2010届中考数学二次函数专项训练
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1； （2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4． （2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米． （3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4． （2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8． （3）解：n =52，n =2511，n =3011．。
初三数学二次函数专题训练(含答案)-
二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个 单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象的对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 . 5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是 .6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .8.若a?0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x?4a-时，函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a?0时，图象的开口a?0时，图象的开口 ，顶点坐标是 . 10.抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)()(32+-=x y 的图象的顶点坐标是（1，-2）.12.已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 . 14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 . 二、选择题：16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ ）A.（0，-1）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21 C.（-1，5） D.（3，4） 17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ） ① 当a?0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当a?0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.① 19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2ax ybx -3的大致图象是（ ）图代13-2-1221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=ba（ ） A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xa y =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ） A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交 B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交 C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交 D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）24.函数2ax y =与xay =（a?0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ， C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数2ax y =（a?0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是 （ ）A ．X 取任何实数 B.x?0 C.x?0 D.x?0或x?027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）A.6)4(22+-=x y B.2)4(22+-=x y C.2)2(22+-=x y D.2)3(32+-=x y 28.二次函数229k ykx x y ++=（k?0）图象的顶点在（ ） A.y 轴的负半轴上 B.y 轴的正半轴上 C.x 轴的负半轴上 D.x 轴的正半轴上 29.四个函数：xy x y x y 1,1,-=+=-=（x?0），2x y -=（x?0），其中图象经过原 点的函数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ） A.a?0，Δ?0 B.a?0,Δ?0C ．a?0,Δ?0 D.a?0,Δ?0 三、解答题31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为21，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该 抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-1634.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方 向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tg α；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明. 35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示 意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车 载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.图代13-3-1736.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a?b ）.O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b. （1） 求m 的取值范围；（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由. 38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A 是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-18（1） 若AE=2，求AD 的长.（2） 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FHEDAH AD =？试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为 A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C. （1） 若△ABC 为Rt △，求m 的值； （2） 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值； （3） 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值. 40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.图代13-3-19（1） 求⊙C 的圆心坐标. （2） 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式. （3） 抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式. 41.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. （1）若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点. （2）在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20（3） 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x同的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点， 与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°. （1） 求点C 的坐标； （2） 求抛物线的解析式；（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.参 考 答 案动脑动手 1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ） 件，设每天所获利润为y 元，依题意，得)10100)(2(x x y -+=.360)4(10200801022+--=++-=x x x∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元. 2.∵43432+⎪⎭⎫⎝⎛+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432≠=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m x m mx 时mm m 34,321==. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），⎪⎭⎫⎝⎛0,34m B . （1）当AC=BC 时，94,334-=-=m m . ∴ 4942+-=x y（2）当AC=AB 时，5,4,3===AC OC AO .∴ 5343=-m. ∴ 32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ； 当32-=m 时，432322++-=x x y .（3）当AB=BC 时，22344343⎪⎭⎫⎝⎛+=-m m ，∴ 78-=m .∴ 42144782++-=x x y . 可求抛物线解析式为：43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y .3.（1）∵)62(4)]5([222+---=∆m m)1(122222φ+=++=m m m图代13-3-21 ∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点. 令y=0，得062)5(222=+++-m x m x 0)3)(2(2=---m x x ， ∴ 3,2221+==m x x .∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2+3,0）.12322+=-+=m m d ，∵ m 2+10?0，∴d=m 2+1. （3）①当d=10时，得m 2=9.∴ A （2，0），B （12，0）.25)7(241422--=+-=x x x y .该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,521a MEb PM AB PE -====， ∴ 2225)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上，∴ 25)7(2--=a b . ② 解①②联合方程组，得0,121=-=b b .当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1. 注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程. ②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b?-1； △ ABP 为钝角三角形时，则b?-1，且b ≠0. 同步题库一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ； 2.81,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x?-1； 8.四，增大； 9.向上，向下，a bx a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x?-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ； 15.10.二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28. C 29.A 30.D 三、解答题31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0 的两个实数根，∴ a x x 221-=+，1x ·122+-=b x . ∵x 1，x 2又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根， ∴ x 1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2.∴ ⎩⎨⎧-=+--=-.112,322b b a a 解得 ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.解法二：∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ， ∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.∴ 23-=-a a . 解得 1=a .∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得01222=+-+b x x ， 01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得 2,021==b b . ∴ ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.32.解：∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ acx x a b x x =⋅-=+2121,. 又∵132221=+x x 即132)(21221=-+x x x x ，∴ 132)(2=⋅--a cab . ① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为21，则有4a+2b+c=4， ② 212=-a b . ③ 解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.与y 轴交点D 坐标为（0，6）.设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有（1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有6,3,2,====OD OC OB ODOP OC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4.得 k=-2.∴ y=-2x-4.或 3,6,2,====OC OD OB OCOP OD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得 21=k . ∴ 121+-=x y . 当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有 0=-2k-1，得 21-=k . ∴ 121--=x y . （2） 当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或 131+-=x y ， 或 131-=x y . 33.解：（1）在直线y=k(x-4)中，令y=0，得x=4.∴A 点坐标为（4，0）.∴ ∠ABC=90°.∵ △CBD ∽△BAO ， ∴OBOA OC OB =，即OB 2=OA ·OC.又∵ CO=1，OA=4，∴ OB 2=1×4=4.∴ OB=2（OB=-2舍去）∴B 点坐标为（0，2）.将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得21-=k . ∴直线的解析式为：221+-=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(，函数图象过A （4，0），B （0，2），得⎩⎨⎧=+=+.2,025h a h a 解得 .1225,121=-=h a ∴抛物线的解析式为：1225)1(1212++-=x y . 解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.∵ CA=1+4=5，∴ CD=5.∴ OD=6.∴D 点坐标为（-6，0）.将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++.0636,2,0416c b a c c b a 解得 2,61,121=-=-=c b a . ∴抛物线的解析式为：2611212+--=x x y . 34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2?x 1），C 的 纵坐标是C.又∵y 轴与⊙O 相切，∴ OA ·OB=OC 2.∴ x 1·x 2=c 2.又由方程032=+-c x ax 知 ac x x =⋅21，∴a c c =2，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴ AB AE 21=. α=∠=∠=∠ADE ADB ACB 21. ∵ a?0,x 2?x 1， ∴ aa ac x x AB 54912=-=-=. a AE 25=. 又 ED=OC=c ，∴ 25==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β，∵P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 45,23，又∵a?0， ∴在Rt △PAE 中，aPE 45=. ∴ 25==AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵ ∠ADE+∠DAE=90°∴PA 和⊙D 相切.35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为c ax y +=2，由题意得G （0，8），D （15，5.5）.∴ ⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5×4=22(米).∴ 2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c ）=74（米）.答：cc ＇的长为74米.（2）∵ 4,41==BE BC EB ， ∴ BC=16.∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）.答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.（3） 在89012+-=x y 中，当x=4时， 45377816901=+⨯-=y . ∵ 4519)4.07(45377=+-?0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a?0，b?0.∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号.∴ab=m+2?0，∴m?-2.（2）当m?-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m ?0∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根.∵ m?-2，∴ ⎩⎨⎧+=+=+.02,04φφm ab m b a∴ a?0，b?0.∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切.37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0），∵A ，B 两点在原点的两侧，∴ x 1x 2?0，即-（m+1）?0，解得 m?-1.∵ )1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m 7)21(484422+-=+-=m m m 当m?-1时，Δ?0，∴m 的取值范围是m?-1.（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k?0），则 x 1=3k ，x 2=-k ，∴ ⎩⎨⎧+-=-⋅-=-).1()(3),1(23m k k m k k解得 31,221==m m . ∵31=m 时，3421-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2 ∴抛物线的解析式是32++-=x x y .（3）易求抛物线322++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）.设直线BM 的解析式为q px y +=，则 ⎩⎨⎧+-⋅=+⋅=.)1(0,14q p q p 解得 ⎩⎨⎧==.2,2q p∴直线BM 的解析式是y=2x+2.设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2），∴ MNC BCN BCM S S S ∆∆∆+= .111211121=⨯⨯+⨯⨯=设P 点坐标是（x,y ），∵ BCM ABP S S ∆∆=8，∴ 1821⨯=⨯⨯y AB . 即 8421=⨯⨯y . ∴ 4=y .∴4±=y .当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），当y=-4时，-4=-x 2+2x+3，解得 221±=x .∴满足条件的P 点存在.P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+.38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，∴ AD 2=AE ·AB=2×（2+6）=16.∴ AD=4.图代13-2-23（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FHED AH AD =. 证法一：连结DB ，交FH 于G ，∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEB.又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，∴ ∠BDE=90°有 ∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH.在△DFB 和△DHB 中，DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ，∴ △DFB ∽△DHB.∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形.∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH.∴ED ∥FH ，∴FH ED AH AD =.图代13-3-24证法二：连结DB ，∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEF.又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ，∴ ∠EDF=∠DBH.以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点，∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH.∴ ED ∥FH.∴ FHED AH AD =. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y.又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，∴ △DFE ∽△BDE ，∴EBED ED EF =，即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=，即6612+-=x y . ∵点A 不与点E 重合，∴ED=x?0.A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，4,=⋅==POPB OD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF ，由ED 2=EF ·EB 得12622=⨯=x ，∵x?0，∴32=x .∴ 0?x ≤32.（或由BH=4=y ，代入6612+-=x y 中，得32=x ）故所求函数关系式为6612+-=x y （0?x ≤32）. 39.解：∵]294)[2(2942254222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m m x x m m x m m x y , ∴可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC⋅=2， 即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22942294422m m m m ， 化得0)2(2=-m .∴m=2.（2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22942=+-m m . ∴429422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m m OC .∴25==BC AC . 过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB ·OC=BC ·AD.∴ 58=AD .∴ 545258sin ===∠AC AD ACB .图代13-3-25（3）CO AB S ABC ⋅=∆21 .1)1()2(2942229421222-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=u u u m m m m ∵ 212942≥+-=m m u ，∴当21=u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为45. 40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2，∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8.A 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,532，B 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛524,0. ∴⊙C 的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB ，∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO.∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴OBOC AB OF OA OC AB OE ==,. ∴ 320,5==OF OE . E 点坐标为（5，0），F 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛320,0， ∴切线EF 解析式为32034+-=x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4512,516，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-.524,1,325.52453244,51622c b a c a b ac a b ∴ 5243252++-=x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-4512,516，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.524,4,85.524,5844,51622c b a c a b ac a b ∴ 5244852+--=x x y . 综合上述，抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41.（1）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,,21m x y x y 有m x x +-=21， ∴ m y m x m x 31,32,23===. ∴交点)31,32(m m M . 此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= m m mx x 31943422++-=. 由②③联立，消去y ，有 0329413422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m x m x . ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆m m m 3294413422 .013891613891622>=+-+-=m m m m∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.图代13-3-26（2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3），∴ -3=0+m ，∴ m=-3.∴M （-2，-1）.∴二次函数为)1)(3(341)2(22++=+-=-+=x x x x x y .图象如图代13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为Rt △，且∠CMA=Rt ∠，∴MC 为△CMA 外接圆直径.∵P 在x y 21=上，可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n n P 21,，由MC 为△CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上， ∴ ∠CPM=Rt ∠.过P 分别作PN ⊥y ，轴于N ，PQ ⊥x 轴于R ，过M 作MS ⊥y 轴于S ，MS 的延长线与PR 的 延长线交于点Q.由勾股定理，有222QP MQ MP +=，即222121)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n MP . 22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=. 202=CM. 而 222CM CPMP =+， ∴ 20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ， 即 062252=-+n n ， ∴ 012452=-+n n ，0)2)(65(=+-n n .∴ 2,5621-==n n . 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴ 56=n ， 此时 5321=n . ∴P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛53,56. 42.解：（1）根据题意，设点A （x 1，0）、点（x 2，0），且C （0，b ），x 1?0，x 2?0，b?0， ∵x 1，x 2是方程02=++-b ax x 的两根，∴ b x x a x x -=⋅=+2121,.在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC 2=OA ·OB.∵ OA=-x 1,OB=x 2，∴ b 2=-x 1·x 2=b.∵b?0,∴b=1，∴C （0，1）.（2）在Rt △AOC 的Rt △BOC 中， 211212121==+-=--=-=-ba x x x x x x OB OC OA OC tg tg βα. ∴ 2=a .∴抛物线解析式为122++-=x x y .图代13-3-27（3）∵122++-=x x y ，∴顶点P 的坐标为（1，2），当0122=++-x x 时，21±=x .∴)0,21(),0,21(+-B A .延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1，∴点D 坐标为（-1，0）.∴ DCA DPB ABPC S S S ∆∆-=四边形).(22321)22(212)22(212121平方单位+=⨯-⨯-⨯+⨯=⋅-⋅⋅=yc AD y DB p。
2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题18二次函数的图象和性质2
28．（2010广东中山）如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB=6，BC=4，点F 在DC 上，DF=2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、MN 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，可得ΔFMN ，过ΔFMN 三边的中点作ΔPQW ．设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒，M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题： （1）说明ΔFMN ∽ΔQWP ；（2）设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）．试问x 为何值时，ΔPQW 为直角三角形？当x 在何范围时，ΔPQW 不为直角三角形？（3）问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值．．【答案】解：（1）由题意可知P 、W 、Q 分别是ΔFMN 三边的中点， ∴PW 是ΔFMN 的中位线，即PW ∥MN ∴ΔFMN ∽ΔQWP（2）由题意可得 DM=BN=x ，AN=6-x ，AM=4-x ， 由勾股定理分别得 2FM =24x +，2MN =2)4(x -+2)6(x - 2FN =2)4(x -+16①当2MN =2FM +2FN 时，2)4(x -+2)6(x -=24x ++2)4(x -+16 解得 34=x ②当2FN =2FM +2MN 时，2)4(x -+16=24x ++2)4(x -+2)6(x - 此方程无实数根③2FM =2MN +2FN 时，24x +=2)4(x -+2)6(x -+2)4(x -+16 解得 101=x （不合题意，舍去），42=x 综上，当34=x 或4=x 时，ΔPQW 为直角三角形；当0≤x ＜34或34＜x ＜4时，ΔPQW 不为直角三角形 （3）①当0≤x ≤4，即M 从D 到A 运动时，只有当x=4时，MN 的值最小，等于2； ②当4＜x ≤6时，2MN =2AM +2AN =2)4(-x +2)6(x -=2)5(22+-x当x=5时，2MN 取得最小值2， ∴当x=5时，线段MN 最短，MN=2． 29．（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A (－4，0) 和B (1，0)两点，与y 轴交于C 点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF //AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF面积的2倍时，求E 点的坐标;（3）若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标．【答案】解：（1）由二次函数212y x bx c =++与x 轴交于(4,0)A -、(1,0)B 两点可得：221(4)4021102b c b c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪⋅++=⎪⎩，． 解得： 322b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．故所求二次函数的解析式为213222y x x =+-．（2）∵S △CEF =2 S △BEF , ∴1,2BF CF =1.3BF BC =∵EF //AC , ∴B ,EF BAC BFE BCA ∠=∠∠=∠ ,∴△BEF ～△BAC ,∴1,3BE BF BA BC ==得5,3BE = 故E 点的坐标为(23-,0).xyO BC A图9（3）解法一：由抛物线与y 轴的交点为C ，则C 点的坐标为（0，－2）．若设直线AC的解析式为y kx b =+，则有20,04b k b -=+⎧⎨=-+⎩． 解得：1,22k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．故直线AC 的解析式为122y x =-－．若设P 点的坐标为213,222a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又Q 点是过点P 所作y 轴的平行线与直线AC 的交点，则Q 点的坐标为（1,2)2a a --．则有：2131[(2)](2)222PQ a a a =-+----＝2122a a --＝()21222a -++即当2a =-时，线段PQ 取大值，此时P 点的坐标为（－2，－3） 解法二：延长PQ 交x 轴于D 点，则PD AB ⊥．要使线段PQ 最长，则只须△APC的面积取大值时即可.设P 点坐标为（),00y x ，则有:ACO DPCO SAPCADPSSS =+-梯形＝111()222AD PD PD OC OD OA OC ⋅++⋅-⋅ ＝()()000001112242222x y y y x --+-+⋅--⨯⨯＝0024y x ---＝20001322422x x x ⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭＝2004xx -- ＝－()22024x ++即02x =-时，△APC 的面积取大值，此时线段PQ 最长，则P 点坐标为（－2，－3）30 ．（2010湖南郴州）如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .（1）求点A 的坐标； （2)当b =0时（如图（2）），ABE 与ACE 的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b ，使得BOC 是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b ；若不存在，说明理由.【答案】（1）将x =0，代入抛物线解析式，得点A 的坐标为（0，－4） （2）当b ＝0时，直线为y x =，由24y xy x x =⎧⎨=+-⎩解得1122x y =⎧⎨=⎩，2222x y =-⎧⎨=-⎩所以B 、C 的坐标分别为（－2，－2），（2，2）14242ABES=⨯⨯=，14242ACES =⨯⨯= 所以ABEACE S S=当4b >-时，仍有ABEACE SS=成立.理由如下由24y x b y x x =+⎧⎨=+-⎩，解得11x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以B 、C b 作BF y ⊥轴，CG y ⊥轴，垂足分别为F 、G ，则而ABE 和ACE 是同底的两个三角形， 所以ABEACE SS=.（3）存在这样的b .因为90BF CG,BEF CEG,BFE CGE =∠=∠∠=∠=︒ 所以BEF CEG ≅所以BE CE =，即E 为BC 的中点所以当OE =CE 时，OBC 为直角三角形 因为GE b b GC =-== 所以 CE =OE b =b =，解得124,2b b ==-，所以当b ＝4或－2时，ΔOBC 为直角三角形.31．（2010湖南怀化）图9是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的 坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此 图象有两个公共点时，b 的取值范围.【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数k m x y ++=2)(的顶点坐标，所以324)1(22--=--=x x x y 令,0322=--x x 解之得3,121=-=x x . ∴A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3,0） (2) 在二次函数的图象上存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45设),,(y x p 则y y AB S PAB 221=⨯=∆，又8421=-⨯=∆AB S MAB , ∴.5,8452±=⨯=y y 即 ∵二次函数的最小值为-4，∴5=y . 当5=y 时，4,2=-=x x 或.故P 点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分 （3）如图1，当直线)1(<+=b b x y 经过A 点时，可得.1=b ……………8分图9图1当直线)1(<+=b b x y 经过B 点时，可得.3-=b由图可知符合题意的b 的取值范围为13<<-b 32．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ．（1）求点C 的坐标．（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．（3）若P 点开始运动时，Q 点也同时从C 出发，以P 点相同的速度沿x 轴负方向向点A 运动，t 秒后，以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形．（点P 到点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动）求t 的值． （4）在（2）（3）的条件下，当CQ =CP 时，求直线OP 与抛物线的交点坐标．【答案】（1）点C 的坐标是（4，0）；（2）设过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c （a ≠0），将点A 、B 、C 三点的坐标代入得：020164a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式是：y = 12-x 2+32x +2． （3）设P 、Q 的运动时间为t 秒，则BP =t ，CQ =t ．以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．①若CQ =PC ，如图所示，则PC = CQ =BP =t ．∴有2t =BC=t②若PQ =QC ，如图所示，过点Q 作DQ ⊥BC 交CB 于点D ，则有CD =PD ．由△ABC ∽△QDC ，可得出PD =CDt =，解得t③若PQ =PC ，如图所示，过点P 作PE ⊥AC 交AC 于点E ，则EC =QE=5PC ，∴12t=5（t ），解得t（4）当CQ =PC 时，由（3）知t P 的坐标是（2，1），∴直线OP 的解析式是：y =12x ，因而有12x =12-x 2+32x +2，即x 2-2x -4=0，解得x =1OP 与抛物线的交点坐标为（）和（． 33．（2010湖北省咸宁）已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）．（1）证明243c b =；（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．【答案】（1）证明：依题意，m ，3m -是一元二次方程20x bx c +-=的两根．根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=-，(3)m m c ⨯-=-．∴2b m =，23c m =． ∴224312c b m ==． （2）解：依题意，12b-=，∴2b =-． 由（1）得2233(2)344c b ==⨯-=．∴2223(1)4y x x x =--=--．∴二次函数的最小值为4-．34．（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.【答案】解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得⎩⎨⎧-==+303c c b解得：⎩⎨⎧-=-=32c b所以二次函数的表达式为：322--=x x y（2）存在点P ，使四边形POP /C 为菱形．设P 点坐标为（x ，322--x x ）， PP /交CO 于E若四边形POP /C 是菱形，则有PC ＝PO ．连结PP / 则PE ⊥CO 于E ，∴OE=EC =23∴y =23-．∴322--x x =23-解得1x =2102+，2x =2102-（不合题意，舍去）∴P 点的坐标为（2102+，23-）…………………………8分 （3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，322--x x ），易得，直线BC 的解析式为3-=x y 则Q 点的坐标为（x ，x －3）.EB QP OE QP OC AB S S S S CPQ BPQ ABC ABPC ⋅+⋅+⋅=++=∆∆∆212121四边形 3)3(2134212⨯+-+⨯⨯=x x =87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x当23=x 时，四边形ABPC 的面积最大 此时P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-415,23，四边形ABPC 的 面积875的最大值为． 35．（2010北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m x x mx m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上． （1）求B 点的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交与点E ，延长PE 到点D ，使得ED =PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧做等等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）．① 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；② 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点做x 轴的垂线，与直线AB 交与点F ，延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q点运动时，M 点、N 点也随之运动）．若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．【答案】解：（1）∵抛物线23454122+-++--=m m x mx m y 经过原点， ∴m 2—3m +2=0. 解的m 1=1，m 2=2. 由题意知m ≠1. ∴m =2，∴抛物线的解析式为x x y 25412+-= ∵点B （2，n ）在抛物线x x y 25412+-=，n=4.∴B 点的坐标为（2，4）（2）①设直线OB 的解析式为y =k 1x 求得直线OB 的解析式y =2x ∵A 点是抛物线与x 轴的一个交点， 可求得A 点的坐标为（10，0），设P 点的坐标为（a ，0），则E 点的坐标为（a ，2a ）． 根据题意做等腰直角三角形PCD ，如图1.可求得点C 的坐标为（3a ，2a ）， 有C 点在抛物线上，得2a =－41x （3a ）2+25x 3a . 即49a 2— 211a =0解得 a 1=922，a 2=0（舍去） ∴OP =922 ②依题意作等腰直角三角形QMN . 设直线AB 的解析式y =k 2x +b由点A (10 ，0)，点B （2，4），求得直线AB 的解析式为y =－21x +5 当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上，如图2所示，可证△DPQ 为等腰直角三角形．此时QP 、OP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、 2t 个单位． ∴PQ = DP = 4t ∴t +4t +2t =10 ∴t=710第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上，如图3所示．可证△PQM 为等腰直角三角形．此时OP 、AQ 的长依次表示为t 、2t 个单位， ∴OQ = 10 － 2t ∵F 点在直线AB 上 ∴FQ =t ∵MQ =2t ∴PQ =MQ =CQ =2t ∴t +2t +2t =10 ∴t =2.第三种情况：点P 、Q 重合时，PD 、QM 在同一条直线上，如图4所示，此时OP 、AQ 的长依次表示为t 、2t 个单位．∴t +2t=10 ∴t =310 综上，符合题意的值分别为710，2，310． 36．（2010云南红河哈尼族彝族自治州）二次函数2x y =的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位.（1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式.（2）求经过两次平移后的图像与x 轴的交点坐标，指出当x 满足什么条件时，函数值大于0？【答案】解：画图如图所示：依题意得：2)1(2--=x y =2122-+-x x =122--x x∴平移后图像的解析式为：122--x x （2）当y=0时，122--x x =0 2)1(2=-x 21±=-x 212121+=-=x x ，∴平移后的图像与x 轴交与两点，坐标分别为（21-，0）和（21+，0） 由图可知，当x<21-或x>21+时，二次函数2)1(2--=x y 的函数值大于0. 37．（2010云南楚雄）已知：如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于两点A (1，0)，B (3，0).与y 轴相较于点C （0，3）．（1）求抛物线的函数关系式； （2）若点D （7,2m ）是抛物线2y ax bx c =++上一点，请求出m 的值，并求处此时△ABD 的面积．【答案】解：（1）由题意可知09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的函数关系式为243y x x =-+． （2）把D （7,2m ）代人函数解析式243y x x =-+中，得2775()43224m =-⨯+=．所以155(31)244ABDS ∆=⨯-⨯=． 38．（2010湖北随州）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. （1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由.【答案】（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0（2）过P 作直线x=1的垂线，可求P 的纵坐标为14，横坐标为1.此时，MP ＝MF ＝PF ＝1，故△MPF 为正三角形. （3）不存在.因为当t ＜54，x ＜1时，PM 与PN 不可能相等，同理，当t ＞54，x ＞1时，PM 与PN 不可能相等.39．（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.【答案】（1）设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0)，则有1640,4,420.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩解得1,21,4.a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式y =12x 2+x ﹣4（2）过点M 作MD ⊥x 轴于点D .设M 点的坐标为（m ，n ）. 则AD =m +4，MD =﹣n ，n =12m 2＋m －4 . ∴S = S △AMD +S 梯形DMBO －S △ABO =12( m +4) (﹣n )＋12(﹣n ＋4) (﹣m ) －12×4×4 = ﹣2n -2m -8 = ﹣2(12m 2＋m －4) -2m -8= ﹣m 2-4m (－4< m < 0)∴S 最大值 = 4（3）满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），（-2+2－，（-2－2＋40．（2010四川乐山）如图(13.1)，抛物线y ＝x2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C(0，2)，连接AC ，若tan ∠OAC ＝2． (1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使∠APC ＝90°，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图(13.2)所示，连接BC ，M 是线段BC 上(不与B 、C 重合)的一个动点，过点M 作直线l ′∥l ，交抛物线于点N ，连接CN 、BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？【答案】解：（1）∵抛物线y=x 2＋bx ＋c 过点C(0,2). ∴x=2又∵tan ∠OAC=OCOA=2, ∴OA=1,即A(1,0). 又∵点A 在抛物线y=x 2＋bx ＋2上. ∴0=12＋b ×1＋2,b=－3 ∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x 2－3x ＋2 （2）存在过点C 作对称轴l 的垂线,垂足为D,如图所示, ∴x=－332212b a -=-=⨯.∴AE=OE-OA=32-1=12,∵∠APC=90°,∴tan ∠PAE= tan ∠CPD ∴PE CDEA DP=,即12PE 322PE =-，解得PE=12或PE=32， ∴点P 的坐标为（32，12）或（32，32）。
2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题十八·二次函数的图象和性质2(可编辑)
2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题十八·二次函数的图象和性质228．2010广东中山如图12所示矩形ABCD的边长AB 6BC 4点F在DC上DF 2．．．．．答案①当时解得②当时此方程无实数根③时解得不合题意舍去综上当或时ΔPQW为直角三角形当0≤x＜或＜x＜4时ΔPQW不为直角三角形3①当0≤x≤4即M从D到A运动时只有当x 4时MN的值最小等于2②当4＜x≤6时当x 5时取得最小值2∴当x 5时线段MN最短MN ．29．2010湖南常德如图已知抛物线与轴交于A －4 和B 10 两点与轴交于C点．求此抛物线的解析式设E是线段AB上的动点作EFAC交BC于F连接CE当△CEF的面积是△BEF 面积的2倍时求E点的坐标若P为抛物线上AC两点间的一个动点过P作轴的平行线交AC于Q当P点运动到什么位置时线段PQ的值最大并求此时P点的坐标．解1由二次函数与轴交于两点可得解得故所求二次函数的解析式为．2∵S△CEF 2 S△BEF ∴∵EFAC ∴∴△BEF～△BAC∴得故E点的坐标为 0 3解法一由抛物线与轴的交点为则点的坐标为0－2．若设直线的解析式为则有解得故直线的解析式为．若设点的坐标为又点是过点所作轴的平行线与直线的交点则点的坐标为．则有＝＝即当时线段取大值此时点的坐标为－2－3解法二延长交轴于点则．要使线段最长则只须△的面积取大值时即可设点坐标为则有＝＝＝＝＝＝－即时△的面积取大值此时线段最长则点坐标为－2－3与y轴交于点AE0b为y轴上一动点过点E的直线与抛物线交于点BC1求点A的坐标2 当b 0时如图2与的面积大小关系如何当时上述关系还成立吗为什么3是否存在这样的b使得是以BC为斜边的直角三角形若存在求出b若不存在说明理由答案1将x 0代入抛物线解析式得点A的坐标为0－42当b＝0时直线为由解得所以BC的坐标分别为－2－222所以利用同底等高说明面积相等亦可当时仍有成立理由如下由解得所以BC的坐标分别为－－bb作轴轴垂足分别为FG则而和是同底的两个三角形所以3存在这样的b因为所以所以即E为BC的中点所以当OE CE时为直角三角形因为所以而所以解得所以当b＝4或－2时ΔOBC为直角三角形31．2010湖南怀化图9是二次函数的图象其顶点坐标为M 1-41求出图象与轴的交点AB的坐标2在二次函数的图象上是否存在点P使若存在求出P点的坐标若不存在请说明理由3将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折图象的其余部分保持不变得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答当直线与此图象有两个公共点时的取值范围答案解 1 因为M 1-4 是二次函数的顶点坐标所以令解之得∴AB两点的坐标分别为A-10B302 在二次函数的图象上存在点P使设则又∴∵二次函数的最小值为-4∴当时故P点坐标为-25或457分3如图1当直线经过A点时可得8分当直线经过B点时可得由图可知符合题意的的取值范围为解得∴抛物线的解析式是y x2x2．3设PQ的运动时间为t秒则BP tCQ t．以PQC为顶点的三角形为等腰三角形可分三种情况讨论．①若CQ PC如图所示则PC CQ BP t．∴有2t BC ∴t ．②若PQ QC如图所示过点Q作DQ⊥BC交CB于点D则有CD PD．由△ABC∽△QDC可得出PD CD ∴解得t ．③若PQ PC如图所示过点P作PE⊥AC交AC于点E则EC QE PC∴t -t解得t ．4当CQ PC时由3知t ∴点P的坐标是21∴直线OP的解析式是y x因而有x x2x2即x2-2x-4 0解得x 1±∴直线OP与抛物线的交点坐标为1和1-．33．2010湖北省咸宁已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为00．1证明2若该函数图象的对称轴为直线试求二次函数的最小值．1证明依题意是一元二次方程的两根．根据一元二次方程根与系数的关系得．∴．∴．2解依题意∴．由1得．∴．∴二次函数的最小值为．的图象与x轴交于AB两点 A点在原点的左侧B点的坐标为30与y轴交于C0-3点点P是直线BC下方的抛物线上一动点1求这个二次函数的表达式．2连结POPC并把△POC沿CO翻折得到四边形POPC 那么是否存在点P使四边形POPC为菱形若存在请求出此时点P的坐标若不存在请说明理由．3当点P运动到什么位置时四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积答案解1将BC两点的坐标代入得解得所以二次函数的表达式为2存在点P使四边形POPC为菱形．设P点坐标为xPP交CO于E若四边形POPC是菱形则有PC＝PO．连结PP 则PE⊥CO于E∴OE EC∴．∴解得不合题意舍去∴P点的坐标为8分3过点P作轴的平行线与BC交于点Q与OB交于点F设Px易得直线BC的解析式为则Q点的坐标为xx－3当时四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为四边形ABPC的面积．35．2010北京在平面直角坐标系xOy中抛物线与x轴的交点分别为原点O 和点A点B2n在这条抛物线上．1求B点的坐标2点P在线段OA上从O点出发向A点运动过P点作x轴的垂线与直线OB交与点E延长PE到点D使得ED PE以PD为斜边在PD右侧做等等腰直角三角形PCD 当P点运动时C点D点也随之运动．①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时求OP的长②若P点从O点出发向A点作匀速运动速度为每秒1个单位同时线段OA 上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动速度为每秒2个单位当Q点到达O 点时停止运动P点也同时停止运动．过Q点做x轴的垂线与直线AB交与点F延长QF到点M使得FM QF以QM为斜边在QM的左侧作等腰直角三角形QMN当Q点运动时M点N点也随之运动．若P点运动到t秒时两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上求此刻t的值．解1∵抛物线经过原点∴m23m2 0解的m1 1m2 2由题意知m≠1∴m 2∴抛物线的解析式为∵点B2n在抛物线n 4∴B点的坐标为242①设直线OB的解析式为y k1x求得直线OB的解析式y 2x∵A点是抛物线与x轴的一个交点可求得A点的坐标为100设P点的坐标为a0则E点的坐标为a2a．根据题意做等腰直角三角形PCD如图1可求得点C的坐标为3a2a有C点在抛物线上得2a －x3a2x3a即a2 a 0解得 a1 a2 0舍去∴OP②依题意作等腰直角三角形QMN设直线AB的解析式y k2xb由点A 10 0 点B24求得直线AB的解析式为y －x5当P点运动到t秒时两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上有以下三种情况第一种情况CD与NQ在同一条直线上如图2所示可证△DPQ为等腰直角三角形．此时QPOPAQ的长可依次表示为t 4t 2t个单位．∴PQ DP 4t∴t4t2t 10∴t第二种情况PC与MN在同一条直线上如图3所示．可证△PQM为等腰直角三角形．此时OPAQ的长依次表示为t2t个单位∴OQ 10 － 2t∵F点在直线AB上∴FQ t∵MQ 2t∴PQ MQ CQ 2t∴t2t2t 10∴t 2第三种情况点PQ重合时PDQM在同一条直线上如图4所示此时OPAQ的长依次表示为t2t个单位．∴t2t 10∴t综上符合题意的值分别为2．红河自治州二次函数的图像如图8所示请将此图像向右平移1个单位再向下平移2个单位1画出经过两次平移后所得到的图像并写出函数的解析式2求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标指出当x满足什么条件时函数值大于0解画图如图所示依题意得∴平移后图像的解析式为2当y 0时 0∴平移后的图像与x轴交与两点坐标分别为0和0由图可知当x 时二次函数的函数值大于02010云南楚雄已知如图抛物线与轴相交于两点A 10 B 30 与轴相较于点C03．1求抛物线的函数关系式2若点D是抛物线上一点请求出的值并求处此时△ABD 的面积．答案解1由题意可知解得所以抛物线的函数关系式为．2把D代人函数解析式中得．所以．顶点为C11且过原点O过抛物线上一点Pxy向直线作垂线垂足为M 连FM如图1求字母abc的值2在直线x＝1上有一点求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标并证明此时△PFM为正三角形3对抛物线上任意一点P是否总存在一点N1t使PM＝PN恒成立若存在请求出t值若不存在请说明理由答案1a＝－1b＝2c＝02过P作直线x 1的垂线可求P的纵坐标为横坐标为此时MP＝MF＝PF＝1故△MPF为正三角形3不存在因为当t＜x＜1时PM与PN不可能相等同理当t＞x＞1时PM与PN 不可能相等39．2010河南在平面直角坐标系中已知抛物线经过A 40 B 0一4 C 20 三点1 求抛物线的解析式2 若点M为第三象限内抛物线上一动点点M的横坐标为m△AMB的面积为S 求S关于m的函数关系式并求出S的最大值3 若点P是抛物线上的动点点Q是直线y －x上的动点判断有几个位置能使以点PQB0为顶点的四边形为平行四边形直接写出相应的点Q的坐标答案1设抛物线的解析式为y ax2bxc a≠0 则有解得∴抛物线的解析式y x2x－42过点M作MD⊥x轴于点D设M点的坐标为mn则AD m4MD －nn m2＋m－4∴S S△AMDS梯形DMBO－S△ABOm4 －n ＋－n＋4 －m －×4×4－2n-2m-8－2 m2＋m－4 -2m-8－m2-4m －4 m 0∴S最大值 43满足题意的Q点的坐标有四个分别是-4 4 4 -4-22－-2－2＋40．2010四川乐山如图 131 抛物线y＝x2bxc与x轴交于AB两点与y轴交于点C 02 连接AC若tan∠OAC＝2．1 求抛物线对应的二次函数的解析式2 在抛物线的对称轴l上是否存在点P使∠APC＝90°若存在求出点P的坐标若不存在请说明理由3 如图 132 所示连接BCM是线段BC上不与BC重合的一个动点过点M 作直线l′‖l交抛物线于点N连接CNBN设点M的横坐标为t．当t为何值时△BCN的面积最大最大面积为多少答案解1∵抛物线y x2＋bx＋c过点C 02 ∴x 2又∵tan∠OAC 2 ∴OA 1即A 10又∵点A在抛物线y x2＋bx＋2上∴0 12＋b×1＋2b －3∴抛物线对应的二次函数的解析式为y x2－3x＋22存在过点C作对称轴l的垂线垂足为D如图所示∴x －∴AE OE-OA -1 ∵∠APC 90°∴tan∠PAE tan∠CPD∴即解得PE 或PE∴点P的坐标为或备注可以用勾股定理或相似解答3如图易得直线BC的解析式为y -x＋2∵点M是直线l′和线段BC的交点∴M点的坐标为t-t2 0＜t＜2∴MN -t2- t2－3t＋2 - t2＋2t∴S△BCM S△MNCS△MNB MNtMN 2-tMN t2-t MN - t2＋2t 0＜t＜2∴S△BCN - t2＋2t - t-1 21∴当t 1时S△BCN的最大值为141．2010江苏徐州如图已知二次函数y的图象与y轴交于点A与轴交于BC两点其对称轴与轴交于点D连接AC．1 点A的坐标为点C的坐标为2 线段AC上是否存在点E使得△EDC为等腰三角形若存在求出所有符合条件的点E的坐标若不存在请说明理由3 点P为轴上方的抛物线上动连接PAPC若所得△PAC的面积为S则S取何值时相应的点P有2个三点1求此抛物线的解析式2以OA的中点M为圆心OM长为半径作⊙M在1中的抛物线上是否存在这样的点P过点P作⊙M的切线l 且l与x轴的夹角为30°若存在请求出此时点P的坐标若不存在请说明理由注意本题中的结果可保留根号答案解1设抛物线的解析式为由题意得解得∴抛物线的解析式为2存在抛物线的顶点坐标是作抛物线和⊙M如图⊙M相切于点C连接MC过C作CD⊥ x 轴于D ∵ MC OM 2 ∠CBM 30° CM⊥BC∴∠BCM 90°∠BMC 60° BM 2CM 4 ∴B -2 0 在Rt△CDM中∠DCM ∠CDM - ∠CMD 30°∴D 1 CD ∴ C 1设线的解析式为点BC在上可得∴切线BC的解析式为∵点P为抛物线与切线的交点由解得∴点P的坐标为∵抛物线的对称轴是直线此抛物线⊙M都与直线成轴对称图形于是作切线 l 关于直线的对称直线 l′如图得到BC关于直线的对称点B1C1l′满足题中要求由对称性得到P1P2关于直线的对称点即为所求的点∴这样的点P共有4个43．2010陕西西安如图在平面直角坐标系中抛物线经过A10B30C01三点 1求该抛物线的表达式2点Q在y轴上点P在抛物线上要使以点QPAB为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件的点P的坐标答案解1设该抛物线的表达式为根据题意得解之得∴所求抛物线的表达式为2①当AB为边时只要PQAB且PQ AB 4即可又知点Q在y轴上∴点P的横坐标为4或-4这时将合条件的点P有两个分别记为P1P2而当x 4时此时②当AB为对角线时只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在y轴上且线段AB中点的横坐标为1∴点P的横坐标为2这时符合条件的点P只有一个记为P3而当x 2时y -1此时P32-1综上满足条件的点44．2010四川内江如图抛物线y＝x2―2mx―3m m＞0 与x轴交于AB两点与y轴交于C点1抛物线AB两点2△BCM与△A的面积比不变求出这个比值3抛物线答案解1y＝x2―2mx―3m＝m x2―2x―3 ＝m x－1 2―4m∴抛物线―4m 2分∵抛物线y＝x2―2mx―3m m＞0 与x轴交于AB两点∴当y＝0时mx2―2mx―3m＝0∵m＞0∴x2―2x―3＝0解得x1＝－1x2＝3∴AB两点2y＝―3C的坐标为0－3∴S△ABC＝××－3＝6＝6mMD⊥x轴于D ∴S△BCM＝S△＋SOCMD－S△＝ OC＋DM ·OD－OB·OC＝×2×4m＋3m＋4－＝∴ S△BCMS△A＝1 8分3抛物线CN＝OD＝1①如果△BCM是Rt△且∠BMC＝90°时CM2＋BM2＝BC2 即1＋m2＋4＋16m2＝9＋9m2解得m＝±∵m＞0∴m＝∴存在抛物线y＝x2－x使得△BCM是Rt△ 10分②①如果△BCM是Rt△且∠BCM＝90°时BC2＋CM2＝BM2即9＋9m2＋1＋m2＝4＋16m2解得m＝±1∵m＞0∴m＝1∴存在抛物线y＝x2－x－3使得△BCM是Rt△③如果△BCM是Rt△且∠CBM＝90°时BC2＋BM2＝CM2即9＋9m2＋4＋16m2＝1＋m2整理得m2＝－此方程无解∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在或∵9＋9m2＞1＋m24＋16m2＞1＋m2∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在综上的所述存在抛物线y＝x2－x和y＝x2－x－3使得△BCM是Rt△45．2010广东东莞已知二次函数的图象如图所示它与轴的一个交点坐标为－10与轴的交点坐标为03⑴求出bc的值并写出此时二次函数的解析式⑵根据图象写出函数值y为正数时自变量x的取值范围．答案⑴根据题意得解得所以抛物线的解析式为⑵令解得根据图象可得当函数值y为正数时自变量x的取值范围是－1＜＜3．46．2010 福建三明已知抛物线经过点B20和点C08且它的对称轴是直线 1求抛物线与轴的另一交点A坐标2分2求此抛物线的解析式3分3连结ACBC若点E是线段AB上的一个动点与点A点B不重合过点E作EF‖AC交BC于点F连结CE设AE的长为m△CEF的面积为S求S与m之间的函数关系式4在3的基础上试说明S是否存在最大值若存在请求出S的最大值并求出此时点E的坐标判断此时△BCE的形状若不存在请说明理由答案1∵抛物线的对称轴是直线∴由对称性可得A点的坐标为-60 2分2∵点C08在抛物线的图象上将A-60B20代入表达式得解得∴所求解析式为[也可用] 5分3依题意AE m则BE 8-m∵OA 6OC 8∴AC 10∵EFAC ∴≌过点F作FG⊥AB垂足为G则10分4存在理由如下∴当m 4时S有最大值S最大值 8 12分∵m 4∴点E的坐标为-20为等腰三角形14分47．2010湖北襄樊如图7四边形ABCD是平行四边形AB 4OB 2抛物线过ABC 三点与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA 向点A运动运动到点A停止同时一动点Q从点D出发以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动与点P同时停止．1求抛物线的解析式2若抛物线的对称轴与AB交于点E与x轴交于点F当点P运动时间t为何值时四边形POQE是等腰梯形3当t为何值时以PBO为顶点的三角形与以点QBO为顶点的三角形相似图7答案解得∴所求抛物线的解析式为．2将抛物线的解析式配方得．∴抛物线的对称轴为x 2．∴D80E22F20．欲使四边形POQE为等腰梯形则有OP QE．即BP FQ．∴t 6－3t即t ．3欲使以PBO为顶点的三角形与以点QBO为顶点的三角形相似∵∠PBO ∠BOQ 90°∴有或即PB OQ或OB2 PB·QO．①若PQ在y轴的同侧．当PB OQ时t 8－3t∴t 2．时．②若PQ在y轴的侧．当PB OQ时∴t 4．时．∵t 0．故舍去∴t ．∴当t 2或t 或t 4或t 秒时以PBO为顶点的三角形与以点QBO为顶点的三角形相似．48．2010 山东东营如图已知二次函数的图象与坐标轴交于点A-1 0和点B0-5．1求该二次函数的解析式2已知该函数图象的对称轴上存在一点P使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．答案解1根据题意得2分 3分．4分的图象与x轴的另一个交点坐标C5 05分由于P是对称轴上一点连结AB由于要使△ABP的周长最小只要最小6分由于点A与点C关于对称轴对称连结BC交对称轴于点P则 BPPC BC根据两点之间线段最短可得的最小值为BC因而BC与对称轴的交点P就是所求的点8分设直线BC的解析式为根据题意可得解得所以直线BC的解析式为9分因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解解得所求的点P的坐标为2-310分49．2010 四川绵阳如图抛物线y ax2 bx 4与x轴的两个交点分别为A －40B20与y轴交于点C顶点为D．E12为线段BC的中点BC的垂直平分线与x 轴y轴分别交于FG．1求抛物线的函数解析式并写出顶点D的坐标2在直线EF上求一点H使△CDH的周长最小并求出最小周长3若点K在x轴上方的抛物线上运动当K运动到什么位置时△EFK的面积最大并求出最大面积．答案1由题意得解得b －1．所以抛物线的解析式为顶点D的坐标为－1．2设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC即C关于直线EG 的对称点为B连结BD交于EF于一点则这一点为所求点H使DH CH最小即最小为DH CH DH HB BD ．而．∴△CDH的周长最小值为CD DR CH ．设直线BD的解析式为y k1x b则解得 b1 3．所以直线BD的解析式为y x 3．由于BC 2CE BC∕2 Rt△CEG∽△COB得 CE CO CG CB所以 CG 25GO 15．G015．同理可求得直线EF的解析式为y x ．联立直线BD与EF的方程解得使△CDH的周长最小的点H．3设KtxF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．则 KN yK－yN －t ．所以 S△EFK S△KFN S△KNE KNt 3KN1－t 2KN －t2－3t 5 －t 2 ．即当t －时△EFK的面积最大最大面积为此时K－．50．2010 湖北孝感如图已知二次函数图像的顶点坐标为20直线与二次函数的图像交于AB两点其中点A在y轴上1二次函数的解析式为y 3分2证明点不在1中所求的二次函数的图像上3分3若C为线段AB的中点过C点作轴于E点CE与二次函数的图像交于D点①y轴上存在点K使以KADC为顶点的四边形是平行四边形则K点的坐标是 2分②二次函数的图像上是否存在点P使得若存在求出P点坐标若不存在请说明理由4分答案1解3分2证明设点的图像上则有4分整理得∴原方程无解5分的图象上6分说明由从而判断点不在二次函数图像上的同样给分3解①8分②二次函数的图象上存在点P使得如图过点B作轴于F则BFCEAO又C为AB中点9分设由题意有10分解得11分12分说明在求出得到△POE的边OE上的高为16即点P的纵坐标为16然后由可求出P点坐标2010 江苏镇江运算求解已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点1求C1的顶点坐标2将C1向下平移若干个单位后得抛物线C2如果C2与x轴的一个交点为A30求C2的函数关系式并求C2与x轴的另一个交点坐标3若的取值范围答案1 1分轴有且只有一个公共点∴顶点的纵坐标为0∴C1的顶点坐标为10 2分2设C2的函数关系式为把A30代入上式得∴C2的函数关系式为 3分∵抛物线的对称轴为轴的一个交点为A30由对称性可知它与x轴的另一个交点坐标为10 4分3当的增大而增大当 5分52． 2010江苏苏州本题满分9分如图以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知AB两点的坐标分别为 30 04 ．1 求抛物线的解析式2 设M mn 是抛物线上的一点 mn为正整数且它位于对称轴的右侧．若以MBOA为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数求点M的坐标3 在 2 的条件下试问对于抛物线对称轴上的任意一点PPA2PB2PM2＞28是否总成立请说明理由．答案53．2010广东广州2112分已知抛物线y＝－x22x＋2．1该抛物线的对称轴是顶点坐标选取适当的数据填入下表并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象x y 若该抛物线上两点Ax1y1Bx2y2的横坐标满足x1＞x2＞1试比较y1与y2的大小答案解x＝113x －1 0 1 2 3 y －1 2 3 2 －1因为在对称轴x＝1右侧y随x的增大而减小又x1＞x2＞1所以y1＜y2ＣCD 平行于轴交抛物线于点D写出D点的坐标并求ADBC的交点E的坐标3 若抛物线的顶点为ＰＰCＰD可设抛物线的解析式为则解得∴抛物线的解析式为4分⑵的坐标为 5分直线的解析式为直线的解析式为由求得交点的坐标为 8分⑶连结交于的坐标为又∵∴且∴四边形是菱形12分55．2010江苏南京7分已知点A11在二次函数图像上1用含的代数式表示2如果该二次函数的图像与轴只有一个交点求这个二次函数的图像的顶点坐标答案56．2010江苏盐城本题满分12分已知函数y ax2x1的图象与x轴只有一个公共点．1求这个函数关系式2如图所示设二次函数y ax2x1图象的顶点为B与y轴的交点为AP为图象上的一点若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B求P点的坐标3在 2 中若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M试探索点M是否在抛物线y ax2x1上若在抛物线上求出M点的坐标若不在请说明理由．答案解1当a 0时y x1图象与x轴只有一个公共点 1分当a≠0时△ 1- 4a 0a 此时图象与x轴只有一个公共点．∴函数的解析式为y x1 或y x2x13分2设P为二次函数图象上的一点过点P作PC⊥x轴于点C．∵是二次函数由1知该函数关系式为y x2x1则顶点为B-20图象与y轴的交点坐标为A014分∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC ∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA∴故PC 2BC5分设P点的坐标为 xy ∵∠ABO是锐角∠PBA是直角∴∠PBO是钝角∴x -2 ∴BC -2-xPC -4-2x即y -4-2x P点的坐标为 x-4-2x∵点P在二次函数y x2x1的图象上∴-4-2x x2x16分解之得x1 -2x2 -10∵x -2 ∴x -10∴P点的坐标为 -1016 7分3点M不在抛物线上8分由2知C为圆与x 轴的另一交点连接CMCM与直线PB的交点为Q过点M作x 轴的垂线垂足为D取CD的中点E连接QE则CM⊥PB且CQ MQ∴QE‖MDQE MDQE⊥CE∵CM⊥PBQE⊥CE PC⊥x 轴∴∠QCE ∠EQB ∠CPB∴tan∠QCE tan∠EQB tan∠CPBCE 2QE 2×2BE 4BE又CB 8故BE QE∴Q点的坐标为 -可求得M点的坐标为 11分∵≠∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上12分其它解法仿此得分57．2010辽宁市如图平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH点H的坐标为－80点N的坐标为－6－4．1画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC并写出顶点ABC的坐标点M的对应点为A 点N的对应点为B 点H的对应点为C2求出过ABC三点的抛物线的表达式3截取CE OF AG m且EFG分别在线段COOAAB上求四边形BEFG的面积S与m 之间的函数关系式并写出自变量m的取值范围面积S是否存在最小值若存在请求出这个最小值若不存在请说明理由4在3的情况下四边形BEFG是否存在邻边相等的情况若存在请直接写出此时m的值并指出相等的邻边若不存在说明理由．1 利用中心对称性质画出梯形OABC． 1分∵ABC三点与MNH分别关于点O中心对称∴A04B64C80 3分写错一个点的坐标扣1分2设过ABC三点的抛物线关系式为∵抛物线过点A04∴．则抛物线关系式为． 4分将B64 C80两点坐标代入关系式得解得所求抛物线关系式为．7分3∵OA 4OC 8∴AF 4－mOE 8－m． 8分∴OAABOCAFAGOE·OFCE·OA0＜＜4 10分∵．∴当时S的取最小值．又∵0＜m＜4∴不存在m值使S的取得最小值． 2分4当时GB GF当时BE BG．14分的抛物线交轴于点交轴于两点点在点的左侧已知点坐标为1求此抛物线的解析式2过点作线段的垂线交抛物线于点如果以点为圆心的圆与直线相切请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系并给出证明3已知点是抛物线上的一个动点且位于两点之间问当点运动到什么位置时的面积最大并求出此时点的坐标和的最大面积答案1解设抛物线为∵抛物线经过点03∴∴∴抛物线为 2 答与⊙相交证明当时∴为20为60∴设⊙与相切于点连接则∵∴又∵∴∴∽∴∴∴6分∵抛物线的对称轴为∴点到的距离为2∴抛物线的对称轴与⊙相交3 解过点作平行于轴的直线交于点求的解析式为设点的坐标为则点的坐标为∴∵∴当时的面积最大为此时点的坐标为359．2010甘肃兰州本题满分11分如图1已知矩形ABCD的顶点A与点O重合ADAB分别在x轴y轴上且AD 2AB 3抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E401当x取何值时该抛物线的最大值是多少2将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动设它们运动的时间为t秒0≤t≤3直线AB与该抛物线的交点为N如图2所示①当时判断点P是否在直线ME上并说明理由②以PNCD为顶点的多边形面积是否可能为5若有可能求出此时N点的坐标若无可能请说明理由．图1 图2答案经过坐标原点O00和点E40故可得c 0b 4所以抛物线的解析式为1分由得当x 2时该抛物线的最大值是4 2分2①点P不在直线ME上已知M点的坐标为 24 E点的坐标为 40设直线ME的关系式为y kxb于是得解得所以直线ME的关系式为y -2x8 3分由已知条件易得当时OA AP 4分∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y -2x8 [来源ZxxkCom] ∴当时点P不在直线ME上 5分②以PNCD为顶点的多边形面积可能为5∵点A在x轴的非负半轴上且N在抛物线上∴ OA AP t∴点PN的坐标分别为 tt t-t 24t 6分∴ AN -t 24t 0≤t≤3∴ AN-AP -t 24 t - t -t 23 t t 3-t ≥0 ∴ PN -t 23 t7分ⅰ当PN 0即t 0或t 3时以点PNCD为顶点的多边形是三角形此三角形的高为AD∴ S DC·AD ×3×2 3ⅱ当PN≠0时以点PNCD为顶点的多边形是四边形∵ PN‖CDAD⊥CD∴ S CDPN ·AD [3 -t 23 t ]×2 -t 23 t38分当-t 23 t3 5时解得t 129分而12都在0≤t≤3范围内故以PNCD为顶点的多边形面积为5综上所述当t 12时以点PNCD为顶点的多边形面积为5当t 1时此时N点的坐标1310分当t 2时此时N点的坐标2411分说明ⅱ中的关系式当t 0和t 3时也适合故在阅卷时没有ⅰ只有ⅱ也可以不扣分60．2010山东青岛已知把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放点C与点E重合点BCEF在同一条直线上．∠ACB∠EDF 90°∠DF 45°AC 8 cmBC6 cmEF9 cm．△DEF从图1的位置出发以1 cms的速度沿CB△ABC匀速移在△DEF移的同时点P从△ABC的顶点B出发以2 cms的速度沿BA向点A动△DEF的顶点D移动到AC边上时△DEF停止移．DE与AC相交于点Q连接PQ设动时间为ts0＜t＜45．1当t为何值时点A在线段PQ的垂直平分线上2连接PE设四边形APE的面积为ycm2求y与之间的函数关系式是否存在某一时刻t使面积y最小若存在求出y的最小值若不存在说明理由．3是否存在某一时刻t使PQF三点在同一条直线上若存在求出此时t的值若不存在说明理由．答案解1∵点A在线段PQ的垂直平分线上∴AP AQ∵∠DEF 45°∠ACB 90°∠∠ACB＋∠EQC 180°∴∠EQC 45°∴∠DEF ∠EQC∴CE CQ由题意知CE tBP 2 t。
完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-
完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线y=-1/2x向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个单位，得抛物线.2.函数y=-2x+x^2图象的对称轴是x=1，最大值是1.3.正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y=x^2+6x+9.4.二次函数y=-2x+8x-6，通过配方化为y=a(x-2)^2-2的形为.5.二次函数y=ax+c（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是x1+x2=-2a/c.6.抛物线y=ax^2+bx+c当b=0时，对称轴是x=0，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，当a，b异号时，对称轴在x=-b/2a 处.7.抛物线y=-2(x+1)^2-3开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1,-3).如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是x<-1.8.若a5/2a时，函数值随x的增大而减小.9.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）当a>0时，图象的开口向上；当a<0时，图象的开口向下，顶点坐标是(-b/2a,c-b^2/4a).10.抛物线y=-2(x-2)^2+2，开口向下，顶点坐标是(2,2)，对称轴是x=2.11.二次函数y=-3(x-1)^2+2的图象的顶点坐标是（1，2）.12.已知y=(x+1)^2-2，当x≥1时，函数值随x的增大而减小.13.已知直线y=2x-1与抛物线y=5x+k交点的横坐标为2，则k=9，交点坐标为(2,13).14.用配方法将二次函数y=x^2+x-2化成y=a(x-(-1/2))^2-9/4的形式是y=(x+1/2)^2-9/4.15.如果二次函数y=x^2-6x+m的最小值是1，那么m的值是10.二、选择题：16.在抛物线y=2x^2-3x+1上的点是（D）（3，4）17.直线y=5x/2-2与抛物线y=x^2-x的交点个数是（C）2个18.关于抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），下面几点结论中，正确的有（A、B、C）①当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a<0时，情况相反。
二次函数2010年全国各地中考题荟萃
二次函数2010年全国各地中考题荟萃一、选择题1．（2010福建福州）已知二次函数y ＝Ax 2＋Bx ＋C 的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞02．（2010 河北）如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为 （0，3），则点B 的坐标为 A ．（2，3） B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（4，3） 3．（2010 山东莱芜）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数a bx y +=的图象不经过A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．（2010年贵州毕节）函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( )5．（2010年贵州毕节）把抛物线y =x 2+bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y =x 2－3x ＋5，则（ ） A ．b =3，c =7 B ．b =6，c =3 C ．b =-9，c =-5 D ．b =-9，c =216．（2010湖北荆门）二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是A ．ab ＜0B ．ac ＜0C ．当x ＜2时，函数值随x 的增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 的增大而减小D ．二次函数y =ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c =0的根。
7．（2010 四川成都）把抛物线2y x =向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） （A ）21y x =+ （B ）2(1)y x =+ （C ）21y x =- （D ）2(1)y x =- 8．（2010山东潍坊）已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）． A ．－32＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ． x ＜－2或x ＞329．（2010湖北荆州）若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则E （x ，122+-x x ）可以由E （x ，2x ）怎样平移得到？A ．向上平移１个单位B ．向下平移１个单位C ．向左平移１个单位D ．向右平移１个单位10．（2010湖北鄂州）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a 、b 异号；②当x =1和x=3时，函数值相等；③4a +b =0，④当y =4时，x 的取值只能为0．结论正确的个数有（ ） 个A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 11．（2010湖北省咸宁）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是A ．1y ＞2yB ．1y 2y =C ．1y ＜2yD ．不能确定12．（2010北京） 将二次函数y ＝x 2－2x ＋3，化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为（ ）A ．y ＝(x ＋1)2＋4B ．y ＝(x －1)2＋4C ．y ＝(x ＋1)2＋2D ． y ＝(x －1)2＋213．（2010山东泰安）下列函数：①3y x =-；②21y x =-；③()10y x x=-<；④223yx x =-++，其中y 的值随x 值增大而增大的函数有（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 14．（2010四川乐山）.设a 、b 是常数，且b ＞0，抛物线y=ax 2+bx +a 2-5a -6为下图中四个图象之一，则a 的值为（ ）C. 6D. －1 15．（2010黑龙江哈尔滨）在抛物线42-=x y上的一个点是（ ）（A ）（4，4） （B ）（1，－4） （C ）（2，0） （D ）．（0，4） 16．（2010江苏徐州）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2010)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为 A ．向上平移4个单位 B ．向下平移4个单位 C ．向左平移4个单位 D ．向右平移4个单位17．（2010陕西西安）已知抛物线103:2-==x x y C ，将抛物线C 平移得到抛物线C '若两条抛物线C 、C ' 关于直线1=x 对称，则下列平移方法中，正确的是 A ．将抛物线C 向右平移25个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位C ．将抛物线C 向右平移5个单位D ．将抛物线C 向右平移6个单位18．（2010 福建三明）抛物线772--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ）A ．47-≥kB ．47-≥k 且0≠kC ．47->kD ．47->k 且0≠k19．（2010 山东东营） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数ac bx y -=与反比例函数xcb a y +-=在同一坐标系内的图象大致为（ ）（第3题图）xxxx20．（2010安徽蚌埠）已知函数))((3nxmxy---=，并且ba,是方程0))((3=---nxmx的两个根，则实数banm,,,的大小关系可能是A．nbam<<<B．bnam<<<C．nbma<<<D．bnma<<<21．（2010安徽省中中考）若二次函数52++=bxxy配方后为kxy+-=2)2(则b、k的值分别为………………（）A）0.5 B）0.1 C）—4.5 D）—4.122．（2010甘肃兰州）二次函数2365y x x=--+的图像的顶点坐标是A．（-1，8） B．（1，8） C．（-1，2） D．（1，-4）23．（2010甘肃兰州）抛物线cbxxy++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=xxy，则b、c的值为A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=224．（2010甘肃兰州）抛物线cbxaxy++=2图像如图所示，则一次函数24bacbxy+--=与反比例函数a b cyx++=在同一坐标系内的图像大致为第15题图25．（2010江苏盐城）给出下列四个函数：①xy-=；②xy=；③xy1=；④2xy=．0<x时，y随x的增大而减小的函数有A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2010浙江杭州）定义[,,a b c]为函数2y ax bx c=++的特征数, 下面给出特征数为[2m，1 –m , –1–m] 的函数的一些结论：①当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)；②当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于23；③当m < 0时，函数在x >41时，y随x的增大而减小；④当m≠ 0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④31．（2010 浙江台州市）如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线nmxay+-=2)(的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为3-，则点D的横坐标最大值为(▲)A．－3 B．1 C．5 D32．（2010浙江金华）已知抛物线cbxaxy++=2的开口向下,为（2，－3）,那么该抛物线有（）A.最小值－3B. 最大值－3C.最小值D. 最大值233．（2010 山东济南）在平面直角坐标系中，抛物线21y x=-与x轴的交点的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．034．（2010 浙江衢州）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）35.（2010 浙江衢州）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．2225y x=B．2425y x=C．225y x=D．245y x=36．（2010 天津）已知二次函数2y ax bx c=++(0a≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac->；②0abc>；③80a c+>；④930a b c++<．其中，正确结论的个数是（A）1 （B）2（C）3 （D）437．（2010 内蒙古包头）已知二次函数2y ax bx c=++的图象与x轴交于点(20)-，、1(0)x，，且112x<<，与y轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c-+=；②0a b<<；③20a c+>；④210a b-+>．其中正确结论的个数是个．38．（2010广西桂林）将抛物线221216y x x=-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．A．221216y x x=--+B．221216y x x=-+-C．221219y x x=-+-D．221220y x x=-+-39．（2010 四川自贡）y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）。
中考数学复习《二次函数》专项练习题-附带有答案
中考数学复习《二次函数》专项练习题-附带有答案一、选择题1．抛物线y =−2x 2+3的顶点为（ ）. A ．(0，3)B ．(−2，3)C ．(2，3)D ．(0，−3)2．将抛物线y =4x 2向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）． A ．y =4(x +9)2+6 B ．y =4(x −9)2+6 C ．y =4(x +9)2−6D ．y =4(x −9)2−63．一次函数y =ax +b(a ≠0)与二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知二次函数y =ax 2+bx +2（a ≠0），经过点P （m ，12）．当y ≤−1时，x 的取值范围为t −1≤x ≤−3−t ．则如下四个值中有可能为m 的是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．已知点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)在二次函数y =−x 2+2x +4的图象上．若x 1>x 2>1，则y 1 与y 2的大小关系是（ ） A ．y ≥1y 2B ．y 1=y 2C ．y 1>y2D ．y 1<y 26．若抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x =2，p 为这条抛物线的顶点，则点p 关于x 轴的对称点的坐标是（ ） A ．(−2，−4)B ．(−2，4)C ．(2，4)D ．(2，−4)7．巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大喷水高度为3米，此时喷水水平距离为12米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（ ）A ．y =−(x −12)2+3 B ．y =3(x −12)2+1 C ．y =−8(x −12)2+3D ．y =−8(x +12)2+38．已知抛物线y =ax 2+bx +c(a >0)，且a +b +c =−12，a −b +c =−32下列结论：①abc <0，②3a +2b +c >0，③抛物线与x 轴正半轴必有一个交点，④当2≤x ≤3时，y 最小=3a ，⑤抛物线与直线y =x −c ，有一个交点，其中正确结论的个数有（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题9．若关于x 的函数y =(a +1)x 2−2x +3是二次函数，则a 的取值范围是 ． 10．已知二次函数y =2(x +1)2−3，它与y 轴的交点坐标是 . 11．抛物线y =x 2+bx +2的对称轴是直线x =1，那么b 的值为 ． 12．已知二次函数y =−2(x −2)2+m 的图像经过原点，那么m 的值为 ．13．如图1是某地公园的一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，得到函数y =−116x 2，在正常水位时水面宽AB =24米，当水位上升5米时，则水面宽CD = 米．图1 图2 三、解答题14．如图，直线y 1=−x +3与x 轴、y 轴分别相交于B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线y 2=ax 2+bx +c 与x 轴另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线x =2．（1）求抛物线解析式；（2）当y 1<y 2时，直接写出x 的取值范围．15．已知在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点A （2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B ．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．16．小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P.已知篮球运动时的高度y(m)与水平距离x(m)之间x2+x+c．满足函数表达式y=−18（1）求y与x之间的函数表达式；（2）求篮球在运动的过程中离地面的最大高度；（3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC=2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB．17．某校为进一步打造“空中花园”，优化育人环境，增添校园绿色文化，计划到一家花卉种植基地采购甲、乙两种花卉共50盆，其中甲种花卉的数量不超过30盆，且不少于10盆.据了解，甲、乙两种花卉的原价分别是80元/盆、56元/盆.种植基地负责人为了支持学校建设，提供以下优惠：购买几盆甲种花卉，甲种花卉每盆就降几元，乙种花卉按原价购买.设该校购买甲种花卉x盆，请回答以下问题：（1）若该校采购甲、乙两种花卉共花费2880元，求该校分别购买甲、乙两种花卉各多少盆？（2）设购买甲、乙两种花卉共花费w元，求w与x的函数关系式；（3）请预计本次采购该校最少准备多少元，最多准备多少元？x2+bx+c的图象18．如图，一次函数y=−4x−4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=43经过A，B两点，且与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1．A2．B3．D4．A5．D6．C7．C8．C9．a≠−110．(0，−1)11．−212．813．1614．（1）解：由题意B(3，0)，C(0，3)∵抛物线的对称轴x=2，抛物线y=ax2+bx+c与x轴另一交点为A∴A(1，0)设抛物线的解析式为y=a(x−1)(x−3)把C(0，3)代入得到a=1∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3（2）解：当y1<y2时，x<0或x>315．（1）解：∵抛物线的对称轴为x=1∴x=﹣b2a =1，即−b2×(−1)=1，解得b=2．∴y=﹣x2+2x+c．将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．∴抛物线的顶点坐标为（1，3）（2）解：如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．∵M（1，m），C（1，2）∴MC=m﹣2．∴cot∠AMB= CMAC=m﹣2（3）解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上∴抛物线向下平移了3个单位．∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．∵OP=OQ∴点O在PQ的垂直平分线上．又∵QP∥y轴∴点Q与点P关于x轴对称．∴点Q的纵坐标为﹣32．将y=﹣32代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣32，解得：x= 2+√62或x= 2−√62．∴点Q的坐标为（2+√62，﹣32）或（2−√62，﹣32）16．（1）解：∵OP=1∴当x=0时y=1，代入y=−18x2+x+c 解得：c=1∴y与x的函数表达式为y=−18x2+x+1；（2）解：y=−18x2+x+1=−18(x2−8x)+1=−18(x−4)2+3当x=4时，y有最大值3故篮球在运动的过程中离地面的最大高度为3m；（3）解：令y=2.5，则有−18(x−4)2+3=2.5解得x1=2，x2=6根据题意可知x1=2不合题意，应舍去故小亮离小明的最短距离OB为6m．17．（1）解：由题意可得(80−x)x+56(50−x)=2880解得x1=20，x2=4（不符合题意，舍去）∴50−x=30答：该校分别购买甲、乙两种花卉20盆、30盆；（2）解：由题意可得w=(80−x)x+56(50−x)=−x2+24x+2800即w与x的函数关系式是w=−x2+24x+2800（3）解：由（2）知：w=−x2+24x+280=−(x−12)2+2944∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x=12∵10≤x≤30∴当x=12时，w取得最大值2944，当x=30时，w取得最小值2620答：预计本次采购该校最少准备2620元，最多准备2944元.18．（1）解：∵一次函数y=−4x−4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点∴A(−1，0)，C(0，−4)把A(−1，0)，C(0，−4)代入y=43x2+bx+c得∴{43−b+c=0c=−4，解得{b=−83c=−4∴y=43x2−83x−4；（2）解：∵y=43x2−83x−4=43(x−1)2−163∴顶点为D(1，−163)设直线DC交x轴于点E由D(1，−163)，C(0，−4)∴设直线CD 的解析式为y =kx +h ∴{k +h =−163b =−4，解得{k =−43b =−4 ∴可得直线CD 的解析式为y =−43x −4 ∴令y =0，即0=−43x −4，解得x =−3 ∴E(−3，0)令抛物线y =0，即0=43x 2−83x −4 解得x 1=−1 ∴B(3，0) ∴S △EDB =12×6×163=16∴S △ECA =12×2×4=4∴S 四边形ABDC =S △EDB −S △ECA =12； （3）解：设M 、N 的纵坐标为a由B 和C 点的坐标可知BC 所在直线的解析式为：y =43x −4 则M(−4−a 4，a)，N(3a+124，a)①当∠PMN =90°，MN =a +4，PM =−a因为是等腰直角三角形，则−a =a +4，则a =−2，则P 的横坐标为−12即P点坐标为(−12，0)；②当∠PNM=90°，PN=MN同上，a=−2，则P的横坐标为3×(−2)+124=32即P点坐标为(32，0)；③当∠MPN=90°，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ=−a 又PM=PN∴PQ⊥MN，则MN=2PQ，即：a+4=−2a解得：a=−43点P的横坐标为：−4−a+3a+1242=a+44=23即P点的坐标为(23，0)．。
10年二次函数试题精选
2010年中考二次函数试题精选一、选择、填空题1、(10年遵义)如图，两条抛物线12121+-=x y 、12122--=x y 与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．42、（10年桂林）将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．A ．221216y x x =--+B ．221216y x x =-+-C ．221219y x x =-+-D ．221220y x x =-+-3、（10年陕西）10.将抛物线C ：y=x ²+3x-10，将抛物线C 平移到'C 。
若两条抛物线C, 'C 关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是 （ ）A 将抛物线C 向右平移52个单位 B 将抛物线C 向右平移3个单位 C 将抛物线C 向右平移5个单位 D 将抛物线C 向右平移6个单位 4、（10年株洲）已知二次函数()()221y x a a =-+-（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y = .5、（10年镇江市）已知实数y x y x x y x +=-++则满足,033,2的最大值为 .二、解答题1、（10年镇江市）已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个公共点.（1）求C 1的顶点坐标；（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （—3，0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；（3）若n y y C y Q y n P 求实数且上的两点是,,),2(),,(21121>的取值范围.）2、（10年长沙）已知：二次函数22y ax bx =+-的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中0a b >>且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，求| x 1－x 2 |的范围．3、(10年遵义)如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD∥y 轴，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．4、（10年河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =1001 x ＋150， 成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳1001x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．（1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元；（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？5、（10年绵阳）如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y轴交于点C ，顶点为D 。
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第二十六章 二次函数【课标要求】【知识梳理】1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.·2· （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 6.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 7.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121【能力训练】1．二次函数y=－x 2＋6x －5，当x 时， 0<y ，且y 随x 的增大而减小。
2.抛物线)2(22++-=m mx x y 的顶点坐标在第三象限，则m 的值为（ ） A ．21>-<m m 或 B ．10-><m m 或 C ．01<<-m D ．1-<m ． 3．抛物线y=x 2－2x ＋3的对称轴是直线（ ） A ．x =2 B ．x =－2 C ．x =－1 D ．x =14． 二次函数y=x 2+2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 5．抛物线y=x 2－x 的顶点坐标是（ ）·4· 11111A.(1,1) .(,1) .(,) .(,)22424B C D - 6．二次函数c bx ax y ++=2的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a 、b 、c 与0的大小关系是（ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＜0B ．a ＞0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜07．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3．5 t －4．9 t 2(t 的单位s ；h 中的单位：m ）可以描述他跳跃时 重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ） A ．0．71s B ．0.70s C ．0.63s D ．0．36s8．已知抛物线的解析式为y=－（x —2）2＋l ，则抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（－2，1）B ．（2，l ）C ．（2，－1）D ．（1，2）9．若二次函数y=x 2－x 与y=－x 2+k 的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ） A ．这两个函数图象有相同的对称轴 B ．这两个函数图象的开口方向相反 C ．方程－x 2+k=0没有实数根 D ．二次函数y=－x 2＋k 的最大值为1210．抛物线y=x 2 +2x －3与x 轴的交点的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 11．抛物线y=（x —l ）2 +2的对称轴是（ ）A ．直线x =－1B ．直线x =1C ．直线x =2D ．直线x=212．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则在“① a ＜0，②b＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ） A 、①②③④ B 、④ C 、①②③ D 、①④13．已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（ ） A ．l 个 B ．2个 C ．3个 D ．4个14．如图，抛物线的顶点P 的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（）A ．最大值1B ．最小值－3C ．最大值－3D ．最小值115．用列表法画二次函数c bx ax y ++=2的图象时先列一个表，当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ）A．506 B．380 C．274 D．18216．将二次函数y=x2－4x+ 6化为y=(x—h)2+k的形式：y=___________17．把二次函数y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式：y=___________18．若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=___________________（只要求写一个）．19．抛物线y=(x－1)2+3的顶点坐标是____________．20．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为_________.21. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。
(2)若点（x0,y0）在抛物线上，且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。
22．华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数y=162－3x；（1）写出商场每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式；（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？23．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过·6· 程．下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）． 根据图像提供的信息，解答下列问题： （1）求累积利润s （万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？24．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB 的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD 的宽为10米，（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥280千米，（桥长忽略不计）货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时25.0米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在CD 处），当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？)25.已知直线y＝－2x＋b(b≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y ＝x2－(b＋10)x＋c.⑴若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y＝－2x＋b上，试确定这条抛物线的解析式；⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y ＝－2x＋b的解析式.26．已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，其中x l<x2．(1)求m的取值范围；(2)若x12+ x22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；·8·27．如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6)，且AB=210 .（1）求点B的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBD=12S梯形ABCD。