2020-2021学年吉林省四平市伊通县九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
吉林省四平市伊通县九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2019-2020学年吉林省四平市伊通县九年级上学期期末考试数学试卷一、单项选择题（每小题3分，共18分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．（x﹣3）x＝x2+2B．ax2+bx+c＝0C．3x2−1x+2＝0D．2x2＝12．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交点的纵坐标为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．下列事件为必然事件的是（）A．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B．篮球运动员投篮，投进篮筐C．一个星期有七天D．打开电视机，正在播放新闻5．如图所示，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠BAC＝25°，则∠ADE＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（）A．5步B．6步C．8步D．10步二、填空题（每小题4分，共32分）7．（4分）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为．8．（4分）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则a＝．9．（4分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是．10．（4分）二次函数y＝x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最小值是．11．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是．12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为．13．（4分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD ＝1，AB＝4，则⊙O的半径是．。
吉林省四平市伊通县九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列事件是必然事件的是（）A. NBA球员投篮10次，投中十次B. 明天会下雪C. 党的十九大于2017年10月18日在北京召开D. 抛出一枚硬币，落地后正面朝上2.下列方程中，没有实数根的是（）A. B. C. D.3.二次函数y=（x-4）2+3的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D. 54.若点A（-2，n）在x轴上，则点B（n-1，n+1）关于原点对称的点的坐标为（）A. B. C. D.5.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列不符合条件的OP的值是（）A. 4B. 3C.D.6.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2-4ax＞0；②2a+b＞0；③abc＜0；④4a-2b+c＜0；⑤a+b+c＞0．其中正确的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.一元二次方程2x2-2=0的解是______．8.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中，任取一个数是奇数的概率是______．9.二次函数y=x2-2x-3与x轴正半轴的交点坐标是______．10.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=60°，∠ACB=80°，则∠BOC的度数为______．11.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是______．12.如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于______度．13.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积______．14.如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y=x2-1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.用配方法和公式法分别解一元二次方程：x2-2x-1=0．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.已知抛物线的顶点坐标是（3，-1），与y轴的交点是（0，-4），求这个二次函数的解析式．17.已知：如图，∠APC=∠CPB=60°，求证：△ABC是等边三角形．18.在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个白球，它们除颜色外完全相同．小明和小亮做摸球游戏，游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你用树状图或列表法说明理由．19.今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？20.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）（2）将△A'B'C'绕点C'顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B″C″，并直接写出此过程中线段C'A'扫过图形的面积．（结果保留π）21.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=-x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？22.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．（1）若AB=4，求弧CD的长；（2）若弧BC=弧AD，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．23.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，经过A，D两点的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与边BC相切于点E，与x轴交于点M，与y轴相交于另一点G，连接AE．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若点A，D的坐标分别为（0，-1），（2，0），求⊙F；（3）求经过三点M，F，D的抛物线的解析式．24.如图1，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=4，直线1是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．抛物线上有一点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，请求出点Q到直线PN的距离．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、NBA球员投篮10次，投中十次是随机事件，错误；B、明天会下雪是随机事件，错误；C、党的十九大于2017年10月18日在北京召开是必然事件，正确；D、抛出一枚硬币，落地后正面朝上是随机事件，错误；故选：C．必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．本题考查的是对必然事件的概念的理解．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2.【答案】D【解析】解：A、△=（-2）2-4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；B、△=（-2）2-4×1×（-1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、△=（-2）2-4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；D、△=（-2）2-4×1×2=-4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．故选：D．分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3.【答案】B【解析】解：二次函数y=（x-4）2+3的最小值是：3．故选：B．根据顶点式的形式，结合二次函数最值求法，确定答案．本题考查的是二次函数的性质，y=a（x-h）2+k，当a＞0时，x=h时，y有最小值k，当a＜0时，x=h时，y有最大值k．4.【答案】C【解析】解：∵点A（-2，n）在x轴上，∴n=0，∴B（-1，1），∴（-1，1）关于原点对称点的坐标为（1，-1），故选：C．根据点A（-2，n）在x轴上，可得出n=0，求得点B坐标，根据关于原点对称即可得出答案．本题考查了关于原点对称点的坐标以及坐标轴上点的特点，关于原点对称，横纵坐标都互为相反数．5.【答案】D【解析】解：连接OB，作OM⊥AB与M．∵OM⊥AB，∴AM=BM=AB=4，在直角△OBM中，∵OB=5，BM=4，∴OM===3．∴3≤OP＜5，故选：D．连接OB，作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理，求出OP的取值范围即可判断；此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．6.【答案】C【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0，故①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=-=1.5＞1，∴2a+b＞0，故②正确；∵a＜0，-＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，∴abc＞0，故③错误；∵x=-2时，y＜0，∴4a-2b+c＜0，故④正确∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，故⑤正确；故选：C．由二次函数的开口方向，对称轴x＞1，以及二次函数与y的交点在x轴的下x 方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解答此题的关键．7.【答案】x1=1，x2=-1【解析】解：方程整理得：x2=1，开方得：x=±1，解得：x=1，x=-1．故答案为：x1=1，x2=-1方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8.【答案】【解析】解：∵从1到9这九个自然数中一共有5个奇数，∴任取一个，是奇数的概率是：，故答案为：．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．9.【答案】（3，0）【解析】解：∵二次函数y=x2-2x-3=（x-3）（x+1），∴当y=0时，x=3或x=-1，即二次函数y=x2-2x-3与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），∴二次函数y=x2-2x-3与x轴正半轴的交点坐标是（3，0），故答案为：（3，0）．根据题目中的函数解析式可以求得与x轴的交点坐标，从而可以求得二次函数y=x2-2x-3与x轴正半轴的交点坐标，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10.【答案】110°【解析】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠OBC=∠ABC=30°，∠OCB=∠ACB=40°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=110°，故答案为：110°．根据三角形的内心的概念得到∠OBC=∠ABC=30°，∠OCB=∠ACB=40°，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．11.【答案】60°【解析】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，∴∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，∵∠AOD=90°，∴∠BOC=90°-40°×2=10°，∠ACO=∠A=（180°-∠AOC）=（180°-40°）=70°，由三角形的外角性质得，∠B=∠ACO-∠BOC=70°-10°=60°．故答案为：60°．根据旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，再求出∠BOC，∠ACO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．12.【答案】40【解析】解：△OAB中，OA=OB，∴∠BOA=180°-2∠A=80°；∵点C是弧AB的中点，即=，∴∠BOC=∠BOA=40°．故答案为：40．由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．此题主要考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．13.【答案】π【解析】解：∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°，∴∠AOC=120°，∵E为OB的中点，OB过O，CD=4，∴CE=DE=2，∠OEC=90°，∴OC==4，∴阴影部分的面积为=π，故答案为：π；根据圆周角定理求出∠COB，求出∠AOC，根据垂径定理求出∠OEC=90°，CE=2，解直角三角形求出OC，根据扇形面积公式求出即可．本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，扇形面积公式等知识点，能求出线段OC的长和∠AOC的度数是解此题的关键．14.【答案】（2，1）或（-2，1）或（0，-1）【解析】解：∵⊙P与x轴相切，∴P到x轴的距离等于半径1，∴点P的纵坐标为1或-1，当y=1时，代入可得1=x2-1，解得x=2或x=-2，此时P点坐标为（2，1）或（-2，1）；当y=-1时，代入可得-1=x2-1，解得x=0，此时P点坐标为（0，-1）；综上可知P点坐标为（2，1）或（-2，1）或（0，-1），故答案为：（2，1）或（-2，1）或（0，-1）．当⊙P与x轴相切时可求得P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．本题主要考查切线的性质，根据切线的性质求得P点的纵坐标是解题的关键，注意分类讨论．15.【答案】解：解法一：∵x2-2x=1，∴x2-2x+1=1+1，即（x-1）2=2，∴x-1=±，∴x1=1，x2=1-；解法二：∵△=（-2）2-4×1×（-1）=8，∴x==，∴x1=1，x2=1-．【解析】配方法：先移项得到x2-2x=1，再把方程两边都加上1得到x2-2x+1=1+1，即（x-1）2=2，然后利用直接开平方法求解；公式法：先计算出△=（-2）2-4×1×（-1）=8，然后代入一元二次方程的求根公式进行计算即可得到方程的解．本题考查了解一元二次方程-配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．也考查了一元二次方程的求根公式．16.【答案】解：∵抛物线的顶点坐标是（3，-1），∴设此二次函数的解析式为y=a（x-3）2-1，把点（0，-4）代入得：-4=a（0-3）2-1，解得：a=-，即y=-（x-3）2-1=-x2+2x-4，∴这个二次函数的解析式是y=-x2+2x-4．【解析】根据顶点坐标设解析式，把点（0，-4）代入即可求出a，即可求出答案．本题考查了用待定系数法求出二次函数的解析式和函数图象上点的坐标特征，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．17.【答案】证明：∵，∴∠ABC=∠APC=60°．同理∠BAC=∠CPB=60°，故△ABC是等边三角形．【解析】易得∠ABC=∠APC，∠BAC=∠CPB，那么原三角形中将有3个角是60°，为等边三角形．本题用到的知识点为：同弧所对的圆周角相等，三个角相等的三角形是等边三角形．由上述树状图或表格知：P（小明赢）=，P（小亮赢）=．∴此游戏对双方不公平，小明赢的可能性大．【解析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.【答案】解：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得：200×（1-x）2=162，解得：x=0.1=10%或x=1.9（舍去）．答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．（2）100×=≈90.91（个），在A商城需要的费用为162×91=14742（元），在B商城需要的费用为162×100×=14580（元）．14742＞14580．答：去B商场购买足球更优惠．【解析】（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据2015年及2017年该品牌足球的单价，列出关于x的一元二次方程；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用．20.【答案】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．（2）如图所示，△A″B″C″即为所求，∵A′C′==3，∠A′C′A″=90°，∴线段C'A'扫过图形的面积=π．【解析】（1）分别作出点A，B，C关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）将点A′，B′分别绕点C'顺时针旋转90°得到对应点，再与点C′首尾顺次连接即可得．本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及弧长公式．21.【答案】解：（1）w=（x-30）•y=（-x+60）（x-30）=-x2+30x+60x-1800=-x2+90x-1800，w与x之间的函数解析式w=-x2+90x-1800；（2）根据题意得：w=-x2+90x-1800=-（x-45）2+225，∵-1＜0，当x=45时，w有最大值，最大值是225．（3）当w=200时，-x2+90x-1800=200，解得x1=40，x2=50，∵50＞48，x2=50不符合题意，舍去，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．【解析】（1）每天的销售利润w=每天的销售量×每件产品的利润；（2）根据配方法，可得答案；（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．22.【答案】解：（1）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=AB=2，∴的长=×π×2=π；（2）∵=，∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，∴∠AOD=45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA=67.5°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD，∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP=∠CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，∴PD是⊙O的切线．【解析】（1）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；（2）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP=CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．23.【答案】解：（1）连接FE，∵⊙F与边BC相切于点E，∴∠FEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠FEC+∠ACB=180°，∴FE∥AC，∴∠EAC=∠FEA，∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，∴∠FAE=∠CAE，∴AE平分∠BAC；（2）连接FD，设⊙F的半径为r，∵A（0，-1），D（2，0），∴OA=1，OD=2，在Rt△FOD中，FD2=（AF-AO）2+OD2，∴r2=（r-1）2+22，解得：r=，∴⊙F的半径为；（3）∵FA=r=，OA=1，FO=，∴F（0，），∵直径AG垂直平分弦MD，点M和点D（2，0）关于y轴对称轴，∴M（-2，0），设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-2），将点F（0，）代入，得：-4a=，解得：a=-，则抛物线解析式为y=-（x+2）（x-2）=-x2+．【解析】（1）连接FE，先根据切线的性质知∠FEC=90°，结合∠C=90°证FE∥AC得∠EAC=∠FEA，根据FA=FE知∠FAE=∠FEA，从而得∠FAE=∠CAE，即可得证；（2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据FD2=（AF-AO）2+OD2知r2=（r-1）2+22，解之可得；（3）根据圆的对称性得出点M的坐标，设抛物线的交点式，将点F坐标代入计算可得．本题是二次函数的综合问题，主要考查了圆的切线的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、待定系数法求二次函数解析式等知识点．24.【答案】解：（1）CD=4，则函数对称轴x=2=-b，即：b=-4，则函数表达式为：y=x2-4x+c，OB=OC，则点B坐标为（-c，0），把点B坐标代入函数表达式，解得：c=-5，答：b=-4，c=-5；（2）二次函数表达式为：y=x2+4x-5，函数对称轴为x=2，则点E坐标为（2，-9），把点E、B坐标代入一次函数表达式：y=mx+n得：，解得：，则直线BE的表达式为：y=3x-15，由题意得：点F′的横坐标为4，把x=4代入上式得：y=3×4-15=-3即：点坐标为F′（4，-3），∴点F的坐标为（0，-3）（3）设：Q到直线PN的距离为d，点P坐标为（m，0），则点N（m，m2-4m-5），直线B、C的表达式为：y=x-5，则点M（m，m-5），S△APM=×PM×AP=（0-m+5）（m+1）=-（m2-4m-5），S△PQN=×PN×d=-（m2-4m-5）d，∵S△PQN=S△APM，∴d=1，点Q到直线PN的距离为1．【解析】（1）CD=4，则函数对称轴x=2=-b，即：b=-4，则函数表达式为：y=x2-4x+c，OB=OC，则点B坐标为（-c，0），把点B坐标代入函数表达式，即可求解；（2）直线BE的表达式为：y=3x-15，把x=4代入上式得：y=3×4-15=-3，即：点坐标为F′（4，-3），即可求解；（3）S△APM=×PM×AP，S△PQN=×PN×d，利用S△PQN=S△APM，即可求解．本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、三角形面积计算等知识点，本题的核心在于通过坐标确定线段的长度．。
2023-2024学年吉林省四平市伊通县九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年吉林省四平市伊通县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线，，共有的性质是()A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小2.下列方程有两个相等的实数根的是()A. B.C. D.3.下列说法中，正确的是()A.不可能事件发生的概率为0B.随机事件发生的概率为C.概率很小的事件不可能发生D.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次4.用配方法解方程时，原方程应变形为()A. B. C. D.5.如图，AB是的弦不是直径，以点A为圆心，以AB长为半径画弧交于点C，连结AC、BC、OB、若，则的度数是()A.B.C.D.6.如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为()A.B.C.3D.二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
7.若一元二次方程有一根为，则______.8.若，，为二次函数的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是______用“<”连接9.若点与关于原点中心对称，则的值为______.10.如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则______.11.二次函数的最大值为______.12.制造一种商品，原来每件成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分数是______.13.如图，AB为的直径，点C，点D在上，并且在直径AB的两侧，，则______.14.如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______.三、解答题：本题共10小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题5分如图，已知二次函数的图象，利用图象回答：一元二次方程的解是______；当时，x的取值范围是______；当时，y的取值范围是______.16.本小题5分解一元二次方程：17.本小题5分如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，请你作出绕点O顺时针方向旋转后得到的，点A、B、C的对应点分别是点、、18.本小题5分如图，在的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形OAB围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径的最大长度.19.本小题7分人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上.随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率.20.本小题7分某旅游团旅游结束时，其中一位游客建议大家互相握手道别，细心的小明发现，每两位参加旅游的人互握一次手，共握了45次手，问这个旅游团共有多少位游客？21.本小题8分为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量件与销售单价元满足一次函数关系：求出利润元与销售单价元之间的关系式利润=销售额-成本；当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？22.本小题8分已知：如图，在中，，D是BC的中点.以BD为直径作，交边AB于点P，连接PC，交AD于点求证：AD是的切线；若PC是的切线，，求PC的长.23.本小题10分如图，已知是等腰三角形，，将绕点B逆时针旋转得到，点A和点C的对应点分别是点和点感知：如图①，当落在AB边上时，与之间的数量关系是______不需要证明；探究：如图②，当落在AB边的左侧时，与相等吗？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；应用：如图③，若，线段与线段相交于点E，则______度不需要证明24.本小题10分如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点与y轴交于点点P在第一象限的抛物线上，过点P作x轴的平行线分别交y轴和直线BC于点D和点设点P的横坐标为m，线段DE的长度为求这条抛物线对应的函数解析式；求d关于m的函数解析式；在的条件下，当时，求m的值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；故选：根据二次函数的性质解题．考查二次函数的性质，牢记顶点式的性质是解答本题的关键．2.【答案】C【解析】解：A、方程，，方程无实数根；B、方程，，方程无实数根；C、方程，，方程有两个相等的实数根；D、方程，，方程有两个不相等的实数根；故选：由方程有两个相等的实数根，得到，于是根据判定即可．本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根3.【答案】A【解析】解：A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误．故选：根据概率的意义和必然发生的事件的概率，不可能发生的事件的概率对A、B、C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为；概率是频率多个的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率；不可能发生事件的概率4.【答案】C【解析】解：由原方程移项，得，方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方1，得故选：配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5.【答案】C【解析】解：由题意可得：，，，，，故选：直接根据题意得出，进而得出，再利用圆周角定理得出答案．此题主要考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，正确得出的度数是解题关键．6.【答案】A【解析】【分析】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：在中，，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，，，，在中，故选：7.【答案】2023【解析】解：把代入一元二次方程得：，即故答案为：由方程有一根为，将代入方程，整理后即可得到的值．此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．8.【答案】【解析】解：，开口向上，二次函数的对称轴为直线，距离对称轴越远，函数值越大，，，，故答案为：先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小．此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据函数关系式找出对称轴．9.【答案】1【解析】解：点与关于原点中心对称，，，，，故答案为：根据点与关于原点中心对称可得，，进而即可求解．本题主要考查的是关于原点对称的点的坐标特点，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反是解题的关键．10.【答案】3【解析】【分析】本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．根据旋转的性质得出，，得出是等边三角形，进而得出即可．【解答】解：将绕点A顺时针旋转得到，，，是等边三角形，故答案为：11.【答案】8【解析】解：，当时，y取得最大值8，故答案为：根据顶点式可得当时，y取得最大值本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．12.【答案】【解析】解：设平均每次降低成本的百分数是第一次降价后的价格为：，第二次降价后的价格是：，，解得或，，，答：平均每次降低成本的百分数是等量关系为：原来成本价平均每次降低成本的百分数现在的成本，把相关数值代入即可求解．考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为13.【答案】【解析】解：为的直径，，，，故答案为：由圆周角定理得到，求出，即可得到本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到，14.【答案】【解析】解：随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是，故答案为：击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比．此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用．注意面积之比=几何概率．15.【答案】，或【解析】解：如图所示．由图象知，的解为，，故答案为：，；当或时，函数值y大于0，故答案为：或；当时，y的取值范围是，故答案为：根据图象与x轴交点可知方程的解，根据图象即可得知x的范围；根据图象即可得知y的范围．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及函数性质，是基础题型，熟记二次函数的各种性质是解题的关键．16.【答案】解：，，，，，，，【解析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17.【答案】解：如图，即为所求，，，【解析】利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可．本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．18.【答案】解：这个锥的底面圆的周长为：；这个锥的底面圆的半径为：【解析】根据弧长公式求出这个圆锥的底面圆的周长，进而即可求解．本题主要考查弧长公式的应用，正确计算是解题的关键．19.【答案】【解析】解：共有4张卡片，从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；故答案为：；解：根据题意画图如下：共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4，所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为直接根据概率公式求解即可；根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：设游客人数为x人，依题意得，，解得舍去，，答：这次旅游的游客人数是10人．【解析】设有游客x人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有次，设出未知数列方程解答即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，理解：设有x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次是关键．21.【答案】解：；，则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．【解析】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值根据“总利润=单件的利润销售量”列出二次函数关系式即可；将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．22.【答案】证明：，D是BC的中点，，是的直径，是的切线；解：连接OP，是的切线，，，D是BC的中点，，是的直径，，，【解析】要证明AD是的切线，只要证明即可，根据题目的已知，利用等腰三角形的三线合一性质进行解答即可；根据已知PC是的切线，想到连接OP，可得，先利用D是BC的中点，求出BD和CD的长，进而求出圆的半径，最后在中进行计算即可．本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．23.【答案】相等135【解析】解：将绕点B逆时针旋转得到，，即，又，，，即，故答案为：相等；，理由如下：将绕点B逆时针旋转得到，，，，，∽，；，，，设与AE相交于点O，，，，，，故答案为：由旋转知，，是顶角相等的等腰三角形，从而得出答案；由旋转知，可证明∽，从而结论不变；设与AE相交于点O，由，得，则，再利用三角形内角和解决问题．本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．24.【答案】解：由题意得：，解得，这条抛物线对应的函数表达式是；当时，点C的坐标是设直线BC的函数关系式为由题意，得，解得，直线BC的函数关系式为轴，，当时，如图②，当时，如图①，综上所述，；当时，，，，解得不合题意，舍去或当时，，，，，解得不合题意，舍去或综上所述，当时，或【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得BC的解析式，根据E点的纵坐标，可得E点的横坐标，根据两点间的距离，可得答案；根据PE与DE的关系，可得关于m的方程，根据解方程根据解方程，可得答案；本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于x轴直线上点的纵坐标相等得出E 点的纵坐标是解题关键；利用PE与DE的关系得出关于m的方程是解题关键；利用矩形的周长公式是解题关键．。
2022年吉林省四平市伊通县九年级数学第一学期期末监测模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．已知将二次函数y=x²+bx+c 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x²-4x-5，则b ，c 的值为（ ）A ．b=1，c=6B ．b=1．c= -5C ．b=1．c= -6D ．b=1,c=52．若一元二次方程x 2+2x +m=0中的b 2﹣4ac=0，则这个方程的两根为（ ）A ．x 1=1，x 2=﹣1B ．x 1=x 2=1C ．x 1=x 2=﹣1D ．不确定 3．二次函数2y ax bx c =++图象如图所示，下列结论：①240b ac ->；②20a b +=；③0abc >；④420a b c ++>；⑤230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y （千米）与快车行驶时间t （小时）之间的函数图象是A ．B ．C ．D ．6．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．等边三角形B ．平行四边形C ．矩形D ．正五边形7．一元二次方程2430x x -+=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定8．二次函数222=++y x x 与坐标轴的交点个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．如果二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）A ．a >0B ．b <0C ．ac <0D ．bc <010．如图，一张矩形纸片ABCD 的长BC ＝xcm ，宽AB ＝ycm ，以宽AB 为边剪去一个最大的正方形ABEF ，若剩下的矩形ECDF 与原矩形ABCD 相似，则x y的值为（ ）A 51-B 51+C 2D ．21211．若一次函数y ax b =+的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）A ．0b <B ．0a b ->C ．20a b +>D ．0a b +>12．已知关于x 的一元二次方程2240x ax -+=的一个根是2，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．2二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，AOB ∆三个顶点的坐标分别为()()8,0, 0,0(8, )6A O B -，， 点M 为OB 的中点．以点O 为位似中心，把或AOB ∆缩小为原来的12，得到''A OB ∆，点'M 为'OB 的中点，则'MM 的长为________．14．在平面直角坐标系中，点A （0,1）关于原点对称的点的坐标是_______.15．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的点，P 为圆外一点，PC 、PD 均与圆相切，设∠A+∠B ＝130°，∠CPD ＝β，则β＝_____．16．在ABC ∆中,若213 023sinA tanB -+-⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭= ，则ABC ∆是_____三角形． 17．已知四个点的坐标分别为A(-4，2)，B(-3，1)，C(-1，1)，D(-2，2)，若抛物线y=ax 2与四边形ABCD 的边没有交点，则a 的取值范围为____________.18．时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了_____度．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠ABC ＝45 º，点O 是AB 的中点，过A 、C 两点向经过点O 的直线作垂线，垂足分别为E 、F .（1）如图①，求证：EF ＝AE+CF .（2）如图②，图③，线段EF 、AE 、CF 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.20．（8分）如图，已知AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，∠EAB 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 作AE 的垂线，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠P=34，AD=6，求线段AE 的长． 21．（8分）永农化工厂以每吨800元的价格购进一批化工原料，加工成化工产品进行销售，已知每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨，该厂预计销售化工产品不超过50吨时每吨售价为1600元，超过50吨时，每超过1吨产品，销售所有的化工产品每吨价格均会降低4元，设该化工厂生产并销售了x 吨化工产品．（1）用x 的代数式表示该厂购进化工原料 吨；（2）当x ＞50时，设该厂销售完化工产品的总利润为y ，求y 关于x 的函数关系式；（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在什么范围？22．（10分）如图，平面直角坐标系内，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()(),2,04,0A B -，与y 轴交于点()0,6C .()1求二次函数的解析式；()2点D 为x 轴下方二次函数图象上一点，连接,,,AC BC AD BD ，若ABD △的面积是ABC 面积的一半，求D 点坐标.23．（10分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则售价应定为多少？这时应进货多少个？24．（10分）如图，二次函数的图象与x 轴交于A （﹣3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）请直接写出D 点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．25．（12分）如图,抛物线()2302y ax x c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知点A 的坐标为(-1,0),点C 的坐标为(0,2)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在,请说明理由．26．已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】首先抛物线平移时不改变a的值，其中点的坐标平移规律是上加下减，左减右加，利用这个规律即可得到所求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式．【详解】解：∵y=x2-4x-5=x2-4x+4-9=（x-2）2-9，∴顶点坐标为（2，-9），∴由点的平移可知：向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得（1，-2），则原二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-2），∵平移不改变a的值，∴a=1，∴原二次函数y=ax 2+bx+c=x 2-2，∴b=1，c=-2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与平移变换，首先根据平移规律求出已知抛物线的顶点坐标，然后求出所求抛物线的顶点坐标，最后就可以求出原二次函数的解析式．2、C【分析】根据求出m 的值，再把求得的m 的值代回原方程，然后解一元二次方程即可求出方程的两个根.【详解】解：∵△=b 2﹣4ac =0，∴4﹣4m =0，解得：m =1，∴原方程可化为：x 2+2x +1=0，∴（x +1）2=0，∴x 1=x 2=﹣1．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.3、D【分析】根据图象与x 轴有两个交点可判定①；根据对称轴为12b a-=可判定②；根据开口方向、对称轴和与y 轴的交点可判定③；根据当0x =时0y >以及对称轴为1x =可判定④；利用二次函数与一元二次方程的联系可判定⑤．【详解】解：①根据图象与x 轴有两个交点可得240b ac ->，此结论正确； ②对称轴为12b a-=，即2b a =-，整理可得20a b +=，此结论正确； ③抛物线开口向下，故0a <，所以20b a =->，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，所以0c >，故0abc <，此结论错误；④当0x =时0y >，对称轴为1x =，所以当2x =时0y >，即420a b c ++>，此结论正确；⑤当3y =时，只对应一个x 的值，即230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，此结论正确；综上所述，正确的有4个，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．4、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可判断.【详解】A既不是轴对称图形也不是中心对称图形；B是中心对称图形，但不是轴对称图形；C是轴对称图形，但不是中心对称图形；D既是轴对称图形，又是中心对称图形,故选D.【点睛】此题主要考察轴对称图形与中心对称图形的定义，熟知其定义是解题的关键.5、C【解析】分三段讨论：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加；③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；结合图象可得C选项符合题意．故选C．6、C【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．详解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；D、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误．故选C．点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．7、A【解析】先求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案．=-⨯⨯=>，△1641340则原方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：>⇔方程有两个不相等的实数根；（1）△0=⇔方程有两个相等的实数根；（2）△0<⇔方程没有实数根（3）△08、B【分析】先计算根的判别式的值，然后根据b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行判断．【详解】∵△＝22−4×1×2＝−4＜0，∴二次函数y＝x2＋2x＋2与x轴没有交点，与y轴有一个交点．∴二次函数y＝x2＋2x＋2与坐标轴的交点个数是1个，故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2＋bx＋c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根之间的关系：△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．9、Ca b c>【解析】试题解析：由函数图象可得各项的系数:0,0,0.∴<ac0.故选C.10、B【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝xcm，∵四边形ABEF是正方形，∴EF＝AB＝ycm，∴DF＝EC＝（x﹣y）cm，∴DF ：AB ＝CD ：AD ， 即：x y y y x-=∴x y ＝2， 故选B ．【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．11、C【分析】首先判断a 、b 的符号，再一一判断即可解决问题．【详解】∵一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第一、二、四象限，∴a ＜0，b ＞0，故A 错误；0a b -<，故B 错误；a 2＋b ＞0，故C 正确，a ＋b 不一定大于0，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查一次函数与不等式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定a 、b 的符号，属于中考常考题型． 12、D【分析】把2x =代入原方程得到关于a 的一元一次方程，解方程即可．【详解】解：把2x =代入原方程得：4440,a -+=48,a ∴=2,a ∴=故选D ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，掌握方程解的含义是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）515【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题.【详解】解：如图，在Rt△AOB中，OB=2268+=10，①当△A'OB'在第四象限时，OM=5,OM'=52,∴MM'=52．②当△A''OB''在第二象限时，OM=5,OM＂=52,∴MM＂=152，故答案为52或152．【点睛】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．14、 (0,-1)【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数即可解得.【详解】∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数∴点A关于原点对称的点的坐标是(0,-1)故填：(0,-1).【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.15、100°【分析】连结OC，OD，则∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，可得∠CPD＋∠COD＝180°，根据OB＝OC，OD＝OA，可得∠BOC＝180°−2∠B，∠AOD＝180°−2∠A，则可得出α与β的关系式．进而可求出β的度数．【详解】连结OC，OD，∵PC、PD均与圆相切，∴∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，∵∠PCO+∠COD+∠ODP+∠CPD ＝360°，∴∠CPD+∠COD ＝180°，∵OB ＝OC ，OD ＝OA ，∴∠BOC ＝180°﹣2∠B ，∠AOD ＝180°﹣2∠A ，∴∠COD+∠BOC+∠AOD ＝180°，∴180°﹣∠CPD+180°﹣2∠B+180°﹣2∠A ＝180°．∴∠CPD ＝100°，故答案为：100°．【点睛】本题利用了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解，解题的关键是熟练掌握切线的性质．16、等腰【分析】根据绝对值和平方的非负性求出sinA 和tanB 的值，再根据锐角三角函数的特殊值求出∠A 和∠B 的角度，即可得出答案. 【详解】∵213 02sinA tanB -+⎛ ⎝⎭= ∴12sinA =，33tanB = ∴∠A=30°，∠B=30°∴△ABC 是等腰三角形故答案为等腰.【点睛】本题考查的是特殊三角函数值，比较简单，需要牢记特殊三角函数值.17、1a > 或 109a << 或 0a < 【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；【详解】（1）当0a <时，恒成立（2）当0a >时，代入C (-1，1)，得到1a =，代入B (-3，1)，得到19a =， 代入A (-4，2)，得到18a =， 没有交点，1a ∴>或109a << 故答案为：1a > 或 109a << 或 0a <. 【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18、60【分析】时钟上的分针匀速旋转一周需要60min ，分针旋转了360°；求经过10分，分针的旋转度数，列出算式，计算即可． 【详解】根据题意得，1060×360°=60°． 故答案为60°． 【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）图②：EF ＝AE+CF 图③：EF ＝AE-CF ，见解析【分析】（1）连接OC ，运用AAS 证△AOE ≌△OCF 即可；（2）按（1）中的方法，连接OC ，证明△AOE ≌△OCF ，即可得出结论【详解】（1）连接OC ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠AOC=90°，AO=CO ，∵∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°，∴∠EAO=∠COF ，又∵AO=CO ，∠AEO=∠CFO ，∴△AOE ≌△OCF （AAS ）∴OE ＝CF ，AE ＝OF ∴EF ＝AE+CF（2）如图②，连接OC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠AOC=90°，AO=CO，∵∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°，∴∠EAO=∠COF，又∵AO=CO，∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌△OCF（AAS）∴OE＝CF，AE＝OF∴EF＝AE+CF.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．20、（1）PC是⊙O的切线；（2）9 2【解析】试题分析：（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．（2）由OC∥AD，推出OC OPAD AP=，即10610r r-=，解得r=154，由BE∥PD，AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P，由此计算即可．试题解析：解：（1）结论：PC是⊙O的切线．理由如下：连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切线．（2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=34，∴PD=8，AP=10，设半径为r．∵OC∥AD，∴OC OPAD AP=，即10610r r-=，解得r=154．∵AB是直径，∴∠AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=152×35=92．点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21、（1）54x；（2）y＝﹣4x2+800x；（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在100吨～150吨范围内．【分析】（1）根据“每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨”，即可求出；（2）根据总利润＝总售价－总成本即可求出y关于x的函数关系式；（3）先求出y=38400元时，x的值，然后根据二次函数图象的开口方向和增减性即可求出x的取值范围.【详解】（1）x÷0.8＝54x吨，故答案为：54x；故答案为：54x；（2）根据题意得，y＝x[1600﹣4（x﹣50）]﹣54x•800＝﹣4x2+800x，则y关于x的函数关系式为：y＝﹣4x2+800x；（3）当y＝38400时，﹣4x2+800x＝38400，x2﹣200x+9600＝0，（x﹣120）（x﹣80）＝0，x＝120或80，∵﹣4＜0，∴当y≥38400时，80≤x≤120，∴100≤54x≤150，∴如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在100吨～150吨范围内．【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和二次函数的增减性是解决此题的关键.22、（1）233642y x x =-++；（2）点D 坐标为()1,3-或)1,3- 【分析】（1）根据A 、B 、C 三点坐标，运用待定系数法即可解答；（2）由ABD △的面积是ABC 面积的一半，则D 点的纵坐标为-3，令y=3，求得x 的值即为D 点的纵坐标.【详解】解:()1233642y x x =-++ ()2设D 的坐标为（x ，y D ）∵ABD △的面积是ABC 面积的一半 ∴132D y OC ==， 又∵点D 在x 轴下方，即3D y =-.令y=-3，即2333642x x -=-++解得:11x =，21x =，∴点D 坐标为()1,3-或)1,3- 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式和三角形的面积，确定二次函数解析式并确定△ABD 的高是解答本题的关键.23、当该商品每个单价定为50元时，进货200个；每个单价为60元时，进货100个.【解析】试题分析：利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与x 的关系式，求出即可．试题解析：设每个商品的定价是x 元.由题意，得()()40[1801052]2000.x x ---=整理，得211030000.x x -+=解得125060.x x ==， 都符合题意.答：当该商品每个单价定为50元时，进货200个；每个单价为60元时，进货100个.24、（1）D （﹣2，3）；（2）二次函数的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（3）一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜﹣2或x ＞1．【详解】试题分析：（1）由抛物线的对称性来求点D 的坐标；（2）设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 常数），把点A 、B 、C 的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a 、b 、c 的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（3）由图象直接写出答案．试题解析：（1）∵如图，二次函数的图象与x 轴交于A （﹣3，0）和B （1，0）两点，∴对称轴是x=322-+=﹣1． 又点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，∴D （﹣2，3）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 常数）， 根据题意得93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜﹣2或x ＞1．考点：1、抛物线与x 轴的交点；2、待定系数法；3、二次函数与不等式（组）．25、（1）y ＝﹣12x 2+32x +2；（2）存在，点P 坐标为（32，4）或（32，52）或（32，﹣52）． 【分析】（1）根据点(1,0),(0,2)A C -，利用待定系数法求解即可得；（2）根据等腰三角形的定义，分CP CD =和DP CD =，再分别利用两点之间的距离公式求出点P 坐标即可．【详解】（1）将点(1,0),(0,2)A C -代入抛物线的解析式得3022a c c ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩解得122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故二次函数的解析式为213222y x x =-++； （2）存在，求解过程如下：由二次函数的解析式可知，其对称轴为3321222()2b x a =-=-=⨯- 则点D 的坐标为3(0)2D ，，可设点P 坐标为3(,)2m 由勾股定理得，22352()22CD =+= 由等腰三角形的定义，分以下2种情况：①当CP CD =2235(0)(2)22m -+-= 解得4m =或0m =（不符题意，舍去），因此，点P 坐标为3(,4)2②当DP CD =时，52m =解得52m =±，因此，点P 坐标为35(,)22或35(,)22- 综上，存在满足条件的点P ，点P 坐标为3(,4)2或35(,)22或35(,)22-． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、二次函数的几何应用、等腰三角形的定义等知识点，较难的是（2），依据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．26、见解析.【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【详解】∵点P在∠ABC的平分线上，∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），∵点P在线段BD的垂直平分线上，∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），如图所示：【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.。
2021-2022学年吉林省四平市伊通县九年级(上)期末数学试卷
2021-2022学年吉林省四平市伊通县九年级（上）期末数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、单项选择题（每小题3分，共18分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±23．下列事件中，是必然事件的是（）A．如果a2＝b2，那么a＝bB．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．2021年有366天D．13个人中至少有两个人生肖相同4．半径为10的⊙O，圆心在直角坐标系的原点，则点（8，6）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（）A．125°B．130°C．135°D．140°6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（）A．（4，0）B．（6，0）C．（8，0）D．（10，0）二、填空题（每小题4分，共32分）7．一元二次方程3x2＝3﹣2x的根的判别式的值为．8．抛物线y＝3x2﹣3与y轴的交点坐标是．9．若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是．10．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的吉祥码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2.4cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为．11．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，要使可食用率y 最大，加工时间为min．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC'，使点C的对应点C'恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为．14．一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是．三、解答题（每小题5分，共20分）15．解方程：2x2﹣4x﹣30＝0．16．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0）．求抛物线的函数解析式．17．目前以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到3.92万户，若每年5G用户数的增长率相同，求该市5G 用户数年平均增长率．18．随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．（1）王老师被分配到“就餐监督岗”的概率为；（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．四、解答题（每小题7分，共14分）19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4个单位后，得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC绕原点O顺时针旋转180°后，得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点中心对称．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AC＝4，则⊙O的半径长为．五、解答题（每小题8分，共16分）21．已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每天可卖出100件．市场调查发现，该产品每降价1元，每天可多买出10件，由于供货方的原因每天销售不得超过180件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每天的销售利润为W元．（1）求W与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）该产品每件降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？22．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝MF；（2）若AE＝2，求FC的长．六、解答题（每小题10分，共计20分）23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC是△ABC中最短的边，边AC的长度比BC长10cm，斜边AB的长度比BC长度的2倍短10cm．（1）求Rt△ABC的各条边的长．（2）求AB边上的高．（3）点D从点B出发在线段AB上以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t（s）．①用含t的代数式表示线段BD的长为；②当△BCD为等腰三角形时，请求出t的值．24．如图，二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y 轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求当△DAC的面积最大时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以点M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
2020-2021学年四平市伊通县九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年四平市伊通县九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，下列条件中，不可能事件是()A. 摸出的2个球有一个是白球B. 摸出的2个球都是黑球C. 摸出的2个球有一个黑球D. 摸出的2个球都是白球2.我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.抛物线y=4(x−3)2+12的顶点坐标是()A. (3,12)B. (4,12)C. (−3,12)D. (−3,−12)4.如下图，数轴上点A所表示的数是()A. √5B. −√5+1C. √5+1D. √5−15.关于抛物线y=x2−2x+1，下列说法错误的是()A. 开口向上B. 顶点坐标为(1,0)C. 对称轴为直线x=1D. 当x>1时，y随x的增大而减小6.从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程()A. (x+4)2+(x+2)2=x2B. (x−4)2+(x−2)2=x2C. (x−4)2+(x+2)2=x2D. (x+4)2+(x−2)2=x2二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）7.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c−k=0有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是______．8.把函数y=−x2−4x−5配方得______ ，它的开口方向______ ，顶点坐标是______ ，对称轴是______ ．9.直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边上的高为______．10.从下面的6张牌中，任意抽取两张．求其点数和是奇数的概率为______ ．11.如图，在⊙O中，弦AB与弦CD交于点M，且CM：BM=3：2，则DM：AM=______．12.如图，某同学利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽(接缝忽略不计)，若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是______ cm2．13.如图，有一张长为5，宽为1的矩形纸片，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形(1)该正方形的边长为______ ；(结果保留根号)(2)现要求将矩形纸片分成5块，再拼合成一个正方形，请分别画出“剪”与“拼”的示意图．14.已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1.以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC.设AB=x，请解答：(1)x的取值范围______；(2)若△ABC是直角三角形，则x的值是______．三、解答题（本大题共10小题，共70.0分）15.在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB=4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．(1)求抛物线所表示的二次函数表达式．(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．)是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存②已知Q(1,−32在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．16.学校“科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品．试销发现：该电子产品的销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知销售60件电子产品所得利润为1680元．(1)根据以上信息，填空：销售量为60件时的销售价格是______元/件，该产品的成本价格是______元/件；(2)求销售利润w(元)关于销售量x(件)的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？(3)该社团继续开展科技创新，降低产品成本价格，预估当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，则科技创新后该产品的成本价格应低于多少？17.宝宝和贝贝是一对双胞胎，他们参加奥运志愿者选拔并与甲、乙、丙三人都进入了前5名．现从这5名入选者中确定2名作为志愿者．试用画树形图或列表的方法求出：(1)宝宝和贝贝同时入选的概率；(2)宝宝和贝贝至少有一人入选的概率．18.按要求解方程(1)x2−3−2x=0.(方法自选)(2)2x2−4x−1=0(配方法)19.在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．(1)若点B的坐标为(−4,3)，试建立合适的直角坐标系，并写出A、C两点的坐标；(2)试作出△ABC以A为旋转中心、沿逆时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；(3)作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出A2、B2、C2三点的坐标．x2，点M、N的坐标分别为(0,1)、(0,−1)．20.如图所示，已知抛物线y=14(1)点P是抛物线上的一个动点，判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=−1的位置关系；x2的交于A、B，联结NA、NB，探索∠ANM和∠BNM之间的关系，(2)若经过点M的直线与抛物线y=14并给出证明过程．21.本学期开始，北关中学对该校八年级学生进行了体育训练．为了解他们的训练效果，从该年级中各随机抽取了相同人数的男、女生进行跳绳测试，设被测试的每一位同学跳绳个数为x个，测试结果分为了四个等级：A(x≥200)，B(185≤x<200)，C(170≤x<185)，D(x<170)，并对数据进行了整理、描述和分析，给出了以下部分信息：①男生成绩频数分布表和女生成绩扇形统计图如图；男生成绩频数分布表等级频数频率A100.2B180.36C a bD100.2合计c 1.0②女生B组中全部19名学生的成绩为：188，194，189，194，186，185，189，190，189192，191，186，185，196，189，187，191，189，185．③两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：性别平均分中位数众数方差男生186********.2女生184d18950.4请根据有关信息解决下列问题：(1)填空：a=______，d=______，α=______°；(2)在此次跳绳测试中，你认为是男生还是女生的训练效果更好？请说明理由(写出一条理由即可)；(3)若该校八年级有1200人(其中男女生人数相等)即将参加体育期末测试，规定跳绳成绩在185个及其以上为满分，请预测该年级体育期末测试中跳绳成绩为满分的人数．22. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若DB平分∠ADC，AB=5√2，AD：DE=4：1，求DE的长．23. 已知：m、n是方程x2−6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=−x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．24. 如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD.过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．(1)求证：FG与⊙O相切；(2)连接EF，若⊙O的半径为4，求EF的长．参考答案及解析1.答案：D解析：解：∵在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，∴从中任意摸出2个球，可能摸出的2个球有一个是白球或摸出的2个球都是黑球或摸出的2个球有一个黑球，不可能摸出的2个球都是白球．故选：D．利用黑白颜色小球的个数，进而分析得出符合题意的答案．此题主要考查了随机事件，利用已知小球个数分析是解题关键．2.答案：B解析：本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解．解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选：B．3.答案：A解析：解：∵抛物线y=4(x−3)2+12，∴顶点坐标为(3,12)．故选：A．根据二次函数的顶点式，直接得出二次函数的顶点坐标．本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，若则其解析式为y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标为(ℎ,k)．4.答案：D解析：本题考查了实数与数轴上的点的一一对应关系．也考查了勾股定理．先根据勾股定理计算出BC=√5，则BA=BC=√5，然后计算出AD的长，接着计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．解：如图，BD=1−(−1)=2，CD=1，∴BC=√BD2+CD2=√22+12=√5，∴BA=BC=√5，∴AD=√5−2，∴OA=1+√5−2=√5−1，∴点A表示的数为√5−1．故选D．5.答案：D解析：解：y=x2−2x+1=(x−1)2中a=1>0，开口向上，顶点坐标为(1,0)，对称轴为x=1，当x>1时，y随着x的增大而增大．故选：D．找到题目中函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性后即可得到答案．本题考查了抛物线y=a(x−ℎ)2+k的性质，能正确的说出顶点坐标、对称轴及开口方向是解题的关键．6.答案：B解析：解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．∴门框的长为(x−2)尺，宽为(x−4)尺，∴可列方程为(x−4)2+(x−2)2=x2，故选：B．根据题意，门框的长、宽以及竹竿长是直角三角形的三个边长，等量关系为：门框长的平方+宽的平方=门的对角线长的平方，把相关数值代入即可求解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到门框的长，宽，竹竿长是直角三角形的三个边长是解决问题的关键．7.答案：k<163解析：解：设抛物线解析式为y=a(x+3)(x−1)，，把(0,4)代入得4=a×3×(−1)，解得a=−43(x+3)(x−1)，∴抛物线解析式为y=−43即y =−43x 2−83x +4，∵−43x 2−83x +4−k =0有两个不相等的实根， ∴△=(−83)2−4×(−43)×(4−k)>0， ∴k <163．故答案为k <163．设交点式y =a(x +3)(x −1)，再把(0,4)代入求得a =−43，则抛物线解析式为y =−43x 2−83x +4，根据判别式的意义，利用−43x 2−83x +4−k =0有两个不相等的实根得到△=(−83)2−4×(−43)×(4−k)>0，然后解关于k 的不等式即可．本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c(a,b,c 是常数，a ≠0)与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了根的判别式． 8.答案：y =−(x +2)2−1；向下；(−2,−1)；x =−2解析：解：y =−x 2−4x −5=−(x 2+4x +5)=−(x +2)2−1． ∵a =−1<0，∴开口向下；顶点坐标(−2,−1)，对称轴为x =−2．运用配方法将已知的函数解析式化为顶点式即可回答问题．此题考查了运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式的方法，属基础题． 9.答案：2.4解析：解：由勾股定理知，斜边c =√a 2+b 2=5，设斜边上的高为ℎ，根据直角三角形的面积公式得：S △=12×3×4=12×5ℎ， ∴ℎ=125=2.4．根据勾股定理求出斜边的长，利用面积法求出三角形斜边上的高． 本题利用了勾股定理和直角三角形的面积公式求解．10.答案：815解析：解：一个奇数和一个偶数总共有2×2×4=16种情况，故点数和是奇数的概率为1630 = 815．一个奇数和一个偶数得和是奇数，6张牌中，任意抽取两张总共有6×5=30种情况，计算出和是奇数的情况个数，利用概率公式进行计算．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．11.答案：2：3解析：解：连接AD、BC，如图所示．∵∠ADM=∠CBM，∠DAM=∠BCM，∴△ADM∽△CBM，∴AMDM =CMBM=32，∴DMAM =23．故答案为：2：3．连接AD、BC，根据圆周角定理可得出∠ADM=∠CBM、∠DAM=∠BCM，进而可得出△ADM∽△CBM，根据相似三角形的性质可求出DMAM =23，此题得解．本题考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，利用相似三角形的判定定理找出△ADM∽△CBM是解题的关键．12.答案：400π解析：解：圆锥侧面积公式为：s侧面积=πrR=π×10×40=400π．故答案为：400π．利用圆锥的侧面积公式可以直接求出面积．此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，注意公式的灵活应用．13.答案：√5解析：解：(1)∵长为5，宽为1的矩形纸片，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形，∴该正方形的剪拼后的正方形面积为5，∴边长为√5．故答案为：√5；(2)将它分成5块，再拼合成一个正方形如图：(1)由题意可知剪拼后的正方形面积为5，进而可求出此正方形的边长； (2)将矩形纸分成5块，再拼合成一个正方形即可．此题考查了图形的剪拼，用到的知识点是勾股定理、矩形的性质、正方形的性质等，关键是利用有关性质通过空间想象画出图形．14.答案：1<x <2 x =53或x =43解析：解：(1)∵MN =4，MA =1，AB =x ， ∴BN =4−1−x =3−x ，由旋转的性质得，MA =AC =1，BN =BC =3−x ， 由三角形的三边关系得 {3−x −1<x 3−x +1>x， ∴x 的取值范围是1<x <2； 故答案为：1<x <2； (2)∵△ABC 是直角三角形，∴若AC 为斜边，则1=x 2+(3−x)2，即x 2−3x +4=0，无解， 若AB 为斜边，则x 2=(3−x)2+1，解得x =53，满足1<x <2， 若BC 为斜边，则(3−x)2=1+x 2，解得x =43，满足1<x <2， 故x 的值为：x =53或x =43， 故答案为：x =53或x =43．(1)表示出BN ，再根据旋转的性质可得MA =AC ，BN =BC ，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边和三角形的任意两边之差小于第三边列出不等式组求解即可； (2)分三种情况讨论，由勾股定理可求解．本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，勾股定理，二次函数的最值问题，(1)难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组，(2)难点在于求解利用勾股定理列出的无理方程．15.答案：解：(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c(a ≠0)，在等腰Rt △ABC 中，OC 垂直平分AB ，且AB =4，∴OA =OB =OC =2， ∴A(−2,0)，B(2,0)，C(0,−2)， ∴{4a +2b +c =04a −2b +c =0c =−2， 解得，{a =12b =0c =−2，∴抛物线的解析式为y =12x 2−2；(2)①设直线l 的解析式为y =kx ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由{y =12x 2−2y =kx ，可得12x 2−kx −2=0， ∴x 1+x 2=2k ，x 1⋅x 2=−4，∴(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4k 2+16， ∴|x 1−x 2|=2√k 2+4，∴S △CMN =12OC ⋅|x 1−x 2|=2√k 2+4， ∴当k =0时2√k 2+4取最小值为4． ∴△CMN 面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P(m,12m 2−2)，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， ∴OP =OQ ，即√12+(32)2=√m 2+(12m 2−2)2，解得，m 1=√3，m 2=−√3，m 3=1，m 4=−1， ∵m 3=1，m 4=−1不合题意，舍去， 当m 1=√3时，点P(√3,−12)， 线段PQ 的中点为(1+√32,−1)，∴1+√32k =−1，∴k =1−√3，∴直线l 的表达式为：y =(1−√3)x ， 当m 2=−√3时，点P(−√3,−12)， 线段PQ 的中点为(1−√32,−1)，∴1−√32k =−1，∴k =1+√3，∴直线l 的解析式为y =(1+√3)x ．综上，直线l 的解析式为y =(1−√3)x 或y =(1+√3)x ．解析：(1)先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；(2)①设直线l 的解析式为y =kx ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立方程组求得|x 1−x 2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P(m,12m 2−2)，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP =OQ 列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第(2)①题关键是求得M 、N 两点的横坐标之差，第(2)②小题关键是根据轴对称性质列出m 的方程，以及求得PQ 的中点坐标．16.答案：68 40解析：解：(1)设销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间的函数关系式为：y =kx +b ， 由题意可得{64=80k +b70=50k +b ，解得：{k =−15b =80， ∴销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间的函数关系式为：y =−15x +80， 当x =60时，y =−15×60+80=68(元)， ∴该产品的成本价格=68−168060=40(元)，故答案为：68，40； (2)∵w =(y −40)x ，∴w =(−15x +80−40)x =−15x 2+40x =−15(x −100)2+2000， ∴当x =100时，销售利润最大，最大值为2000元．答：当销售量为100件时，销售利润最大，最大值是2000元； (3)设科技创新后该产品的成本价格为a 元， ∵w =(y −a)x =−15x 2+(80−a)x ，∵当销售量在120件以上时，销售利润达到最大， ∴−80−a 2×(−15)>120，∴a <32，答：科技创新后该产品的成本价格应低于32元．(1)由待定系数法可求销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间的函数关系式，将x =60代入可求解，由利润=(售价−成本价)×数量，可求解；(2)由利润=(售价−成本价)×数量，列出w 与x 的函数解析式，由二次函数的性质可求解； (3)设科技创新后该产品的成本价格为a 元，可得w =(y −a)x =−15x 2+(80−a)x ，利用二次函数的性质列出不等式可求解．本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求解析式，掌握利润=(售价−成本价)×数量是本题的关键．17.答案：解：树形图如下：或列表如下：共20种情况(6分)(1)宝宝和贝贝同时入选的概率为220=110(9分) (2)宝宝和贝贝至少有一人入选的概率为1420=710(12分)解析：因为此题需要两步完成，所以采用列表法或者采用树状图法都比较简单；列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18.答案：解：(1)原方程可化为：(x +1)(x −3)=0∴(x +1)=0或(x −3)=0 ∴x 1=−1，x 2=3； (2)原方程可化为：x 2−2x =12∴x 2−2x +1=32∴(x −1)2=32∴x −1=±√32=√62∴x 1=1+√62，x 2=1−√62． 解析：(1)可用十字相乘法因式分解解方程； (2)先将二次项系数化为1，再利用配方法求解即可．本题考查了利用因式分解法(或其他方法)和配方法解一元二次方程，属于基础知识的考查．19.答案：解：(1)点A(−1,−1)，点C(−4,1)；(2)如图：(3)A 2(1,1)，B 2(4,−3)，C 2(4,1)．解析：(1)先根据点B 的坐标确定出原点是点A 向右一个单位，向上一个单位，然后建立平面直角坐标系，即可写出点A 、C 的坐标；(2)分别找出点B 、C 绕点A 沿逆时针方向旋转90°后的对应点，然后再顺次连接三个点，即可得到△AB 1C 1；(3)分别找出点A 、B 、C 关于原点的对称点，然后顺次连接，再写出A 2、B 2、C 2三点的坐标即可． 本题考查旋转变换作图，做这类题的关键是按要求旋转后找对应点，然后顺次连接，(1)中准确找出坐标原点是解题的关键，难度中等．20.答案：解：(1)设点P 的坐标为(x 0,14x 02)，则PM =√x 02+(14x 02−1)2=14x 02+1； 又因为点P 到直线y =−1的距离为，14x 02−(−1)=14x 02+1 所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线y =−1相切．(2)如图，分别过点A ，B 作直线y =−1的垂线，垂足分别为H ，R ，设A(a,14a 2)，B(b,14b 2)，∴AM=√a2+(14a2−1)2=14a2+1，BM=√b2+(14b2−1)2=14b2+1，∵AH=14a2+1，BR=14b2+1，∴AM=AH，BM=BR，∵AH，MN，BR都垂直于直线y=−1，所以，AH//MN//BR，于是BMRN =AMNH，所以BRRN =AHHN，因此，Rt△AHN∽Rt△BRN．于是∠HNP=∠RNQ，从而∠ANM=∠BNM．解析：(1)可先根据抛物线的解析式设出P点的坐标，那么可得出PM的长的表达式，P点到y=−1的长就是P点的纵坐标与−1的差的绝对值，那么可判断得出的表示PM和P到y=−1的距离的两个式子是否相等，如果相等，则y=−1是圆P的切线．(2)可通过构建相似三角形来求解，过B，A作BR⊥直线y=−1，AH⊥直线y=−1，垂足为R，H，那么BR//MN//AH，根据平行线分线段成比例定理可得出BM：MA=RN：NH.(1)中已得出了AM= AH，那么同理可得出BM=BR，那么比例关系式可写成BR：AH=RN：NH，而这两组对应成比例的线段的夹角又都是直角，因此可求出∠BNR=∠ANH，根据等角的余角相等，可得出∠BNM=∠ANM．本题主要考查了相似三角形的性质，平行的性质以及二次函数和一次函数的综合应用．(2)中通过构建相似三角形来求角相等是解题的关键．21.答案：1218543.2解析：解：(1)10÷0.2=50(人)，b=1−0.2−0.36−0.2=0.24，∴a=50×0.24=12，女生B组的百分比为：19÷50×100%=38%，女生跳绳个数从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为185+1852=185，因此女生的中位数d=185，女生D组的百分比为：1−14%−38%−36%=12%，∴α=360°×12%=43.2°，故答案为：12，185，43.2；(2)男生的训练效果更好，理由：男生的跳绳个数的平均数，中位数、众数均比女生的高；=648(人)，(3)1200×10+18+19+50×14%50+50答：预测该年级体育期末测试中跳绳成绩为满分的人数有648人．(1)根据男生A组的频数和频率，即可求得抽取人数，先求出男生C组的频率b，即可得出频数a；根据女生B组中全部19名学生即可求得女生B组的百分比，从而得出女生的中位数；求出女生D组的百分比，即可得α的值；(2)根据平均数，中位数、众数的大小判断即可；(3)根据成绩在185个及其以上为满分的比例乘以1200，即可求得该年级体育期末测试中跳绳成绩为满分的人数．本题主要考查了扇形统计图，众数，中位数，平均数等知识，解题的关键是理解题意，读懂图表中的信息，属于中考常考题型．22.答案：(1)证明：连接OD．∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF．∴∠FDC=∠FCD．∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°．∴DF是⊙O的切线．(2)解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴AB⏜=BC⏜，∴BC=AB=5√2，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100，又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°．∴△ADC～△ACE，∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD⋅AE，设DE=x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，∴100=4x⋅5x，∴x=√5，∴DE=√5．解析：此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD⋅AE是解题关键．(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；(2)首先得出AB=BC，即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD⋅AE，进而得出答案．23.答案：解：(1)解方程x2−6x+5=0，得x1=5，x2=1由m<n，有m=1，n=5所以点A、B的坐标分别为A(1,0)，B(0,5)．将A(1,0)，B(0,5)的坐标分别代入y=−x2+bx+c．得{−1+b +c =0c =5解这个方程组，得{b =−4c =5所以，抛物线的解析式为y =−x 2−4x +5(2)由y =−x 2−4x +5，令y =0，得−x 2−4x +5=0 解这个方程，得x 1=−5，x 2=1所以C 点的坐标为(−5,0).由顶点坐标公式计算，得点D(−2,9)． 过D 作x 轴的垂线交x 轴于M ． 则S △DMC =12×9×(5−2)=272S 梯形MDBO =12×2×(9+5)=14， S △BOC =12×5×5=252所以，S △BCD =S 梯形MDBO +S △DMC −S △BOC =14+272−252=15．答：点C 、D 的坐标和△BCD 的面积分别是：(−5,0)、(−2,9)、15； (3)设P 点的坐标为(a,0)因为线段BC 过B 、C 两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5)，PH与抛物线y=−x2−4x+5的交点坐标为H(a,−a2−4a+5)．由题意，得①EH=32EP，即(−a2−4a+5)−(a+5)=32(a+5)解这个方程，得a=−32或a=−5(舍去)②EH=23EP，即(−a2−4a+5)−(a+5)=23(a+5)解这个方程，得a=−23或a=−5(舍去)，P点的坐标为(−32,0)或(−23,0)．解析：(1)通过解方程即可求出m、n的值，那么A、B两点的坐标就可求出．然后根据A、B两点的坐标即可求出抛物线的解析式．(2)根据(1)得出的抛物线的解析式即可求出C、D两点的坐标．由于△BCD的面积无法直接求出，可用其他图形的面积的“和，差关系”来求出．过D作DM⊥x轴于M，那么△BCD的面积=梯形DMOB的面积+△DCM的面积−△BOC的面积．由此可求出△BCD的面积．(3)由于△PCH被直线BC分成的两个小三角形等高，因此面积比就等于底边的比．如果设PH与BC的交点为E，那么EH就是抛物线与直线BC的函数值的差，而EP就是E点的纵坐标．然后可根据直线BC的解析式设出E点的坐标，然后表示出EH，EP的长．进而可分两种情况进行讨论：①当EH=32EP时；②当EH=23EP时．由此可得出两个不同的关于E点横坐标的方程即可求出E点的坐标．也就求出了P 点的坐标．24.答案：(1)证明：连接OC、AC，如图1所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE，AD=AC，∵DC=AD，∴DC=AD=AC，∴△ACD为等边三角形，∴∠ADC=∠DCA=∠DAC=60°，∴∠OCD=30°，∵FG//DA，∴∠DCF+∠ADC=180°，∴∠DCF=180°−∠ADC=180°−60°=120°，∴∠OCF=∠DCF−∠OCD=120°−30°=90°，∴FG⊥OC，∵OC为⊙O的半径，∴FG与⊙O相切；(2)解：过点E作EH⊥FG于H，如图2所示：设CE=a，则DE=a，AD=2a，∵AF与⊙O相切，∴AF⊥AG，∵DC⊥AG，∴AF//DC，∵FG//DA，∴四边形AFCD为平行四边形，∵DC=AD=2a，∴四边形AFCD为菱形，∴AF=FC=AD=2a，∠AFC=∠ADC=60°，由(1)得：∠DCF=120°，∴∠DCG=60°，由(1)得：在Rt△CEO中，∠OEC=90°，∠OCE=30°，∴EC=cos30°OC=√32×4=2√3，∴CF=CD=2EC=4√3，在Rt△CEH中，∠EHC=90°，∠ECH=60°，∴EH=CE⋅sin60°=2√3×√32=3，CH=CE⋅cos60°=2√3×12=√3，∴FH=CH+CF=√3+4√3=5√3，∵在Rt△EFH中，∠EHF=90°，∴EF=√FH2+EH2=√(5√3)2+32=2√21．解析：(1)连接OC、AC，证明△ACD为等边三角形，得出∠ADC=∠DCA=∠DAC=60°，∠OCD=30°，由FG//DA，得出∠DCF=180°−∠ADC=120°，则∠OCF=∠DCF−∠OCD=90°，即FG⊥OC，即可得出结论；(2)过点E作EH⊥FG于H，设CE=a，则DE=a，AD=2a，证明AF//DC，由FG//DA，得出四边形AFCD为平行四边形，由DC=AD=2a，得出四边形AFCD为菱形，则AF=FC=AD=2a，∠AFC=∠ADC=60°，由(1)得∠DCG=60°，∠OCE=30°，则EC=cos30°OC=2√3，CF=CD=2EC=4√3，EH=CE⋅sin60°=3，CH=CE⋅cos60°=√3，求出FH=CH+CF=5√3，由勾股定理得出EF=√FH2+EH2即可得出结果．本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数等知识；涉及面广，难度大，是中考常考题．。
2020-2021学年吉林省四平市九年级(上)期末数学测试卷
2020-2021学年吉林省四平市九年级（上）期末数学测试卷题号一二三总分得分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.在下列四个图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1:2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为()A. 1:2B. 2:1C. 1:4D. 4:13.如图，在▵ABC中，AB，AC的垂直平分线DF，EG交于点M，点F，G在BC上.若∠GAF=46°，则∠M的度数为()A. 67°B. 65°C. 55°D. 45°4.如图，点D在以AC为直径的⊙O上，若∠BDC=35°，那么∠ACB的度数是()A. 35°B. 55°C. 70°D. 110°5.如图，△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠BDO=90°，且点A在反比例函数y=k(k>0)的图象上，若OB2−AB2=10，则k的值x为()A. 10B. 5C. 20D. 2.56.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于(x1,0)、(x2,0)两点，且0<x1<1，1<x2<2与y轴交于(0,−2)，下列结论：①2a+b>1；②a+b<2；③3a+b>0；④a<−1，其中正确结论的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.在−2，1，4，−3，0这5个数字中，任取一个数是负数的概率是______．8.抛物线y=2x2+4x的对称轴为______ ．9.将抛物线y=(x−1)2向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是________．10.如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播，现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A′B′为其倒立的像，如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A′B′的距离为______cm．11.如图，已知∠EAD=30°，△ADE绕着点A旋转50°后能与△ABC重合，则∠BAE=_________度．12.如果抛物线y=ax2+2经过点(1,0)，那么a的值为______．13.一根排水管的截面如图所示．已知水面宽AB=40cm，水的最大深度为8cm，则排水管的半径为___________cm．14.在长方形ABCD中AB=16，如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合)，则此圆锥的底面半径为______．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）15.如图，一个圆锥的高为3√3cm，侧面展开图恰好是半圆．求：(1)圆锥的母线长与底面半径之比；(2)圆锥的侧面积(结果保留π)．16.如图，在△ACD中，已知∠ACD=120°，将△ACD绕点C逆时针方向旋转得到△BCE，并且使B，C，D三点在一条直线上，AC与BE交于点M，AD与CE交于点N，连接AB，DE，求证：CM=CN．17.一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，如果从袋中任意摸出一个小.已知袋中装有红球2个，蓝球1个，小球除颜色不同外，球，摸出红球的概率为12其它都相同．(1)求袋中黄球的个数；(2)如果第一次摸出一个球后(不放回)，第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=k经过x▱ABCD的顶点B，D.点D的坐标为(2,1)，点A在y轴上，且AD//x轴，S▵ABCD=5．(1)填空：点A的坐标为______；(2)求双曲线和AB所在直线的解析式．19.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，点B(1,3)．(1)画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1，B1的坐标；(2)画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2，并写出点A2，B2的坐标．20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=45°，求证：AB2=BE⋅CD．(x>0)的21.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx)，与y轴，x轴分别交于点C，图象交于点A(a,6)，B(4,32D．(x>0)和一次函数y=kx+b的(1)求反比例函数y=mx解析式；<0(x>0)的解集．(2)直接写出不等式kx+b−mx22.已知抛物线y=ax2−ax−2a(a为常数且不等于0)与x轴的交点为A，B两点，且A点在B的右侧．(1)当抛物线经过点(3,8)，求a的值；(2)求A、B两点的坐标；(3)若抛物线的顶点为M，且点M到x轴的距离等于AB的3倍，求抛物线的解析式．23.如图，AB是⊙O的直径，过点B做⊙O的切线BC，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连结DO并延长交CB的延长线于点E．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)连接AC，若BE=4，DE=8，求线段AC的长．24.一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v(千米/小时)与所用时间t(小时)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．(1)直接写出v与t的函数关系式________；(2)若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．①求两车的平均速度；②甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站(两车加油的时间忽略不计)，求甲地与B加油站的距离．25.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．(1)求证：AE⊥BD；(2)若AD=1，CD=2，试求四边形ABCD的对角线BD的长．26.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(−2,3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D．(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；(3)在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．2.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1:2，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1:4．故选C．3.【答案】A【解析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和四边形内角定理，由线段垂直平分线的性质可得AF=BF，AG=CG，由等腰三角形的性质可得∠BAF=∠B，∠CAG=∠C，由∠GAF=46°，根据三角形内角和为180°，可得∠BAF+∠B+∠CAG+∠C=180°−46°=134°，则∠BAF+∠CAG=67°，然后在四边形ADME 中，由内角和为360°进行求解即可．【解答】解：∵DM垂直平分AB，EM垂直平分AC，∴∠ADM=∠AEM=90°，AF=BF，AG=CG，∴∠BAF=∠B，∠CAG=∠C，∵∠GAF=46°，∴∠BAF+∠B+∠CAG+∠C=180°−46°=134°，∴∠BAF+∠CAG=67°，∴∠BAC=67°+46°=113°，∴∠M=360°−∠ADM−∠AEM−∠BAC=360°−90°−90°−113°=67°．故选A．4.【答案】B【解析】【分析】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由AC为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ABC的度数，然后由圆周角定理，求得∠A的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵∠A=∠BDC=35°，∴∠ACB=90°−∠A=55°．故选B．5.【答案】B【解析】(k为常数，k≠0)的图本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.设A点坐标为(a,b)，根据等腰直角三角形的性质得OB=√2BD，AB=√2AC，BC=AC，OD=BD，则OB2−AB2=10，变形为OD2−AC2=5，利用平方差公式得到(OD+AC)(OD−AC)=5，得到a⋅b=5，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=5．【解答】解：设A点坐标为(a,b)，∵△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，∴AB=√2AC，OB=√2BD，BC=AC，OD=BD，∵OB2−AB2=10，∴2OD2−2AC2=10，即OD2−AC2=5，∴(OD+AC)(OD−AC)=5，∴a⋅b=5，∴k=5．故选B．6.【答案】B【解析】解：如图：0<x1<1，1<x2<2，并且图象与y轴相交于点(0,−2)，可知该抛物线开口向下即a<0，c=−2，①当x=2时，y=4a+2b+c<0，即4a+2b<−c；∵c=−2，∴4a+2b<2，∴2a+b<1，故①错误；②∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，∵c=−2，∴a+b>2，故②错误；③∵0<x1<1，1<x2<2，∴1<x1+x2<3，，又∵x1+x2=−ba<3，∴1<−ba∴−3a<3a+b<−a．∴3a+b>0，故③正确；<2，④∵0<x1x2<2，x1x2=ca又∵c=−2，∴a<−1．故④正确．故选：B．由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数图象与系数的关系，根据图象找到所需的条件，同时利用根与系数的关系及不等式的性质是解题的基本思路．7.【答案】25，【解析】解：任取一个数是负数的概率是：P=25故答案为：2．5根据概率公式：P(A)=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数可得答案．此题主要考查了概率公式，关键是掌握公式．8.【答案】x=−1【解析】解：∵抛物线的解析式为y=2x2+4x，∴a=2，b=4，∴其对称轴是直线x=−b2a =−42×2=−1．故答案为：x=−1．先根据抛物线的解析式得出a、b的值，再根据二次函数的对称轴方程即可得出结论．本题考查的是二次函数的性质，即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−b2a．9.【答案】y=(x−2)2【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y=(x−1)2向右平移1个单位所得到抛物线的解析式是：y=(x−1−1)2，即y=(x−2)2．故答案为y=(x−2)2．10.【答案】10【解析】解：∵AB//A′B′，∴△ABO∽△A′B′O，∴ABA′B′=25是相似比，∴点O到A′B′的距离=52×4=10，故答案为：10由相似三角形判定可得△ABO∽△A′B′O，利用对应边成比例可得点O到A′B′的距离．考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．11.【答案】20【解析】【分析】此题主要考查了旋转的性质，得出旋转角∠DAB的度数是解题关键．利用旋转的性质得出∠DAB=50°，进而得出∠BAE的度数．【解答】解：∵∠EAD=30°，△ADE绕着点A旋转50°后能与△ABC重合，∴∠DAB=50°，则∠BAE=∠DAB−∠DAE=50°−30°=20°．故答案为20．12.【答案】−2【解析】解：把(1,0)代入y=ax2+2得a+2=0，解得a=−2．故答案为−2．把已知点的坐标代入抛物线解析式可求出a的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．13.【答案】29【解析】【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．过点O作OD⊥AB，交AB于点E，由垂径定理可得出BE的长，在Rt△OBE中，根据勾股定理求出OB的长．【解答】解：过点O作OD⊥AB，交AB于点E，∵AB=40cm，∴BE=12AB=12×40=20cm，在Rt△OBE中，∵OE=OB−8，∴OB2=OE2+BE2，即OB2=202+(OB−8)2，∴OB=29cm；故答案为：29．14.【答案】4【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得2πr=90π×16，180解得r=4．故此圆锥的底面半径为4；故答案为：4．圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．15.【答案】解：(1)设圆锥底面半径为rcm，母线为lcm，由题知2πr=πl解得l：r=2：1答：圆锥母线与底面半径之比为2：1；(2)由题知r2+(3√3)2=l2，把l=2r代入，解得r1=−3(舍去)，r2=3，∴l=6cm，∴圆锥的侧面积=πrl=18π(cm2).【解析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．(1)设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；(2)首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．16.【答案】解：由旋转知，△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AC=BC，∵B，C，D在一条直线上，∠ACD=120°，∴∠ACB=∠DCE=60°=∠ACE，在△CAN 与△CBM 中，{∠CAD =∠CBEAC =BC ∠ACN =∠BCM ，∴△CAN≌△CBM(ASA)， ∴CM =CN ．【解析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．根据旋转的性质得到∠CAD =∠CBE ，AC =BC ，求得∠ACB =∠ACE =∠DCE =60°，根据全等三角形的判定与性质即可得到结论．17.【答案】解：(1)设袋中黄球的个数为x 个，则：21+2+x =12， 解得x =1，∴袋中黄球的个数为1个； (2)列表如下：∴一共有12种情况，两次摸到都是红球的有2种情况， ∴两次摸到都是红球的概率为：P =212=16．【解析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，概率公式的应用．(1)根据红球的概率为12及红球个数，求出所有球的个数，然后利用概率公式解答即可； (2)根据题意用列表法表示出所有等可能的结果，再利用概率公式解决即可．18.【答案】(1)(0,1)(2)(2)∵双曲线y =kx 经过点D(2,1)， ∴k =2×1=2，∴双曲线为y=2x，∵D(2,1)，AD//x轴，∴AD=2，∵S▵ABCD=5，∴AE=52，∴OE=32，∴B点纵坐标为−32，把y=−32代入y=2x得，−32=2x，解得x=−43，∴B(−43,−32)，设直线AB的解析式为y=ax+b，代入A(0,1)，B(−43,−32)得：{b=1−43a+b=−32，解得{a=158b=1，∴AB所在直线的解析式为y=158x+1．【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的面积、待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，根据平行四边形得面积求出点B的坐标，是解答本题的关键．(1)由D的坐标以及点A在y轴上，且AD//x轴即可求得；(2)由平行四边形的面积求得AE的长，即可求得OE的长，得到B的纵坐标，代入反比例函数得解析式求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得AB所在直线的解析式．【解答】解：(1)∵点D的坐标为(2,1)，点A在y轴上，且AD//x轴，∴A(0,1)；故答案为(0,1)；(2)见答案．19.【答案】解：(1)如图，△OA1B1为所作，点A1，B1的坐标分别为(0,−2)，(3,−1)；(2)如图，△OA2B2为所作，点A2，B2的坐标分别为(−2,0)，(−1,−3)；【解析】本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，也考查了中心对称图形．(1)根据网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1，从而得到△OA1B1，再写出点A1，B1的坐标；(2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A2，B2的坐标，然后描点即可得到△OA2B2．20.【答案】证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=12×(180°−∠BAC)=45°，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+∠BAD，∠EAB=∠DAE+∠BAD=45°+∠BAD，∴∠ADC=∠EAB，∵∠B=∠C，∴△ADC∽△EAB，∴ABCD =BEAC，∵AB=AC，∴AB2=BE⋅CD．【解析】本题考查了等腰直角三角形和相似三角形的性质和判定，能推出△ADC∽△EAB 是解此题的关键．求出∠B=∠C，∠ADC=∠EAB，根据相似三角形的判定推出△ADC∽△EAB，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．21.【答案】解：(1)∵反比例函数y=mx(x>0)经过点B，∴将x=4，y=32代入y=mx，得m=6，∴反比例函数解析式为 y =6x ， 把x =a ，y =6代入y =6x ，得a =1， 点A 坐标为(1,6)，∴一次函数解析式 y =kx +b 也经过A(1,6)，B(4,32). {k +b =64k +b =32解得：{k =−32b =152，故一次函数解析式为：y =−32x +152；(2)不等式kx +b −m x(x >0)的解集为：0<x <1或 x >4．【解析】(1)将B 点坐标代入即可得出反比例函数y =m x(x >0)，再将A 、B 两点坐标分别代入y =kx +b ，可用待定系数法确定一次函数的解析式；(2)由函数的图象即可得出反比例函数的值大于一次函数值的x 的取值范围． 本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．22.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2−ax −2a 经过点(3,8)∴8=a(9−3−2)∴a =2；(2)∵方程a(x 2−x −2)=0，a ≠0， ∴x 2−x −2=0，解之得，x 1=2，x 2=−1． ∴A(2,0)，B(−1,0)；(3)∵抛物线y =a(x 2−x −2)=a(x −12)2−94a ， ∴顶点M 的坐标为(12,−94a) ∵A(2,0)，B(−1,0)， ∴AB =3，由题意得，|−94a|=3×3∴a=±4∴抛物线为y=4x2−4x−8或y=−4x2+4x+8．【解析】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式等知识点，解答(3)题时需要注意a的取值应该有两个．(1)将点(3,8)代入已知函数解析式，列出关于a的方程8=a(9−3−2)，通过解该方程求得a的值；(2)根据二次函数与一元二次方程的关系可以得到：a(x2−x−2)=0，a≠0，由此求得点A、B的横坐标；(3)利用(2)中点A、B的坐标求得AB=3，结合顶点坐标公式求得a的值．23.【答案】(1)证明：在△COB和△COD中，{CB=CD OB=OD OC=OC，∴△COB≌△COD(SSS)，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD是⊙O的切线；(2)由切割线定理得，BE2=EF⋅ED，即42=8EF，解得，EF=2，∴FD=DE−EF=6，∴AB=DF=6，在Rt△EDC中，DE2+DC2=EC2，即82+BC2=(4+BC)2，解得，BC=6，∴AC=√AB2+BC2=6√2．【解析】(1)证明△COB≌△COD，得到∠ODC=∠OBC=90°，根据切线的判定定理证明；(2)根据切割线定理求出DF，根据勾股定理求出CB，根据勾股定理计算即可．本题考查的是切线的判定定理，切割线定理，全等三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．24.【答案】解：(1)设函数关系式为v=k，t∵t=5，v=120，∴k=120×5=600，(5≤t≤10)；∴v与t的函数关系式为v=600t(2)①依题意，得3(v+v−20)=600，解得v=110，经检验，v=110符合题意．当v=110时，v−20=90．答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；②当A加油站在甲地和B加油站之间时，110t−(600−90t)=200，解得t=4，此时110t=110×4=440；当B加油站在甲地和A加油站之间时，110t+200+90t=600，解得t=2，此时110t=110×2=220．答：甲地与B加油站的距离为220或440千米．【解析】(1)利用时间t与速度v成反比例可以得到反比例函数的解析式；(2)①由客车的平均速度为每小时v千米，得到货车的平均速度为每小时(v−20)千米，根据一辆客车从甲地出发前往乙地，一辆货车同时从乙地出发前往甲地，3小时后两车相遇列出方程，解方程即可；②分两种情况进行讨论：当A加油站在甲地和B加油站之间时；当B加油站在甲地和A 加油站之间时；都可以根据甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米列出方程，解方程即可．本题考查了反比例函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型．25.【答案】解：(1)如图，设AC与BD的交点为点M，BD与AE的交点为点N，由旋转的性质，AC=BC，∠DBC=∠CAE，又∵∠ABC=45°，∴∠ABC=∠BAC=45°，∴∠ACB=90°，∵∠DBC+∠BMC=90°，∴∠AMN+∠CAE=90°，∴∠ANM=90°，∴AE⊥BD；(2)如图，连接DE，由旋转的性质，CD=CE=2，BD=AE，∠DCE=∠ACB=90°，∴DE=√CD2+CE2=√8=2√2，∠CDE=45°，∵∠ADC=45°，∴∠ADE=90°，∴AE=√AD2+DE2=3，∴BD=3．【解析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．(1)由旋转的性质可得AC=BC，∠DBC=∠CAE，即可得∠ACB=90°，根据直角三角形的性质可得AE ⊥BD ，(2)连接DE ，由旋转的性质可得CD =CE =2，BD =AE ，∠DCE =∠ACB =90°，△DCE 和△ADE 均为直角三角形，由勾股定理可求BD 的长．26.【答案】解：(1)将A(1,0)，C(−2,3)代入y =−x 2+bx +c ，得：{−1+b +c =0−4−2b +c =3，解得：{b =−2c =3， ∴抛物线的函数关系式为y =−x 2−2x +3；设直线AC 的函数关系式为y =mx +n(m ≠0)，将A(1,0)，C(−2,3)代入y =mx +n ，得：{m +n =0−2m +n =3，解得：{m =−1n =1， ∴直线AC 的函数关系式为y =−x +1．(2)过点P 作PE//y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ//y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．设点P 的坐标为(x,−x 2−2x +3)(−2<x <1)，则点E 的坐标为(x,0)，点F 的坐标为(x,−x +1)，∴PE =−x 2−2x +3，EF =−x +1，EF =PE −EF =−x 2−2x +3−(−x +1)=−x 2−x +2．∵点C 的坐标为(−2,3)，∴点Q 的坐标为(−2,0)，∴AQ =1−(−2)=3，∴S △APC =12AQ ⋅PF =−32x 2−32x +3=−32(x +12)2+278．∵−32<0，∴当x =−12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为(−12,154).(3)当x =0时，y =−x 2−2x +3=3，∴点N 的坐标为(0,3)．∵y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴抛物线的对称轴为直线x =−1．∵点C 的坐标为(−2,3)，∴点C ，N 关于抛物线的对称轴对称．令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN=CM，∴AM+MN=AM+MC=AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x=−1时，y=−x+1=2，∴此时点M的坐标为(−1,2)．∵点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(−2,3)，点N的坐标为(0,3)，∴AC=√32+32=3√2，AN=√32+12=√10，∴C△ANM=AM+MN+AN=AC+AN=3√2+√10．∴在对称轴上存在一点M(−1,2)，使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3√2+√10．【解析】(1)根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；(2)过点P作PE//y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ//y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为(x,−x2−2x+3)(−2<x<1)，则点E的坐标为(x,0)，点F的坐标为(x,−x+1)，进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC=−32x2−32x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；(2)利用三角形的面积公式找出S△APC=−32x2−32x+3；(3)利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．。
吉林省四平市伊通满族自治县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(含答案)
2022—2023学年度第一学期期末考试九年级数学试卷注意事项：1．数学试卷共8页，包括六道大题，共24道小题．试卷满分120分．2．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、准考证号码填写在答题卡上，并将准考证条码粘贴在答题卡右侧的[条码粘贴处]的方框内3．答题时，选择题必须使用2B 铅笔在答题卡上填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡上填写，字体要工整．4．请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1．下列图形是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．关于x 的一元二次方程2230kx x +-=的一个根是1，则k 的值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．无法确定3．抛物线2241y x x =-+的对称轴是直线（ ） A ．3x =B ．1x =C ．32x =-D ．1x =-4．下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ） A ．水中捞月 B ．守株待兔C ．水涨船高D ．画饼充饥5．已知O 的半径为5，直线l 为O 所在平面内的一条直线，若点O 到直线l 的距离为3，则直线l 与O 的位置关系是（ ） A ．直线l 与O 相交 B ．直线l 与O 相切 C ．直线l 与O 相离 D ．不能确定6．如图，在O 中，直径CD 过弦EF 的中点G ，44EOD ∠=︒，则DCF ∠等于（ ）A ．88°B ．46°C ．44°D ．22°二、填空题（每小题4分，共32分）7．已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则m 的取值范围是______．8．将二次函数22y x =的图象向上平移3个单位长度后所得到的图象的解析式为______． 9．抛物线21293717y x x =-+-与y 轴的交点坐标是______． 10．如果圆锥的母线长为5cm ，底面圆的半径为2cm ，那么这个圆锥的侧面积是______2cm ．（结果保留π）11．二次函数22y x x n =++的图象的顶点在x 轴上，那么满足条件的实数n =______． 12．如图，是抛物线2y ax bx c =++的一部分，其对称轴为直线1x =，若其与x 轴一交点为()3,0，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是______．13．如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为CD 延长线上一点，若110B ∠=︒，则ADE∠的度数为______°．14．如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，OC 与O 相交于点D ．若40C ∠=︒，9OA =则劣弧BD 的长为______．（结果保留π）三、解答题（每小题5分，共20分） 15．解一元二次方程：()25410x x x -=-． 16．如图，ABC △的内切圆O 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，且9AB =，14BC =，13CA =．求AF ，BD ，CE 的长．17．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+经过点()2,4A 和点()6,0B ． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）直接写出该抛物线的开口方向和顶点坐标．18．第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．（1）若从第一盒中随机取出1个球，则取出的球是白球的概率是______；（2）若分别从每个盒中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的概率． 四、解答题（每小题7分，共14分）19．如图，已知ABC △在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为()1,2A -、()2,1B -、()1,1C （正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）． （1）11A B C △是ABC △绕点______逆时针至少旋转______度得到的，点1B 的坐标是______；（2）在（1）的条件下，求线段AC 旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．20．随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．某市2020年销售烟花爆竹20万箱，到2022年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求该市2020年到2022年烟花爆竹年销售量的平均下降率．五、解答题（每小题8分，共16分） 21．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，且CD AB ⊥于点E ．（1）求证：BCO D ∠=∠； （2）若42CD =，2AE =，求O 的半径．22．如图，一幅长20cm 、宽12cm 的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2．设竖彩条的宽度为x cm ，图案中三条彩条所占面积为2cm y ． （1）求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．六、解答题（每小题10分，共计20分）23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，4AB =．动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动．过点P 作PD AC ⊥于点D （点P 不与点A 、B 重合），作60DPQ ∠=︒，边PQ 交射线DC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）用含t 的式子表示线段DC 的长，并写出解题过程； （2）当点Q 与点C 重合时，求t 的值．（3）令线段CQ 的长度为L ，请直接写出L 与t 之间的函数关系式．24．如图，抛物线212y x bx c =-++经过点()8,0A 和点()0,8B -． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点(),E E x y 是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；（3）当（2）中的平行四边形OEAF 的面积为32时，请你判断平行四边形OEAF 是否为菱形，并说明理由．九年级数学参考答案评阅说明：1．评卷采分最小单位为1分，每步标出的是累计分．2．考生若用本“参考答案”以外的解（证）法，可参照本“参考答案”的相应步骤给分． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案DABCAD二、填空题（每小题4分，共32分） 题号 7891011 1213 14答案1m >223y x =+()0,3-10π11x <-或3x > 110132π三、解答题（每小题5分，共计20分） 15．解：方程可化为229100x x -+=，∴2a =，9b =-，10c =，()2249421010b ac ∆=-=--⨯⨯=>，∴方程有两个不等的实数根，()2914222b b ac x a --±-±-==⨯，即152x =，22x =．16．解：设AF x =，∵O 为ABC △的内切圆，∴AE AF x ==，∵9AB =，14BC =，13CA =．∴13CD CE AC AE x ==-=-，9BD BF AB AF x ==-=-．由BD CD BC +=，可得()()13914x x -+-=，解得4x =． 因此4AF =，5BD =，9CE =．17．解：（1）∵抛物线2y ax bx =+经过点()2,4A 和点()6,0B ，∴424,3660.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,23.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴这条抛物线所对应的二次函数的解析式为2132y x x =-+． （2）该抛物线开口向下．顶点坐标为93,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．18．解：（1）从第一盒中随机取出1个球，取出的球是白球的概率是23． （2）画树状图为：共有6种等可能的结果，取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的有3种结果， 所以取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的概率为12． 四、解答题（每小题7分，共计14分） 19．解：（1）C ，90，()1,2-（2）由图可知：222125AC =+=，线段AC 旋转过程中所扫过的面积为：90553604ππ⨯=． 20．解：设该市2020年到2022年烟花爆竹年销售量的平均下降率为x ，由题意得()22019.8x -=，解得10.330%x ==，2 1.7170%x ==（不符合题意，舍去） 经检验：10.330%x ==符合题意．答：该市2020年到2022年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%． 五、解答题（每小题8分，共16分）21．（1）证明：∵OC OB =，∴BCO B ∠=∠， ∵B D ∠=∠，∴BCO D ∠=∠．（2）解：∵AB 是O 的直径，且CD AB ⊥于点E ，CD =，∴12CE CD == 设O 的半径为r ，则OC r =，OA r =． ∵2AE =，∴2OE OA AE r =-=-．在Rt OCE △中，222OC CE OE =+，∴(()2222r r =+-，解得3r =，∴O 的半径为3．22．解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为3cm 2x ， ∵图案的长为20cm 、宽为12cm ， ∴23320212235422y x x x x x x =⨯+⨯⋅-⨯⋅=-+， 即y 与x 之间的函数关系式为2354y x x =-+； （2）根据题意，得：2235420125x x -+=⨯⨯， 整理，得：218320x x -+=，解得：12x =，216x =（舍），∴332x =， 答：横彩条的宽度为3cm ，竖彩条的宽度为2cm ． 六、解答题（每小题10分，共20分）23．解：（1）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，4AB =，∴2BC =，AC ==∵PD AC ⊥，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动． ∴在Rt APD △中，90ADP ∠=︒，30A ∠=︒，2AP t =，∴PD t =，AD ==．∴()02DC AC AD t =-=<<．（2）如图，在Rt PDQ △中，60DPQ ∠=︒，∴30PQD A ∠=︒=∠，∴PA PQ =，∴APQ △是等腰三角形． ∵PD AC ⊥，∴AD DQ =．∵点Q 与点C 重合，∴AD DQ AC +=，∴2AD AC =． 即2323t =1t =． ∴当点Q 与点C 重合时，t 的值为1．（3）()232301L t t =<<，)232312L t t =-≤≤． 24．解：（1）∵抛物线212y x bx c =-++经过点()8,0A 和点()0,8B -， ∴1648028b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=-⎩，解得58b c =⎧⎨=-⎩∴()22119585222y x x x =-+-=--+，∴抛物线的解析式为21582y x x =-+-，顶点坐标为95,2⎛⎫⎪⎝⎭．（2）∵位于第一象限的点(),E E x y 是抛物线21582y x x =-+-上一点， ∴点E 坐标为21,582x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， 221112285844064222E S OA y x x x x ⎛⎫=⨯⋅=⨯⨯-+-=-+- ⎪⎝⎭，∵()8,0A ，抛物线21582y x x =-+-的对称轴为直线5x =， ∴抛物线21582y x x =-+-与x 轴另一个交点坐标为()2,0， ∴()24406428S x x x =-+-<<；（3）当平行四边形OEAF 的面积为32时，平行四边形OEAF 可以为菱形，理由如下： 当平行四边形OEAF 的面积为32时，即24406432x x -+-=，210240x x -+=，解得：14x =，26x =当4x =时21454842E y =-⨯+⨯-=，当6x =时21656842E y =-⨯+⨯-=， ∴点E 的坐标为()4,4或()6,4当点E 的坐标为()4,4时，OE AE =，平行四边形OEAF 是菱形， 当点E 的坐标为()6,4时，OE AE ≠，平行四边形OEAF 不是菱形．。
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2020-2021学年吉林省四平市伊通县九年级上学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A ．x 2+2x ＝x 2﹣x +1
B ．（x ﹣1）2＝2x ﹣3
C ．1
x 2+2x −3=0
D ．ax 2+bx ＝c ＝0 2．（3分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）已知点A （﹣2，a ），B （2，b ），C （4，c ）是抛物线y ＝x 2﹣4x 上的三点，则a ，
b ，
c 的大小关系为（ ）
A ．b ＞c ＞a
B ．b ＞a ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．a ＞c ＞b
4．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A ．三角形的外心到三边的距离相等
B ．某射击运动员射击一次，命中靶心
C ．任意画一个三角形，其内角和是180°
D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上
5．（3分）如图，将矩形ABCD 绕点A 旋转至矩形AB ′C ′D ′位置，此时AC 的中点恰好
与D 点重合，AB ′交CD 于点E ．若AB ＝6，则△AEC 的面积为（ ）
A ．12
B ．4√3
C ．8√3
D ．6 6．（3分）如图，△ABC 是一张周长为18cm 的三角形纸片，BC ＝5cm ，⊙O
是它的内切圆，。