(课标通用)高考数学一轮复习第九章平面解析几何第1节直线方程课件理
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 理
12/11/2021
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(2)由题设知纵横截距不为 0，设直线方程为xa＋12－y a＝1， 又直线过点(－3，4)，从而－a3＋124－a＝1，解得 a＝－4 或 a＝9. 故所求直线方程为 4x－y＋16＝0 或 x＋3y－9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为 x－5＝0 满足题意； 当斜率存在时，设其为 k，则所求直线方程为 y－10＝k(x－5)，即 kx－y＋10－5k＝0. 由点线距离公式，得|10k－2＋5k1|＝5，解得 k＝34. 故所求直线方程为 3x－4y＋25＝0. 综上12，/11/2所021 求直线方程为 x－5＝0 或 3x－4y＋25＝0.
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【迁移探究 1】 (变条件)若将本例(2)中 P(1，0)改为 P(－1，0)，其他条件不变，求直
线 l 斜率的取值范围． 解：因为 P(－1，0)，A(2，1)，B(0， 3)，所以 kAP＝2－（1－－01）＝13，
kBP＝0－（3－－01）＝ 3.
如图可知，直线 l 斜率的取值范围为13，
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【解】 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为 α，则 sin α＝ 1100(0≤α＜π)， 从而 cos α＝±31010，则 k＝tan α＝±13. 故所求直线方程为 y＝±13(x＋4)， 即 x＋3y＋4＝0 或 x－3y＋4＝0.
3.
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【迁移探究 2】 (变条件)若将本例(2)中的 B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求 直线 l 倾斜角的范围． 解：如图，直线 PA 的倾斜角为 45°，直线 PB 的倾斜角为 135°，由图象知 l 的倾斜角 的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．
新课标高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.1直线与方程课件理
故填－∞，－25∪[5，＋∞)．
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【点拨】(1)直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从 “形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜
____________与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角．当
直线 l 与 x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此， 直线的倾斜角 α 的取值范围为__________________．
(2)斜率：一条直线的倾斜角 α 的____________叫做这条直线的斜率， 常用小写字母 k 表示，即 k＝______(α≠______)．当直线平行于 x 轴或 者与 x 轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当 直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾 斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜 程度．
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9．1 直线与方程
1．平面直角坐标系中的基本公式
(1)数轴上 A，B 两点的距离：数轴上点 A 的坐标为 x1，点 B 的坐 标为 x2，则 A，B 两点间的距离|AB|＝____________．
(2)平面直角坐标系中的基本公式：
①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点 A(x1，y1)，B(x2， y2)之间的距离公式为
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(1)求过点 A(1，3)，斜率是直线 y＝－4x 的斜 率的13的直线方程．
(2)求经过点 A(－5，2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴 上截距的 2 倍的直线方程．
高考总复习一轮数学精品课件 第9章 平面解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
2-(-2)
所以
=-1(m≠3),
3-
解得 m=-5.
C.-5
D.-1
(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, √3 )为端点的线段有公共点,则直线l
(-∞,-√3]∪[1,+∞)
的斜率的取值范围为____________________.
将条件标在图形上的过程则是条件转化及建立条件与结论联系的过程.
第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
课标解读
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的
几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率
的计算公式.
3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).
目录索引
线的综合问
题
2022
2023
Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
第14题 第15题第6题 第15题
第5题,
第16题
第16题
第16题
第21题 第21题
第5题
第21题
第11题 第10题第22题第10题
优化 备考策略
1.本章在高考中的特点
(1)题型、题量稳定:近几年高考试题对解析几何的考查一直以“2小1大”或
“3小1大”的形式出现,分值约22~27分.
x+2y-4=0
解析 由直线的点斜式方程,得
1
y-(-2)=-2(x-8),即
x+2y-4=0.
6.(人教B版选择性必修第一册2.2.1节练习B第4题改编)已知经过A(a,-1),
B(2,a+1)的直线的斜率为3,则实数a的值是__________.
2022版高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1讲直线的方程课件
直线方程的求法
根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3,4)且在两坐标轴上的截距之和为 12； (3)直线过点(5,10)且到原点的距离为 5.
解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为 α，则 sin α＝ 1100(0<α<π)， 从而 cos α＝±31010，则 k＝tan α＝±13. 故所求直线方程为 y＝±31(x＋4)． 即 x＋3y＋4＝0 或 x－3y＋4＝0.
时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l倾斜角的范围是___[_0_，__π_) __．
2．直线的斜率 (1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝__t_an__θ_____.
(y22)－计y算1 公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则 k＝__x_2－__x_1__.
【变式精练】
1．(1)已知直线 l 与两条直线 y＝1，x－y－7＝0 分别交于 P，Q 两点，
线段 PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线 l 的斜率是
()
A．32
B．32
C．－32
D．－32
(2)(2019 年张家口模拟)直线 l 经过 A(2,1)，B(1，－m2)(m∈R)两点，
则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 ( )
(2)设直线 y＝3x 的倾斜角为 α，则所求直线的倾斜角为 2α. 因为 tan α＝3，所以 tan 2α＝1－2tatnanα2α＝－43. 又直线经过点 A(－1，－3)， 因此所求直线方程为 y＋3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y＋15＝0. (3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得 y－4＝±(x－3)． 所求直线的方程为 x－y＋1＝0 或 x＋y－7＝0.
高考数学一轮复习第九章解析几何第一节直线与方程实用理
倾斜角α 锐角 0° 钝角
90°
2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝
tan α的单调性，如图所示：
(1)当α取值在
0，π2
内，由0增大到
π 2
α≠π2
时，k由0增大并趋向于正无穷大；
(2)当α取值在π2，π内，由π2α≠π2增大到π(α≠π)时，k由负无 穷大增大并趋近于0.
解决此类问题，常采用数形结合思想．
[易错提醒]
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函 数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分 0，π2 与 π2，π 两种情况讨论．由正切函数图象可以看 出，当α∈ 0，π2 时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝ π2 时，斜率 不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．
两直线的位置关系
解析：设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3.由题图易知 0<α3<α2<90°<α1<180°，∴tan α2>tan α3>0>tan α1， 即k2>k3>k1. 答案：k2>k3>k1
(3)已知直线l1：x＝－2，l2：y＝
1 2
，则直线l1与l2的位置关系
是________．
答案：垂直
(4)已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2， 则实数a的值为________． 解析：由题意，得a－a 3＝－2，解得a＝2. 答案：2
讲练区 研透高考· 完成情况
[全析考法]
直线的倾斜角与斜率
1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具 体如下：
斜率k k＝tan α>0 k＝0 k＝tan α<0 不存在
高考数学一轮复习第九章解析几何9.1直线的方程课件理
π 所以“α>3”是“k> 3”的必要不充分条件，故选 B.
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， 3 )为端点的线段有公共点， 则直线l斜率的取值范围为 (－∞，－ 3]∪[1，＋∞) . 答案 如图，
解析
几何画板展示
1－0 ∵kAP＝ ＝1， 2－1
3－0 kBP＝ ＝－ 3， 0－1
x y ＋ ＝ 1 a b
适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线
不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1
(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) _______________________
平面直角坐标系内的直线都适用
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( × ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × ) (6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－ y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( √ )
几何画板展示
考点自测
1.(2016· 天津模拟)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的 值为 A.1 C.1或3
答案 解析
B.4 D.1或4
m－4 依题意得 ＝1，解得 m＝1. －2－m
2.(2016· 合肥一六八中学检测)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范 围是
高考理科数学第一轮复习 第九章 平面解析几何(讲义)9.1 直线与方程
9．1 直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上A ，B 两点的距离数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝_________________________． ②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ ．2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝． 3．直线方程的几种形式 (1)截距直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．(2)直线方程的五种形式注：斜截式是________的特例；截距式是________的特例．(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为____________．自查自纠：1．(1)|x 2－x 1| (2)①()x 2－x 12＋()y 2－y 12②x 1＋x 22 y 1＋y 222．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180°(2)正切值 tan α 90° ＝ > < 90° (3)y 2－y 1x 2－x 13．(1)横坐标a 纵坐标b 不是 (2)①y －y 0＝k (x －x 0) ②y ＝kx ＋b ③y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1④x 1≠x 2且y 1≠y 2 ⑤x a ＋yb ＝1 ⑥Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)点斜式 两点式(3)①x ＝x 1 ②y ＝y 1 ③x ＝0 ④y ＝0直线x －y ＋1＝0的倾斜角为 ( )A ．30°B ．45°C ．120°D ．150° 解：由题得，直线y ＝x ＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°．故选B ．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By＋C ＝0不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A ＞0，在y 轴上的截距－CB ＞0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选C ．已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0 解：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0．故选D ．(2016·浙江)过A (1，2)，B (2，1)的直线的斜率为________．解：k AB ＝2－11－2＝－1．故填－1．直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0)，当此直线在x ，y轴上的截距和最小时，a 的值为________．解：方程可化为x a ＋y1a＝1，因为a >0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号，故a 的值为1．故填1．类型一 直线的倾斜角和斜率(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( )A ．⎣⎡⎦⎤π6，π3B ．⎣⎡⎦⎤π4，π3 C ．⎣⎡⎦⎤π4，π2 D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π3 解：直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3．故选B ． (2)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．解：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(－∞，－3]∪[1， ＋∞)．故填(－∞，－3]∪[1，＋∞)．点 拨：任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R ．正切函数在[0，π)不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．解题(2)要注意两点：一是斜率公式的正确计算；二是数形结合写出斜率的范围，切莫想当然认为－3≤k ≤1．(1)(2017·惠州质检)直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k 的取值范围是 ( )A ．(－1，15)B ．(－1，12)C ．(－∞，－1)∪(15，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(12，＋∞)解：取B (－3，0)，C (3，0)，则k BA ＝12，k CA ＝－1．故选D ．(2)直线l 经过点A (3，1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．解：直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1．又y ＝tan α在(0，π2)上是增函数，因此π4≤α＜π2．故填[π4，π2)．类型二 求直线方程根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5． 解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sin α＝1010(α∈[0，π))， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13．故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ±3y ＋4＝0．(2)若截距不为0，设直线的方程为x a ＋ya ＝1，因为直线过点(－3，4)，所以－3a ＋4a＝1，解得a ＝1．此时直线方程为x ＋y －1＝0． 若截距为0，设直线方程为y ＝kx ，代入点(－3，4)，有4＝－3k ，解得k ＝－43，此时直线方程为 4x＋3y ＝0．综上，所求直线方程为x ＋y －1＝0或4x ＋ 3y ＝0．(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x －5＝0．当直线斜率存在时，设其方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0．由点到直线的距离公式，得||10－5k 1＋k 2＝5，解得k ＝34． 此时直线方程为3x －4y ＋25＝0．综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0．点 拨：本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱．题(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；题(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；题(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线．(1)过点A (1，3)，斜率是直线y ＝－4x的斜率的13的直线方程为________．解：设直线的斜率为k ，则k ＝－4×13＝－43，又直线经过点A (1，3)，故所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0．故填4x ＋3y －13＝0． (2)一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 ( )A ．m ＞1且n ＜1B ．mn ＜0C ．m ＞0且n ＜0D ．m ＜0且n ＜0解：因为y ＝－m n x ＋1n的图象经过第一、三、四象限，故－m n ＞0，1n ＜0，即m ＞0，n ＜0为充要条件，因此mn ＜0是它的一个必要不充分条件．故选B ．类型三 直线方程的应用(1)已知点A (4，－1)，B (8，2)和直线 l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，则|P A |＋|PB |的最小值为________．解：设点A 1(x 1，y 1)与A (4，－1)关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点，所以|P 0A 1|＝|P 0A |，|P A 1|＝ |P A |．所以|P A |＋|PB |＝|P A 1| ＋|PB |≥|A 1B |＝|A 1P 0|＋|P 0B |＝|P 0A |＋|P 0B |．当P 点运动到P 0点时，|P A |＋|PB |取到最小值|A 1B |．因为点A ，A 1关于直线l 对称，所以由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3， 即A 1(0，3)．所以(|P A |＋|PB |)min ＝|A 1B |＝82＋（－1）2＝65．故填65．点 拨：平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础．求A 关于l 的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据．(2)已知直线l 过点M (2，1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，则△AOB 面积的最小值为．解法一：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A (2－1k，0)，B (0，1－2k )，S △AOB ＝12(1－2k )(2－1k)＝12⎣⎡⎦⎤4＋（－4k ）＋（－1k ）≥12(4＋4)＝4． 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．即△AOB 面积的最小值为4．解法二：设直线l ：x a ＋yb ＝1，且a ＞0，b ＞0，因为直线l 过点M (2，1)，则2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab ，故ab ≥8，故S △AOB ＝12ab ≥12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2．故填4．点 拨：直线方程综合问题的两大类型及解法：①与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决；②与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．(1)过点P (－2，2)作直线l ，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有 ( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条 解：设直线l 在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ，且ab ≠0，则l 的方程为x a ＋yb＝1，又点P (－2，2)在l 上，所以－2a ＋2b＝1， 即2a －2b ＝ab ，①又直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，则－12ab ＝8，②且a ＜0，b ＞0，③由①②③得a ＝－4，b ＝4，故符合条件的直线只有1条．故选C ．(2)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EF A 为文物保护区不能占用，经测量AB ＝100m ，BC ＝80m ，AE ＝30m ，AF ＝20m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则E (30，0)，F (0，20)，所以线段EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．①DF ·AB ＝6 000，EB ·BC ＝5 600． ②在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )．又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，所以n ＝20－23m ． 所以S ＝(100－m )(80－20＋23m )＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)．所以当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝5∶1．所以综合①②可知，当草坪矩形的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k ＝tan α的图象(如图)来解决．这里，α∈[0，π)，k 的范围是两个不连续的区间．这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在分类进行讨论．2．直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况．3．在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单．4．对于直线方程来说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目．在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形．如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A 2＋B 2≠0而出现增解．1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 解：直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°．故选B ．2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是 ( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解：由题意知a ≠0，得a ＋2＝a ＋2a ，所以a ＝－2或a ＝1．故选D ．3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是 ( )A ．[0，π4]B ．[3π4，π)C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)解：因为直线的斜率k ＝－1a 2＋1，所以－1≤ k ＜0，则倾斜角的取值范围是[3π4，π)．故选B ．4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为 ( )A ．13B ．－13C ．－32D ．23解：依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13．故选B ．5．(2016·银川月考)在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0，0)，A (1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为 ( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y －10＝0 C ．3x －y ＝0 D ．3x ＋y －6＝0 解：因为AO ＝AB ，所以∠AOB ＝∠ABO ，即k AB ＝－k OA ＝－3．所以直线AB 的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －6＝0．故选D ．6．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞B ．⎣⎡⎦⎤－4，34C ．⎣⎡⎦⎤34，4D ．⎣⎡⎦⎤－34，4 解：如图所示，因为k PN ＝1－（－2）1－（－3）＝34，k PM ＝1－（－3）1－2＝－4．所以要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ； 当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ， 由已知得k ≥34或k ≤－4．故选A ．7．过点(3，－2)的直线l 经过圆x 2＋y 2－2y ＝0的圆心，则直线l 倾斜角的大小为________． 解：依题意可知圆心坐标为(0，1)，则斜率k ＝tan α＝－2－13－0＝－3，所以倾斜角α＝120°．故填120°．8．已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b ，则直线l 的方程为．解：①若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0，0)，此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0．②若a ＝3b ≠0，设直线方程为x a ＋y b ＝1，即x3b＋y b ＝1．由于点P (2，－1)在直线上，所以b ＝－13． 从而直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0． 综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0．故填x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0． 9．已知在第一象限的△ABC 中，A (1，1)，B (5，1)，∠A ＝π3，∠B ＝π4．求：(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 和BC 边所在直线的方程．解：(1)AB 边所在直线的方程为y ＝1． (2)因为∠A ＝π3，AB ∥x 轴，所以直线AC 的倾斜角为π3，斜率为3，所以AC 所在直线的方程为3x －y ＋1－3＝0，因为∠B ＝π4，所以直线BC 的倾斜角为3π4，所以斜率为－1，所以BC 所在直线的方程为x ＋y － 6＝0．10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零．所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0． 当直线不过原点时，a ≠2，由截距存在且均不为0， 所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1．所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0．因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0． (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）≥0，a －2≤0．所以a ≤－1．综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． 11．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点； (2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：(1)证明：将直线l 的方程变形得k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， 所以无论k 取何值，直线l 过定点(－2，1)． (2)当直线l 的倾斜角θ∈[0°，90°]时，直线l 不经过第四象限，所以k ≥0．(3)由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0． 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k 且k >0，即k ＝12时等号成立，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线xn ＋1＋yn＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A ．36 B ．45 C ．50 D ．55解：由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1，所以S n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9．所以直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为 12×10×9＝45．故选B ．。
(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习_第九章 平面解析几何 第1节 直线的方程课件 文 新人教A版
第1节直线的方程最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，向上x轴正向与直线l方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.[0，π)(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是.2.直线的斜率π(1)定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值2tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan α.(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为y2－y1k＝x2－x1 .3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件纵截距、斜_________________y＝kx＋b斜截式点斜式率_____y－y＝k(x－x0)0 与x轴不垂直的直线过一点、斜_________________y－y x－x1 1＝_____1 2率y2－y x－x1_________________与两坐标轴均不垂直两点式过两点x y＋＝1_____的直线a b_________________不过原点且与两坐标截距式纵、横截距_____轴均不垂直的直线Ax＋By＋C＝0(A＋2[常用结论与微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：0°<α<9 0° 90°<α<1 80°α 0° 90° 不存 2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有 k 0 k >0 k <0 在 倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( )(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )解析(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.答案(1)× (2)× (3)× (4)√2.(2018·衡水调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )A.30°B.45°C.120°D.150°解析由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°，故选B.答案 B3.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA>0，在y轴上的截距－CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.答案 C4.(必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为________.3m－6解析由题意得1＋m＝12，解得m＝－2，∴A(2，6)，∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)，整理得12x－y－18＝0.答案12x－y－18＝05.(必修2P100A9改编)过点P (2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为________. 解析当纵、横截距均为 0时，直线方程为 3x －2y ＝0；当纵、横截距均不时， 设直线方程为ax ＋ay ＝1，则＋＝1，解得 a ＝5.所以直线方程为 x ＋y －5＝0. 2 3 a a 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0考点一直线的倾斜角与斜率(典例迁移)π π【例1】(1)直线2x cos α－y－3＝0α∈，的倾斜角的取值范围是( )6 3π ππ πA.，B.，6 3 4 3π ππ 2πC.，D.，4 24 3(2)(一题多解)(经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为 α∈， ，所以≤cos α≤ 23， π π 1 2 6 3因此 k ＝2·cos α∈[1， 3].设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3]. π π 又 θ∈[0，π)，所以 θ∈， ， 4 3 π π 即倾斜角的取值范围是， . 4 3(2)法一设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是k AP＝1，直线PB的斜率是k BP＝－3，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞). 当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).法二设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx －y－k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1－k)(－3－k)≤0，即(k－1)(k＋3)≥0，解得k≥1或k≤－ 3.即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).答案(1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【迁移探究1】若将本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.解设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1＋k)(－3＋k)≤0，即(3k－1)(k－3)≤0，解得13≤k≤3.1即直线l的斜率的取值范围是3，3.【迁移探究2】若将本例(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.解由例1(2)知直线l的方程kx－y－k＝0，∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1－k)(2k＋1－k)≤0，即(k－1)(k＋1)≤0，解得－1≤k≤1.π3π即直线l倾斜角的范围是0，∪，π.4 4规律方法 1.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan α的性，ππππ当α取值在0，，即由0增大到α≠ 时，k由0增大到＋∞，当α取值在，π2 2 2 2ππ即由α≠ 增大到π(α≠π)时，k由－∞增大到0. 2 22.斜率的两种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α率.y2－y1(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝x2－x1(x1≠x2)求斜率.【训练1】(2018·惠州一调)直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )π3πA.[0，π)B.0，∪，π4 4πππC.0，D.0，∪，π4 4 2解析设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以1≤π 3πtan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π，故选B. 4 4答案 B考点二直线方程的求法【例2】根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)，从而cos α＝±31010，则k＝tan α＝±13.1故所求直线方程为y＝± (x＋4).3即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知纵、横截距不为0，设直线方程为ax ＋12－y a ＝1，又直线过点(－3，4)，－3 4 从而 a ＋12－a ＝1，解得 a ＝－4或 a＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0.|10－5k | k 2＋1＝5，解得 k ＝ .3 4 由点线距离公式，得 故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线 y ＝3x 的倾斜角的 2 倍；解 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， (3)经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.若a ＝0，即l 过点(0，0)和(4，1)，1 ∴l 的方程为 y ＝ x ，即 x －4y ＝0. 4 x y a a若 a ≠0，则设 l 的方程为＋＝1， 4 1 ∵l 过点(4，1)，∴＋＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为 x ＋y －5＝0.a a 综上可知，直线 l 的方程为 x －4y ＝0或 x ＋y －5＝0.(2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为∵tan 2αα.＝3，∴tan 2α＝ 2tan α ＝－34.1－tan 2α又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为 y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3).所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.考点三直线方程的综合应用【例3】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程. (1)证明直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，x＋2＝0，x＝－2，令解得1－y＝0，y＝1.∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1).1＋2k (2)解由方程知，当 k ≠0时直线在 x 轴上的截距为－ ，在 y 轴上的截距为 1k 1＋2k － ≤－2， 解得 k >0；＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有 k 1＋2k ≥1，当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故 k 的取值范围是 [0，＋ ∞).(3)解由题意可知 k ≠0，再由 l 的方程，得 A ，0，B (0，1＋2k ). 1＋2k － k1＋2k － <0， 解得 k >0.k 1＋2k >0，依题意得1（1＋2k ）2 1 ·|1＋2k |＝2· ＝ 4k ＋k ＋4≥2×(2×2＋4)＝4， 1 1 1 2 1 1＋2k ∵S ＝ ·|OA |·|OB |＝ · 2 k k 2 “＝”成立的条件是 k >0且 4k ＝1k ，即 k＝， 1 2∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.规律方法 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.2.求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.【训练3】(一题多解)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.解法一设直线方程为ax ＋by ＝1(a ＞0，b ＞0)， 点 P (3，2)代入得＋＝1≥2 ab 6，得 ab ≥24， 3 2 a b1 从而 S △ABO ＝ ab ≥12，23 2 b 2 当且仅当＝时等号成立，这时 k ＝－＝－， a b a 3 从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.法二依题意知，直线l 的斜率k 存在且k ＜0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)， 2且有 A 3－，0，B (0，2－3k )，k 1 2 2 ∴S △ABO ＝ (2－3k )3－ k 4 （－k ） 2 4 1 2 1 12＋（－9k ）＋ 12＋2（－9k ）· （－k ） ＝ ≥1 ＝ ×(12＋12)＝12. 2当且仅当－9k ＝－4k ，即 k ＝－时，等号成立， 2 3即△ABO 的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.。
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[解析] A.
[答案]
3 由 y－5＝－4(x＋2)，得：3x＋4y－14＝0，故选
A
5．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在 x 轴上的截距为( 3 A．－2 C．3 3 B.2 D．－3
)
[解析]
y－1 过 两 点 ( － 1,1) 和 (0,3) 的 直 线 方 程 为 ＝ 3－1
x－－1 3 ，即 y＝2x＋3，令 y＝0 得 x＝－2，即为所求． 0－－1
∴2x＋y＋2＝0 或 x＋2y－2＝0 为所求．
[答案] 2x＋y＋2＝0 或 x＋2y－2＝0
考 点
题 型 突 破
考点一
直线的倾斜角与斜率——互动型
(1)直线 xsinα－y＋1＝0 的倾斜角的变化范围是 ( )
π A.0，2 π π C.－4，4
B．(0，π)
1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准， x 轴
正向
与直线 l 向上
方向之间所成的角 α 叫做直线 l
的倾斜角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角 为0° . .
②倾斜角的范围为 0°≤α<180°
(2)直线的斜率 ①定义： 一条直线的倾斜角 α 的 正切值 叫做这条直线 ，倾斜角 的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝ tanα 是 90° 的直线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公 式为 k＝
π 时，倾斜角的范围是0，4， 3π 时，倾斜角的范围是 4 ，π.
当－1≤k<0
(2)如图， P(－1,0)的直线 过 A(2,1)， 1－0 1 的斜率为 k1＝2－－1＝3，过 B(0， 3) ， P( － 1,0) 的直线的斜率为 k2 ＝ 3－0 过 P 的直线 0－－1＝ 3.由图可知， l 与线段 AB 有公共点的斜率的取值范围是 .
π 3π D.0，4∪ 4 ，π
(2)直线 l 过点 P(－1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点 的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为__________．
[解析]
(1)直线 xsinα－y＋1＝0 的斜率是 k＝sinα，
又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1. 当 0≤k≤1
[ 解析 ]
7－5 根据三点共线，可以确定 kAB ＝kAC ，即 ＝ 4－3
x－5 ，解得 x＝－3.故选 C. －1－3
[答案]
C
3 4．已知直线 l 经过点 P(－2,5)，且斜率为－4，则直线 l 的方程为( ) B．3x－4y＋14＝0 D．4x－3y＋14＝0
A．3x＋4y－14＝0 C．4x＋3y－14＝0
[答案]
(1)D
(2)
[拓展探究]
(1)本例(1)改为：“若直线 l 的方程为 xsinα
π α∈－2，0”，则直线
－ycosα＋1＝0，其中 ________．
l 的倾斜角为
(2)本例(2)中的点 P(－1,0)改为 P(1,0)，其他条件不变， 求直线 l 斜率的取值范围．
y＝kx＋b
y－y1 x－x1 ＝ y2－y1 x2－x1
x y a＋b＝1
3.线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x，y)，则 P1P2 的中点坐标公式． 此公式为线段
1．判断下列结论的正误． (正确的打“√”，错误的打 “×”) (1) 坐 标 平 面 内 的 任 何 一 条 直 线 均 有 倾 斜 角 与 斜 率．( ) )
[答案] A
6．经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为 1 的直线 l 的方程为________．
[解析]
x y 设所求直线ຫໍສະໝຸດ 程为a＋b＝1， 2 2 －a＋b＝1， 由已知可得 1|a||b|＝1， 2
a＝－1， 解得 b＝－2， a＝2， 或 b＝1.
[解析]
sinα (1)直线 l 的斜率 k＝cosα＝tanα，
π ∴π＋α∈2，π，
π ∵α∈－2，0
故 k＝tanα＝tan(π＋α)． ∴直线 l 的倾斜角为 π＋α.
1－0 (2)直线 PA 的斜率为 kPA＝2－1＝1， 直线 PB 的斜率为 kPB 3－0 ＝ 0－1 ＝－ 3， 故过 P 点的直线 l 与线段 AB 有交点的斜率 的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．
y2－y1 x2－x1
.
2．直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 方程 y－y1＝k(x－x1) 适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x＝x1(x1≠x2)和直线 y ＝y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直 线 平面直角坐标系内的直线都适用
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)√
π 2．(2016· 云南第一次检测)直线 x＝3的倾斜角等于( A．0 π C.2 π B.3 D．π
)
[解析] π 为2.
[答案]
π π 直线 x＝3与 x 轴垂直，因此直线 x＝3的倾斜角
C
3．(2016· 黑龙江牡丹江一中期中)已知 A(3,5)，B(4,7)， C(－1，x)三点共线，则实数 x 的值是( A．－1 C．－3 B．1 D．3 )
第九章
平面解析几何
第一节
直线方程
1.在平面直角坐标系中， 结合具体图形， 确定直线位置的 几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点 的直线斜率的计算公式； 3.掌握确定直线位置的几何要素， 掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式 )，了解 斜截式与一次函数的关系.
知 识
梳 理 诊 断
(2)直线的斜率为 tanα，则其倾斜角为 α.(
(3)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0) 表示．( )
x y (4)不经过原点的直线都可以用a＋b＝1 表示．(
)
(5)经过任意两个不同的点 P1(x1， y1 ) ， P2(x2， y2)的直线都 可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )