广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷(理科)

广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）已知全集U={0，±1，±2}，集合M={0}，则∁U M=（）A．{±1，±2} B．{0，±1，±2} C．{0，±1} D．{0，±2}2．（5分）复数（2+i）i的虚部是（）A．1B．﹣1 C．2D．﹣23．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值是（）A．7B．67 C．39 D．15254．（5分）等比数列{a n}中，a3=﹣3，则前5项之积是（）A．35B．﹣35C．36D．﹣365．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．16πC．D．8π6．（5分）向量=（0，1，﹣1），=（0，1，0），则与的夹角为（）A．0°B．30°C．45°D．60°7．（5分）在区间[0，2]上随机取两个数x，y其中满足y≥2x的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）下列命题中是真命题的是（）A．∀α、β∈R，均有cos（α+β）=cosα﹣cosβB．若f（x）=cos（2x﹣φ）为奇函数，则φ=kπ，k∈ZC．命题“p”为真命题，命题“q”为假命题，则命题“￢p∨q”为假命题D．x=0是函数f（x）=x3﹣2的极值点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，考生作答6小题，满分25分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．（5分）不等式|3x﹣4|≤4的解集是．10．（5分）的展开式中x3的系数为10，则实数a=．11．（5分）=．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：x2=﹣2py（p＞0）的焦点F，点M（p，y M）∈C，若M为圆心的圆与曲线C的准线相切，圆面积为36π，则p=．（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB=12，直角边AC=6，如果以C为圆心的圆与AB 相切于D，则⊙C的半径长为．（极坐标选做题）15．以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为，则曲线C上的点B与点A距离的最大值为．三、解答题：本题共有6个小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cosx+2cos2x，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知f（）=，α∈[0，π]，求cos（α+）的值．17．（12分）某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查，对15～65岁的人群随机抽取1000人的样本，进行了一次“是否是电影明星追星族”调查，得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和“追星族”统计表：“追星族”统计表组数分组“追星族”人数占本组频率一[15，25） a 0.75二[25，35）200 0.40三[35，45） 5 0.1四[45，55） 3 b五[55，65] 2 0.1（1）求a，b的值．（2）设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体，ξ表示其中“追星族”的人数，求ξ分布列、期望和方差．18．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、C1D1、DC中点，AB=2，AD=，AC1=3（1）求证：C1E∥平面AFC．（2）求二面角F﹣AC﹣G的正切值．19．（14分）已知数列{a n}，a n≠2，a n+1=，a1=3．（1）证明：数列{}是等差数列．（2）设b n=a n﹣2，数列{b n b n+1}的前n项和为S n，求使（2n+1）•2n+2•S n＞（2n﹣3）•2n+1+192成立的最小正整数n．20．（14分）焦点在x轴的椭圆C1：+=1（3≤a≤4），过C1右顶点A2（a，0）的直线l：y=k（x﹣a）（k＞0）与曲线C2：y=x2﹣相切，交C1于A2、E二点．（1）若C1的离心率为，求C1的方程．（2）求|A2E|取得最小值时C2的方程．21．（14分）已知函数f（x）=（1）若函数f（x）在（a﹣1，a+1）（a＞1）上有极值点，求实数a的范围．（2）求证：x≥1时，x（x+1）f（x）＞．广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）已知全集U={0，±1，±2}，集合M={0}，则∁U M=（）A．{±1，±2} B．{0，±1，±2} C．{0，±1} D．{0，±2}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：利用补集的定义及运算法则求解．解答：解：∵全集U={0，±1，±2}，集合M={0}，则∴∁U M={±1，±2}．故选：A．点评：本题考查集合的补集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）复数（2+i）i的虚部是（）A．1B．﹣1 C．2D．﹣2考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：先将复数化简为代数形式，再根据复数虚部的概念作答．解答：解：（2+i）i=2i+i2=﹣1+2i，根据复数虚部的概念，虚部是2故选C点评：本题考查了复数的计算，复数的实部、虚部的概念．属于基础题，复数z=a+bi（a，b∈R）的实部为a，虚部为b（勿记为bi）．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值是（）A．7B．67 C．39 D．1525考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：通过循环，计算s，k的值，当k=4时退出循环，输出结果即可．解答：解：k=1，满足判断框，第1次循环，s=2，k=2，第2次判断后循环，s=6，k=3，第3次判断并循环s=39，k=4，第3次判断退出循环，输出S=39．故选：C．点评：本题考查循环结构，注意循环条件的判断，循环计算的结果，考查计算能力．4．（5分）等比数列{a n}中，a3=﹣3，则前5项之积是（）A．35B．﹣35C．36D．﹣36考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设{a n}是等比数列的公比为q，则前5项之积是（a1）5q1+2+3+4=（a3）5，即可得出结论．解答：解：设{a n}是等比数列的公比为q，则前5项之积是（a1）5q1+2+3+4=（a3）5=﹣35，故选：B．点评：本题考查等比数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．16πC．D．8π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，圆锥的底面直径为4，则底面半径r=2，高h=4，故该几何体的体积V==，故选：A．点评：本题考查学生的空间想象能力，分析出几何体是形状是解答的关键，难度不大，是基础题．6．（5分）向量=（0，1，﹣1），=（0，1，0），则与的夹角为（）A．0°B．30°C．45°D．60°考点：空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：利用向量的夹角公式即可得出．解答：解：设与的夹角为θ．=1，=，．∴cosθ===，∵θ∈[0，π]，∴θ=45°．故选：C．点评：本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．7．（5分）在区间[0，2]上随机取两个数x，y其中满足y≥2x的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．解答：解：在区间[0，2]上随机取两个数x，y，对应区域的面积为4，满足y≥2x，对应区域的面积为=1，∴所求的概率为．故选：B．点评：本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是准确求出区域的面积，属于中档题．8．（5分）下列命题中是真命题的是（）A．∀α、β∈R，均有cos（α+β）=cosα﹣cosβB．若f（x）=cos（2x﹣φ）为奇函数，则φ=kπ，k∈ZC．命题“p”为真命题，命题“q”为假命题，则命题“￢p∨q”为假命题D．x=0是函数f（x）=x3﹣2的极值点考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，举例说明，令α=，β=，验证即可；B，f（x）=cos（2x﹣φ）为奇函数⇒﹣φ=kπ+，k∈Z，从而可判断其正误；C，命题“p”为真命题⇒￢p为假命题，利用命题真值表判断即可；D，f′（x）=3x2≥0恒成立，可知函数f（x）=x3﹣2在R上单调递增，无极值点．解答：解：A，α=，β=时，cos（+）=0≠cos﹣cos，故A错误；B，若f（x）=cos（2x﹣φ）为奇函数，则﹣φ=kπ+，k∈Z，φ=﹣kπ﹣，k∈Z，故B错误；C，命题“p”为真命题，命题“q”为假命题，则￢p为假命题，故命题“￢p∨q”为假命题，正确；D，∵f′（x）=3x2≥0恒成立，故函数f（x）=x3﹣2在R上单调递增，无极值点，故D错误．综上所述，命题中是真命题的是C，故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考全称命题的真假判断及真值表的应用，考查余弦函数的奇偶性及函数的单调性与极值，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，考生作答6小题，满分25分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．（5分）不等式|3x﹣4|≤4的解集是{x|0≤x≤}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：首先对不等式去绝对值可得到﹣1≤x﹣2≤1，然后求解x的取值范围即得到答案．解答：解：由不等式|3x﹣4|≤4，首先去绝对值可得到﹣4≤3x﹣4≤4；移项后得：0≤3x≤8解得：0≤x≤．故答案为：{x|0≤x≤}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解．计算量小较容易．10．（5分）的展开式中x3的系数为10，则实数a=2．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，列出方程求出a的值．解答：解：∵T r+1=C5r•x5﹣r•（）r=a r C5r x5﹣2r，又令5﹣2r=3得r=1，∴由题设知C51•a1=10⇒a=2．故答案为2点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题．11．（5分）=e﹣1．考点：定积分．专题：计算题．分析：由于=，即可得出答案．解答：解：∵（e x）′=e x，∴=e﹣1．故答案为e﹣1．点评：理解微积分基本定理是解题的关键．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，代入目标函数的解析式，分别求出对应的函数值，比较后可得答案．解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示，∵目标函数z=x+y∴z O=0+0=0，z A=0+1.5=1.5，z B=1+2=3，故目标函数z=x+y的最大值为3故答案为：3点评：本题考查的知识点是简单线性规划，角点法是解答此类问题最常用的方法，常用来求解选择和填空题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：x2=﹣2py（p＞0）的焦点F，点M（p，y M）∈C，若M为圆心的圆与曲线C的准线相切，圆面积为36π，则p=6．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出圆的半径，M为圆心的圆与曲线C的准线相切，可得M到准线的距离为6，再结合M（p，y M）∈C，即可求出p的值．解答：解：∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，∵M为圆心的圆与曲线C的准线相切，∴M到准线的距离为6，∴﹣y M=6，∵M（p，y M）∈C，∴y M=﹣，∴p=6，故答案为：6．点评：本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB=12，直角边AC=6，如果以C为圆心的圆与AB 相切于D，则⊙C的半径长为．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．专题：直线与圆．分析：在Rt△ABC中，利用勾股定理即可得出BC．又AB与⊙C相切与点D，连接CD，得到CD⊥AB．利用S△ABC=，即可得出⊙C的半径CD．解答：解：在Rt△ABC中，斜边AB=12，直角边AC=6，∴==6．∵AB与⊙C相切与点D，连接CD，∴CD⊥AB．∴S△ABC=，∴=．∴⊙C的半径长为．故答案为．点评：熟练掌握勾股定理、圆的切线的性质和“等面积变形”是解题的关键．（极坐标选做题）15．以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为，则曲线C上的点B与点A距离的最大值为5．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把参数方程、极坐标化为直角坐标方程，求得A到圆心C的距离AC，再加上半径，即为所求．解答：解：把点A的极坐标（2，）化为直角坐标为（2，2），把曲线C的参数方程为，消去参数，化为直角坐标方程为（x﹣2）2+（y+2）2=1，表示以C（2，﹣2）为圆心、半径等于1的圆．求得AC=4，则曲线C上的点B与点A距离的最大值为AC+r=4+1=5，故答案为：5．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，点和圆的位置关系，属于基础题．三、解答题：本题共有6个小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cosx+2cos2x，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知f（）=，α∈[0，π]，求cos（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用三角恒等变换化简f（x），求出它的最小正周期；（2）由f（）=求出sin（α+）的值，考虑α的取值范围，求出α+的取值范围，从而求出cos（α+）的值．解答：解：（1）f（x）=2sinx•cosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2（sin2x+cos2x）+1=2sin（2x+）+1，x∈R∴f（x）的最小正周期为T==π．（2）∵f（）=2sin[2（）+]+1=2sin（α+）+1=，∴，∵α∈[0，π]，∴，∴，∴时，，∴．点评：本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的求值问题，解题时应注意三角函数的化简以及由值求角和由角求值时角的范围，是中档题．17．（12分）某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查，对15～65岁的人群随机抽取1000人的样本，进行了一次“是否是电影明星追星族”调查，得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和“追星族”统计表：“追星族”统计表组数分组“追星族”人数占本组频率一[15，25） a 0.75二[25，35）200 0.40三[35，45） 5 0.1四[45，55） 3 b五[55，65] 2 0.1（1）求a，b的值．（2）设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体，ξ表示其中“追星族”的人数，求ξ分布列、期望和方差．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图能求出a=300，b=0.1．（2）．由[45，65]范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为，ξ～B（2，），由此能求出ξ分布列、期望和方差．解答：（本小题满分12分）解：（1）由题设知[15，25）这组人数为0.04×10×1000=400，…（1分）故a=0.75×400=300，…（2分）[45，55）这组人数为0.003×10×1000=30，故b=…（3分）综上，a=300，b=0.1．…（4分）（2）．由[45，65]范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为，ξ～B（2，）…（6分）故ξ的分布列是：ξ0 1 2p 0.81 0.18 0.01…（8分）ξ的期望是…（10分）ξ的方差是…（12分）点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的求法，是中档题，解题时要注意二项分布的性质的合理运用．18．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、C1D1、DC中点，AB=2，AD=，AC1=3（1）求证：C1E∥平面AFC．（2）求二面角F﹣AC﹣G的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知条件推导出四边形AEC1F是平行四边形，由此能证明C1E∥平面AFC．（2）由已知得FG⊥平面ABCD，过F做FH⊥AC于H，又AC⊥FG，由已知得∠FHG就是二面角F﹣AC﹣G的平面角，由此能求出二面角F﹣AC﹣G的正切值．解答：（本小题满分14分）（1）证明：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵E、F分别为AB、C1D1中点，∴AE∥C1F且AE=C1F，∴四边形AEC1F是平行四边形，∴C1E∥AF，…（3分）∵AF⊂平面AFC，C1E⊄平面AFC，∴C1E∥平面AFC．…（5分）（2）解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，F、G分别为C 1D1、DC中点，，∴FG⊥平面ABCD，…（7分）过F做FH⊥AC于H，又AC⊥FG，∴AC⊥平面FGH，∴GH⊥AC，∴∠FHG就是二面角F﹣AC﹣G的平面角，…（9分）∵，在△ACG中，GH•AC=AD•CG，∴，…（11分）∴直角三角形FGH中，…（13分）∴二面角F﹣AC﹣G的正切值为．…（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（14分）已知数列{a n}，a n≠2，a n+1=，a1=3．（1）证明：数列{}是等差数列．（2）设b n=a n﹣2，数列{b n b n+1}的前n项和为S n，求使（2n+1）•2n+2•S n＞（2n﹣3）•2n+1+192成立的最小正整数n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的定义，进行证明即可；（2）确定数列{b n b n+1}的通项，利用裂项法求和，即可得出结论．解答：（1）证明：由得…（2分）∵a n≠2，∴，∴…（5分）∴数列是公差为2的等差数列．…（6分）（2）解：由①知…（7分）∴，∴…（9分）∴=…（11分）故等价于n•2n+2＞（2n﹣3）•2n+1+192即2n+1＞64=26，故n＞5…（13分）∴使成立的最小正整数n=6．…（14分）点评：本题考查等差数列的证明，考查数列通项公式及其前n项和公式的求法，其中涉及错裂项法求和在问题中的应用．20．（14分）焦点在x轴的椭圆C1：+=1（3≤a≤4），过C1右顶点A2（a，0）的直线l：y=k（x﹣a）（k＞0）与曲线C2：y=x2﹣相切，交C1于A2、E二点．（1）若C1的离心率为，求C1的方程．（2）求|A2E|取得最小值时C2的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由C1的离心率得a2=9，即可求出C1的方程．（2）利用韦达定理，表示出|A2E|，利用换元，导数法，即可求|A2E|取得最小值时C2的方程．解答：解：（1）由C1的离心率得a2=9…（2分）∴…（3分）（2）l与C2方程联立消y得由l与C2相切知△=k2﹣3ak=0，由k＞0知k=3a…（5分）l与C1方程联立消y得（4+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣4a2=0…①…（6分）设点E（x E，y E），则∵l交C1于A2、E二点，∴x E、a是①的二根，∴，故…（8分）∴=…（10分）令t=a2∈[9，16]，则令，则在t∈[9，16]上恒成立故f（t）在[9，16]上单减…（12分）故t=16即a=4，k=12时f（t）取得最小值，则|A2E|取得最小值此时…（14分）点评：本题考查椭圆、抛物线的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，难度大．21．（14分）已知函数f（x）=（1）若函数f（x）在（a﹣1，a+1）（a＞1）上有极值点，求实数a的范围．（2）求证：x≥1时，x（x+1）f（x）＞．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．分析：（1）求导数，确定函数的单调性，利用函数f（x）在（a﹣1，a+1）（a＞1）上有极值点，建立不等式，即可求实数a的范围．（2）设h（x）=x（x+1）f（x）﹣，则h′（x）=2++lnx+，证明h（x）在[1，+∞）上单调递增，即可得出结论．解答：（1）解：∵f（x）=，∴f′（x）=﹣，∴（0，1）上，f′（x）＞0，（1，+∞）上，f′（x）＜0，∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∵函数f（x）在（a﹣1，a+1）（a＞1）上有极值点，∴，∴1＜a＜2；（2）证明：设h（x）=x（x+1）f（x）﹣，则h′（x）=2++lnx+∵x≥1，∴h′（x）＞0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=2﹣＞0，∴x≥1时，x（x+1）f（x）＞．点评：本题考查函数的单调性，考查函数的极值，考查不等式的证明，正确运用函数的单调性是关键．。