2(1＋2k 2)2|n |1＋k 2. ＝2·1＋2k 2－n 2(1＋2k 2)2·|n |＝64. 令r ＝1＋2k 2代入上式得：3r 2－16n 2r ＋16n 4＝0.解得r ＝4n 2或r ＝43n 2，即1＋2k 2＝4n 2或1＋2k 2＝43n 2. 又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝⎛⎭⎫－2knt 1＋2k 2，nt 1＋2k 2. 又点P 为椭圆C 上一点，所以t 2⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫－2kn 1＋2k 22＋⎝⎛⎭⎫n 1＋2k 22＝1，即n 21＋2k 2t 2＝1. 由⎩⎨⎧ 1＋2k 2＝4n 2或1＋2k 2＝43n 2，n 21＋2k 2t 2＝1得t 2＝4或t 2＝43. 又t >0，故t ＝2或t ＝233. 经检验，适合题意.综合①②得t ＝2或t ＝233. 高考题型精练1.解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63. (2)因为AB 过点D (1,0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)，直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)，令x ＝3，得M (3,2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1. (3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1.又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ，当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2).令x ＝3，得点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k (x －1)，得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2，直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2，因为k BM －1＝k (x 1－1)＋x 1－3－k (x 2－1)(x 1－2)－(3－x 2)(x 1－2)(3－x 2)(x 1－2)＝(k －1)[－x 1x 2＋2(x 1＋x 2)－3](3－x 2)(x 1－2)＝(k －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3(3－x 2)(x 1－2)＝0所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE ，综上可知，直线BM 与直线DE 平行.2.解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p 2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理点N 的横坐标x N ＝84－x 2. 所以|MN |＝2|x M －x N | ＝2⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16 ＝82k 2＋1|4k －3|.令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34. 当t >0时，|MN |＝2 2 25t 2＋6t ＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝2 2 ⎝⎛⎭⎫5t ＋352＋1625≥852. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时， |MN |的最小值是852. 3.解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1. 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0. 同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，又点P (x 0，y 0)在切线P A 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解，所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，所以y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎫y 0＋122＋92，所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.4.解 (1)∵抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，依题意得d ＝|p 2－0＋2|2＝322，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①命题.若直线AB 过焦点F ，且直线AD 过原点O ，则直线BD 平行于x 轴. 设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0， ∴y 1y 2＝－4.直线AD 的方程为y ＝y 1x 1x ， ∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－y 1x 1. ∴－y 1x 1＝－4y 1y 21＝－4y 1＝y 2.∴直线BD 平行于x 轴. ②命题：若直线AB 过焦点F ，且直线BD 平行于x 轴，则直线AD 过原点O . 设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0，∴y 1y 2＝－4，即点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，－4y 1， ∵直线BD 平行于x 轴，∴D 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－4y 1. ∴OA →＝(x 1，y 1)，OD →＝⎝⎛⎭⎫－1，－4y 1. 由于x 1⎝⎛⎭⎫－4y 1－y 1(－1)＝－y 1＋y 1＝0， ∴OA →∥OD →，即A ，O ，D 三点共线.∴直线AD 过原点O .③命题：若直线AD 过原点O ，且直线BD 平行于x 轴，则直线AB 过焦点F . 设直线AD 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则点D 的坐标为(－1，－k )，∵直线BD 平行于x 轴，∴y B ＝－k .∴x B ＝k 24，即点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫k 24，－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x ，得k 2x 2＝4x ， ∴x A ＝4k 2，y A ＝4k，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫4k 2，4k .∴F A →＝⎝⎛⎭⎫4k 2－1，4k ，FB →＝⎝⎛⎭⎫k 24－1，－k ，∵⎝⎛⎭⎫4k 2－1(－k )－4k ·⎝⎛⎭⎫k 24－1 ＝－4k ＋k －k ＋4k＝0. ∴F A →∥FB →，即A ，F ，B 三点共线.∴直线AB 过焦点F .。

数学考前三个月二轮复习冲刺压轴大题突破练习——直线与圆锥曲线(一)

压轴大题突破练——直线与圆锥曲线（一)1．已知椭圆G ：x 2a 2＋错误!＝1 (a 〉b 〉0)的离心率为错误!，右焦点为(2错误!，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；（2)求△PAB 的面积．解 (1)由已知得c ＝2错误!，错误!＝错误!。

解得a ＝2错误!，又b 2＝a 2－c 2＝4。

所以椭圆G 的方程为错误!＋错误!＝1。

（2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m 。

由错误!，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0。

①设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1)，（x 2，y 2) (x 1〈x 2)，AB 中点为E （x 0，y 0）,则x 0＝错误!＝－错误!，y 0＝x 0＋m ＝错误!；因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝错误!＝－1。

解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0。

解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB ｜＝3错误!.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝错误!＝错误!，所以△PAB 的面积S ＝错误!｜AB ｜·d ＝错误!.2．已知椭圆的一个顶点为A (0,－1）,焦点在x 轴上，中心在原点．若右焦点到直线x －y ＋2错误!＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;（2）设直线y ＝kx ＋m (k ≠0）与椭圆相交于不同的两点M ,N 。

当|AM |＝｜AN |时，求m 的取值范围．解（1）依题意可设椭圆方程为错误!＋y 2＝1，则右焦点F （a 2－1，0），由题设错误!＝3，解得a2＝3。

故所求椭圆的方程为错误!＋y2＝1.(2)设P(x P，y P)，M（x M，y M)，N(x N，y N)，P为弦MN的中点，由错误!得(3k2＋1）x2＋6mkx＋3(m2－1）＝0，∵直线与椭圆相交，∴Δ＝（6mk）2－4（3k2＋1)×3(m2－1)>0⇒m2〈3k2＋1。

(完整版)数学高职高考专题复习__直线、圆锥曲线问题

高考直线、圆锥曲线问题专题复习一、直线基础题1、已知直线L 与直线2x -5y -1=0平行，则L 的斜率为 ( ) A.52 B.52- C.25 D.25- 2、平行直线2x+3y-6=0和4x+6y-7=0之间的距离等于 ( ) A.1313 B.26135 C.13132 D.26133、已知点A （1，3）和B （-5，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A.3x +y+4=0 B.x -3y+8=0 C.x+3y -4=0 D.3x -y+8=04、过点（-3，1）且与直线3x -y -3=0垂直的直线方程是 ( ) A.x +3y=0 B.3x +y=0 C.x -3y +6=0 D.3x -y -6=05、已知M （3，-1），N （-3，5），则线段MN 的垂直平分线方程为 ( )A.x -y -2=0B.x +y -2=0C.3x -2y +3=0D.x -y +2=06、如果点(4，a)到直线4x -3y -1=0的距离不大于3，那么a 的取值范围是区间 ( ) A.[2，12] B.[1，12] C. [0，10] D. [-1，9]7、实数a=0是直线ax -2y -1=0与2ax -2y -3=0平行的 ( ) A.充分而非必要的条件 B.充分且必要的条件C.必要而非充分的条件D.既非必要又非充分的条件 8、已知P ，M 和N 三点共线，且点M 分有向线段所成的比为2，那么点N 分有向线段所成的比为 ( ) A.31-B.-3C.31D.3 9、已知A （-2，1）,B （2，5），则线段AB 的垂直平分线的方程是_________.10、在x 轴上截距为3且垂直于直线x+2y=0的直线方程为___ _______________.二、圆锥曲线基础题11、已知抛物线方程为y 2=8x ，则它的焦点到准线的距离是 ( ) A.8 B.4 C.2 D.6 12、已知椭圆上一点到两焦点（-2，0），（2，0）的距离之和等于6，则椭圆的短轴长为 A.5 B.10 C.5 D.52 ( )13、椭圆9x 2+16y 2=144的焦距为 ( ) A.10 B.5 C.72 D.1414、已知双曲线上有一点到两焦点（-2，0），（2，0）的距离差是2，则双曲线方程为 ( )A.1322=-y x B.1322-=-y x C.1322-=-y x D.1322=-y x 15、P 为椭圆25X 2+9Y 2=225上一点，F 1，F 2是该椭圆的焦点，则| PF 1 |+| PF 2|的值为A.6B.5C.10D.3 (01年成人) ( )16、过双曲线193622=-y x 的左焦点F 1的直线与这双曲线交于A ，B 两点，且|AB|=3.F 2是右焦点，则|AF 2|+|BF 2|的值是 ( ) A.21 B.30 C.15 D.27 17、平面上到两定点F 1（-7，0），F 2（7，0）距离之差的绝对值等于10的点的轨迹方程为 ( )A.11610022=-y x B.14910022=-y x C.1242522=+y x D.1242522=-y x 18、抛物线x y 82=的准线方程是 ( ) A.x =﹣4 B.x =﹣2 C.=y ﹣4 D.=y ﹣219、椭圆15922=+y x 的焦距等于 ( ) A.6 B.214 C.4 D.1420、长为2的线段MN 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动,则线段MN 的中点的轨迹方程是 ( )A.222=+y xB.422=+y x C.222=+y x D.122=+y x21、记双曲线15422=-y x 的右焦点为F,右准线为l .若双曲线上的点P 到l 的距离为35,则=PF ( )A.25 B.35 C.27D.10922、若抛物线px y 22=上到焦点距离为3的点之横坐标为2,则P= ( ) A.4 B.3 C.2D.123、设P 是双曲线191622=-y x 上一点，已知P 到双曲线的一个焦点的距离等于10，则P 到另一个焦点的距离是 ( )A.2B.18C.20D.2或18 24、中心在坐标原点,焦点在x 轴，且离心率为22、焦距为1的椭圆方程是 ( ) A.14222=+y xB.14222=+y x C.12422=+y xD.12422=+y x 25、方程0)()(22=-+-b y a x 的图形是 ( ) A.一个圆 B.两条直线 C.两条射线 D.一个点26、方程0)2)(1(2=+-y x 的图形是 ( ) A.一条直线 B.两条直线 C.一条抛物线 D.直线或抛物线27、如果圆x 2+y 2= r 2 (r>0) 与圆x 2+y 2-24x -10y +165=0相交，那么r 的取值范围是区间 A.（5，9） B.（6，10） C.（10，12） D.（11，15）( ) 28、椭圆21222=+y x 的准线方程是 ( ) A.x=±1 B. y=±1 C. y=±2 D. x=±2 29、焦点在x 轴上，以直线x y 3=与x y 3-=为渐近线的双曲线的离心率为 ( )A.4B.2C.2D.0.530、焦距为2，离心率为33的椭圆，它的两条准线的距离为 ( ) A.6 B.8 C.34 D.3331、如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是区间( ) A.（0，+∞） B.（0，2） C.（1，+∞） D.（0，1）32、如果方程192222=-+-a y a x 表示焦点在y 轴上的双曲线，那么实数a 的取值范围是区间 ( )A.（-3，2）B.（-3，3）C.（-3，+∞）D.（-∞，2）33、已知椭圆2222b x a y +=1(a ＞b ＞0)的离心率为53，两焦点的距离为3，则a+b=_______.三、直线、圆锥曲线综合题35、过圆x 2+y 2=25上一点P （3，4）并与该圆相切的直线方程是 ( ) A.3x －4y=0 B.3x+4y=0 C. 3x －4y －25=0 D.3x +4y －25=0 36、圆x 2+y 2-10y=0的圆心到直线3x +4y -5=0的距离等于 ( )A.53 B.3 C.75D.15 37、如果直线4x -3y+5=0与圆x 2+y 2-4x -2y+m=0相离，那么m 的取值范围是区间( )A.（0，5）B.（1，5）C.（2，6）D.（-1，4）38、直线012=++y x 被圆9)1()2(22=-+-y x 所截得的线段长等于 . 39、（8分）设双曲线x 2－y 2=1上一点P （a ，b ）到直线y=x 的距离等于2，其中a>b,求a,b.40、（10分）已知椭圆1222=+y x ,过点P （1，0）作直线L,使得L 与该椭圆交于A 、B 两点，L 与y 轴交于Q 点，P 、Q 在线段AB 上,且︱AQ ︱=︱BP ︱，求L 的方程.41、(8分) 已知圆的方程为x 2+y 2-6x -4y+12=0，求圆的过点P(2,0)的切线方程.42、(10分) 已知抛物线以原点为顶点，x 轴为对称轴，开口向左，且焦点与顶点的距离为p.在此抛物线上取A 、B 、C 、D 四点，分别记M 和N 为AB 和CD 的中点，如果AB ⊥CD ，求点M 和点N 的纵坐标的乘积.43、(10分) 已知斜率为a ，在y 轴上的截距为2的直线与椭圆132222=+ay a x 有两个不同的交点，求实数a 的取值范围.44、(8分) 已知直线在x 轴上的截距为-1，在y 轴上的截距为1，又抛物线y=x 2+bx+c的顶点坐标为（2，-8），求直线和抛物线两个交点横坐标的平方和.45、(10分) 设F 1和F 2分别是椭圆1422=+y x 的左焦点和右焦点，A 是该椭圆与y 轴负半轴的交点.在椭圆上求点P 使得| PF 1 |，| PA |，| PF 2 |成等差数列.46、(11分) 已知椭圆12222=+by a x 和点P （a ，0）.设该椭圆有一关于x 轴对称的内接正三角形，使得P 为其一个顶点，求该正三角形的边长.47、(11分) 设椭圆)0(16222φλλ=+y x 的焦点在x 轴上，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两点，使得OP 所在直线的斜率为1，OP ⊥OQ ，若△POQ 的面积恰为λ423，求该椭圆的焦距.48、(12分) 已知正方形ABCD 对角的两个顶点A,C 都在抛物线x y 42=上,另外两个顶点B,D 在直线942=-y x 上,求正方形的中心N 的坐标和正方形的面积.49、( 12分) 已知直线b x y +=2与椭圆18222=+y x 相交于不同的两点..、B A 定点P的坐标为(1,2).求b 值,使PAB ∆的面积最大,并求这个最大值.50、给出定点P （2，2）和Q （-2，0），动点M 满足：直线PM 的斜率与QM 的斜率的比值等于2.求动点M 的轨迹方程. 51、经过点P （2，0）且与定圆0422=++x y x 相切的圆的圆心轨迹如何？52、已知椭圆的焦点是F 1（0，50-）和F 2（0，50），且直线y=3x -2被它截得的线段的中点之横坐标为21，求这个椭圆的方程.53、给定抛物线y 2=8x 和定点P （3，2）.在抛物线上求点M ，使M 到P 的距离与到抛物线焦点的距离之和最小，并求这个最小值.附：参考答案 1-8 ABAAD CBA 9.x+y -3=0 10.2x -y -6=0 11-32.BDCAC DDBCDACDAD ADBBA DA 33.29 35-37 DBB 38.4 39.43,45-==b a 40.2222,2222+-=-=x y x y 41.3x -4y -6=0或x=2 42.-4p 243.a ＞1或a＜-1 44.35 45.)31,324(,)31,324(),1,0(--- 46.222334b a ab + 47.4 48.N （25，-1），24549.当b=±22时，面积有最大值250．xy+2x -6y+4=0（x ≠±2） 51.双曲线1322=-y x 52.1752522=+y x 53.)2,21(M ，5。

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2c＝6，可得2a＋2c＝16，
a＝5，解得c＝3，
所以b2＝a2－c2＝52－32＝16. 故所求椭圆 C 的方程为2x52 ＋1y62 ＝1.
解方法一过点(3,0)且斜率为54的直线 l 的方程为 y＝45(x－3)，将之代入 C 的方程，得2x52 ＋x－2532＝1，
即x2－3x－8＝0.
因为(3,0)在椭圆内ห้องสมุดไป่ตู้所以直线l与椭圆有两个交点，
设两交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，中点M的坐标为 (x0，y0)，
则有22xx552221 ＋＋11yy661222＝＝11，，
① ②
由①－②，得x1－x225x1＋x2＝－y1－y216y1＋y2，即1265xy00＝－45.又 y0＝45(x0－3), 所以yx00＝＝－32，65. 故所求线段的中点坐标为23，－65.
y＝kx＋4，由x42＋y22＝1，
消去y，得(1＋2k2)x2＋16kx＋28＝0. 因为直线l与椭圆M相交，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×28＝16(2k2－7)>0，
解得 k<－
214或 k>
14 2.
综上，当直线 l 垂直于 x 轴或直线 l 的斜率的取值范围为
－∞，－ 214∪ 214，＋∞时，直线 l 与椭圆 M 相交.
专题7 解析几何
第33练直线与圆锥曲线的综合问题
题型分析·高考展望
本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的
点评对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.
变式训练1 已知椭圆C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P ( 2， 3) . (1)求椭圆C的方程；解由已知条件得椭圆C的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，
因为点(3,0)在椭圆内，设直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)， B(x2，y2)，
因为x1＋x2＝3，所以线段 AB 中点的横坐标为x1＋2 x2＝32，纵坐标为45×(32－3)＝－65.
故所求线段的中点坐标为23，－65.
方法二过点(3,0)且斜率为45的直线 l 的方程为 y＝45(x－3)，
①
将①代入x82＋y42＝1 整理得 8x2－16x0x＋8x20＝0，
Δ＝(－16x0)2－4×64x20＝0，
∴直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.
题型二直线与圆锥曲线的弦的问题
例2 设椭圆C：ax22＋by22 ＝1 (a>b>0)的左，右焦点分别为F1， F2，且焦距为6，点P是椭圆短轴的一个端点，△PF1F2的周长为16. (1)求椭圆C的方程；解设椭圆的半焦距为c，则由题意，
点评直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程 (组)，不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决.
解设椭圆 C 的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，
c2＝a2－b2，
则ac＝ 22，
解得 a＝ 2，b＝1，
故椭2b圆＝C2，的方程为x22＋y2＝1.
6 4 O→P＝tO→E
将 x＝m 代入椭圆方程得|y|＝
2－m2 2，
所以 S△AOB＝|m|
2－m2 2＝
6 4.
解得 m2＝23或 m2＝12.
(ⅰ)
又O→P＝tO→E＝12t(O→A＋O→B)＝12t(2m,0)＝(mt,0)，
|PF1|＝ 2＋22＋3＝ 9＋4 2＝2 2＋1，
|PF2|＝ 2－22＋3＝ 9－4 2＝2 2－1，
2a＝|PF1|＋|PF2|＝4 2，则 a＝2 2. b2＝a2－c2＝4，因此椭圆 C 的方程为x82＋y42＝1.
D→A＝(－x1,2 2)， E→A＝(－x0,2 2)；
由D→A⊥E→A，得D→A·E→A＝0，
共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高.
常考题型精析高考题型精练
常考题型精析
题型一直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用题型二直线与圆锥曲线的弦的问题
题型一直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用
离心率 e＝ac＝
ac22＝
a2－b2 a2 ＝
故选 A.
答案 A
4－4b2∈0， 23，
x42＋by22＝1
解因为椭圆 M 的离心率为 22，所以4－4 b2＝ 222，得 b2＝2. 所以椭圆 M 的方程为x42＋y22＝1.
②若直线l过点P(0,4)，则直线l何时与椭圆M相交？解 (ⅰ)过点P(0,4)的直线l垂直于x轴时，直线l与椭圆M相交. (ⅱ)过点P(0,4)的直线l与x轴不垂直时，可设直线l的方程为y ＝kx＋4.
ax22＋by22＝1
A.0，
3 2
B.0，34
C. 23，1
D.34，1
解析设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形. ∵|AF|＋|BF|＝4， ∴|AF|＋|AF0|＝4， ∴a＝2.
设 M(0，b)，则|3×320＋－－4×4b2|＝45b≥45，
∴1≤b＜2.
则G(－x1,0) x1x0＋8＝0，则 x1＝－x80， kQG＝x0＋y0 x1＝x0－y0 x80＝xx20－0y08，直线 QG 的方程为 y＝xx20－0y08x－x80＝x20y－0 8(x0x－8)，
又x820＋y420＝1，y20＝41－x820＝12(8－x20)，
可得 y＝± 22x208－－8x20(x0x－8)，