数学二轮专题复习：第2课时 常用逻辑用语

第二课时 常用逻辑用语
考点1、命题的四种形式
1、给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 ．
2、命题“,221a b a b >>-则”的否命题是____________________________________．
3、给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是 ． （1） 若Z k k ∈=-=,2,cos cos πβαβα则； （2） 函数)3
2cos(2π
+
=x y 的图象关于x=
12
π
对称； （3） 函数))(cos(sin R x x y ∈=为偶函数； （4） 函数||sin x y =是周期函数，且周期为2π； 考点2、必要条件、充分条件、充分必要条件
4、命题:p 2{|0}a M x x x ∈=-<；命题:q {|||2}a N x x ∈=<， p 是q 的 条件．
（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要选择）
5、已知p ：一4＜x －a ＜4，q ：(x 一2)(3一x)＞0，若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是
6、若f (x )是R 上的增函数，且f (-1)=-4, f (2)=2，
设(){}(){}|2,|4P x f x t Q x f x =+<<-＝，若x P x
Q ∈∈“”是“”的 7、条件P ：21>+x ，条件Q ：
13>-x
，则P ⌝是Q ⌝的 条件（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要选择）
8、已知命题;2|2:|≥-x p 命题Z x q ∈:．如果”“”“q q p ⌝与且同时为假命题，则满足条件的x 的集合为 ． 考点4、全称量词与存在量词
9、若命题2:,210p x x ∀∈+>R ，则该命题的否定是
10、若命题“x ∃∈R ，使得2(1)10x a x +-+
<”是真命题，则实数a 的取值范围是 .
二 感悟解答
1、答：1；解析：设(),,m n
f x x m n =其中都是整数且
m
n
不可约，分别就正负与奇偶情况明确幂函数的单调性、奇偶性及图象所在限象，判断出原命题正确，可知它的逆否命题也正确；而其逆命题“若函数()y f x =的图象不过第四象限，则函数()y f x =是幂函数”为假，故其否命题亦假。

对于四种命题的真假判断，要充分利用原命题与其逆否命题等价，否命题与逆命题等价。

2、答： “,221a b a b ≤≤-则”．解析：否命题是把原命题的条件和结论交换并且否定。

3、答：（1）（2）（4）
解析：此类命题的判断需注意各部分基础知识的运用，（1）中的角αβ与终边相同或关于x 轴对称；（2）中把相位23x π+看成一个整体，解2,,3
x k k Z π
π+=∈得对称轴方程的一般形式为1,,26
x k k Z π
π=
-∈（4）中注意到||x 现象，偶函数而失去了周期性。

4、答：充分不必要；解析：首先理解原理：p q ⇒所包含的条件意义为p 是q 成立充分条
件，也说q 是p 成立的必要条件，化简两个集合{|01}M x x =<<，{|22}N x x =-<<，这里集合M N 是的真子集，因而命题p 是q 的充分不必要条件。

5、答：16a -≤≤
解析：化简
:44p x a x a ⌝
≤-≥+或，:23q x x ⌝≤≥或，画数轴比较区间的端点可
知条件转化为4243a a -≤+≥且，求得16a -≤
≤
6、答：3t >；解析：注意利用“增函数”这个函数性质的功能，把函数值的大小关系转化为对应自变量的关系，由()2(2)f x t f +<=得2x t +<即2x t <-由()4(1)f x f <-=-得1x <-，画数轴比较区间端点可得21t ->-得3t >
7、答案：充分不必要；解析：条件P 化简为31x x <->或，命题Q 化简为23x << 8、答：｛１，２，３｝；解析：分析条件”“”“q q p ⌝与且同时为假命题，“”p q 且可化为
40x x ≥≤或且x Z ∈，即不小于4的整数，或者不大于0的整数，因此“”p q 且为假命题
可化为04x <<或者大于4的非整数及小于0的非整数；“”q ⌝是假命题即为x Z ∈。

因此
”“”“q q p ⌝与且同时为假命题，是指满足04x <<的整数。

9、答：2,210x x ∃∈+≤R ；解析：注意量词的变化。

10、答：(,1)-∞-∪(3,)+∞
解析：对于存在性命题，只需能找到某个元素0x x =，使得命题0()p x 成立，本问题中只须0∆>。

问题改为“x ∃∈R ，使得2(1)10x a x +-+<”是假命题呢？
三 范例剖析
例1 下列四种说法：
①命题“∃x ∈R ，使得x 2
＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2
＋1≤3x ”；
②“m =－2”是“直线(m ＋2)x ＋my ＋1=0与直线（m －2）x ＋(m ＋2)y －3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③在区间[－2，2]上任意取两个实数a ，b ，则关系x 的二次方程x 2
＋2ax －b 2
＋1=0的两根都为实数的概率为16
1π
-；
④过点（
12，1）且与函数y=1
x
图象相切的直线方程是4x ＋y －3=0． 其中所有正确说法的序号是 ．
类题：给出下列命题：
①若条件P ：x ∈(A ⋂B) ，则 ⌝ P 是x ∉A 且 x ∉B
②已知函数2),0()0)(sin(2=<<>+=y x y 其图象与直线为偶函数πθϖθω的交点的横坐标为θωπ,2,||.,2121的值为则的最小值为若x x x x -的值为2
π
； ③若函数)1lg()(+=ax x f 的定义域是}1|{<x x ，则1-<a ；
④圆：054102
2
=-+-+y x y x 上任意点M 关于直线25=--a y ax 的对称点M ' 也在该圆上．其中正确命题的序号是 。

（把你认为正确命题的序号都填上）。

例2 命题P ：2220x ax a -++>，命题Q ：[]1,4x ∈，若命题P ⌝是命题Q 成立的充分条件，求实数a 的取值范围．
类题：已知221
:|1|2,:210(0)3
x p q x x m m --
≤-+-≤>；p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求 实数m 的取值范围．
例3设函数b a x x x f +-=||)(
(Ⅰ) 求证：)(x f 为奇函数的充要条件是02
2
=+b a ；
(Ⅱ) 设常数322-<b ，求对任意0)(],1,0[<∈x f x 的充要条件。

类题: 已知命题2
1:"[1,2],
ln 0"2
p x x x a ∀∈--≥与 命题2:",2860"q x R x ax a ∃∈+--=都是真命题,则实数a 的取值范围是 .
四 巩固训练
1、已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，下列命题正确的有 （1）1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在 （2）1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意
（3）1>∈⌝x cos R x p ，使：存在 （4）1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意
2、已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 没有公共
点；命题q ：βα//，则
p 是q 的_____________条件（从充分不必要、必要不充分、充要、
既不充分也不必要选择）.
3、已知A 、B 、C 分别为ΔABC 的三个内角，那么“sin cos A B >”是“ΔABC 为锐角三角形”的 条件（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要选择）。

4、已知a ﹑b 均为非零向量，:p 0,a b ⋅>:q a b p q 与的夹角为锐角，则是成立的 条件（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要选择）
5、 给出下列四个命题：
①命题“0,2≥∈∀x R x ”的否定是“0,2
≤∈∃x R x ”；
②线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；
③若]1,0[,∈b a ，则不等式4
1
22<
+b a 成立的概率是4π；
④函数),2[)2(log 2
2+∞+-=在ax x y 上恒为正，则实数a 的取值范围是)2
5
,(-∞。

其中真命题的序号是 。

（填上所有真命题的序号）
6、设命题p ：函数)2lg(2
c x x y -+=的定义域为R ，命题q ：函数2
lg(2)y x x c =++的值域为R ，若命题p 、q 有且仅有一个正确，则c 的取值范围为___________．。