华理复变答案11-12次作业答案

华东理工大学复变函数与积分变换作业（第6册）班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________第十一次作业教学内容：5.3 利用留数计算实积分7.1 Fourier 积分公式 7.2 Fourier 变换 1 计算下列积分： (1)20,0cos d b a a b πθθ<<+⎰;解：设θi e z =，zz 21cos 2+=θ原式⎰=++=121211z dz izzz ba 22222122],21[Re 22221ba b b a a baz bz s i i dz b az bz i z -=-+-++=++=⎰=ππ(2)2422109x x dx x x +∞-∞-+++⎰;910z 2z )(242+++-=z z z f 令则)(z f 在上半平面有两个一级极点i z i z 3,21== 1214221Re [(),](1)(109)16z iz z s f z z i z z =-+==-+'++ 21342237Re [(),](109)48z iz z is f z z z z =-+-=='++ 2422109x x dxx x +∞-∞-+++⎰13752[(1)]164812i i i ππ-=-++=(3)⎰+∞+041x dx解：令411)(z z f +=)(z f 在上半平面上有两个一级极点)1(221i z +=)1(222i z +-= )1(82)1(1]),([Re )1(22411i z z z f s i z +-='+=+=1241)1Re [(),])(1)8z i s f z z i z -+==-'+ =+⎰+∞41x dx [2121- 4i x dx π=+⎰∞+∞)1(82i +-)]i -=(4)22sin ,(0,0)x axdx a b x b+∞>>+⎰; 解：令22)(b z ze z f iaz+=abbi z iaz iax ie b z ze i bi z f i dx b x xe -=∞+∞-='+==+⎰πππ)(2]),([22222所以abiax e dx b x xe -∞+⎰=+π21022（5）⎰∞+∞++-22)54(cos x x xdx 所求的积分是积分⎰∞+∞-++=dx x x e I ix22)54( 的实部 而 ]2,)54([Re 222i z z e s i I iz+-++=π 22])2([2-='++=i z izi z e i π i e 21--=π 所以 2cos )54(cos 22e dx x x x π=++⎰∞+∞-*2．证明方程73120z z -+=的根都在圆环域12z ≤≤内。

证明：当2z <时，取7()f z z =，3()12g z z =-，当2z =时，337()121220()g z z z z f z =-≤+≤<=所以 ，73120z z -+=的根与7z 的根的个数相同，因此，73120z z -+=的根全部在2z =内部当1z <时，取()12f z =，73()g z z z =- 当1z =时，7373()()f z z z z z g z >+≥-=故73120z z -+=的根与12的根个数相同，即在1z =内无根。

综上所述，73120z z -+=的根都在圆环域12z ≤≤内 3、 求下列函数的Fourier 积分变换（1）⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它1001011)(t t t f解： ℱ[]f(t) ⎰⎰⎰-+∞∞----+-==101)(dt e dt e dt e t f it it t i ω0111112(11)(1cos )i ti ti i i e e e e i i i ωωωωωωωωω-----=⋅-⋅=--+=- （2）⎩⎨⎧>≤=0)(t t e t f t解：ℱ[]f(t) ⎰⎰⎰∞--+∞∞-∞---===0)1(0)(dt e dt e e dt e t f t i t i t t i ωωω(1)01111i te i i ωωω--∞=⋅=-- 4 求下列函数的Fourier 变换，并证明所列的积分等式 （1）,cos )(t e t f t-=证明⎰∞+-=++042cos 2cos 42t e td tπωωωω 解：=)(ωF ℱ[])(t f =⎰⎰∞+∞----∞+∞---+=dt e e e edt teet i it it rti rωω2cos {{}⎰⎰⎰⎰+∞+--+∞-+-∞-+-∞--++++=)]1(1[0)]1(1[0)]1(1[0)]1(1[21dte dt e dt edt et i t i ti ti ωωωω}⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+-++-+-+=+∞+--+∞-+-∞-+-∞--+)1(1)1(1)1(1)1(1210)]1(1[0)]1(1[0)]1(1[0)]1(1[ωωωωωωωωi e i e i e i et i t i t i t i }442)1(11)1(1)1(11)1(112142++=⎩⎨⎧+++--++-+-+=ωωωωωωi i i i)(t f 的积分表达式为⎰⎰⎰∞+∞+∞-∞+∞-++=++==04242cos 442144221)(21)(ωωωωπωωωπωωπωωtd d e d e F t f t i ti因此有t e t f td rcos 2)(2cos 442042-∞+==++⎰ππωωωω （2）)0()(>=-ββtet f ，证明⎰+∞-=+0222cos te d t ββπωωβω 解：=)(ωF ℱ[])(t f =⎰⎰⎰∞+--∞+-∞+∞---+==0022cos 2dt e e etdt edt eeti it ttti rωωββωβω )()(][0)(0)()(0)(ωβωβωβωβωβωβi e i e dt eeti ti ti ti +-+--=+=+∞--+∞--+-∞+--⎰22211ωββωβωβ+=++-=i i)(t f 的积分表达式为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-+=+==02222cos 22221)(21)(ωωωββπωωββπωωπωωtd d e d e F t f ti t i 即：⎰+∞-=+0222cos te d t ββπωωβω第十二次作业教学内容 ：7.3δ函数及其Fourier 变换；7.4Fourier 变换的性质1．填空 （1）)()([21)(a t a t t f -++=δδFourier 变换为a ωcos (2) 函数[])()()(00ωωδωωδπω-++=F 的Fourier 逆变换为t 0cos ω（3）t t t f cos sin )(=Fourier 变换为)]2()2([2--+ωδωδπi2． 若=)(ωF ℱ[])(t f ，证明ℱ[][];)()(cos )(00021ωωωωω++-=F F t t f ℱ[][].)()(sin )(00021ωωωωω+--=F F it t f证：ℱ[]=t t f 0cos )(ω⎰∞+∞---+dt e e e t f t i t i t i ωωω2)(00])()([21)()(00⎰⎰+∞∞-++∞∞--+=dt e t f dt e t f t i t i ωωωω)]()([2100ωωωω++-=F F ℱ[]=t t f 0sin )(ω00()2i t i t i t e e f t e dt iωωω-+∞--∞-⎰00()()1[()()]2i t i t f t e dt f t e dt i ωωωω+∞+∞---+-∞-∞=-⎰⎰001[()()]2F F iωωωω=--+ 3．求下列函数的Fourier 变换 （1）t e t f it sin )(2=解：因为ℱ)1()1([]sint [--+=ωδωδπi ，由位移性质得 ℱ=]sin [2t e it )]3()1([---ωδωδπi （2）t t f 2sin )(=解：ℱ=]t sin [2ℱ )]cos2t 1(21[-=21ℱ-]1[21ℱ]cos2[t ()[(2)(2)]2ππδωδωδω=-++-（3）()t u et f ti 0)(ω=解：由像函数的位移性质及ℱ)(1)]([ωπδω+=i t u 得 ℱ)()(1)]([000ωωπδωωω-+-=i t u eti（4）t t u e t f t 0cos )()(ωβ⋅=- 解：ℱ)(ω=⎰⎰⎰∞+---∞+∞---∞+∞--+==002cos )()(00dt e e e edt tet u edt et f ti t i t i tti tti ωωωβωβωω))(1)(1(21)(21000)]([)]([00ωωβωωβωωβωωβ+++-+=+=⎰+∞++--+-i i dt e e t i t i 22)(ωωβωβ+++=i i4 设ℱ[])()(ωF t f =，a 为非零常数，试证明（1）ℱ[]0)(1)(0t a i e aF a t at f ωω-=- （2）ℱ[]0)(1)(0t a i eaF a at t f ωω--=- 证明：（1）由定义有 ℱ[]00()()i t f at t f at t e dt ω+∞--∞-=-⎰)0,(0>=-a u t at 且令⎰∞+∞-+-=du aeu f at u i 1)(0ω（u 换为t ） ⎰∞+∞---=dt e t f e at a i t a i ωω)(10 0)(1t a i e a F a ωω-=当a <0时，ℱ[]=-)(0t at f 0)(1t a i e a F a ωω--因此ℱ[]0)(1)(0t a i e aF a t at f ωω-=- 注：也可以由位移性质和相似性质加以证明。

例如令)()g at f t =（由位移性质得ℱ[]=-)(0t at f ℱ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)]([0a t t a f =ℱ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)(0t t t g =ℱ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-a ti e t g 0)(ω=ℱ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-a ti e at f 0)(ω0)(1t a i e a F aωω-=（相似性质） （2）在结论（1）中取0,t a 分别为0,t a --即得。