人教a版高一上学期数学必修1第一章1.1.3.3《函数的奇偶性》导学案
高中数学人教A版必修一第一章1.3函数的奇偶性教案
函数的奇偶性【知识要点】1．相关定义： 一般地，如果对于函数)(x f 的定义域的任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么称函数)(x f y =是偶函数；如果对于函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么称函数)(x f y =是奇函数.如果函数)(x f 是奇函数或偶函数，我们就说函数)(x f 是奇偶性. 2．函数的奇偶性的判定方法.①定义法：若函数的定义域不是关于原点对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断)(x f -是否等于)(x f ±，或判断)()(x f x f -±是否等于零，或判断)()(x f x f -是否等于1±等等. 步骤：第一步：考查函数的定义域是否关于原点对称；若定义域关于原点对称，则判断)()(x f x f ±=-是否成立；第二步：① 若)()(x f x f -=-，则)(x f 为奇函数； ② 若)()(x f x f =-，则)(x f 为偶函数；③ 若)()(x f x f -=-且)()(x f x f =-，则)(x f 既是奇函数又是偶函数.（只有一类，即)(x f =0，D x ∈，D 关于原点对称）②图象法：奇（偶）函数的充要条件是它的图象关于原点（或y 轴）对称. ③性质法： 3．重要性质.（1）奇函数在[][]a b b a --,,和上有相同的单调性. （2）偶函数在[][]a b b a --,,和上有相反的单调性.【典型例题】例1．判断下列函数是否具有奇偶性.（1）221)(2-+-=x x x f ；（2）)()(Z n x x x f n n ∈-=-例2．证明⎪⎩⎪⎨⎧<--->+-=)0(320)0(32)(22x x x x x x x f ，是奇函数.例3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是)(0)(R x x f ∈=，其中正确命题的个数是（ ）A ．1 B.2 C.3 D.4例4．已知)(x f 是奇函数，且当0>x 时，2)(-=x x x f ，求0<x 时，)(x f 的表达式.例5．已知)(x f 是偶函数，其定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 为增函数，则)3(),(),2(--f f f π的大小关系为（ ）A ．)2()3()(->->f f f π B.)3()2()(->->f f f π C ．)2()3()(-<-<f f f πD. )3()2()(-<-<f f f π例6．函数)(x f ，R x ∈，若对于任意实数b a ,都有)()()(b f a f b a f +=+，求证：)(x f 为奇函数；例7(*)．设函数)(x f 对于任意R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+.且0>x 时，2)1(,0)(-=<f x f .（1）求证：)(x f 是奇函数；（2）试问在33≤≤-x 时，)(x f 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由.课堂练习及课后训练1．判断下列函数的奇偶性. （1）x x x f 2)(3+=；（2）2432)(x x x f +=（3）2211)(x x x f -+-= （4）xxx x f -+-=11)1()(2．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在(]0,∞-上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是（ ） A ．()2,∞-B.()+∞,2C.),2()2,(+∞-∞D.)2,2(-3．设函数))((R x x f ∈为奇函数，)2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=，则)()5(=fA ．0B.1C.25D.54．设)(x f 是()+∞∞-,上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则=)5.7(f ______ 5．函数21)(x b ax x f ++=是定义在)1,1(-上的奇函数，且52)21(=f ； （1）确定函数)(x f 的解析式；（2）用定义证明)1,1()(-在x f 上增函数； （3）解不等式0)()1(<+-t f t f6（*）．设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，且11)()(-=+x x g x f ，求函数)(),(x g x f 的解析式.7（*）．设R x f 在)(上是偶函数，在区间()0,∞-上递增，且有)123()12(22+-<++a a f a a f .求a 的取值范围.。
奇偶性 课件 2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
根据奇偶性,能否求出y轴另一侧图象的解析式?
【例3】 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
解(1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
探究点四
抽象函数奇偶性的探究
问题8函数有解析式相对形象,若不给解析式,只给出函数关系,可否判断其
奇偶性?
【例5】 若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),则( B )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)是非奇非偶函数
D.f(x)是既奇又偶函数
人教A版 数学 必修第一册
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.结合具体函数理解奇函数、偶函数的定义.(数学抽象)
学习目标 2.了解奇函数、偶函数图象的特征.(直观想象)
3.会判断(或证明)函数的奇偶性.(逻辑推理)
基础落实·必备知识一遍过
知识点一:奇、偶函数的定义
有相同的最大(小)值.
微思考 (1)如果f(x)的图象关于原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为
何值?
提示 f(x)的图象关于原点对称,即f(x)为奇函数,故满足f(-x)=-f(x).因为f(x)在
x=0处有定义,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.
(2)是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?
高中数学人教A版必修1 第一章1.3.2 函数的奇偶性教案
优质资料---欢迎下载1.3.2函数的奇偶性（1）年级：高一年级版本：人教A版模块：必修一【教材分析】在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系。
因此，本节课没有一开始就给出定义，而是先让学生观察一组图形，从中寻找它们的共性，目的是先让学生有个直观上的认识。
为了引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述，先提示学生图形是由点组成的，找出其间的关系后，建立概念，目的是为了培养学生从特殊到一般的概括能力。
【教学目标】一、知识与技能1.从形和数两方面进行引导，使学生理解函数的奇偶性及其几何意义，学会判断函数的奇偶性；2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。
二、过程与方法师生共同探究，从代数的角度来严格推证。
三、情感态度与价值观从生活中的对称联想到数学中的对称，再通过严密的代数形式去表达、推理。
【教学重难点】教学重点：函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判定教学难点：判断函数奇偶性的方法与格式【教学过程】12（一）创设情景，揭示课题回顾轴对称图形和中心对称图形的概念，和点出“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？请从对称的角度对下列函数进行分类。
④O xy()x f 1=③O xy①②xyxx f =)(oO yx-1f x |x |=通过讨论归纳：函数①③关于y 轴对称，函数②④关于原点对称。
（二）新知探究观察下列两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．函数的奇偶性定义： 1．偶函数3一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．概念辨析：问题1：研究函数优先考虑定义域，偶函数的定义域有什么要求？ （定义域关于原点对称） 问题2：为什么强调任意和都有？ （说明具有一般性，避免特殊性） 问题3：偶函数的图像有什么特点？ （关于y 轴对称） f(x)为偶函数f(x)的图像关于y 轴对称问题4：如何判断一个是否为奇函数？1 形----观察函数图像是否关于y 轴或原点对称。
最新人教版高一数学必修1第一章《函数的奇偶性》教案1
《函数的奇偶性》教案1
教学目标：
1．理解函数的奇偶性及其几何意义；会运用函数图象理解和研究函数的性质；会判断函数的奇偶性.
2．通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．
3. 通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．
教学重点难点：
重点：函数的奇偶性及其几何意义．
难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．
教法与学法：
1．教学方法：启发引导．
2．学习指导：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．
教学过程：
【创设情境导入新课】
【归纳小结，课堂延展】
教学设计说明
1．教材地位分析：
函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关联，而且为后面学习基本初等函数的性质作好了坚实的准备和基础．因此,本节课的内容是至关重要的,它对知识起到了承上启下的作用．
2．学生现实分析：
从学生认知角度看：由于学生是刚进入高中的学生,虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但由于年龄的原因,思维尽管活跃,敏捷,却缺乏冷静,深刻,因此考虑问题会片面,不严谨。
从学生的思维特点看,学生很难从前面所学的函数的单调性联系到函数图形的对称性反映了函数的奇偶性，这对学生的思维是一个突破．。
人教A版高中数学必修1教案完整版
第一章集合与函数概念一. 课标要求：本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力.6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7. 能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f（x）的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例二. 编写意图与教学建议1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn 图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。
高一数学必修1《函数的奇偶性》说课稿
⾼⼀数学必修1《函数的奇偶性》说课稿 "说课"是教学改⾰中涌现出来的新⽣事物，是进⾏教学研究、教学交流和教学探讨的⼀种新的教学研究形式，也是集体备课的进⼀步发展，⽽说课稿则是为进⾏说课准备的⽂稿。
下⾯是店铺为⼤家整理的⾼⼀数学必修1《函数的奇偶性》说课稿，欢迎参考! ⾼⼀数学必修1《函数的奇偶性》说课稿 ⼀、教材分析 1.教材所处的地位和作⽤ “奇偶性”是⼈教A版第⼀章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2⼩节。
奇偶性是函数的⼀条重要性质，教材从学⽣熟悉的及⼊⼿，从特殊到⼀般，从具体到抽象，注重信息技术的应⽤，⽐较系统地介绍了函数的奇偶性。
从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，⼜是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三⾓函数的基础。
因此，本节课起着承上启下的重要作⽤。
2.学情分析 从学⽣的认知基础看，学⽣在初中已经学习了轴对称图形和中⼼对称图形，并且有了⼀定数量的简单函数的储备。
同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本⽅法与初步经验。
从学⽣的思维发展看，⾼⼀学⽣思维能⼒正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够⽤假设、推理来思考和解决问题. 3.教学⽬标 基于以上对教材和学⽣的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学⽬标： 【知识与技能】 1.能判断⼀些简单函数的奇偶性。
2.能运⽤函数奇偶性的代数特征和⼏何意义解决⼀些简单的问题。
【过程与⽅法】 经历奇偶性概念的形成过程，提⾼观察抽象能⼒以及从特殊到⼀般的归纳概括能⼒。
【情感、态度与价值观】 通过⾃主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。
从课堂反应看，基本上达到了预期效果。
4、教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念和⼏何意义。
⼏年的教学实践证明，虽然“函数奇偶性”这⼀节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全⾯的学⽣容易出现下⾯的错误。
他们往往流于表⾯形式，只根据奇偶性的定义检验成⽴即可，⽽忽视了考虑函数定义域的问题。
人教A版高中数学必修一全册导学案奇偶性
§1.3.2 奇偶性1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3336复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.（1）2()1f x x =-； （2）1()f x x=复习2：对于f (x )＝x 、f (x )＝x 2、f (x )＝x 3、f (x )＝x 4，分别比较f (x )与f (－x ).二、新课导学※ 学习探究探究任务：奇函数、偶函数的概念思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：（1）()f x x =、1()f x x=、3()f x x =； （2）2()f x x =、()||f x x =.观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？新知：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）.试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function ）的定义.反思：① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.试试：已知函数21()f x x=在y 轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.※ 典型例题例1 判别下列函数的奇偶性：（1）()f x = （2）()f x =（3）42()35f x x x =-+； （4）31()f x x=.小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算()f x -，并与()f x 进行比较.试试：判别下列函数的奇偶性：（1）f (x )＝|x ＋1|+|x －1|； （2）f (x )＝x ＋1x； （3）f (x )＝21x x+； （4）f (x )＝x 2, x ∈[-2,3].例2 已知f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f (x )的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.变式：已知f (x )是偶函数，且在[a ,b ]上是减函数，试判断f (x )在[-b ,-a ]上的单调性，并给出证明.小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.※ 动手试试练习：若3()5f x ax bx =++，且(7)17f -=，求(7)f .三、总结提升※ 学习小结1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.※ 知识拓展定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x 有（ ）.A．()()0f x f x--=B．()()0f x f x+-=C．()()0f x f x-=D．(0)0f≠2. 已知()f x是定义(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x在[)0,+∞上是减函数. 下列关系式中正确的是（）A. (5)(5)f f>- B.(4)(3)f f>C. (2)(2)f f-> D.(8)(8)f f-=3. 下列说法错误的是（）.A.1()f x xx=+是奇函数B. ()|2|f x x=-是偶函数C. ()0,[6,6]f x x=∈-既是奇函数，又是偶函数D.32()1x xf xx-=-既不是奇函数，又不是偶函数4. 函数()|2||2|f x x x=-++的奇偶性是.5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是函数，且最值为.1. 已知()f x是奇函数，()g x是偶函数，且1()()1f xg xx-=+，求()f x、()g x.2. 设()f x在R上是奇函数，当x>0时，()(1)f x x x=-，试问：当x<0时，()f x的表达式是什么？。
人教A版高中数学必修1教案完整版
第一章集合与函数概念一. 课标要求：本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力.6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二. 编写意图与教学建议1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。
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§必修1.1.3.3 函数的奇偶性知识梳理1．奇偶性定义如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．2．奇偶性的特点由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，而偶函数刚好相反．对于奇函数f(x) ，当f(0)有意义时，f(x)的图象一定过原点．例题讲解题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数是否具有奇偶性．(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3].分析：先求定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．解析：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R.当x∈R，－x∈R.∵f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)．∴f(x)＝x＋x3＋x5为奇函数．(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R，－x∈R.∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴f(x)＝x2＋1是偶函数．(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，当x∈R时，－x∈R，∵f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，(x∈R)∴f(x)＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在3∈[－1,3]，而－3∉ [－1,3]．∴f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是偶函数，也不是奇函数．点评：判断函数奇偶性的方法(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．巩固判断函数的奇偶性：f(x)＝|x＋1|－|x－1|解析：函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．题型二奇偶函数的图象及应用例2(1)奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点()(2)设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．解析：(1)根据奇函数图象的特征：奇函数的图象关于原点对称，知点(a，f(a))在其图象上，则它关于原点的对称点(－a，－f(a))也必在其图象上．(2)由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解．∵当x∈[0,5]时，f(x)＜0的解为2＜x≤5，所以当x∈[－5,0]时，f(x)＜0的解为－5≤x＜－2.∴f(x)＜0的解集是{x|－5≤x＜－2或2＜x≤5}．答案：(1)C(2){x|－5≤x＜－2或2＜x≤5}点评：已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象．奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反．巩固偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，使f(x)＜0的自变量范围是()A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4，－1)∪(1,4)C．(－∞，－4)∪(－1,0)D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)解析：根据题目条件，想象函数图象如下：答案：B题型三利用函数的奇偶性求函数的解析式例3已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，求当x∈(0，＋∞)时，f(x)的表达式．解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，所以f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4，因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x－x4.点评：解答该类问题的思路(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)．注意，若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0.巩固若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求当x≥0时，函数f(x)的解析式．分析：将x<0时，f(x)的解析式转化到x>0上，这是解决本题的关键．解析：由f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－{(－x)[1－(－x)]}＝x(1＋x)当x＝0时，f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．A组1．判断下列函数的奇偶性:①y＝－x2；②y＝x3；③y＝x2－x；④y＝0.答案：①偶函数②奇函数③非奇非偶函数④既是奇函数又是偶函数2．若奇函数f(x)的定义域为[p，q]，则p＋q＝________.答案：03．定义域R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2x ＋1中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案：CB 组1．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．无法确定解析：∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.答案：B2．(2013·山东卷)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2答案：A3．如果偶函数在区间[a ，b ]上有最大值，那么该函数在区间[－b ，－a ]上( )A ．有最大值B ．有最小值C ．没有最大值D ．没有最小值解析：∵偶函数图象关于y 轴对称，由偶函数在区间[a ，b ]上具有最大值，∴在区间[－b ，－a ]上有最大值．答案：A4．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋5，其中a ，b 为常数，若f (－7)＝－7，则f (7)＝( )A ．7B ．－7C ．12D ．17解析：∵f (－7)＝－7，∴a (－7)3＋b (－7)＋5＝－7，∴73a ＋7b ＝12.∴f(7)＝73a＋7b＋5＝12＋5＝17.答案：D5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴k－1＝0，∴k＝1，∴f(x)＝－x2＋3的递减区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)C组1．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数解析：取f(x)＝x，则f(x)f(－x)＝－x2是偶函数，A错，f(x)|f(－x)|＝x2是偶函数，B错；f(x)－f(－x)＝2x是奇函数，C错．故选D.答案：D2．已知定义在R上的偶函数f(x)的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f(x)＜f(2)成立的自变量取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：∵f(x)是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：由图示可知：f(x)＜f(2)成立的自变量的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：D3．设函数f (x )满足：①函数在(－∞，－1)上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值．则f (x )可以是：____________.答案：f (x )＝x 2(答案不唯一)4．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 2.求当x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )的表达式．解析：当x ∈(0，＋∞)时，－x ∈(－∞，0)，因为x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 2，所以f (－x )＝(－x )－(－x )2，因为f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋x 2.综上，x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 2(x ＞0)，0(x ＝0)，x －x 2(x ＜0).5．已知函数f (x )＝－x 3＋3x .求证：(1)函数f (x )是奇函数；证明：显然f (x )的定义域是R.设任意x ∈R ，∵f (－x )＝－(－x )3＋3(－x )＝－(－x 3＋3x )＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数．(2)函数f (x )在区间(－1,1)上是增函数．证明：在区间(－1,1)上任取x 1，x 2，且x 1＜x 2.f (x 2)－f (x 1)＝－(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21)＋3(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(3－x 22－x 2x 1－x 21)． 因为－1＜x 1＜x 2＜1，所以(x 2－x 1)＞0，(3－x 22－x 2x 1－x 21)＞0，所以f(x2)＞f(x1)．所以函数f(x)＝－x3＋3x在区间(－1,1)上是增函数．课后总结：1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．(2)确定f(－x)与f(x)的关系．(3)作出相应结论．2．若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数．3．若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．4．函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．5．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．6．奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反．7．偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相同．8．设f(x)，g(x)有公共的定义域，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．。