考点40 直线方程——2021年高考数学专题复习真题练习
(2021年整理)直线与方程高考题
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直线与圆专题复习一 、直线方程的几种形式 ：1。
一般式：ax+by+c=0， a ≠0 2.点斜式：y-y1=k(x —x1) 3.斜截距式：y=k x + b 4。
两点式：121121x x x x y y y y --=--5．截距式：1=+bya x 6、点向式:2111v y y v x x -=- 7、点法式：0)()(11=-+-y y B x x A 二、圆的方程1、 圆的规范方程：()()222r b y a x =-+-2、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x 三、直线与直线关系、直线与圆的关系 1、 直线与直线平行的判断及其应用 2、直线与直线垂直的判断及其应用3、直线与直线相交的判断及其应用4、直线关于直线的对称直线的方程5、圆与圆的位置关系及其判断及应用6、直线与圆的位置关系及其应用 实战演练:1。
（安徽高考）直线过点(-1，2）且与直线23x y -+4=0垂直，则的方程是A ． B. C . D 。
2.(上海高考）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行,则K 得值是( ）（A ） 1或3 （B ）1或5 (C )3或5 （D ）1或23．若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22,则m 的倾斜角可以是:①15②30③45④60⑤75其中正确答案的序号是。
考点40 直线方程——2021年高考数学专题复习真题附解析
考点40 直线方程【题组一 斜率与倾斜角】110y -+=的倾斜角为 。
【答案】60︒10y -+=，设直线的倾斜角为(0180)αα︒<︒，由tan α=，得60α=︒．2．直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的夹角为______________.【答案】90︒【解析】由直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的方程可知， 两直线的斜率分别为：1212,2k k ==-，∴121k k =-，∴12l l ⊥,∴两直线的夹角为90︒. 故答案为：90︒. 3．已知直线l 过点(1,0)P 且与以(2,1)A ，(4,3)B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围为_______． 【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】如图所示：设直线l 过A 点时直线l 的斜率为1k ，直线l 过B 点时直线l 的斜率为2k ， 则，110121k -==-，230141k --==--， 所以要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为：[]1,1-,所以l 倾斜角的取值范围30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 【题组二 直线方程】1．过点（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【解析】若直线过原点，则在两坐标轴上的截距都为0，在两坐标轴上的截距相等； 若直线不过原点时，设直线在两坐标轴上的截距为a ，由1x y a a+=，代入点（1，2）的坐标可得：a ＝3，∴满足条件的直线有两条，故选B ． 2．“直线:21l y kx k =+-在坐标轴上截距相等”是“1k =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题知：0k ≠，由0x =得21y k =-；由0y =得，12k x k-=. 因为在坐标轴上的截距相等，所以1221k k k--=，解得12k =或1k =-. 所以直线:21l y kx k =+-在坐标轴上截距相等”是“1k =-”的必要不充分条件.故选：B.【题组三 直线的位置关系】1．设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax +2y +3a ＝0和直线3x +（a ﹣1）y ＝a ﹣7平行”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当a ＝3时，两直线的方程分别为3290x y ++=和3240x y ++=，此时两条直线平行成立； 反之，当两直线平行时，有(1)23a a -=⨯且(7)9a a a -≠-，解得3a =或2a =-，而当2a =-时，两条直线都为30x y -+=，重合，舍去，所以3a =，所以“a ＝3”是“直线ax +2y +3a ＝0和直线3x +（a ﹣1）y ＝a ﹣7平行”的充要条件，故选：C2．已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，()23220l m x my -+-=：，若12l l //，则实数m 的值( ) A ．2 B ．1 C ．1或2 D ．0或13【答案】B【解析】当0m =时，两直线方程分别为10y -=和220x --=，不满足条件．当0m ≠时，则12//l l ，∴32211m m m --=≠-， 由321m m m -=得2320m m -+=得1m =或2m =，由211m -≠-得2m ≠，则1m =，故选：B 3．已知直线:3210p x y -+=，直线:(1)0q ax b y +-=，且p ∥q ，若,a b 均为正数，则23a b +的最小值是（ ）A ．253B ．83C ．8D ．24【答案】A【解析】因为直线:3210p x y -+=，直线:(1)0q ax b y +-=，且p ∥q ，所以23(1)a b =-，即213a b +=， 因为,a b 均为正数，所以23232422333a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13223b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭131325+4=333≥+， 当且仅当22b a a b =，即35a b ==时取等号，所以23a b +的最小值为253，故选：A 4．14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的（ ）. A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】对于：直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=，当0a =时，分别化为：10x +=，30x y -+-=，此时两条直线不垂直，舍去；当1a =-时，分别化为：310y -+=，230x --=，此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足条件； 当1a ≠-，0时，两条直线的斜率分别为：13a a +-，11a a -+，由于两条直线垂直，可得11131a a a a +--⨯=-+，解得14a =或1-（舍去）． 综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：14a =或1-． ∴14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件．故选：A ．【题组四 距离问题】1．直线110l x y -+=：与直线250l x y -+=：之间的距离是______．【答案】【解析】直线110l x y -+=：与直线250l x y -+=：之间的距离==故答案为：2．点P是曲线22ln 0x y --=上任意一点，则点P 到直线4410x y ++=的最小距离是（ ）Aln 2)- Bln 2)+ C1ln 2)2+ D ．1(1ln 2)2+ 【答案】B【解析】将直线4x ＋4y ＋1＝0平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，使直线l 与曲线切于点P(x 0，y 0)，由x 2－y －0得y ′＝2x －1x， ∴直线l 的斜率k ＝2x 0－01x ＝－1⇒x 0＝12或x 0＝－1(舍去)， ∴P 11,ln 224⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所求的最短距离即为点P 11,ln 224⎛⎫+ ⎪⎝⎭到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离d(1＋ln 2)．故选B. 【题组五 定点问题】1．方程30kx y +-=所确定的直线必经过的定点坐标是 ．【答案】（0，3）【解析】方程kx+y ﹣3＝0所确定的直线必经过的定点坐标满足030x y =⎧⎨-=⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩，故定点坐标为（0，3），故答案为 ：（0，3）． 2．对任意实数m ，直线30mx y m --+=恒过定点，则该定点的坐标为_________【答案】(1,3)【解析】30mx y m --+=化为3(1)y m x -=-，方程表示过点(1,3)斜率为m 的直线方程，所以直线过定点(1,3).故答案为:(1,3).【题组六 对称问题】1．点()2,1P -关于直线:10l x y -+=对称的点P ´的坐标是A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,1-D ．()1,0-【答案】C 【解析】设点(),P a b '，则线段PP '的中点为21,22a b -+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又点21,22a b -+⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线:10l x y -+=上， 所以211022a b -+-+= ①因为直线PP l '⊥，1l k ，12PP b k a '-=+所以1112b a -⨯=-+ ②.联立①②，解。
2021年高考数学一轮复习《直线方程》精选练习(含答案)
2021年高考数学一轮复习《直线方程》精选练习一 、选择题1.k 是直线l 斜率，θ是直线l 倾斜角，若30°≤θ<120°，则k 取值范围是（ ）A.333≤≤-k B.133≤≤k C.3-<k 或33≥kD.33≥k2.直线l 1: ax+2y –1=0与直线l 2: x+(a –1)y+a 2=0平行，则a 的值是（ ）A.–1B.2C.–1或2D.0或1 3.直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是( )A. B.C.-D.-4.直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点( )A.(1,-3)B.(4,3)C.(3,1)D.(2,3) 5.a=41是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.实数x,y 满足3x-2y-5=0(1≤x ≤2),则yx 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞- B.1[1,]4- C.1[0,]4 D.1[,)4+∞7.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4=0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )A ．y=3x ＋2B ．y=3x －2C ．y=3x ＋12D ．y=－3x ＋28.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1=0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 9.已知直线l 1：(k-3)x ＋(3-k)y ＋1=0与直线l 2：2(k-3)x-2y ＋3=0垂直，则k 的值是( )A.2B.3C.2或3D.2或-3 10.以A(1,3)，B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A.3x-y-8=0B.3x ＋y ＋4=0C.3x-y ＋6=0D.3x ＋y ＋2=011.直线l 过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则直线l 的方程为( ) .A.3x －y －5=0B.3x －y ＋5=0C.3x ＋y ＋13=0D.3x ＋y －13=0 12.抛物线y=-x 2上的点到直线4x ＋3y-8=0距离的最小值是( )A.34 B.57 C.58 D.320 13.两条平行线l 1：3x ＋4y-2=0，l 2：9x ＋12y-10=0间的距离等于( )A.57 B.157 C.154 D.32 14.已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上，则的最小值为( )A.B.C.16D.不存在15.设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax ＋y ＋2=0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞二、填空题16.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x ＋y －b=0与线段AB 相交，则b 的取值范围是 . 17.记直线l ：2x －y ＋1=0的倾斜角为α，则1sin2α＋tan2α的值为 .18.已知直线ax+by=1经过点(1,2)，则2a +4b 的取范围是 19.已知x ＋y －3=0，则22)1()2(++-y x 的最小值为________． 20.直线22:101al x y a +-=+（a ∈R ）的倾斜角的取值范围是 . 21.点P(a,b) 在直线x+y+1=0 上，则的最小值为三、解答题22.已知△ABC 的三个顶点A(4，-6)，B(-4,0)，C(-1,4)，求(1)AC 边上的高BD 所在直线方程； (2)BC 边的垂直平分线EF 所在直线方程； (3)AB 边的中线的方程．23.已知直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.（1）证明：直线恒过定点M ；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程.24.过点P(4,1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点.(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l 的方程.25.实系数方程f(x)=x 2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，求：(1)12--a b 的取值范围； (2)(a-1)2+(b-2)2的取值范围. （3）a+b-3的值域.答案解析26.C ； 27.B 28.A 29.C ；解析：2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,由解得则直线过定点(3,1),故选C.30.A ；解析：由直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直得(a+1)(a-1)+3a ×(a+1)=0,解得a=0.25或a=-1.∴“a=0.25”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直”的充分而不必要条件.故选A. 31.B32.答案为：A.解析：因为直线x －2y －4=0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y=3x ＋2. 33.答案为：B ；解析：由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 34.C; 35.B; 36.D 37.A ； 38.C ； 39.B 40.答案为：B.解析：易知直线ax ＋y ＋2=0过定点P(0，－2)，k PA =－52，k PB =43，设直线ax ＋y ＋2=0的斜率为k ，若直线ax ＋y ＋2=0与线段AB 没有交点，根据图象(图略)可知－52＜k ＜43，即－52＜－a ＜43，解得－43＜a ＜52，故选B.41.答案为：[－2,2]；解析：b 为直线y=－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y=－2x ＋b 过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值.∴b 的取值范围是[－2,2].42.答案为：－112；解析：∵直线l ：2x －y ＋1=0的斜率为2，∴tan α=2，∴sin2α=2sin αcos αsin 2α＋cos 2α=2tan α1＋tan 2α=2×21＋22=45，tan2α=2tan α1－tan 2α=2×21－22=－43，∴1sin2α＋tan2α=54－43=－112. 43.答案为：［，+).44.答案为：45.答案：3[,]44ππ.46.答案为：；47.48.解：49.解：设直线l ：x a ＋yb=1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P(4,1)，所以4a ＋1b=1.(1)因为4a ＋1b=1≥24a ·1b =4ab， 所以ab ≥16，当且仅当a=8，b=2时等号成立，所以当a=8，b=2时，S △AOB =12ab 最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2=1，即x ＋4y －8=0.(2)因为4a ＋1b=1，a ＞0，b ＞0，所以|OA|＋|OB|=a ＋b=(a ＋b)·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b =5＋a b ＋4b a ≥5＋2 a b ·4b a =9， 当且仅当a=6，b=3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3=1，即x ＋2y －6=0.50.。
狂刷40 直线与方程-学易试题君之小题狂刷2021年高考数学(理)(原卷版)
专题九 解析几何狂刷40 直线与方程1．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是 A ．[)0,πB ．][π30,π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ0π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，2．已知直线l 经过点()0,0O ，且与直线30x y --=垂直，那么直线l 的方程是 A ．30x y +-= B ．30x y -+= C ．0x y +=D ．0x y -=3．已知直线l 经过点212,M t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和点212,N t t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A ．斜率为定值，但倾斜角不确定B ．倾斜角为定值，但斜率不确定C ．斜率与倾斜角都不确定D ．斜率为1-，倾斜角为135︒4．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是A ．13 B ．26 C ．41313D ．713265．已知直线l 过点()1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为 A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．20x y -=或220x y +-=D ．20x y -=或240x y +-=6．已知点()()2,3,3,2A B ---，直线l 的方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤7．已知直线1x ya b+=经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是A ．a b <B >C ．()()0b a b a -+>D ．11a b> 8．已知()3,1A ，()1,2B -，若ACB ∠的角平分线所在直线方程是1y x =+，则直线AC 的方程为 A ．210x y --= B ．1522y x =-+ C ．25y x =-D ．270x y +-=9．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆222x y +=的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在的直线为A ．)10x y +=B ．(10x y -=C ．)10x y -=D ．)10x y -=10．已知实数m ，n 满足21m n -=，则直线30mx y n -+=必过定点___________.11．若过点P (1－a ，1＋a )与Q (4，2a )的直线的倾斜角为钝角，且m ＝3a 2－4a ，则实数m 的取值范围是________．12．过两直线10x +=0y +-的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________.13．设a ∈R ，则“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线30mx y +-=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．415．曲线13y -=与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是A ．π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知点()11A ，和点()44B ，，P 是直线10x y -+=上的一点，则PA PB +的最小值是A ． BCD ．17．设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A 12B C ．2，12D ．24，1418．过点()3,0P -作直线()()2120x y λλλ+++=∈R 的垂线，垂足为M ，已知点()3,2N ，则当λ变化时，MN 的取值范围是A ．0,5⎡+⎣B ．5⎡+⎣C ．5,5⎡⎣D ．5⎡⎤-⎣⎦19．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2，0)，B (0，4)，若其欧拉线的方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标为 A ．(－4，0) B ．(－3，-1) C ．(－5，0)D ．(－4，-2)20．已知点()()()3,0,0,3,1,0A B M ，O 为坐标原点，P Q ，分别在线段AB BO ，上运动，则MPQ△的周长的最小值为 A ．4 B ．5C ．D21．已知0,0a b >>，若直线(21)210a x y -+-=与直线20x by +-=垂直，则11a b+的最小值为__________．22．若平面区域30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是__________．23．已知点(1,0)M -，(1,0)N ．若直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是__________． 24．已知点P 是函数32y x x=+的图象上的一点，则点P 到直线210x y ++=的距离的最小值为__________．。
高考数学三轮冲刺专题直线的方程练习(含解析)(2021年整理)
山东省齐河县高考数学三轮冲刺专题直线的方程练习（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省齐河县高考数学三轮冲刺专题直线的方程练习（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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直线的方程一、选择题（本大题共12小题，共60分）1。
若直线：，与直线：互相平行，则m的值等于A. 0或或3B. 0或3 C。
0或 D。
或3（正确答案）D解：时，两条直线方程分别化为：，，此时两条直线不平行,舍去．，由于，则,解得或3，经过验证满足条件．综上可得：或3．故选:D．对m分类讨论,利用两条直线相互平行的条件即可得出．本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．2. 已知直线：和：互相平行，则实数A。
或3 B。
C。
D. 或（正确答案)A解：由，解得或．经过验证都满足两条直线平行,或．故选：A．由，解得经过验证即可得出．本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 已知直线与直线互相垂直，则A. B. C。
1 D. 3（正确答案）C解：直线与直线互相垂直，,解得故选：C由直线的垂直关系可得a的方程,解方程可得a值．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．4. 在直角坐标平面内，过定点P的直线l：与过定点Q的直线m：相交于点M,则的值为A. B。
C. 5 D。
10(正确答案）D【分析】由已知得，，过定点P的直线与过定点Q的直线垂直,M位于以PQ为直径的圆上,由此能求出的值．【解答】解:在平面内,过定点P的直线与过定点Q的直线相交于点M，,，过定点P的直线与过定点Q的直线垂直,位于以PQ为直径的圆上,,，故选D．5。
2021年新高考数学总复习第54讲：直线方程
第 1 页 共 5 页2021年新高考数学总复习第54讲：直线方程1．直线x －3y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.23π D.56π 答案 A2．(2020·东安模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋35上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，2π3B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πC.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎦⎤π3，2π3答案 B解析 y ′＝3x 2－3≥－3，即tan α≥－3，又0≤α<π，∴0≤α<π2或2π3≤α<π，选B.3．直线l 过点M(－2，5)，且斜率为直线y ＝－3x ＋2的斜率的14，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案 A解析 因为直线l 的斜率为直线y ＝－3x ＋2的斜率的14，则直线l 的斜率为k ＝－34，故y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0，故选A.4．(2020·北京东城期末)已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“α>π3”是“k>3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当π2<α<π时，k<0；当k>3时，π3<α<π2.所以“α>π3”是“k>3”的必要不充分条件，故选B.5．【多选题】过点(5，2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程可以是( ) A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －5y ＝0。
2021年高考数学二轮复习 直线与圆专题训练(含解析)
2021年高考数学二轮复习直线与圆专题训练（含解析）A级——基础巩固组一、选择题1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( ) A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0解析由题意知直线l与直线PQ垂直，所以k l＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.答案 A2．(xx·四川成都二模)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x－y－1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.答案 B3．(xx·山东潍坊一模)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( ) A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±3)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±3)2＝4解析因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±3，选D.答案 D4．(xx·山东青岛一模)过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( )A. 3 B ．2 C. 2 D ．4解析如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线， ∴OA ⊥AP .∵P (1，3)，O (0,0)， ∴|OP |＝1＋3＝2.又∵|OA |＝1，在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AO |sin ∠AOP ＝ 3.故选A. 答案 A5．(xx·北京朝阳一模)直线y ＝x ＋m 与圆x 2＋y 2＝16交于不同的两点M ，N ，且|MN →|≥3|OM →＋ON →|，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－22，－2)∪[2，22)B ．(－42，－22)∪[22，42)C ．[－2,2]D ．[－22，2 2 ]解析 设MN 的中点为D ，则OM →＋ON →＝2OD →，|MN →|≥23|OD →|，由|OD →|2＋12|MN →|2＝16，得16＝|OD→|2＋14|MN →|2≥|OD →|2＋14(23|OD →|)2，从而得|OD →|≤2，由点到直线的距离公式可得|OD →|＝|m |2≤2，解得－22≤m ≤2 2.答案 D6．(xx·江西卷)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π. 答案 A 二、填空题7．(xx·山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析 ∵圆心在直线x －2y ＝0上， ∴可设圆心为(2a ，a )． ∵圆C 与y 轴正半轴相切， ∴a >0，半径r ＝2a .又∵圆C 截x 轴的弦长为23，∴a 2＋(3)2＝(2a )2，解得a ＝1(a ＝－1舍去)． ∴圆C 的圆心为(2,1)，半径r ＝2. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝48．(xx·重庆卷)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析 由题意，得圆心C 的坐标为(－1,2)，半径r ＝3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y＋a ＝0的距离d ＝|－1－2＋a |2＝22r ＝322，即|－3＋a |＝3，所以a ＝0或a ＝6.答案 0或69．直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析 易知△AOB 为等腰直角三角形，且点O 到直线距离为22，可得2a 2＋b 2＝2⇒－2≤b ≤2，a 2＋b －12＝2－b22＋b －12≤ 2＋1.答案2＋1三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若点P 到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1.∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.11．(xx·课标全国卷Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.B 级——能力提高组1．(xx·河南南阳联考)动圆C 经过点F (1,0)，并且与直线x ＝－1相切，若动圆C 与直线y ＝x ＋22＋1总有公共点，则圆C 的面积( )A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π解析 设圆心为C (a ，b )，半径为r ，r ＝|CF |＝|a ＋1|，即(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2，即a ＝14b 2，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 2，b ，r ＝14b 2＋1，圆心到直线y ＝x ＋22＋1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 24－b ＋22＋12≤b24＋1，∴b ≤－2(22＋3)或b ≥2，当b ＝2时，r min ＝14×4＋1＝2，∴S min ＝πr 2＝4π.答案 D2．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．解析 假设直线l AB ：x a ＋y b ＝1.由于圆心(0,0)到l 的距离为1，可得a 2b 2＝a 2＋b 2.又a 2b 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，所以a 2＋b 2≥4.又因为|AB |＝a 2＋b 2≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．答案 23．(xx·江苏卷)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解 (1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0,60)，C (170,0)，直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点B 的坐标为(a ，b )， 则k BC ＝b －0a －170＝－43，k AB ＝b －60a －0＝34.解得a ＝80，b ＝120. 所以BC ＝170－802＋0－1202＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)． 由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －60－d≥80，即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d 5－d ≥80，680－3d 5－60－d≥80.解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d 5最大，即圆面积最大．所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．23405 5B6D 孭39756 9B4C 魌39310 998E 馎_35376 8A30 訰5?40649 9EC9 黉m736800 8FC0 迀25106 6212 戒#21703 54C7 哇P。
狂刷40 直线与方程-学易试题君之小题狂刷2021年高考数学(理)(解析版)
专题九 解析几何狂刷40 直线与方程1．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是 A ．[)0,πB ．][π30,π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ0π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，【答案】B【解析】直线x sin α+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sin α， ∵﹣1≤sin α≤1，∴﹣1≤k ≤1， ∴倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[34π，π）. 故选B ．【名师点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．求解时，由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．2．已知直线l 经过点()0,0O ，且与直线30x y --=垂直，那么直线l 的方程是 A ．30x y +-= B ．30x y -+= C ．0x y +=D ．0x y -=【答案】C 【解析】直线l 与直线30x y --=垂直，∴直线l 的斜率为1-，则()00y x -=--，即0x y +=． 故选C ．【名师点睛】本题考查了直线方程的求法，考查两直线垂直的等价条件，属于基础题．由题意可求出直线l 的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．3．已知直线l 经过点212,M t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和点212,N t t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A ．斜率为定值，但倾斜角不确定B ．倾斜角为定值，但斜率不确定C ．斜率与倾斜角都不确定D ．斜率为1-，倾斜角为135︒【答案】D【解析】由已知，直线MN 的斜率221141224t t t t k ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===----，所以直线MN 的倾斜角为135︒． 故选D.【名师点睛】本题考查两点间斜率公式以及倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力，属基础题.先根据斜率公式求斜率，再根据斜率求倾斜角.4．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是 A．13 B．26 CD【答案】D【解析】∵直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则4m =， 将直线3230x y +-=的方程化为6460x y +-=， 则两条平行直线之间的距离为d故选D ．【名师点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题． 5．已知直线l 过点()1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为 A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．20x y -=或220x y +-=D ．20x y -=或240x y +-=【答案】D【解析】根据题意，直线l 分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点()1,2，所求直线方程为2y x =，整理为20x y -=； ②当直线不过原点时，设直线l 的方程为12x y a a +=，代入点()1,2的坐标得1212a a+=，解得2a =，此时直线l 的方程为124x y+=，整理为240x y +-=． 故直线l 的方程为20x y -=或240x y +-=. 故选D ．【名师点睛】本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．根据题意，分直线l 是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线l 的方程，即可得答案．6．已知点()()2,3,3,2A B ---，直线l 的方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤ 【答案】A【解析】方法一：由直线l 的方程为10kx y k -++-=，即1(1)1y kx k k x =-+=-+，可知，直线l 恒过定点P （1,1），所以34,4AP BP k k =-=，数形结合可得，若直线l 与线段AB 相交，则k ≥34或k ≤－4.方法二：易求得线段AB 的方程为()513032x y y ++=-≤≤-，得513x y =--，由直线l 的方程得()119514111551514514514y y y y k x y y y +----===-=----++()11955514y =-++， 当1435y -≤<-时，15140y -≤+<，此时，()119455514k y =-+≤-+； 当1425y -<≤-时，05144y <+≤，此时，()1193555144k y =-+≥+. 因此，实数k 的取值范围是4k ≤-或34k ≥，故选A. 【名师点睛】本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 7．已知直线1x ya b+=经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是 A ．a b <B>C ．()()0b a b a -+>D ．11a b> 【答案】B【解析】直线1x ya b+=经过第一、二、三象限，则直线在x 轴的截距0a <，在y 轴的截距0b >， 由直线的斜率小于1可知：01ba<-<，结合0a <可得：0a b a <<<-，逐一考查所给的选项：由绝对值的性质可知：a b >，选项A 错误；>B 正确；由不等式的性质可得：0,0b a b a ->+<，则()()0b a b a -+<，选项C 错误；110,0a b <>，则11a b<，选项D 错误. 本题选择B 选项.【名师点睛】本题主要考查直线的截距式方程，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意首先确定a ，b 的范围，然后逐一考查所给命题的真假即可. 8．已知()3,1A ，()1,2B -，若ACB ∠的角平分线所在直线方程是1y x =+，则直线AC 的方程为 A ．210x y --= B ．1522y x =-+ C ．25y x =-D ．270x y +-=【答案】A【解析】由题意可知直线AC 和直线BC 关于直线1y x =+对称.设点(1,2)B -关于直线1y x =+的对称点为()00,B x y '，则有0000002111021122y x x y y x -⎧=-⎪=⎧+⎪⇒⎨⎨=+-⎩⎪=+⎪⎩，即(1,0)B '.因为(1,0)B '在直线AC 上，所以直线AC 的斜率为101312k -==-，所以直线AC 的方程为11(3)2y x -=-，即210x y --=. 故A 正确.【名师点睛】本题主要考查的是点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线，可通过设B 的对称点，再根据对称性质进行求解.解决直线的对称性问题对考生来说相对较抽象，可结合草图来加强理解. 9．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆222x y +=的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在的直线为A．)10x y +=B．(10x y -=C．)10x y -=D．)10x y -=【答案】C【解析】如图所示可知)()((),11,1,1AB C D -，，，所以直线AB ，BC ，CD的方程分别为：(),11y x y x y x =-==+整理为一般式即：)10,x y +=(10,x y -=)10,x y -=分别对应题中的A 、B 、D 选项. 本题选择C 选项.【名师点睛】本题主要考查直线方程的求解，圆的方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意求解题中所给的直线方程，对比选项，利用排除法即可求得最终结果. 10．已知实数m ，n 满足21m n -=，则直线30mx y n -+=必过定点___________. 【答案】12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】由已知得21n m =-，代入直线30mx y n -+=得3210mx y m -+-=， 即()()2310x m y ++--=，由20310x y +=⎧⎨--=⎩，解得213x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴直线必过定点12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【名师点睛】将21n m =-代入直线30mx y n -+=得()()2310x m y ++--=，由20310x y +=⎧⎨--=⎩即可得结果.探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为(),(,)0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x yg x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点).②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.11．若过点P(1－a，1＋a)与Q(4，2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是________．【答案】4,393⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】设直线的倾斜角为α，斜率为k，则2(1)1 tan4(1)3a a aka aα-+-===--+，又α为钝角，∴13aa-<+，即(1)(3)0a a-+<，故31a-<<，因为关于a的函数234m a a=-的对称轴为23a=，∴2222343(3)4(3) 33m⎛⎫⨯-⨯<⨯--⨯-⎪⎝⎭，∴实数m的取值范围是4,393⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【名师点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率，根据两点坐标表示出直线的斜率，求出a的取值范围，进而得出实数m的取值范围.12．过两直线10x+=y+-的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________.【答案】12x=或10x+=【解析】联立10xy⎧+=⎪+=可得交点为1(2.当直线斜率不存在时，x=12，到原点的距离等于12，符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为1()2y k x=-，即220kx y k-=，因为直线与原点的最短距离为1212=，解得k=，所以所求直线的方程为10x+=.所以本题答案为12x=或10x+=.【名师点睛】本题主要考查求两条直线交点坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.求解时，联立直线方程可求出直线的交点坐标，若所求直线的斜率不存在，则可根据交点坐标得到所求直线的方程，然后验证原点到此方程的距离是否等于12即可；若直线斜率存在时，根据点斜式写出直线方程，然后根据原点到直线的距离等于12就可求出直线的斜率，据此可得到满足题意的直线的方程.13．设a ∈R ，则“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行，则可得：()123a a -=⨯，解得3a =或−2.当3a =时，两直线分别为：3290x y ++=和3240x y ++=，满足平行； 当2a =-时，两直线分别为：30x y -+=和30x y -+=，两直线重合； 所以“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行”的充要条件. 故选C.【名师点睛】本题主要考查了两直线平行求参数值的问题，先由两直线平行解得a 的值，再通过检验是否重合可得3a =，从而得两命题的关系.已知两直线的一般方程判定两直线平行的一般方法为：已知1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则1212210l l A B A B ⇔-=∥，需检验两直线是否重合，属于易错题型.14．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线30mx y +-=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D【解析】由题意可知，()cos ,sin P θθ是单位圆上的点，而直线30mx y +-=是过定点()0,3的直线（不含y 轴），原点（即圆心）到直线30mx y +-=的距离的最大值为3，∴点P 到直线30mx y +-=的距离的最大值为3＋1＝4． 故选D ．【名师点睛】本题考查点到直线的距离，利用几何意义求解，点P 在单位圆上，直线是过定点()0,3的直线，求出圆心到直线距离的最大值，然后加上半径1即可．但在求最大值时，不用点到直线距离公式求出距离，而是借助几何意义求解，点P 在单位圆上，直线是过定点()0,3的直线，求出圆心到直线距离的最大值，然后加上半径1即可．而圆心到定点的距离就是当直线变化时，圆心到直线距离的最大值，这可由直角三角形的性质直接得出．这种方法简单易行，值得提倡．15．曲线13y -=与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是 A ．π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】当0x ≥，0y ≥时，由13y =得13y -=，该射线所在直线的倾斜角为π3；当0x ≤，0y ≥时，由13y =得13y +=，该射线所在直线的倾斜角为2π3；当0x ≤，0y ≤时，由133y x -=得133y -=，该射线所在直线的倾斜角为π3； 当0x ≥，0y ≤时，由133y x -=得133y --=，该射线所在直线的倾斜角为2π3.作出曲线13y =的图象如下图所示：由图象可知，要使得过原点的直线l 与曲线13y -=没有交点， 则直线l 的倾斜角α的取值范围是π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选A ． 【名师点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题.求解时，作出曲线13y -=的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线l 在绕着原点旋转时，直线l 与曲线13y =没有交点时，直线l 的倾斜角α的变化，由此得出α的取值范围.16．已知点()11A ，和点()44B ，，P 是直线10x y -+=上的一点，则PA PB +的最小值是A ． BCD ．【答案】D【解析】如下图所示：点()11A ，，关于直线l ：10x y -+=的对称点为C （0，2），连接BC ，此时PA PB +的最小值为BC ==故选D ．【名师点睛】本题考查的知识点是两点间距离公式的应用，难度不大，属于中档题．17．设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A 12BC ，12D ，14【答案】A 【解析】a b ，是方程20x x c ++=的两个实根，1a b ∴+=-，ab c =，∵两条直线之间的距离d =()2241422a b abcd +--∴==， 108c ≤≤，11412c ∴≤-≤，21142d ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，，∴两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为2，12. 故选A.【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意a b c ，，之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题.利用方程的根，求出a b c ，，之间的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值即可.18．过点()3,0P -作直线()()2120x y λλλ+++=∈R 的垂线，垂足为M ，已知点()3,2N ，则当λ变化时，MN 的取值范围是A ．0,5⎡+⎣B ．5⎡+⎣C ．5,5⎡⎣D ．5⎡⎤-⎣⎦【答案】B【解析】直线()()2120x y λλλ+++=∈R ，即()()220x y y λ+++=， 由2020x y y +=⎧⎨+=⎩，求得12x y =⎧⎨=-⎩，直线经过定点()1,2Q -．如图，由PQM △为直角三角形，斜边为PQ ，M 在以PQ 为直径的圆上运动， 可得圆心为PQ 的中点()1,1C --，半径为152r PQ ==，则()2,3N 与M 的最大值为||5NC r +==，()2,3N 与M 的最小值为||5NC r -==故MN 的范围为：5⎡-⎣.故选B ．【名师点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．化已知直线为()()220x y y λ+++=，即有20x y +=且20y +=，解方程可得定点Q ，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值． 19．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2，0)，B (0，4)，若其欧拉线的方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标为 A ．(－4，0)B ．(－3，-1)C ．(－5，0)D ．(－4，-2)【答案】A 【解析】设C (m ，n )，由重心公式，可得△ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭， 代入欧拉直线有：242033m n ++-+=，整理得m －n ＋4＝0 ①. AB 的中点为(1，2)，k AB ＝4002--＝－2， AB 的中垂线方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0， 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩可得：11x y =-⎧⎨=⎩，所以△ABC 的外心为(－1，1)，外心与点B 的距离：d ==外心与点B 的距离与外心与点C 的距离相等，则(m ＋1)2＋(n －1)2＝10，整理得m 2＋n 2＋2m －2n ＝8 ②， 联立①②，可得m ＝－4，n ＝0或m ＝0，n ＝4.当m ＝0，n ＝4时，B ，C 两点重合，舍去，当m ＝－4，n ＝0时满足题意.所以点C 的坐标为(－4，0)．本题选择A 选项.【名师点睛】本题主要考查直线方程的应用，三角形的中心坐标公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.设点的坐标为C (m ，n )，由重心公式得到关于m ，n 的方程，然后利用外心与点B 的距离及外心与点C 的距离相等得到关于m ，n 的方程，两方程联立即可确定顶点C 的坐标. 20．已知点()()()3,0,0,3,1,0A B M ，O 为坐标原点，P Q ，分别在线段AB BO ，上运动，则MPQ△的周长的最小值为A ．4B ．5C ．D 【答案】C【解析】过()()3,0,0,3A B 两点的直线方程为30x y +-=， 设()10M ，关于直线30x y +-=对称的点为(),N x y ，则11113022y x x y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，即()32N ，， 同理可求()10M ，关于O 对称的点为()10E -，， 当N P Q E ，，，共线时，MPQ △的周长MQ PQ QM NP EQ PQ ++=++取得最小值，为NE ==故选C ．【名师点睛】本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强，属于中档题. 21．已知0,0a b >>，若直线(21)210a x y -+-=与直线20x by +-=垂直，则11a b+的最小值为__________．【答案】8【解析】设直线(21)210a x y -+-=的斜率为1k ，直线20x by +-=的斜率为2k ， 1212a k -∴=-，21k b =-， 两条直线垂直，12211()()12a k k b -∴=--=-，整理得：2()1a b +=， 11112228b a a b a b a b a b∴+=+⋅+=++≥()()()，当且仅当14a b ==时等号成立， ∴11a b+的最小值为8. 【名师点睛】利用“1”的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想.22．若平面区域30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是__________．【答案】2或12【解析】作出不等式组30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域如图所示：可行域是等腰三角形，平面区域夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是点B 到AC 的距离，它们的斜率是2，求得A （2，1），B （1，2），点A 到BC=，点B 到AC=，所以A 到BC 的距离也是最小值，平行线的斜率为12. 故答案为2或12． 【名师点睛】本题主要考查平面区域的作法，考查点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．23．已知点(1,0)M -，(1,0)N ．若直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是__________．【答案】[【解析】设直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，点P 的坐标为(,)x m x -， 则(1,),(1,)MP x m x NP x m x =+-=--，因为PM PN ⊥，所以MP NP ⊥，由向量数量积的坐标公式可得，(1)(1)()()0x x m x m x +-+--=222210x mx m ⇒-+-=， 由题意可知该方程有实根，即22(2)8(1)0m m ∆=---≥，解得m ≤≤【名师点睛】本题考查了转化法、方程思想.求解时，设出点P 的坐标为(,)x m x -，由PM PN ⊥，可以转化为MP NP ⊥，根据平面向量数量积的坐标表示公式可得到一个关于x 的一元二次方程，只要该方程的判别式大于等于零即可，解不等式最后求出实数m 的取值范围.24．已知点P 是函数32y x x =+的图象上的一点，则点P 到直线210x y ++=的距离的最小值为__________．【解析】设0003(,)2P x x x +，则点0003(,)2P x x x +到直线210x y ++=的距离为：00000332()131255x x x x x d +++++==，因为0033(,6][6,)x x +∈-∞-+∞0033+1(,5][7,)x x ⇒+∈-∞-+∞0033+1[5,)x x ⇒+∈+∞，所以min d ==. 【名师点睛】本题考查点到直线的距离公式、对勾函数的最值，属于基础题.求解时，将P 点设出来，利用点到直线的距离公式表示出点P 到直线210x y ++=的距离，再求最小值即可.。
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考点40 直线方程【题组一 斜率与倾斜角】1的倾斜角为 。
10y -+=2．直线与直线的夹角为______________.1:210l x y -+=2:210l x y ++=3．已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范l (1,0)P (2,1)A (4,3)B -AB l 围为_______．【题组二 直线方程】1．过点（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．“直线在坐标轴上截距相等”是“”的（ ）:21l y kx k =+-1k =-A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【题组三 直线的位置关系】1．设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax +2y +3a ＝0和直线3x +（a ﹣1）y ＝a ﹣7平行”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知m 为实数，直线，，若，则实数m 的值( ) 1:10l mx y +-=()23220l m x my -+-=：12l l //A ．2 B ．1 C ．1或2 D ．0或 133．已知直线，直线，且∥，若均为正数，则的最小:3210p x y -+=:(1)0q ax b y +-=p q ,a b 23a b+值是（ ）A ．B ．C ．8D ．24253834．是“直线与直线相互垂直”的（ ）. 14a =(1)310a x ay +++=(1)(1)30a x a y -++-=A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【题组四 距离问题】1．直线与直线之间的距离是______．110l x y -+=：250l x y -+=：2．点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ）P 22ln 0x y --=P 4410x y ++=A B C D ． ln 2)-ln 2)+1ln 2)2+1(1ln 2)2+【题组五 定点问题】1．方程所确定的直线必经过的定点坐标是 ．30kx y +-=2．对任意实数，直线恒过定点，则该定点的坐标为_________m 30mx y m --+=【题组六 对称问题】1．点关于直线对称的点´的坐标是()2,1P -:10l x y -+=P A ． B ． C ．D ． ()1,0()0,1()0,1-()1,0-2．点关于直线对称点的坐标是________．(7,1)A -:250l x y --=A '3．直线关于点对称的直线的方程为_________.3450x y -+=(2,3)M -4．已知直线，点.求：:2310l x y -+=(1,2)A --（1）直线关于点对称的直线的方程；l (1,2)A --l '（2）直线关于直线的对称直线的方程.:3260m x y --=l m '5．圆关于直线对称的圆的标准方程为__．22:1C x y +=:1l x y +=如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算的比如角A 等于60度直接假设B 和C 都等于60°带入求解。
省时省力！4.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。
如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得！5.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法！如果求角度则常规法简单！6.高考选择题中求条件啥的充要和既不充分也不必要这两个选项可以直接排除！考到概率超小7.选择题中考线面关系的可以先从D项看起前面都是来浪费你时间的7.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点带入能成立的就是答案8.线性规划题目直接求交点带入比较大小即可（这个看楼下的说用这条要碰运气，文科可以试试。
）9.遇到这样的选项 A 1/2 B 1 C 3/2 D 5/2 这样的话答案一般是D因为B可以看作是2/2 前面三个都是出题者凑出来的如果答案在前面3个的话 D应该是2(4/2).数学无耻得分综合篇！做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。
填空题也是，比较简单的会的就正常做，复杂的题如果答案是一个确定的值时，看能否用特殊值代入法以及特例求解法。
选择填空题的答题时间要自己掌握好，遇到不会的先放下往后答，我们的目标是把卷子上所有会的题都答上了、都答对了，审题要仔细（一个字一个字读题），计算要准确（一步一步计算），千万不要有马虎的地方。
大题文科第一题一般是三角函数题，第一步一般都是需要将三角函数化简成标准形式Asin（wx+fai）+c，接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最小值都是用整体法求解。
求最值时通过自变量的范围推到里面整体u=wx+fai的范围，然后可以直接画sinu的图像，避免画平移的图像。
这部分题还有一种就是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向，即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。
理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前n项和公式；证明数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同的方法（已知Sn求an、已知Sn与an关系求an（前两种都是利用an=Sn-Sn-1，注意讨论n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列lamt，通过构造一个新数列使其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。
如有其它问题，注意放缩法证明，还有就是数列可以看成一个以n为自变量的函数。
第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。
计算题主要是体积，注意将字母换位(等体积法)；线面距离用等体积法。
理科还有求二面角、线面角等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计算，不要算错。
第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。
求概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数/所有可能的个数；理科用排列组合算数。
独立性检验根据公式算K方值，别算错数了，会查表，用1减查完的概率。
回归分析，根据数据代入公式（公式中各项的意义）即可求出直线方程，注意（x平均，y平均）点满足直线方程。
理科还有随机变量分布列问题，注意列表时把可能取到的所有值都列出，别少了，然后分别算概率，最后检查所有概率和是否是1，不是1说明要不你概率算错了，要不随机变量数少了。
第四题是函数题，第一步别忘了先看下定义域，一般都得求导，求单调区间时注意与定义域取交。
看看题型，将题型转化一下，转化到你学过的内容（利用导数判断单调性（含参数时要利用分类讨论思想，一般求导完通分完分子是二次函数的比较多，讨论开口a=0、a<0、a>0和后两种情况下delt<=0、delt>0）、求极值（根据单调区间列表或画图像简图）、求最值（所有的极值点与两端点值比较）等），典型的有恒成立问题、存在问题（注意与恒成立问题的区别），不管是什么都要求函数的最大值或最小值，注意方法以及比较定义域端点值，注意函数图象（数形结合思想：求方程的根或解、曲线的交点个数）的运用。
证明有关的问题可以利用证明的各种方法（综合法、分析法、反证法、理科的数学归纳法）。
多问的时候注意后面的问题一般需要用到前面小问的结论。
抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。
第五题是圆锥曲线题，第一问求曲线方程，注意方法（定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等）。
一定检查下第一问算的数对不，要不如果算错了第二问做出来了也白算了。
第二问有直线与圆锥曲线相交时，记住我说的“联立完事用联立”，第一步联立，根据韦达定理得出两根之和、两根之差、因一般都是交于两点，注意验证判别式>0，设直线时注意讨论斜率是否存在。
第二步也是最关键的就是用联立，关键是怎么用联立，即如何将题里的条件转化成你刚才联立完的x1+x2和x1x2，然后将结果代入即可，通常涉及的题型有弦长问题（代入弦长公式）、定比分点问题（根据比例关系建立三点坐标之间的一个关系式（横坐标或纵坐标），再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上的两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决）、点对称问题（利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上）、定点问题（直线y=kx+b过定点即找出k与b的关系，如b=5k+7，然后将b代入到直线方程y=kx+5k+7=k（x+5）+7即可找出定点（-5,7））、定值问题（基本思想是函数思想，将要证明或要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，通过适当化简，消去变量即得定值。
）、最值或范围问题（基本思想还是函数思想，将要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，利用函数求值域的方法（首先要求变量的范围即定义域—别忘了delt>0，然后运用求值域的各种方法—直接法、换元法、图像法、导数法、均值不等式法（注意验证“=”）等）求出最值（最大、最小），即范围也求出来了）。
抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。