2015届高考数学总复习 第五章 第五节数列的求和课时精练试题 文(含解析)

1.(2012·佛山二模)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，且a 1＝10，a 2＝9，那么下列不等式中不成立的是( )A ．a 10＋a 11>0B ．S 21<0C ．a 11＋a 12<0D ．n ＝10时，S n 最大解析：依题意可得d ＝－1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－n ，所以a 10＝1，a 11＝0，a 12＝－1，a 10＋a 11>0，S 21＝21a 11＝0，a 11＋a 12＝－1<0，n ＝10或11时，S n 最大．故选D.答案：D 2．(2013·皖北模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42解析：∵{a n }成等差数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列． ∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)．即2×(10－2)＝2＋S 6－10.∴S 6＝24. 故选C. 答案：C3．(2013·江南十校联考)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n解析：a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .故选C.答案：C4．(2013·浙江省五校联盟下学期第一次联考)已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．85B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4得a 3＝2，由a 3＋a 5＝10，得a 4＝5，设公差为d ，则d ＝a 4－a 3＝3，所以a 5＝8，a 6＝11，所以S 10＝a 1＋a 102＝a 5＋a 62＝95.故选C.答案：C5．(2012·北京海淀区模拟)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：由a 5a 2n －5＝22n (n ≥3)，得a 2n ＝22n ，a n >0，则a n ＝2n.所以log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n－1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.故选C.答案：C6．(2013·西安模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：∵1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n－1，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－2－n .若S n >1 020，则2n ＋1－2－n >1 020，∴n ≥10. 故选D. 答案：D7．(2013·福州质检)在正项等比数列{a n }中，已知a 3·a 5＝64，则a 1＋a 7的最小值为( )A ．64B ．32C ．16D ．8解析：a 1＋a 7≥2a 1a 7＝2a 3a 5＝264＝16，当且仅当a 3＝a 5＝8时，a 1＋a 7取得最小值16，此时数列{a n }是常数列．答案：C8．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n 4D ．n 2＋n解析：设数列的公差为d ，则根据题意得()2＋2d 2＝2()2＋5d ，解得d ＝12或d ＝0(舍去)，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋n n －2×12＝n 24＋7n4.故选A.答案：A9．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为________．解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.答案：12010．观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 …则第________行的各数之和等于2 0092.答案：1 00511．(2012·汕头模拟)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第5件工艺品所用的宝石数为______颗；第n 件工艺品所用的宝石数为______________颗(结果用n 表示)．答案：66 2n 2＋3n ＋112．(2013·苏州模拟)定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 122 1＝1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n ＋1＝12(n ∈N *)，则a 3＝________，数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：由题意得a 1－1＝1,3a n ＋1－3a n ＝12即a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4. ∴{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，a 3＝4×3－2＝10. 答案：10 4n －213．(2013·佛山一模)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且b 1，b 3，b 11成等比数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b na n，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n，又a 1＝S 1＝21＋1－2＝2，也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.b 1＝a 1＝2，设公差为d ，由b 1，b 3，b 11成等比数列，得(2＋2d )2＝2×(2＋10d )，化为d 2－3d ＝0. 解得d ＝0(舍去)或d ＝3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可得C n ＝b n a n ＝3n －12n ，则T n ＝221＋522＋823＋…＋3n －12n ，∴2T n ＝2＋521＋822＋…＋3n －12n －1，两式相减得T n ＝2＋321＋322＋…＋32n －1－3n －12n ，＝2＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－3n －12n ＝5－3n ＋52n .14．(2013·河南六市第二次联考文改编)在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列．(1)已知数列{a n }的前6项和为23，求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差．解析：设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得a 24＝a 1a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋7d )，所以a 21＋6a 1d ＋9d 2＝a 21＋7a 1d ，而d ≠0， 所以a 1＝9d .(1)由数列{a n }的前6项和为23，可得S 6＝6a 1＋6×52d ＝23，即6a 1＋15d ＝23，故d ＝13，a 1＝3，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×13＝13(n ＋8)(n ∈N *)．(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫19d －19d ＋nd ＝1d 219－1n ＋9＝19－1n ＋9， 所以d 2＝1，即d ＝1或d ＝－1. 15．(2012·东莞一模)已知函数f (x )＝log 3(ax ＋b )的图象经过点A (2,1)和B (5,2)，记a n ＝3f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若T n ＜m (m ∈Z )对n ∈N *恒成立，求m 的最小值．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ log 3a ＋b ＝1，log 3a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， 所以f (x )＝log 3(2x －1)，a n ＝3log 3(2n －1) ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝2n －12n ，所以T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，①12T n ＝122＋323＋…＋2n －52n －1＋2n －32n ＋2n －12n ＋1.② ①－②得 12T n ＝121＋222＋223＋…＋22n －1＋22n －2n －12n ＋1＝121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋122＋…＋12n －2＋12n －1－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1. 所以T n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，设f (n )＝2n ＋32n (n ∈N *)，则由f n ＋fn ＝2n ＋52n ＋12n ＋32n ＝2n ＋5n ＋＝12＋12n ＋3≤12＋15＜1，得f (n )＝2n ＋32n (n ∈N *)随n 的增大而减小，T n 随n 的增大而增大． 所以当n →＋∞时，T n →3，又T n ＜m (m ∈Z )恒成立，所以m 的最小值为3.。