高考复习全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)
2013年上海高考数学试卷(理工农医类)
共 12 页，第 1 页2 0 13 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．计算：．20lim313n n n →∞+=+2．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则．m R ∈222(1)m m m i +-+-i m =3．若，则 ．2211x x x y y y =--x y +=4．已知的内角所对的边分别是．若，则角的ABC ∆A B C 、、a b c 、、22232330a ab b c ++-=C 大小是（结果用反三角函数值表示）．5．设常数．若的二项展开式中项的系数为，则 ．a R ∈25(a x x+7x 10-a =6．方程的实数解为 ．1313313x x-+=-7．在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为．cos 1ρθ=+cos 1ρθ=8．盒子中装有编号为的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数1,2,3,4,5,6,7,8,9的概率是（结果用最简分数表示）．9．设是椭圆的长轴，点C 在上，且．若，，则的两个焦点AB ΓΓ4CBA π∠=4AB =BC =Γ之间的距离为 ．10．设非零常数是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，d 12319,,,,x x x x ξ12319,,,,x x x x 则方差．D ξ=11．若，，则 ．1cos cos sin sin 2x y x y +=2sin 2sin 23x y +=sin()x y +=12．设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，．若a ()y f x =R 0x <2()97a f x x x=++()1f x a ≥+对一切成立，则的取值范围为 ．0x ≥a 13．在平面上，将两个半圆弧和、两条直线xOy 22(1)1(1)x y x -+=≥22(3)1(3)x y x -+=≥1y =和围成的封闭图形记为，如图中阴影部分．记绕轴旋转1y=-D D y 一周而成的几何体为．过作的水平截面，所得截面Ω(0,)(||1)y y ≤Ω面积为．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个48ππ长方体，得出的体积值为．Ω14．对区间上有定义的函数，记．已知定义域为的函数I ()g x (){|(),}g I y y g x x I ==∈[0,3]有反函数，且，．若方程()y f x =1()y f x -=1([0,1))[1,2)f -=1((2,4])[0,1)f -=()0f x x -=有解，则．0x 0x =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设常数，集合，．若，则的取值a R ∈{|(1)()0}A x x x a =--≥{|1}B x x a =≥-A B R = a 范围为（）．(A)(B)(C)(D) (,2)-∞(,2]-∞(2,)+∞[2,)+∞16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）．(A) 充分条件(B) 必要条件共 12 页，第 3页(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件17．在数列中，．若一个7行12列的矩阵的第行第列的元素{}n a 21n na =-i j ,i j i j i jc a a a a =⋅++（；），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）．1,2,,7i= 1,2,,12j = (A) 18(B) 28(C) 48(D) 6318．在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、ABCDEF A 1a 2a 3a、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若、分别为4a 5a D 1d 2d 3d 4d 5dm M 的最小值、最大值，其中，，()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆则、满足（）．m M (A) ， (B) ，0m =0M >0m <0M >(C) ，(D) ，0m <0M =0m <0M <三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，在长方体中，，，. 证明直线平行于平面，''''ABCD A B C D -2AB =1AD ='1AA ='BC 'D AC 并求直线到平面的距离．'BC 'D AC20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每一小时可获得的利润x 110x ≤≤是元．310051x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求的取值范围；x （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数，其中常数．()2sin()f x x ω=0ω>共 12 页，第 5 页（1）若在上单调递增，求的取值范围；()yf x =2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数2ω=()y f x =6π()y g x =的图像．区间（，且）满足：在上至少含有30个零点．在所有[,]a b ,a b R ∈a b <()y g x =[,]a b 满足上述条件的中，求的最小值．[,]a b b a -22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．如图，已知双曲线，曲线．是平面内一点，若存在过点的直线与、221:12x C y -=2:1C y x =+P P 1C 都有公共点，则称为“型点”．2C P 12C C -（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过1C 12C C -该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点y kx =2C 1k >不是“型点”；12C C -（3）求证：圆内的点都不是“型点”．2212x y +=12C C -23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．给定常数，定义函数．数列123,,,a a a 满足，．0c >()24f x x c x c =++-+1()n n a f a +=*n N ∈（1）若，求及；12a c =--2a 3a共 12 页，第 7 页（2）求证：对任意，；*n N ∈1n na a c +-≥（3）是否存在，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．1a 1a 上海 数学试卷（理工农医类） 参考答案一、填空题（第1题至第14题）1.132. 2-3.4. 1arccos3π-05. 6.8.2-3log 41318 10.11.12. 13. 14. 230d 238,7⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦2216ππ+2二、选择题（第15题至第18题）15. 16. 17. 18. B B A D三、解答题（第19题至第23题）19．[解]如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、(1,0,1)A 、、、．(1,2,1)B (0,2,1)C '(0,2,0)C '(0,0,0)D 设平面的法向量为，则，．'D AC (,,)n u v w ='n D A ⊥ 'n D C ⊥ 因为，，，，'(1,0,1)D A ='(0,2,1)D C = '0n D A ⋅= '0n D C ⋅= 所以，解得，．取，得平面的020u w v w +=⎧⎨+=⎩2u v =2w v =-1v ='D AC 一个法向量．(2,1,2)n =-因为，所以，所以．'(1,0,1)BC =--'0n BC ⋅= 'n BC ⊥ 又不在平面内，所以直线与平面平行．'BC 'D AC 'BC 'D AC 由，得点到平面的距离，(1,0,0)CB = B 'D AC 23d 所以直线到平面的距离为．'BC 'D AC 2320．[解]（1）生产该产品2小时的利润为．33100(51)2200(51)x x x x+-⨯=+-由题意，，解得或．3200(51)3000x x +-≥3x ≥15x ≤-又因为，所以．110x ≤≤310x ≤≤（2）生产900千克该产品，所用的时间是小时，900x获得的利润为，．2390031100(51)900005x x x x x ⎛⎫+-⋅=-++ ⎪⎝⎭110x ≤≤共 12 页，第 9 页记，，则．231()5f x x x =-++110x ≤≤2111()3(5612f x x =--++当且仅当时取到最大值，最大利润为元．6x =619000045750012⨯=因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．21．[解]（1）因为函数在上单调递增，且，()y f x =2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0ω>所以，且，所以．223ππω≥24ππω-≤-304ω<≤（2），()2sin 2f x x =将的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的图像，()y f x =6π2sin 2(16y x π=++所以．()2sin 2(16g x x π=++令，得或，所以两个相邻零点之间的距离为或．()0g x =512x k ππ=+3()4x k k Z ππ=+∈3π23π若最小，则和都是零点，b a -a b 此时在区间，，…， 上分别恰有3，5，…，个[],a a π+[],2a a π+[],a m a π+()*m N ∈21m +零点，所以在区间上恰有29个零点，[],14a a π+从而在区间上至少有一个零点，所以．(]14,a b π+143b a ππ--≥另一方面，在区间上恰有30个零点，55,1412312ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦因此，的最小值为．b a -431433πππ+=22．[解]（1）的左焦点为，写出的直线方程可以是以下形式：1C ()，其中．x =(y k x =+k ≥（2）因为直线与有公共点，ykx =2C 所以方程组有实数解，因此得．1y kxy x =⎧⎨=+⎩1kx x =+11x k x +=>若原点是“”型点，则存在过原点的直线与都有公共点．12C C -12C C 、考虑过原点与有公共点的直线或．2C 0x =()1y kx k =>显然直线与无公共点．0x =1C 如果直线为，则由方程组，得矛盾．()1y kx k =>2212y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩222012x k =<-所以直线与也无公共点．()1y kxk =>1C 因此原点不是“型点”．12C C -（3）记圆，取圆内的一点．设有经过的直线与都有公共点．显然221:2O x y +=O Q Q l 12C C 、l 不垂直于轴，故可设．x :l y kx b =+若，由于圆夹在两组平行线与之间，因此圆也夹在直线与1k ≤O 1y x =±1y x =-±O 1y kx =±之间，从而过且以为斜率的直线与无公共点，矛盾，所以．1y kx =-±Q k l 2C 1k >因为与有公共点，所以方程组有实数解，l 1C 2212y kx b x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得．因为，所以，()222124220kxkbx b ----=1k >2120k -≠因此，即．()()()()222224412228120kb kbb k ∆=----=+-≥2221b k ≥-因为圆的圆心到直线的距离，O ()0,0l d=共 12 页，第 11 页所以，，从而，得，与矛盾．222112b d k =<+2221212k b k +>≥-21k <1k >因此，圆内的点都不是“型点”．221:2O x y +=12C C -23．[解]（1）．232,10a a c ==+（2）()8,33+8,8,x c f x x c x c ++⎧⎪=+⎨⎪---⎩,4,4.x c c x c x c ≥---≤<-<--当时，；n a c ≥-18n n a a c c +-=+>当时，；4nc a c --≤<-()12382438n n n a a a c c c c +-=++≥--++=当时，．4n a c <--()128248n n n a a a c c c c +-=---≥-----=所以，对任意，．n N *∈1n na a c +-≥（3）由（2），结合得，即为无穷递增数列．0c >1n n a a +>{}n a 又为等差数列，所以存在正数，当时，，{}n a M n M >na c ≥-从而，．1()8n n n a f a a c +==++由于为等差数列，因此其公差．{}n a 8d c =+① 若，则，14a c <--211()8a f a a c ==---又，故，即，从而．2118a a d a c =+=++1188a c a c ---=++18a c =--20a =当时，由于为递增数列，故，2n ≥{}n a 20na a c ≥=>-所以，，而，1()8n n n a f a a c +==++218a a c =++故当时，为无穷等差数列，符合要求；18a c =--{}n a ② 若，则，又，14c a c --≤<-211()338a f a a c ==++2118a a d a c =+=++所以，，得，舍去；113388a c a c ++=++1a c =-③ 若，则由得到，1a c ≥-1n a a ≥1()8n n n a f a a c +==++从而为无穷等差数列，符合要求．{}n a 综上，的取值集合为．1a [){},8c c -+∞--。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(上海.理)含答案 (2)
2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．2．若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m ． 3．函数1)(-=x xx f 的反函数=-)(1x f ．4．方程 96370x x -•-=的解是 ．5．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y •的最大值是 ．6．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ．7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．8．以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是． 9．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ．10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件：． 11．已知P 为圆1)1(22=-+y x 上任意 一点（原点O 除外），直线OP 的倾斜角为θ弧度，记||OP d =． 在右侧的坐标系中，画出以()d θ， 为坐标的点的轨迹的大致图形为二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i ,i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 02=++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是（ ） Ａ．45p q =-=， Ｂ．43p q =-=， Ｃ．45p q ==，Ｄ．43p q ==，1C 1B1A13．设a b ，是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（ ） Ａ．22b a < Ｂ．b a ab 22< Ｃ．ba ab 2211< Ｄ．b aa b < 14．直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i j i+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立 Ｃ．若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立 Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB ．求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，…，1a a n =，即1+-=i n i a a （12i n =，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01mm m m C C C ，，，就是“对称数列”．（1）设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ， 114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k k c c c +-，，，是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值？并求出12-k S 的最大值；（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得211222m -，，，，依次是该数列中连续的项；当m 1500>时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y 轴的交点．（1）若012F F F △是边长为1“果圆”的方程；（2）当21A A >21B B 时，求ab的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆” 的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． {}34≠<x x x 且2． 32-3． ）（11≠-x x x 4．7log 35． 161 6． π 7． 3.08． )3(122+=x y9．②④10． 21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）11．二、选择题（第12题至第15题）题 号12131415答 案ACBD三、解答题（第16题至第21题）16．解法一： 由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ====△， ∴ 211==CC AA ．连接1BC ．1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角． 52211=+=BC CC BC ， 51tan 11111==∠∴BC C A BC A ，则 11BC A ∠＝55arctan ． CB1B1A A1C即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan． 解法二： 由题意，可得 体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆====， 21=∴CC ，如图，建立空间直角坐标系． 得点(010)B ，，，1(002)C ，，，1(102)A ，，． 则1(112)A B =--，，， 平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． 设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，A 1与的夹角为ϕ， 则116cos 6A B n A Bn ϕ==-66arcsin ,66|cos |sin ===∴θϕθ，即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为66arcsin ． 17．解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ， 10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为%36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥．解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61． 19．解：（1）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-，)(x f ∴为偶函数． 当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设122x x <≤， 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121， 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立．121204x x x x -<>，，即)(2121x x x x a +<恒成立．又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ． a ∴的取值范围是(16]-∞，．解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数．当0<a 时，反比例函数xa在[2)+∞，为增函数，xax x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数． 当0>a 时，同解法一．20．解：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ， 50134)13(42212-⨯+--=-k S k ， ∴当13=k 时，12-k S 取得最大值． 12-k S 的最大值为626． （3）所有可能的“对称数列”是：① 22122122222221m m m ---，，，，，，，，，，； ② 2211221222222221m m m m ----，，，，，，，，，，，； ③ 122221222212222m m m m ----，，，，，，，，，，； ④ 1222212222112222m m m m ----，，，，，，，，，，，． 对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ． 当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m 1222200921--+=--m m m ． 对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ．当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ． 对于③，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 3222009-+=-m m ． 对于④，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-m m ．21． 解：（1）()()012(0)00F c F F -，，，，，021211F F b F F ∴=====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）由题意，得 b c a 2>+，即a b b a ->-222． 2222)2(a c b b =+> ，222)2(a b b a ->-∴，得54<a b ． 又21,222222>∴-=>a b b a c b ． 45b a ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，． （3）设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥，22221(0)y x x b c+=≤．记平行弦的斜率为k ．当0=k 时，直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是P t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤的交点是Q t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ∴ P Q ，的中点M ()x y ，满足 221,2a ct x b y t ⎧-⎪=-⎨⎪=⎩，得122222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b y c a x ． b a 2<，∴ 22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭． 综上所述，当0=k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当0>k 时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，． 由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x kab y 22-=上，即不在某一椭圆上． 当0<k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．。
上海 数学试卷(理工农医类)
（B）乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 （D）丁地：总体均值为 2，总体方差为 3
18.过圆 C：(x 1)2 ( y 1)2 1的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于
点 A、B， AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 S S¥ S S|||, 则直线 AB 有（ ）
A1C = 2, 2, 2 ， A1B1 = 2, 0, 0 ，
…… 7 分
n
A1B1
=
2x
=0，
n
A1C
=
2x
2y
2z
0
，
z
1，解得
x
0,
y
1。
n
=
0,1,1
，
…… 10 分
设法向量 n 与 BM 的夹角为 ，二面角 B1 A1C C1的大小为，显然为锐角 。
1
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
20（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。 有时可用函数
f ( x) 0x.x1441.45,l(nxaa6x) , ( x 6) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数（ x N * ）， f (x) 表示
(4，5) ， (6，6) 为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使 6 个零
售点沿街道到发行站之间路程的和最短. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
14.将 函 数 y 4 6x x 2 2 (x 0，6) 的 图 像 绕 坐 标 原 点 逆 时 针 方 向 旋 转 角
高考上海理科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(上海卷)本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题(本大题共有14题，满分56分)每题填对得4分，否则一律得零分． 1．计算：311i-=+__________(i 为虚数单位)． 2．若集合A ＝{x |2x ＋1＞0}，B ＝{x ||x －1|＜2}，则A ∩B ＝__________. 3．函数 2 cos ()sin 1x f x x =-的值域是__________．4．若n ＝(－2,1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示)．5．在(x －2x)6的二项展开式中，常数项等于__________． 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则12lim()n n V V V →∞+++=…__________.7．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________． 9．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝__________.10．如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角π6α=.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝__________.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是__________(结果用最简分数表示)．12．在平行四边形ABCD 中，π3A ∠=，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是__________． 13．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为__________．14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC ＝2.若AD ＝2c ，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，其中a ，c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是__________．二、选择题(本大题共有4题，本大题满分20分)每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．15．若1是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝2，c ＝－116．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定17．设10≤x 1＜x 2＜x 3＜x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值122x x +，232x x +，342x x +，452x x +，512x x +的概率也均为0.2.若记Dξ1，Dξ2分别为ξ1，ξ2的方差，则( )A ．Dξ1＞Dξ2B ．Dξ1＝Dξ2C ．Dξ1＜Dξ2D ．Dξ1与Dξ2的大小关系与x 1，x 2，x 3，x 4的取值有关18．设1πsin25n n a n =，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( ) A ．25 B ．50 C ．75 D ．100A ．16B ．72C ．86D ．100三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD =P A ＝2.求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小． 20．已知函数f (x )＝lg(x ＋1)．(1)若0＜f (1－2x )－f (x )＜1，求x 的取值范围； (2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的反函数．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1. (1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P ，Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．23．对于数集X ＝{－1，x 1，x 2，…，x n }，其中0＜x 1＜x 2＜…＜x n ，n ≥2，定义向量集Y ＝{a|a ＝(s ，t )，s ∈X ，t ∈X }．若对任意a 1∈Y ，存在a 2∈Y ，使得a 1·a 2＝0，则称X 具有性质P .例如{－1,1,2}具有性质P .(1)若x ＞2，且{－1,1,2，x }具有性质P ，求x 的值；(2)若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1＝1；(3)若X 具有性质P ，且x 1＝1，x 2＝q (q 为常数)，求有穷数列x 1，x 2，…，x n 的通项公式．1．答案：1－2i解析：＝23i (3i)(1i)33i i i 12i 1i (1i)(1i)2-----+===-++-. 2．答案：{x |12-＜x ＜3}解析：A ＝{x |2x ＋1＞0}＝{x |x ＞12-}，B ＝{x ||x －1|＜2}＝{x |－1＜x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |12-＜x ＜3}．3．答案：[52-，32-]解析：f (x )＝2×(－1)－sin x cos x ＝－2－sin22x，∵sin2x ∈[－1,1]，∴f (x )∈[52-，32-]4．答案：arctan2解析：∵n ＝(－2,1)是直线l 的一个法向量，∴v ＝(1,2)是直线l 的一个方向向量，∴l 的斜率为2，即倾斜角的大小为arctan2.5．答案：－160解析：(x －2x )6的二项展开式中的常数项为36C ·(x )3·(－2x )3＝－160. 6．答案：87解析：棱长是以1为首项、12为公比的等比数列，则体积V 1，V 2，…，V n 是以1为首项、18为公比的等比数列，所以V 1＋V 2＋…＋V n ＝11[1()]818[1()]17818n n ⋅-=⋅--， ∴128lim ()7n n V V V →∞+++=…. 7．答案：(－∞，1]解析：e ()e x a a x x a f x x a --⎧>=⎨<⎩，，，，当x ＞a 时f (x )单调递增，当x ＜a 时，f (x )单调递减，又f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1.8．答案：3解析：如图，由题意知21π2π2l =， ∴l=2.又展开图为半圆，∴πl =2πr ， ∴r =121π33V r h ==. 9．答案：－1解析：令H (x )＝f (x )＋x 2，则H (1)＋H (－1)＝f (－1)＋1＋f (1)＋1＝0，∴f (－1)＝－3， ∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 10．答案：1πsin()6θ- 解析：如图所示，根据正弦定理，有25π5πsin sin(π)66ρθ=--，∴1πsin()6ρθ=-.11．答案：23解析：若每人都选择两个项目，共有不同的选法222333C C C 27＝种，而有两人选择的项目完全相同的选法有222332C C A 18＝种，故填23. 12．答案：[2,5] 解析：如图，设||||||||BM CN BC CD λ==，则λ∈[0,1]，AM ·AN ＝(AB ＋BM )·(AD ＋DN )＝(AB ＋λBC )·(AD ＋(λ－1)CD )＝AB ·AD ＋(λ－1)AB ·CD ＋λBC ·AD ＋λ(λ－1)BC ·CD ＝1×2×12＋(λ－1)×(－4)＋λ×1＋λ(λ－1)×(－1)＝1＋4－4λ＋λ－λ2＋λ＝－(λ＋1)2＋6.∵λ∈[0,1]，∴AM ·AN ∈[2,5]． 13．答案：54解析：由题意110,0,2()11010,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩则22110,0,2()11010,1,2x x xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为1122210210d (1010)d x x x x x +-+⎰⎰＝323111010(5)213302x x x +-＝1011051015(5)()3834384⨯+---⨯=. 14．答案：23解析：如图：当AB =BD =AC =CD =a 时， 该棱锥的体积最大．作AM ⊥BC ，连接DM ，则BC ⊥平面ADM ，AM ，DM =.又AD =2c ，∴ADM S ∆=∴V D －ABC =V B －ADM +V C －ADM =2315B 由x 1＝1i ，知x 2＝1i.则x 1＋x 2＝2＝－b ，即b ＝－2；x 1x 2＝(1i)(1i)＝1－2i 2＝3＝c . 16． C 由正弦定理可知a 2＋b 2＜c 2，从而222cos 02a b c C ab+-=<， ∴C 为钝角，故该三角形为钝角三角形． 17． A Eξ1＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)233445511220.222222x x x x x x x x x xE ξ+++++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5) ∴Eξ1＝Eξ2，记Eξ1＝Eξ2＝a .则Dξ1＝0.2[(x 1－a )2＋(x 2－a )2＋(x 3－a )2＋(x 4－a )2＋(x 5－a )2] ＝0.2[x 12＋x 22＋x 32＋x 42＋x 52－2a (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＋5a 2] Dξ2＝0.2[(122x x +－a )2＋(232x x +－a )2＋(342x x +－a )2＋(452x x +－a )2＋(512x x +－a )2]＝0.2{14[(x 1＋x 2)2＋(x 2＋x 3)2＋(x 3＋x 4)2＋(x 4＋x 5)2＋(x 5＋x 1)2]－2a (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＋5a 2]}∴Dξ1－Dξ2＝0.2{x 12＋x 22＋x 32＋x 42＋x 52－14[(x 1＋x 2)2＋(x 2＋x 3)2＋(x 3＋x 4)2＋(x 4＋x 5)2＋(x 5＋x 1)2]}＝120[2x 12＋2x 22＋2x 32＋2x 42＋2x 52－(2x 1x 2＋2x 2x 3＋2x 3x 4＋2x 4x 5＋2x 5x 1] ∵10≤x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5 ∴x 12＋x 22＞2x 1x 2 x 22＋x 32＞2x 2x 3 x 32＋x 42＞2x 3x 4 x 42＋x 52＞2x 4x 5 x 52＋x 12＞2x 5x 1∴2x 12＋2x 22＋2x 32＋2x 42＋2x 52＞2x 1x 2＋2x 2x 3＋2x 3x 4＋2x 4x 5＋2x 5x 1 ∴Dξ1－Dξ2＞0，即Dξ1＞Dξ2. 18． D ∵1sin π25n na n =，∴当n ≤24时，a n 均大于0，a 25＝0， ∴可知S 1，S 2，…，S 25均大于0.又2611261π1sin πsin 2625262526a a ==-=-， ∴S 26＝2526a 1＋a 2＋…＋a 25＞0，而272127122sin πsin π2725272527a a ==-=-，∴a 27＋a 2＞0.同理可得a 28＋a 3＞0，…，a 49＋a 24＞0，而a 51到a 74均为正项，a 75＝0，a 76到a 99均为负项，且|a 76|＜a 51，|a 77|＜a 52，…，|a 99|＜a 74，a 100＝0，故{S n }中前100项均为正数．19．解：(1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ． 又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ． 从而CD ⊥PD ．因为PD ==CD ＝2，所以三角形PCD 的面积为122⨯⨯=(2)解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (2,22,0)，E ,1)．AE ＝(1,2,1)，BC ＝(0,,0)．设AE 与BC 的夹角为θ，则cos 22AE BC AE BCθ⋅===⨯， π4θ=. 由此知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4. 解法二：取PB 中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角． 在△AEF中，由EF =AF =，AE ＝2，知△AEF 是等腰直角三角形． 所以∠AEF ＝π4. 因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4. 20．解：(1)由220,10x x ->⎧⎨+>⎩得－1＜x ＜1.由0＜lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝22lg 1xx -+＜1，得1＜221x x -+＜10.因为x ＋1＞0，所以x ＋1＜2－2x ＜10x ＋10，2133x -<<. 由11,2133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得2133x -<<.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )． 由单调性可得y ∈[0，lg 2]．因为x ＝3－10y ，所以所求反函数是y ＝3－10x ，x ∈[0，lg 2]． 21．解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程21249y x =，得P 的纵坐标y P ＝3.由||AP =/时． 由tan ∠OAP ＝730，得∠OAP ＝7arctan 30，故救援船速度的方向为北偏东7arctan 30弧度．(2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)．由vt = 整理得v 2＝144(t 2＋21t)＋337.因为t 2＋21t ≥2，当且仅当t ＝1时等号成立． 所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．22．解： (1)双曲线C 1：22112x y -=，左顶点A(2-，0)，渐近线方程：y =.过点A与渐近线y =平行的直线方程为)2y x =+，即1y =+.解方程组,1y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得41.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求三角形的面积为1||||28S OA y == (2)设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b . 因直线PQ 与已知圆相切，1=，即b 2＝2. 由22,21y x b x y =+⎧⎨-=⎩得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则122122,1.x x b x x b +=⎧⎨=--⎩ 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP OQ ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝2， 则O 到直线MN的距离为3. 当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为y ＝kx (显然|k |＞2)， 则直线OM 的方程为1y x k =-. 由22,41y kx x y =⎧⎨+=⎩得222221,4,4x kk y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以2221||4k ON k +=+. 同理2221||21k OM k +=-.设O 到直线MN 的距离为d ， 因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以22222111333||||1k d OM ON k +=+==+，即3d =. 综上，O 到直线MN 的距离是定值．23．解：(1)选取a 1＝(x,2)，Y 中与a 1垂直的元素必有形式(－1，b )． 所以x ＝2b ，从而x ＝4. (2)证明：取a 1＝(x 1，x 1)∈Y . 设a 2＝(s ，t )∈Y 满足a 1·a 2＝0.由(s ＋t )x 1＝0得s ＋t ＝0，所以s ，t 异号． 因为－1是X 中唯一的负数，所以s ，t 之中一为－1，另一为1，故1∈X . 假设x k ＝1，其中1＜k ＜n ，则0＜x 1＜1＜x n .选取a 1＝(x 1，x n )∈Y ，并设a 2＝(s ，t )∈Y 满足a 1·a 2＝0，即sx 1＋tx n ＝0， 则s ，t 异号，从而s ，t 之中恰有一个为－1. 若s ＝－1，则x 1＝tx n ＞t ≥x 1，矛盾； 若t ＝－1，则x n ＝sx 1＜s ≤x n ，矛盾． 所以x 1＝1.(3)解法一：猜测x i ＝q i －1，i ＝1,2，…，n . 记A k ＝{－1,1，x 2，…，x k }，k ＝2,3，…，n . 先证明：若A k ＋1具有性质P ，则A k 也具有性质P .任取a 1＝(s ，t )，s ，t ∈A k ，当s ，t 中出现－1时，显然有a 2满足a 1·a 2＝0； 当s ≠－1且t ≠－1时，则s ，t ≥1.因为A k ＋1具有性质P ，所以有a 2＝(s 1，t 1)，s 1，t 1∈A k ＋1，使得a 1·a 2＝0，从而s 1和t 1中有一个是－1，不妨设s 1＝－1.假设t 1∈A k ＋1且t 1∉A k ，则t 1＝x k ＋1.由(s ，t )·(－1，x k ＋1)＝0，得s ＝tx k ＋1≥x k ＋1，与s ∈A k 矛盾． 所以t 1∈A k ，从而A k 也具有性质P .现用数学归纳法证明：x i ＝q i －1，i ＝1,2，…，n . 当n ＝2时，结论显然成立；假设n ＝k 时， A k ＝{－1,1，x 2，…，x k }有性质P ， 则x i ＝q i －1，i ＝1,2，…，k ；当n ＝k ＋1时，若A k ＋1＝{－1,1，x 2，…，x k ，x k ＋1}有性质P ，则A k ＝{－1,1，x 2，…，x k }也有性质P ，所以A k ＋1＝{－1,1，q ，…，q k －1，x k ＋1}．取a 1＝(x k ＋1，q )，并设a 2＝(s ，t )满足a 1·a 2＝0.由此可得s ＝－1或t ＝－1.若t ＝－1，则x k ＋1＝q s≤q ，不可能； 所以s ＝－1，x k ＋1＝qt ≤q k 且x k ＋1＞q k －1，所以x k ＋1＝q k .综上所述，x i ＝q i －1，i ＝1,2，…，n .解法二：设a 1＝(s 1，t 1)，a 2＝(s 2，t 2)，则a 1·a 2＝0等价于1212s t t s =-. 记),,||||s B s X t X s t t ={∈∈>}，则数集X 具有性质P ，当且仅当数集B 关于原点对称．注意到－1是X 中的唯一负数，B ∩(－∞，0)＝{－x 2，－x 3，…，－x n }共有n －1个数，所以B ∩(0，＋∞)也只有n －1个数． 由于1221n n n n n n x x x x x x x x --<<<<…，已有n －1个数，对以下三角数阵 1221n n n n n n x x x x x x x x --<<<< (111231)n n n n n x x x x x x -----<<<… ……21x x 注意到12111n n x x x x x x ->>>…，所以12121n n n n x x x x x x ---===…，从而数列的通项为x k ＝x 1(21x x )k －1＝q k －1，k ＝1，2，…，n .。
上海市高考数学(理)试题(word版,含答案)
普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题 学科.网三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。
高考原题数学理（上海卷）Word版
全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 .2． 本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 2． 已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ .3． 若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ .4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2，高 为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）.8.已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________.9.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+b y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.10.在极坐标系中，由三条直线0=θ，3πθ=，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是________.11.当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sin π成立，则实数k 的取值范围是_______________. 12．已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________是，0)(=k a f .13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。
2023高考上海数学理科试卷含详细解答
2023年全国普通高等学校招生统一考试（上海） 数学（理工农医类） 全解全析一 填空（4’×11）1.不等式|1|1x -<地解集是 .【解析】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2},则实数a ＝ .【解析】2【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位）,则z ＝ .【解析】1i+【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++.4.若函数f (x )地反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0）,则f (4)＝ .【解析】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→ a 、→ b 满足|→ a |＝1,|→ b |＝2,且→ a 与→ b 地夹角为π3,则|→ a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos 7||3a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+ 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )地最大值是 .【解析】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形地概率是 （结果用分数表示）.【解析】34【解析】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线地点生成三角形总数为:36C；可构成三角形地个数为:33364315C C C --=,所以所求概率为:3336433634C C C C --=；8.设函数f (x )是定义在R 上地奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )＝lg x ,则满足f (x )＞0地x 地取值范围是 .【解析】(1,0)(1,)-+∞ 【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得: 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体地各个体地值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12,13.7,18.3,20,且总体地中位数为10.5,若要使该总体地方差最小,则a 、b 地取值分别是 .【解析】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差地定义知,只需且必须10.5,10.5a b ==时,总体方差最小；10.某海域内有一孤岛,岛四周地海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界）,其边界是长轴长为2a ,短轴长为2b 地椭圆,已知岛上甲、乙导航灯地海拔高度分别为h 1、h 2,且两个导航灯在海平面上地投影恰好落在椭圆地两个焦点上,现有船只经过该海域（船只地大小忽略不计）,在船上测得甲、乙导航灯地仰角分别为θ1、θ2,那么船只已进入该浅水区地判别条件是 .【解析】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤【解析】依题意, 12||||2MF MF a+≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0地解可视为函数y ＝x +2地图像与函数y ＝1x 地图像交点地横坐标,若x 4+ax －4＝0地各个实根x 1,x 2,…,x k(k ≤4)所对应地点(x i,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 地同侧,则实数a 地取值范围是 .【解析】(,6)(6,)-∞-+∞ 【解析】方程地根显然0x ≠,原方程等价于34x a x+=,原方程地实根是曲线3y x a =+与曲线4y x=地交点地横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到地。
普通高等学校招生全国统一考试数学卷上海.理含答案
2019年上海市高考数学理科试卷与答案一、填空题1、函数f x lg4xx3的定义域为_____2、已知l1:2x my10与l2:y3x1，若两直线平行，则m的值为_____3、函数f x x的反函数f1x_____x14、方程9x63x70的解是_____5、函数f x sin x sin x2的最小正周期是T_____36、已知x,y R，且x4y1，则x y的最大值为_____7、有数字1、2、3、4、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为_____8、已知双曲线x2y21，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为极点的抛物线方45程为_____9、若a,b为非零实数，则以下四个命题都成立：①a10②ab2a22ab b2③若a b，则a ba④若a2ab，则a b则关于随意非零复数a,b，上述命题仍旧成立的序号是_____。
10、平面内两直线有三种地点关系：订交，平行与重合。
已知两个订交平面,与两直线l1,l2，又知l1,l2在内的射影为s1,s2，在内的射影为t1,t2。
试写出s1,s2与t1,t2知足的条件，使之必定能成为l1,l2是异面直线的充足条件11、已知圆的方程x2y12。
直线OP的倾斜1，P为圆上随意一点（不包含原点）角为弧度，OP d，则d f的图象大概为_____二、选择题12、已知2ai,b i是实系数一元二次方程x2px q0的两根，则p,q的值为A、p4,q 5B、p4,q 5C、p4,q5D、p4,q513、已知a,b为非零实数，且ab，则以下命题成立的是A、a2b2B、a2bab2C、11D、ba ab2a2b a b14xOy中，i,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，、在直角坐标系AB2i j，AC3i kj，则k的可能值有A、1个B、2个C、3个D、4个15、已知f x是定义域为正整数集的函数，关于定义域内随意的k，若fk k2成立，则fk1k2成立，以下命题成立的是1A、若f39成立，则关于随意k1，均有f k k2成立B、若f416成立，则关于随意的k4，均有f k k2成立C、若f749成立，则关于随意的k7，均有f k k2成立D、若f425成立，则关于随意的k4，均有f k k2成立三、解答题16、体积为1的直三棱柱ABC A1B1C1中，ACB 90，AC BC1，求直线AB1与平面BCC1B1所成角。
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2006年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B ⊆A ，则实数m ＝ ． 2．已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ． 3．若函数)(x f ＝xa （a ＞0，且a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a ＝ ．4．计算：1lim 33+∞→n C nn ＝ ．5．若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ．6．如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么)2cos(πα+＝ ． 7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ． 8．在极坐标系中，O 是极点，设点A （4，3π），B （5，－65π），则△OAB 的面积是 ． 9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）． 10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．11．若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ．12．三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 [答]（ ） （A ）→--AB ＝→--DC ；（B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ；（C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ；（D ）→--AD ＋→--CB ＝→0． 14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ） （A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件． 15．若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有[答]（ ） （A ）2∈M ，0∈M ； （B ）2∉M ，0∉M ； （C ）2∈M ，0∉M ； （D ）2∉M ，0∈M ． 16．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题：①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有2个；③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q 4个．上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ） （A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分） 求函数y ＝2)4cos()4cos(ππ-+x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期．[解] 18．（本题满分12分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等A B CD 1l 2lOM （p ，q ）待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？ [解]19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD 相北 20 10 A B••C PDE交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．[解]（1）（2）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系x O y中，直线l与抛物线2y＝2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么→--OA→--⋅OB＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解]（1）（2）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1． （1）求证：数列{n a }是等比数列； （2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），求数列{n b }的通项公式；（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值．[解]（1）（2）（3） 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；（2）研究函数y ＝2x ＋2x c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．[解]（1）（2）（3）上海数学(理工农医类)参考答案一、(第1题至笫12题)1. 12. 223. 214. 615. －1+i6. 562 7.141622=+y x8. 5 9.35110. 36 11. k=0,－1<b<1 12. a≤10 二、(第13题至笫16题)13. C 14. A 15. A 16. D 三、(第17题至笫22题)17.解：y=cos(x+4π) cos(x －4π)+3sin2x =cos2x+3sin2x=2sin(2x+6π)∴函数y=cos(x+4π) cos(x －4π)+3sin2x 的值域是[－2,2],最小正周期是π.18.解：连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=107. ∵710120sin 20sin ︒=ACB , ∴sin ∠ACB=73, ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援. 19.解：(1) 在四棱锥P-ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角, ∠PBO=60°. 在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO,于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23.∴四棱锥P-ABCD 的体积V=31×23×3=2. (2)解法一：以O 为坐标原点,射线OB 、OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系.在Rt △AOB 中OA=3,于是,点A 、B 、D 、P 的坐标分别是A(0,－3,0), B(1,0,0),D(－1,0,0)P(0,0,3).E 是PB 的中点,则E(21,0,23) 于是=(23,0, 23),=(0, 3,3).设AP DE 的夹角为θ,有cosθ=4233434923=+⋅+,θ=arccos 42,∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 42. 解法二：取AB 的中点F,连接EF 、DF.由E 是PB 的中点,得EF ∥PA,∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成角(或它的补角).在Rt △AOB 中AO=ABcos30°=3=OP,于是, 在等腰Rt △POA 中,PA=6,则EF=26. 在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=3.cos ∠FED=34621=DE EF=42∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos42. 20.证明：（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 12,y 2).当直线l 的钭率下存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6).∴⋅=3当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为y=k(x －3),其中k≠0.当 y 2=2x 得ky 2－2y －6k=0,则y 1y 2=－6. y=k(x －3) 又∵x 1=21y 21, x 2=21y 22, ∴⋅=x 1x 2+y 1y 2=21221)(41y y y y +=3.综上所述, 命题“如果直线l 过点T(3,0),那么⋅=3”是真命题.(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2),B(21,1),此时⋅=3,直线AB 的方程为Y=32(X+1),而T(3,0)不在直线AB 上. 说明：由抛物线y 2=2x 上的点A(x 1,y 1)、B(x 12,y 2)满足⋅=3,可得y 1y 2=－6.或y 1y 2=2,如果y 1y 2=－6.,可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2, 可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).21.证明(1)当n=1时,a 2=2a,则12a a =a ； 2≤n≤2k －1时, a n+1=(a －1) S n +2, a n =(a －1) S n －1+2, a n+1－a n =(a －1) a n , ∴nn a a 1+=a, ∴数列{a n }是等比数列. 解(2)由(1)得a n =2a 1-n , ∴a 1a 2…a n =22a )1(21-+++n =22a2)1(-n n =a12)1(--+k n n n ,b n =1121]12)1([1+--=--+k n k n n n n (n=1,2,…,2k). （3）设b n ≤23,解得n≤k+21,又n 是正整数,于是当n≤k 时, b n <23；当n≥k+1时, b n >23.原式=(23－b 1)+(23－b 2)+…+(23－b k )+(b k+1－23)+…+(b 2k －23)=(b k+1+…+b 2k )－(b 1+…+b k )=]12)10(21[]12)12(21[k k kk k k k k k +--+-+--+=122-k k . 当122-k k ≤4,得k 2－8k+4≤0, 4－23≤k≤4+23,又k≥2,∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.22.解(1) 函数y=x+xb2(x>0)的最小值是2b 2,则2b 2=6, ∴b=log 29.(2)设0<x 1<x 2,y 2－y 1=)1)((2221212221212222x x c x x x c x x c x ⋅--=--+. 当4c <x 1<x 2时, y 2>y 1, 函数y=22x c x +在[4c ,+∞)上是增函数； 当0<x 1<x 2<4c 时y 2<y 1, 函数y=22xc x +在(0,4c ]上是减函数.又y=22xc x +是偶函数,于是,该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数.(3)可以把函数推广为y=n n x a x +(常数a>0),其中n 是正整数. 当n 是奇数时,函数y=n n xa x +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－n a 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数.当n 是偶数时,函数y=n n xa x +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－n a 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数.F(x)= n x x )1(2++n x x)1(2+ =)1()1()1()1(323232321220n n n n r n rn r n n n n n n n xx C x x C x x C x x C ++++++++---- 因此F(x) 在 [21,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 所以,当x=21或x=2时, F(x)取得最大值(29)n +(49)n ； 当x=1时F(x)取得最小值2n+1.。