赏析2014年高考数学客观题中的定义阅读题

棠辑　务　彀孥　瑰题申　炎域读戆　◇江苏何晓勤　定义阅读题是指以学生的已有知识为基础，并给　出一定容量的文字、数式、图示信息，通过阅读，从中　获取有关的信息，捕捉解题资料，发现问题的规律，找　出解决问题的方法，并应用于新问题的解答．本文就　２０１４年高考数学客观考题中４类定义阅读题进行探　析，旨在探索题型规律，揭示解题方法．　１定义新概念　■■　Ｊ—　例１（２０１４年山东卷）对于函数厂（　），若存在　

常数ａ≠０，使得ｚ取定义域内的每一个值，都有　厂（ｚ）＝＝＝ｆ（２ａ—ｚ），则称厂（　）为准偶函数，下列函数中　是准偶函数的是（　）．　Ａ，（ｚ）一￣／　；　Ｂ厂（ｚ）一　；　Ｃ＿厂（　）一ｔａｎ　Ｘ；　Ｄ，（　）一ｃｏｓ（ｘ＋１）　Ｑ　因为厂（ｚ）一ｆ（２ａ—　），所以函数厂（ｚ）的图　，．　勰析象关于直线　—。对称．在选项Ａ中，函数　

厂（　）一４－；的图象无对称轴；在选项Ｂ中，函数　厂（ｚ）一ｚ　的图象关于Ｙ轴对称，与口≠０矛盾；在选项　Ｃ中，函数　（　）一ｔａｎ　Ｘ的图象也没有对称轴；在选项　Ｄ中，函数厂（ｚ）一ＣＯＳ（Ｘ＋１）的图象是由函数ｇ（ｚ）＝＝＝　

设ｇ（￡）一ｆ＋÷，则ｇ　（￡）一１一专．所以ｇ（　）在　（１，　）上单调递减，在（　，５）上单调递增．故２√　≤　ｇ（￡）≤８，于是√７—３≤　≤１，即√７—３≤÷≤１，所以　口≥１或口≤一—５ｔ　＃一／．　

因为ａ是正实数，所以ａ≥１．因此，所求ｎ的取值　范围是［１，＋ｃｏ）．　彝　萋喜　

化为函数的值域问题，这种转化的思想值得肯定．　（作者单位：北京陈经纶中学）　

ＣＯＳ　ｚ的图象向左平移１个单位后得到的，它关于直　线ｚ＝忌丁ｃ～１（　∈ｚ）对称．故选Ｄ．　彝　簇　呈篓　

ｚ＝＝＝ａ对称；反之亦然．这里，若ｆ（　）是偶函数，则　ｆ（ｘ＋优）是准偶函数，其中常数ｍ≠０．　

例２（２０１４年山东卷）已知函数Ｙ一厂（　）（　∈　Ｒ）．对函数３，一ｇ（ｚ）（ｚ∈Ｉ），定义ｇ（ｚ）关于，（ｚ）的　“对称函数”为　一＾（　）（ｚ∈　），Ｙ—ｈ（ｚ）满足：对任意　∈　，２个点（　，　（　））、（　，ｇ（　））关于点（　．厂（ｚ））对　称．若ｈ（ｚ）是ｇ（ｚ）一＾／／４一ｚ。关于　（ｚ）一３ｘ＋ｂ的　“对称函数”，且ｈ（ｚ）＞ｇ（ｚ）恒成立，则实数６的取值　范围是　．　如图１所示，函　解析数ｇ（ｚ）一　

￣／４一ｚ。的图象表示半径　为２的上半圆　＋Ｙ。＝＝：４　（　≥Ｏ），且直线　一３ｘ＋ｂ　与此半圆相切的充要条件　

是＿＿＝　一２，解得ｂ一　￣／９十１　

２、／／１ｏ或ｂ一一２￣／１ｏ（舍　去）．　

Ｊ　｝　

｜。　＋２　？　｜　

｜　＝　Ｆ　、　

２　０　２　ｘ　图ｌ　

这里，点（　，ｈ（ｚ））、（ｚ，ｇ（　））关于点（ｚ，３ｘ＋ｂ）　对称，只需ｈ（ｚ）＞ｇ（　）恒成立即可，则６＞２　１Ｏ．所　以实数ｂ的取值范围是（２￣／１ｏ，＋。。）．　■■　，　ｌ　例３　（２０１４年福建卷）在平面直角坐标系中，　

Ｐ　（ｚ。，　）、Ｐ　（ｚ　，Ｙ　）２点间的“上『距离”定义为　ｌｌ　Ｐ　Ｐ。ｌｌ—ｌ　ｚ　一ｚ　ｌ＋ｌ　Ｙ　一Ｙ　『，则平面内与ｚ轴上　２个不同的定点Ｆ　、Ｆ。的“Ｌ＿距离”之和等于定值（大　于ｌＩ　Ｆ　Ｆ　ｌ１）的点的轨迹可以是（　）．　

Ｖ　厂　＿＼　

＼Ｆ１　０　／ｘ　＼　—　Ａ　／　＼．　＼　Ｙ　＿＿＼　ｌ　、　【Ｆｉ　０　Ｊ　ｘ　Ｌ．　．．＿／　

Ｂ　Ｙ　

Ｆｌ　０　Ｃ　Ｄ　设Ｍ（ｘ，　）是轨迹上任意一点，Ｆ　（一ｆ，０）、　

Ｆ　（ｃ，０），ｌｌ　ＭＦ　ｌ＋ｌ　ＭＦｚ　ｌＩ一２ａ，其中ａ为　

对勇气的最大考验，就是看一个人能否做到败而不馁　英格索尔　

枇化　常数，且。＞ｃ＞０，由“　距离”定义，得　Ｊ　ｚ＋ｆ　Ｊ＋Ｊ　ｙ　Ｊ＋｝　—ｆ　Ｊ＋ｊ　Ｙ　Ｊ一２ａ，　１　即　ｌ　Ｙ　Ｉ＝＝＝÷（２ａ—Ｉ　ｘ＋ｃ　ｌ—Ｉ　Ｘ－－Ｃ　Ｉ）．　

厶　

当　≥　

当　＜　时　

时　

ｆｘ＋ａ，　＜一ｃ；　１　。，　

ｆ—ｘｍａ，　ｚ＜一Ｃ；　仁　则满足上述关系的图象只有选项Ａ．　舞　耋嘉耋　主曼篙　蓑　

化归、数形结合等数学思想的应用．　２定义新运算　镶　—０　例４（２０１４年广东卷）对任意复数叫　、　。，定义　

ＺＵ　＊训。一谢　，其中　。是＂ＩＵ。的共轭复数．对任意　复数　、２　、ｇ　，有如下４个命题：　）（　ｌ＋　２）＊　３一（　ｌ＊　３）＋（　２＊　３）；　②　１＊（　２＋　３）一（　ｌ＊　２）＋（　ｌ＊　３）；　③（　ｌ＊　２）＊　３—　１＊（　２＊ｚ３）；　④ｚ１＊　２—　２＊　１．　则真命题的个数是（　）．　Ａ　１；　Ｂ　２；　Ｃ　３；Ｄ　４　对于①，（　＋ｚｚ）＊　。一（　＋　ｚ）　ｓ一（　＊　／解析　。）＋（Ｚ２＊　。），所以①正确；对于②，　＊　

（ｚ２４－　．｛）一　ｌ（　２＋　３）＝＝：ｚｌｚ２＋　１　３一（　ｌ＊　２）４－（　ｌ　

＊　。），所以②正确；对于③，由于（　ｚ。）＊　。一　１　２　ｚ３，而　ｌ＊（　２　３）一　ｌｚ２　３，显然不一定成立，所　以③不正确；对于④，由于ｚ１＊ｚ２一ｚ１　２，而　２＊　１＝　２　，显然不一定成立，所以④不正确．故选Ｂ．　彝　桢　键　

例５　（２０１４年湖北卷）《算数书》竹简于２０世　纪８０年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现　存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的　术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”　该术相当于给出了由圆锥的底面周长Ｌ与高ｈ，计算　

其体积Ｖ的近似公式　≈＿＿１　Ｌ。ｈ．它实际上是将圆锥　体积公式中的圆周率兀近似取为３．那么，近似公式　≈　Ｌ　ｈ相当于将圆锥体积公式中的丌近似取为　（　）．　

化　

Ａ　Ｑ　解析　

２２；　Ｂ　２５；　ｃ　１５７；　Ｄ面３５５　

先检验求“困盖”术，设圆锥的底面圆半径为　ｒ，则÷　２・ｈ＝Ｖ￣ＩＬ　ｈ＝１（２　，化　

简得１≈÷７ｃ，则７ｃ≈３．　类似地，令÷・７ｃｒ　・ｈ—Ｖ≈　Ｌ　ｈ一　（２兀ｒ）　ｈ，化　ＬＪ　，Ｕ　●　

简得１≈熹　，则　≈萼，故选Ｂ．　

彝芸誓　言　妻　薯　有十足均把握对　３定义新性质　鼍三　例６（２０１４年四川卷）以Ａ表示值域为Ｒ的函　数组成的集合，Ｂ表示具有如下性质的函数　（ｚ）组成　的集合：对于函数　（ｚ），存在一个正数Ｍ，使得函数　（　）的值域包含于区间［一Ｍ，Ｍ］．例如，当妒　（ｚ）一　ｚ。，　２（　）一ｓｉｎ　ＪＣ时，　１（　）∈Ａ，　２（　）∈Ｂ．现有如下　

命题：　①设函数－厂（　）的定义域为Ｄ，则“ｆ（ｘ）∈Ａ”的　充要条件是“Ｖ　ｂ∈Ｒ，　＆∈Ｄ，，（ｎ）一ｂ”；　②函数．厂（　）∈Ｂ的充要条件是ｆ（ｚ）有最大值　和最小值；　③若函数／　（ｚ）、ｇ（ｚ）的定义域相同，且厂（ｚ）∈　Ａ，ｇ（ｚ）∈Ｂ，贝０－厂（ｚ）＋ｇ（ｚ）　Ｂ；　

④若函数－厂（　）一ａｌｎ（　＋２）＋南（　＞一２，　ａ∈Ｒ）有最大值，则．厂（ｚ）∈Ｂ．　其中的真命题有　．（写出所有真命题的　序号）　Ｑ　对于①，若－厂（　）∈Ａ，则厂（－ｚ）的值域为Ｒ，则　，　解析对任意的６∈Ｒ，一定存在“∈Ｄ（定义域），使　得厂（　）＝＝＝６；反之亦然．①正确．　对于②，取函数＿厂（ｚ）一ｚ（一１＜　＜１），其值域　为（一１，１），于是，存在Ｍ一１，使得，（ｚ）的值域包含　于［一Ｍ，Ｍ］一［一１，１］，但此时＿厂（　）没有最大值和最　小值．②错误．　对于③，在相同的定义域内，两函数ｆ（ｚ）∈Ａ、　ｇ（－ｚ）∈Ｂ，则－厂（＿ｚ）的值域是（一ｃ×。，＋Ｃｘ３），ｇ（　）有界，　则＿厂（　）＋ｇ（ｚ）的值域也是（一Ｃ＞Ｃ３，＋ＣｘＤ），则厂（ｚ）＋　ｇ（ｚ）　Ｂ．③正确．　

对于④，对于，（　）一ａｌｎ（　＋２）＋南（　＞　２），由于当ａ＞Ｏ或ａｄＯ时，函数厂（ｚ）都没有最大　

我觉得坦途在前，人又何必因为一点小障碍而不走路呢？　鲁迅　值，则只有口一０，此时－厂（ｚ）一　（ｚ＞一２），此时　厂（　）∈［一÷，寺］．④正确．　综上，其中的真命题有①、③、④．　彝　主　藿　

每个函数有界．　■　、，＿　ｊ　例７　（２０１４年安徽卷）若直线ｚ与曲线Ｃ满足　

下列２个条件：　ｌ直线ｚ在点Ｐ（　。，Ｙ。）处与曲线Ｃ相切；　ｉｉ曲线Ｃ在Ｐ附近位于直线ｚ的两侧，则称直　线Ｚ在点Ｐ处“切过”曲线Ｃ．　下列命题正确的是　．（写出所有正确命　题的编号）　①直线ｌ：Ｙ一０在点Ｐ（０，０）处“切过”曲线Ｃ：　Ｙ—ｚ。：　②直线ｚ：　一一１在点Ｐ（一１，０）处“切过”曲线　Ｃ：　一（ｚ十１）。；　③直线ｚ：．ｙ—　在点Ｐ（０，０）处“切过”曲线Ｃ：　Ｙ：ｓｉｎ　ｚ：　④直线ｚ：Ｙ—ｚ在点Ｐ（０，０）处“切过”曲线Ｃ：　Ｙ—ｔａｎ　ｚ　⑤直线Ｚ：Ｙ—ｚ一１在点Ｐ（１，０）处“切过”曲线　Ｃ：　—Ｉｎ　ｚ．　Ｑ　对于①，由于直线ｌ－　一０与三次曲线ｃ：Ｙ一　解析Ｘ３相切于点Ｐ（０，０）处的切线，且曲线ｃ在　点Ｐ附近位于直线ｚ的两侧，则①正确；同理，③、④　也都正确．　对于②，直线Ｚ：　一一１在点Ｐ（一１，０）处与曲线　Ｃ：　一（ｚ＋１）。相交，则②错误．同理，⑤错误．　综上，①、③、④正确．　

彝　嚣　慧　警主　嚣　蓑　

在切线的两侧．　４引入新符号　￣，．　例８　（２０１４年浙江卷）记ｍａｘ｛ｚ，Ｙ｝一　

｛　：　ｍｉｎ　，　，一｛　：三　：记口、６为平面向　

量，则（　）．　Ａ　ｍｉｎ｛ｌ口＋６　Ｊ，ｌ口．一ｂ　１）≤　ｍｉｎ｛ｌ　ａ　ｌ，ｌ　ｂ『）；　Ｂ　ｍｉｎ｛ｌ口＋ｂ　ｌ，ｌ口一ｂ　Ｉ）≥ｒａｉｎ｛Ｉ　ａ　ｌ，ｌ　ｂ１）；　Ｃ　ｍａｘ｛１ａ＋ｂ１　，１口一ｂＩ　）≤１ａ１　＋１　ｂ１　；　Ｄ　ｍａｘ｛Ｉ口＋ｂＩ　，ｌ　ｎ—ｂＩ　）≥ｆ　ａ　ｌ　＋Ｉ　ｂ　ｌ　

对于Ａ，当ｌ口Ｉ—Ｉ　ｂ　ｆ且　鳞析口上ｂ时，易知Ａ错；对　

于Ｂ，当１　ａ　ｌ—ｌ　ｂ　Ｉ且＜ａ，ｂ）一　１３５。时，易知Ｂ错；对于Ｃ、Ｄ，０　设ＯＡ—ａ，ＯＢ—ｂ，构造平行四　边形ＯＡＣＢ（如图２），根据平行　图２　

Ｃ　

四边形法则，／ＡＯＢ与　ＯＢＣ至少有一个大于或等　于９０。，根据余弦定理，ｍａｘ｛ｌ口＋ｂ　ｌ　，ｌ　ａ～ｂ　Ｊ。｝≥　ｌ　ａ　ｌ。＋ｌ　ｂｌ。成立．故选Ｄ．　彝　姜　筹喜　．　黼正式　

例９　（２０１４年湖北卷）设ｘＯｙ是定义在（０，　＋Ｃｘ３）上的函数，且厂（ｚ）＞Ｏ，对任意ａ＞Ｏ、ｂ＞Ｏ，若过　点（口，厂（口））、（６，一厂（６））的直线与ｚ轴的交点为（ｃ，　Ｏ），则称Ｃ为。、ｂ关于函数ｆ（　）的平均数，记为　Ｍｓ（口，６）．例如当－厂（ｚ）＝１（ｚ＞０）时，得Ｍｓ（口，６）一　

ｃ一　，即Ｍｉ（口，ｂ）Ｎ口、ｂ的算术平均数．　（１）当，（　）一　（　＞０）时，Ｍ，（ｎ，６）为ｎ、　ｂ的几何平均数；　（２）当厂（ｚ）一　（ｚ＞０）时，ＭＩ（Ⅱ，６）为口、