2等腰三角形复习课

1． 几何变换作图与计算2． 全等三角形与轴对称、旋转、平移变换的综合应用模块一 全等三角形与轴对称☞角平分线类“角”是轴对称图形，对称轴为角平分线所在的直线。

因此在遇见与角平分线有关问题的时候，可以有下面几个基本解题思路：①平分角；②角平分线上点到角两边的距离相等； ③沿角平分线进行翻折。

例题精讲中考要求重难点全等与几何变换【例1】 如图，P 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线AD 上的点（不与A 重合）求证：PB PC AB AC +>+EDP CBA【巩固】如图，在ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是AC 上一点，AE BD ⊥交BD 的延长线于E ，且12AE BD =．求证：BD 是ABC ∠的角平分线．DECBA【例2】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明。

ODECB A【巩固】如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =．DFECBA【例3】 如图，在Rt ABC ∆中，AD 是斜边BC 上的高，BE 是ABC ∠的平分线，AD 交BE 于O ，EF AD ⊥于F ，求证：AF OD =．O F DECBA 21☞垂直平分线类垂直平分线：“垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等”，主要是转化线段之间的关系，尤其是在轴对称有关作图中，应用更为广泛【例4】 如图ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F .⑴说明BE CF =的理由；⑵如果AB a =，AC b =，求AE ，BE 的长.GFE DC BA【巩固】如图，已知ABC △中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． ⑴求证：BF AC =； ⑵求证：12CE BF =； ⑶CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论．DEF HGCBA☞构造等腰三角形类构造等腰三角形类的主要方法有两种：①是将直角三角形沿着某一直角边翻折；②是截取等长线段 【例5】 如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．D C BA【巩固】如图，在ABC △中，46ABC ∠=︒，D 是BC 边上一点，DC AB =，21DAB ∠=︒，试确定CAD ∠的度数．ABCD☞构造等边三角形类构造等边三角形类的方式主要有两种：①直接以某一线段长为边，直接构造等边三角形；②作等腰三角形，然后利用题目给出的特殊角，如60︒，证明此等腰三角形为等边三角形【例6】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是ABC ∆外的一点，且60ABD ∠=，60ACD ∠=．求证：BD DC AB +=．DCBA【巩固】如图，BD 是ABC ∆的角平分线，60A ∠=︒ ，2AD CD AB += ,判断ABC ∠的度数并说明理由。

答：ABC ∠= 证明：DCBA【巩固】如图，在等腰ABC △中，AB AC =，顶角20A =︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠的度数。

DCBA模块二 全等三角形与旋转☞全等三角形与旋转的性质一般涉及到旋转有关问题时，都会用到:旋转前后，图形对应全等，由此转化线段与角的对应关系 【例7】 如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC CE =，123∠=∠=∠，则DE 的长等于（ ）F321E DC BAA.DCB.BCC.ABD.AE AC +☞倍长中线类倍长中线是我们耳熟能详的一种辅助线的作法，其实此作法最主要是通过旋转的方式，构造出一对“8”字型全等三角形，从而转化线段与角的数量关系【例8】 在后面的学习中，我们会学习到与直角三角形斜边上有关的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用数学语言改编如下：已知：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为斜边AB 的中点，证明:12CD AB =DC BA【巩固】在《四边形》这一章中，我们会学习到中位线的概念以及性质中位线的概念：三角形两边中点的连线，我们称之为三角形的中位线 中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 用数学语言改编如下：如图，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，E 为AC 的中点 证明：DE BC ∥，12DE BC =ED CBA【巩固】两个全等的含30︒、60︒角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME 、MC ，试判断EMC ∆的形状，并说明理由．AE CBMD☞一般等腰三角形旋转一般等腰三角形旋转的问题主要有：①通过对等腰三角形旋转，构造全等三角形；②通过对一般三角形旋转构造等腰三角形【例9】 如图，ABC ∆中，AB AC =，DE BC ∥,将ADE ∆绕点A 逆时针旋转到如图所示位置求证：BD CE =，ABD ACE ∠=∠EDCB AEDCBA【巩固】如图，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点,M N 分别在,AB AC 上，则AMN ∆的周长是 ．NMDCBA☞等腰直角三角形旋转等腰直角三角形旋转有关问题要充分考虑到：“边相等”“角相等”，还有斜边上的中线，这条特殊的线段，尤其是涉及到斜边中点的时候，基本上都会连接这条中线【例10】 如图，在Rt ABC △中，AB ＝AC ，A ∠＝90，D 为BC 上任意一点，且DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，试判断MEF △是什么形状的三角形，并证明你的结论．MF ED CBA【巩固】已知：在Rt ABC ∆中，AB BC =，在R t A D E ∆中，AD DE =，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．⑴ 若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明； ⑵ 如果将图①中的ADE ∆绕点A 逆时针旋转小于45︒的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．ABCDEMABCDEM☞等边三角形旋转【例11】 如图，已知四边形ABCD 中，,60AB AD BAD =∠=，120BCD ∠=，证明：BC DC AC +=．DCBA☞三垂直全等及三垂直的变形三垂直模型及其变形最主要的是转化角度之间的关系【例12】 在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过C 点，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．⑴当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置时，求证：DE AD BE =+； ⑵当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE AD BE =-；⑶当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时，试问：DE 、AD 、BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图③NM ED CBAABCDE MN图②图①NMEDCA【巩固】如图，CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =，E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在直线CD 上，请解决下面两个问题：①如图①，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，则BE CF ；EFAF-（填“>”、“<”、“=”）； ②如图②，若0180BCA ︒<∠<︒，请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．（2）如图③，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请提出EF 、BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图③图②图①D F AEC BFEDBA CF EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB BC CA ==，AE CD =，AD ，BE 相交于P ，BQ 垂直AD 于Q求证：2BP PQ =．P QEDCBA模块三 全等三角形与平移平移的基本思路是通过平移，将有关系但又不在一起的量集中起来，且对应边平行且相等 【例13】如图所示，在ABC ∆的边BC 上取两点D 、E ，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．AB CD E【巩固】如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上的一点，且AM BC =；N 为BC 上的一点，且CN BM =．连接AN 、CM 交于点P ，求证：45APM ∠=︒．PN M CBA1.如图，ABC △中，AB AC =，点P 、Q 分别在AC 、AB 边上，且AP PQ QB BC ===，则A ∠的大小是 ．QPCB A2. 如图，在Rt ABC △中，AB ＝AC ，A ∠＝90，D 为BC 上任意一点，且DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，试判断MEF △是什么形状的三角形，并证明你的结论．MF ED CBA课堂检测1．在ABC∆中，AB AC=，AB的延长线上截取E，D，有ED DA EC BC===．求证：100BAC∠=︒．EDC BA课后作业。