积分估值与积分不等式
积分估值定理
积分估值定理积分估值定理是一种模型，用于计算公司或其他经济实体的价值。
它是基于财务理论的综合模型，重点是通过合理的假设，把企业的未来现金流量和税收收益计算出来。
贴现它们，以获得企业当前价值。
积分估值定理假定企业将来的现金流量能够成功地实现。
为了测算未来现金流量和税收收益，积分估值定理将企业的报表数据分解成不同的组件，如：收入，成本，投资，债务，投资收益和费用。
此外，它还假设企业将来的现金流量和税收净收益将不会受到当前的经济和政治环境的影响，而且企业的经营活动将维持稳定的增长趋势。
积分估值定理假定企业被完全灵活地管理，而且企业期望能够实现非常好的投资回报。
积分估值定理的主要优点之一是它考虑了多种因素，包括企业的收入，其现金流动性，财务风险，企业的投资回报，投资风险和企业的税收收益等。
这些因素有助于实现企业的行业领先性，增加企业的盈利能力。
此外，积分估值定理的另一个优点是它可以帮助投资者识别企业的投资机遇，从而使投资者能够鉴别企业的价值，以用于投资决策。
它还可以帮助投资者识别企业的财务风险，从而使他们能够采取合理的经营决策，以保护自己的投资。
积分估值定理也有一些缺点。
首先，它假设今天的经济和政治环境不会对企业的现金流量和税收收益产生任何影响，这是不切实际的。
此外，它假设企业的投资回报和财务风险将维持不变，这也是不切实际的。
最后，积分估值定理的另一个缺点是它忽略了一些关键因素，如企业的企业文化，未来的竞争情况，公众形象等因素，这些因素可能会对企业的现金流动性和投资回报产生重大影响。
综上所述，积分估值定理是一种有用的模型，它可以帮助投资者识别企业的投资机会，从而帮助他们有效地决定投资。
但是，由于它的局限性，在采用这种方法评估企业价值时，投资者需要综合考虑其他因素，以确保投资能收到最大的收益。
含有积分的一些极限问题的解法
1
4Πt5
f
x 2+ y 2+ z 2≤t2
(x 2 +
y2 +
z 2) dx dy dz 1
解 作球面坐标变换 x = rsinΥco sΗ, y = rsinΥsinΗ, z = rco sΥ, 有
µ ∫∫∫ lim
t→0+
1
4Πt5
f
x 2+ y 2+ z 2≤t2
(x 2 +
y2 +
z2) dx dy dz =
若满足 0 0
(或∞∞) 型未定式,
则可用罗必达法则来求其极限 1
这也是处理含有变上限积分极限的一般方法 1
∫x 2 f (t) d t
∫ 例 7 设 f ′(x ) 连续, f (0) =
0,
且f
′(0)
≠ 0,
求 lim x →0
0
x
x2 f
1 (t) d t
0
解 所求极限满足
0 0
型未定式,
运用罗必达法则,
有
∫ 原式 =
lim
x →0
x 2f
f (x 2) (x ) + 2x
2x
x
f
= (t) d t
0
lim
x →0
f
(x )
2f ′(x 2) + x f ′(x )
2x + 2f
(x )
=
lim
x →0
3f
4f ′(x 2)
(x ) x
+
f ′(x )
=
11
五、 利用不等式估计
若被积函数较容易放缩, 则可以先利用不等式放缩, 得到被积函数的不等式, 然后再用两边
定积分估值定理
定积分估值定理
积分中值定理的证明：设f(x)在[a，b]上连续，且最大值为m,最小值为m，最大值和最小值可相等。
由估值定理及连续函数的介值定理可证明积分中值定理。
积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函
数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。
因此，对于证明有关题设中含有某个函数
积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理，去掉积分号，或者化简被积函数。
不等式证明
积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并同一
积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证
明不等式成立的目的。
在证明的定分数不等式时, 常常考量运用分数中值定理, 以便换成分数符号, 如果被
内积函数就是两个函数之积时, 可以考量用分数第一或者第二中值定理。
对于某些不等式
的证明, 运用原分数中值定理就可以获得“≥”的结论, 或者不等式显然无法获得证明。
而运用改良了的分数中值定理之后, 则可以获得“\ue”的结论, 或者顺利的解决问题。
定积分证明题方法总结六
定积分证明题方法总结六篇定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。
篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3. 参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >= ()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法篇二：定积分知识点总结 1、经验总结(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限(2)定积分几何意义：①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a反数(3)定积分的基本性质：①kf(x)dx=kf(x)dx aabb②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac(4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
含有积分的一些极限问题的解法
sin x
x
d
x
(a
>
0) 1
解 因 s in x
x
在
[
n,
n
+
a ] 连续,
故依积分中值定理,
存在 Νn ∈ [ n, n +
a ], 使得
∫ lim
n→∞
n+ a n
s in x x
d
x
=
lim (a
n→∞
s
in Νn Νn
)
=
lim (a
Νn →∞
s
in Νn Νn
)
=
01
κ 例 2 设函数 f (x , y ) 连续,
求 lim t→0+
1 t2
f (x , y ) d x d y 1
x 2+ y 2≤t2
解 f (x , y ) 连续, 依二重积分中值定理, 至少存在一点 (Ν, Γ) ∈ { (x , y ) x 2 + y 2 ≤ t2}, 使
κ κ 得 lim t→0+
(
1 t2
f
x 2+ y 2≤t2
有时候难以办到,
如
ex
2、
s
in x
x
、co
sx
2
等函数的原函数不能用初等函数表示, 所以无法先积分再求极限 1 实际上, 往往也不需要如此, 本
文介绍几种处理此类问题的方法 1
一、 利用积分中值定理
利用积分中值定理将积分号去掉, 然后再求极限, 这是一种常用方法 1
∫ 例 1 求 lim n→∞
n+ a n
夹定理来求 1
∫1
毕业论文：有关积分不等式证明的论文
,故命题成立.
例6设函数 在闭区间 上连续且单调递减,求证:当 时
证明:把闭区间 划分成两个区间 和 ,则有
从而有 由积分中值定理可得:存在 使得: ,由于 在闭区间 上单调递减 ,知 ,则
即 ,因此有
1.4利用拉格朗日中值定理来证明积分不等式
分析:设 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,则存在 使得:
1.5利用分部积分法来证明不等式
分部积分法:若 与 可导,不定积分 存在,则 也存在,并且有:
利用分部积分法来证明不等式,实质上是利用分部积分法证明一个等式,然后在给出积分估计来实现证明的
例9:设 在 上具有连续导数, ,且 ,
求证:
证明: ,又因为
, ,故命题得证.
例10:设 在闭区间 上具有二阶导数并且导数连续, , 求证:
本科毕业论文（设计）
摘
积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.积分不等式的证明方法灵活多样,而且技巧性和综合性也比较强.研究积分不等式的证明方法,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.本文综述了证明积分不等式的若干方法,通过对例题的分析,总结了求积分不等式的一般方法.本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明:利用定积分的定义,利用积分的性质,利用拉格朗日中值定理、利用积分中值定理、利用泰勒公式 、利用二重积分等多种方法来证积分不等式及研究了杨格 不等式的证明,推广及应用和柯西——施瓦兹 不等式的证明,改进及应用.
(1-3)
同理 (1-4)
(1-3ห้องสมุดไป่ตู้(1-4)相加整理得
定积分不等式公式总结
定积分不等式公式总结定积分不等式是微积分中的重要内容，通过定积分不等式可以解决许多实际问题，并且在数学理论中也有着重要的地位。
在定积分不等式的学习中，我们需要掌握一些重要的公式和定理，这些公式和定理可以帮助我们更好地理解和应用定积分不等式。
接下来，我们将对定积分不等式的相关公式进行总结和归纳。
首先，我们来看一些常用的定积分不等式公式：1. Cauchy不等式，设函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续，且g(x)≠0，则有∫[a,b]f(x)g(x)dx ≤ (∫[a, b]f(x)²dx)^(1/2) (∫[a, b]g(x)²dx)^(1/2)。
2. Hölder不等式，设1/p + 1/q = 1，f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，则有∫[a,b]|f(x)g(x)|dx ≤ (∫[a, b]|f(x)|^pdx)^(1/p) (∫[a, b]|g(x)|^qdx)^(1/q)。
3. Minkowski不等式，设p ≥ 1，f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，则有(∫[a,b]|f(x) + g(x)|^pdx)^(1/p) ≤ (∫[a, b]|f(x)|^pdx)^(1/p) + (∫[a, b]|g(x)|^pdx)^(1/p)。
以上是一些常用的定积分不等式公式，它们在定积分不等式的证明和应用中起着重要的作用。
除了这些公式外，我们还需要了解一些定积分不等式的性质和定理，这些性质和定理可以帮助我们更好地理解和运用定积分不等式。
接下来，我们来看一些定积分不等式的性质和定理：1. 定积分的保号性，设f(x)在区间[a, b]上连续且f(x)≥0，则有∫[a, b]f(x)dx ≥0。
2. 定积分的线性性，设f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，a、b为常数，则有∫[a,b](af(x) + bg(x))dx = a∫[a, b]f(x)dx + b∫[a, b]g(x)dx。
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一．积分估值题1.记⎰=201)sin(sin πdx x I ，⎰=202)cos(sin πdx x I ，确定1I 与2I 的大小关系。
解：当)2,0(π∈x 时x x <sin ，且x sin 严格单调增。
所以x x sin )sin(sin <，1sin 201=<⎰πxdx I 。
而x cos 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，严格单调减，所以x x cos )cos(sin >，1cos 202=>⎰πxdx I 。
因此21I I <。
解答完毕。
题2. 估计积分⎰-222dx exx 的范围。
解：一方面，经过简单计算可知 []()[]()12min ,02max 22,022,0-=-=-∈∈x x x x x x 。
另一方面由于函数xe 单调上升，故有 222002022012=≤≤=⎰⎰⎰--dx e dx edx e exx 。
这当然是一个比较粗糙的估计。
解答完毕。
题3.记dx x x x I )1(ln :22111++=⎰-，dx x x x I ⎰-++=112321:，⎰-+-=112233)1(1:dx x x I ，试比较这三个积分的大小。
解：注意1)1)(1(22=-+++x x x x ，故)1(ln )1(ln 2222x x x x ++-=++。
由此可见积分1I 中的被积函数为奇函数。
所以01=I 。
我们注意，积分2I 和3I 的被积函数均为一个偶函数和一个奇函数之和。
由于其函数在对称区间上的积分为零。
因此我们有0)12(212121||102121122>-=+=+=+=⎰⎰-xxxdx xdx x I ，021)11(12)1(12221022103<-=+-≤+-=⎰⎰dx dx x I 。
于是213I I I <<。
解答完毕。
二．积分不等式与零点问题题1．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，且恒正即,0)(>x f []b a x ,∈∀。
证明函数[]⎰⎰-+=x bxadt t f dt t f x F 1)()()(在[]b a ,上有且仅有一个零点。
.证明: 由于)(x f 在[]b a ,上连续且恒大于零，我们得到)(x F 在[]b a ,上连续且可导且0)(1)()(>+='x f x f x F 。
这表明)(x F 在[]b a ,上严格单调增. 又由于0)()(,0)(1)(>=<=⎰⎰b a abdt t f b F dt t f a F ，并且函数)(x F 是严格单调增加的，根据连续函数的介值定理可知,函数)(x F 在[]b a ,上有且仅有一个零点. 解答完毕。
题2.（课本第五章总复习题第17题，p.188）已知函数)(x f 在],[b a 上连续且单调上升。
证明⎰⎰+≥ba ba dx x fb a dx x xf )(2)(。
证明：记2/)(b a c +=。
由于)(x f 在],[b a 上单调上升，故有()()0)()(≥--c f x f c x ，],[b a x ∈∀。
对这个不等式在区间],[b a 上积分得⎰⎰=-≥-bab adx c x c f dx x f c x 0)()()()(。
由此立刻得到⎰⎰⎰+=≥baba ba dx x fb a dx x fc dx x xf )(2)()(。
证毕。
另一证明： 令⎰⎰+-=yay a dx x f y a dx x xf y F )(2)(:)(，],[b a y ∈∀。
经简单计算可得)(y F 的导数为[]0)()(21)(≥-='⎰yadx x f y f y F 。
因此函数)(y F 在区间],[b a 上单调上升。
于是0)()(=≥a F b F 。
此即⎰⎰+≥bab a dx x f b a dx x xf )(2)(。
证毕。
题3.（课本第五章总复习题第18题，p.188）设)(x f 在],0[π上连续且0sin )(0=⎰πxdx x f 和0cos )(0=⎰πxdx x f 。
证明函数)(x f 在],0[π上至少有两个零点。
证明：反证。
假设所证命题不成立，则 (i))(x f 在],0[π无零点，或(ii))(x f 在],0[π有且仅有一个零点, 且)(x f 在],0[π不变号；或 (iii))(x f 在],0[π上有且仅有一个零点，且)(x f 在],0[π变号。
对于情形(i)和(ii), 由于)(x f 和x sin 在],0[π不变号，并且它们的乘积不恒为零。
因此不可能有0sin )(0=⎰πxdx x f 。
这就导出了一个矛盾。
以下考虑情形(iii).假设)(x f 在],0[π上有且仅有一个零点),0(0π∈x ，且)(x f 在0x 的两侧反号。
不妨设0)(<x f ，),0(0x x ∈∀；0)(>x f ，),(0πx x ∈∀。
于是乘积)sin()(0x x x f -在],0[π非负，并且不恒为零。
因此其积分0)sin()(00>-⎰πdx x x x f 。
另一方面，由假设我们有⎰⎰⎰=-=-πππ000000cos )(sin sin )(cos )sin()(xdx x f x dx x x f x dx x x x f 。
矛盾。
证毕。
题4. 设函数)(x f 在],[b a 上连续可微。
证明⎰⎰'+-≤≤≤b a bab x a dx x f dx x f a b x f |)(|)(1|)(|max 。
证： 由于)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[b a 上可取得最大值和最小值。
设，)(min )(x f f bx a ≤≤=η，],[b a ∈η。
于是)()()(min )(max ηξf f x f x f bx a bx a -=-≤≤≤≤)()(ηξf f -≤⎰⎰≤=ba dx x f dx x f )(')('ξη。
另一方面，由积分中值定理，],[b a ∈∃ς，使⎰-=badx x f a b f )(1)(ς，于是 )()(min ςf x f bx a ≤≤≤⎰-=badx x f ab )(1。
所以 =≤≤)(max x f bx a +≤≤)(min x f bx a ))(min )(max (x f x f bx a bx a ≤≤≤≤-⎰⎰'+-≤b a ba dx x f dx x f ab |)(|)(1。
证毕。
题5. （Hadamard 不等式）设函数)(x f 于],[b a 可导且下凸。
证明)(2)()()())((2a b b f a f dx x f a b f bab a -+≤≤-⎰+ （*）注：本题可看作是习题5.2第10题（p.141）的一般化。
证明：根据假设我们有)()1()())1(()(a f t b tf a t tb f x f -+≤-+=，]1,0[∈∀t于是对积分⎰badx x f )(作变量替换b t ta x )1(-+=得[]⎰⎰⎰=-+-≤--+=110)()1()()())()1(()(dt a f t b tf a b dt a b a t tb f dx x f ba)(2)()(a b b f a f -+=. 即式（*）的第二个不等式成立。
回忆下凸函数的一个性质：下凸函数的图像位于其任意点切线的上方。
（见第七次习题课的讨论题）。
因此图像位于区间中点处切线的上方，即))(()()(222b a b a b a x f f x f +++-'+≥，],[b a x ∈∀。
对上述不等式积分，并注意到函数2ba x +-在区间],[b a 上的积分为零，我们得到式（*）中],[,)(max )(b a x f f bx a ∈=≤≤ξξ的第一个不等式))(()(a b f dx x f ba ba-≥+⎰。
至此不等式（*）的证。
注：(i) 对于上凸函数，我们有相应不得式，即将不等式(*)的不等号反向即可。
(ii)假设中的条件：函数)(x f 于],[b a 可导性，可以去掉。
实际上下凸函数（不必可导）有如下性质：若函数)(x f 于],[b a 下凸，则对任意点],[0b a x ∈，存在数)(0x k ，使得))(()()(000x x x k x f x f -+≥，],[b a x ∈∀。
直线))(()(000x x x k x f y -+=称作下凸函数)(x f 在点],[0b a x ∈的支撑线。
证毕。