高考数学一轮总复习 第三章 三角函数 第1节 课后限时自测 理
2018版高考一轮总复习数学(理)习题第3章 三角函数、解三角形3-1含答案
（时间：40分钟）1．点A(sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°＝－cos38°＜0，∴选C项．2．已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 C解析设扇形所在圆的半径为R，则2＝错误!×4×R2，∴R2＝1，∴R＝1，扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.3．如果角α的终边过点P（2sin30°,－2cos30°）,那么sinα＝（)A．错误!B．－错误!C．－错误!D．－错误!答案 C解析因为P(1，－3)，所以r＝错误!＝2。
所以sinα＝－错误!。
4．sin2·cos3·tan4的值（)A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案 A解析∵错误!＜2＜3＜π＜4＜错误!，∴sin2＞0,cos3＜0，tan4＞0。
∴sin2·cos3·tan4＜0，∴选A.5．已知α是第二象限角,P（x,5)为其终边上一点，且cosα＝错误!x，则x＝（）A．错误!B．±错误!C．－错误!D．－错误!答案 D解析依题意得cosα＝错误!＝错误!x＜0,由此解得x＝－错误!，选D.6．若420°角的终边所在直线上有一点（－4，a)，则a的值为________．答案－4错误!解析由三角函数的定义有:tan420°＝错误!。
又tan420°＝tan（360°＋60°）＝tan60°＝错误!，故错误!＝错误!，得a＝－4错误!。
7．点P从（－1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动错误!弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．答案错误!解析设点A(－1，0），点P从(－1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动错误!弧长到达点Q,则∠AOQ＝错误!－2π＝错误!(O为坐标原点),所以∠xOQ＝错误!，cos错误!＝错误!，sin错误!＝错误!，点Q的坐标为错误!。
高考一轮复习专题三角函数(全)
高考一轮复习专题——三角函数第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数基础梳理1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零， |α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr ，cos α＝x r，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝kπ，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,2ππββ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,2πββ. 两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式是( )．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A．－55B.255C．－255D．－125．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二 三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45考向三 弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四 三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． 解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.重点突破——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P (不与原点重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)，则sin α＝yr、cosα＝x r 、tan α＝yx 分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x ，y 的符号由α终边所在象限确定，r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．【试一试】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 公式五：sin )2(απ-＝cos α，cos )2(απ-＝sin α.公式六：sin )2(απ+＝cos α，cos )2(απ+＝－sin α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…. 三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12 C.32 D ．±322．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．A.43B.34 C ．±43 D ．±344．cos )417(π-－sin )417(π-的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.225．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.考向一 利用诱导公式化简、求值【例1】►已知)tan()2sin()2cos()sin()(απαπαπαπα++--=f ，求【训练1】已知角α终边上一点P (－4,3)，则的值为________．考向二 同角三角函数关系的应用)3(πf )29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.【训练2】已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________.考向三 三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【训练3】若将例3的已知条件“sin A ＋cos A ＝2”改为“sin(2π－A )＝－2sin(π－B )”其余条件不变，求△ABC 的三个内角．重点突破——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件 【示例】►若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．【试一试】已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.第3讲 三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质定义域R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：错误!无对称轴对称中心：)0,2(πk(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππkk(k∈Z)；单调减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22kk(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间)2,2(ππππ+-kk(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos )3(π+x ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．函数y ＝tan )4(x -π的定义域为( )．A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,42ππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ3．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)（20πϕω＜，＞）的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在)2,0(π单调递减B ．f (x )在)43,4(ππ单调递减C ．f (x )在)2,0(π单调递增D ．f (x )在)43,4(ππ单调递增4．y ＝sin )4(π-x 的图象的一个对称中心是( )．A ．(－π，0) B.)0,43(π-C.)0,23(π D.)0,2(π5．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一 三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x （4π≤x ）的最大值与最小值．【训练1】(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域．(2)已知函数f (x )＝cos )32(π-x ＋2sin )4(π-x ·sin )4(π+x ，求函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的最大值与最小值．考向二 三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2)4(π-x －1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 【训练2】已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．考向三 三角函数的单调性【例3】►已知f (x )＝sin x ＋sin )2(x -π，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．【训练3】函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四 三角函数的对称性【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【训练4】(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)（2πϕ＜）的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.重点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析． 一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】►(2011·镇江三校模拟)已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (k ∈Z )，单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k (k ∈Z )，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► (2011·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3▲根据三角函数的周期性求解参数【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y ＝sin ωx ·sin )2(πω+x (ω＞0)的最小正周期为π7，则ω＝________.▲根据三角函数的最值求参数【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a、b的值是( )．A．a＝－1，b＝ 3 B．a＝1，b＝－ 3C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝1第4讲正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用基础梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤3．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin )42(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)（2πϕ＜）的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin )3(πω+x ＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．35．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)（02-0＜＜，＞ϕπω）的最小正周期为π，且)4(πf ＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】已知函数f (x )＝3sin )421(π-x ，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M )2,32(-π. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ时，求f (x )的值域．【训练3】(2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．重点突破——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角Φ（2222sin ,cos b a b b a a +=+=φφ），将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin )6(π+x －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由．第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin )4(πα±.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2(βα+－)2(βα+.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．6 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53 B ．－19 C.19 D.534．(2011·辽宁)设sin )4(θπ+＝13，则sin 2θ＝( )．A ．－79B ．－19 C.19 D.795．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.【训练1】化简：ααααα2sin )1cos )(sin 1cos (sin +--+.考向二 三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos )2(βα-＝－19，sin )2(βα-＝23，求cos(α＋β)的值．【训练2】已知α，β∈)2,0(π，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.【训练3】已知α，β∈)2,2(ππ-，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f )3(π的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．【训练4】已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ上的最大值和最小值．重点突破——三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan )4(π+x ＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈)2,0(π.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．第6讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin Ab sin A＜a＜ba≥b a＞b a≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2C.1063D．5 62．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为( )．A．3 3 B．2 3 C．4 3 D. 35．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形考向四 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练4】(2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b，c，且cos B＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．重点突破——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a ；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.第7讲正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A 在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC ＝75°，则B，C间的距离是________海里．考向一测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【训练1】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．考向二测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【训练3】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．重点突破——如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1.解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模准确地画出图形——求解——检验作答；2.三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？【试一试】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ.。
2022版高考数学一轮复习 考案3 第三章 三角函数、解三角形新人教版
2022版高考数学一轮复习考案3 第三章三角函数、解三角形新人教版年级：姓名：第三章 三角函数、解三角形(时间：120分钟 满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2020·四川资阳二诊)在平面直角坐标系中，若角α的始边为x 轴正半轴，其终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 4π3，cos 4π3，则cos α＝( D )A.32 B ．12C ．－12D ．－32[解析] 本题考查任意角的三角函数的定义．sin 4π3＝－sin π3＝－32，cos 4π3＝－cos π3＝－12，而角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π3，cos 4π3，即角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，于是|PO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝1，因此cos α＝－321＝－32. 2．(2020·云南昆明一模)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则cos(π－α)＝( A )A.45 B ．35C ．－45D ．－35[解析] 本题考查诱导公式和同角三角函数基本关系式的应用．由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π且sin α＝35得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以cos(π－α)＝－cos α＝45.3．(2020·东北三省三校一模)若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－43，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝( C ) A.15 B ．－15C ．75D ．－75[解析] 本题考查同角三角函数基本关系和诱导公式．由题意，tan θ＝sin θcos θ＝－43，θ∈(0，π)，故sin θ>0，cos θ<0.又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以sin θ＝45，cos θ＝－35.因此，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－cos θ＋sin θ＝75.4．(2021·安徽阜阳一中月考)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴．如图②，在半圆O 中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环形ABDC (图中阴影部分)制作折叠扇的扇面．记扇环形ABDC 的面积为S 1，扇形OAB 的面积为S 2，当S 1与S 2的比值为5－12时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD 的半径与半圆O 的半径之比为( B )A.5＋14B ．5－12C ．3－ 5D ．5－2[解析] 本题考查弧度制下扇形面积计算问题．设∠AOB ＝θ，半圆O 的半径为r ，扇形OCD 的半径为r 1，依题意，有12θr 2－12θr 2112θr 2＝5－12，即r 2－r 21r 2＝5－12，所以r 21r 2＝3－52＝6－254＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122，得r 1r ＝5－12. [方法总结] 弧度制下扇形面积计算求解思路(1)明确弧度制下扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解，5．为了得到函数y ＝sin 3x 的图象，可以将y ＝cos 3x 的图象向( A ) A ．右平移π6个单位长度B ．左平移π6个单位长度C ．右平移π2个单位长度D ．左平移π3个单位长度[解析] y ＝cos 3x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2＝sin 3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，将该函数的图象向右平移π6个单位长度得到y ＝sin 3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin 3x .故选A.6．(2021·黑龙江双鸭山一中月考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别为( A )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3[解析] 由图可知34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝π， ∴ω＝2πT ＝2，又2×5π12＋φ＝π2，∴φ＝－π3，故选A. 7．(2021·南开模拟)△ABC 中三个内角为A ，B ，C ，若关于x 的方程x 2－x cos A cosB －cos 2C2＝0有一根为1，则△ABC 一定是( B )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形[解析] 依题意，可得1－cos A cos B －cos 2C2＝0，因为cos 2C 2＝1＋cos C2＝1－cos A ＋B 2＝1－cos A cos B ＋sin A sin B2，所以1－cos A cos B －1－cos A cos B ＋sin A sin B 2＝0，整理得：cos(A －B )＝1，又A ，B 为△ABC 的内角，所以A ＝B ，所以△ABC 一定为等腰三角形．故选B.8．(2021·广东百校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若C ＝π4，a ＝4，S △ABC ＝2，则2a ＋3c －b 2sin A ＋3sin C －sin B＝( B ) A. 5 B ．2 5 C ．27D ．213[解析] 由C ＝π4，a ＝4，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×b ×22＝2，得b ＝2，根据余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝10，则c ＝10，所以2a ＋3c －b2sin A ＋3sin C －sin B＝2R ＝csin C＝2 5.二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是( ABC ) A ．若cos θ<0则θ是第二或第三角限角 B ．若α>β则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β则α与β终边相同D ．若α是第三象限象角，则sin αcos α>0且sin αtan α<0[解析] 当θ＝2k π＋π时，cos θ＝－1<0，此时θ不是象限角，A 错； 当α＝0，β＝－2π时，cos α＝cos β，故B 错；当α＝π6，β＝5π6时，sin α＝sin β，但α与β终边不相同，故C 错；当α是第三象限角时， sin α<0，cos α<0，tan α>0，故D 正确．因此选A 、B 、C.10．已知函数f (x )＝12cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论中错误的是( AC )A ．f (x )既是奇函数又是周期函数B ．f (x )的图象关于x ＝π12对称C ．f (x )最大值为1D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上递增[解析] f (x )＝12cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋38，f (x )为非奇非偶函数，故A 错，当x ＝π12时，2x ＋π3＝π2，图象关于x ＝π12对称，B 正确．f (x )最大值为2＋38，故C 错，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上单调递增，故D 正确，因此选A 、C.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，且(a ＋b )(a ＋c )(b ＋c )＝91011，则下列结论正确的是( ACD ) A ．sin A sin Bsin C ＝456B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6则△ABC 外接圆半径为877[解析]设⎩⎨⎧a ＋b ＝9k a ＋c ＝10k b ＋c ＝11k，解得⎩⎨⎧a ＝4kb ＝5kc ＝6k，利用正、余弦定理可知，A正确，B 错误．由于cos C ＝18，cos A ＝34，cos 2A ＝18＝cos C ，又C 、A 都是锐角，所以C ＝2A ，故C 正确，又sin C ＝378，2R ＝6sin C ＝1677，∴R ＝877，故D 正确，因此选A 、C 、D.12．(2021·吉林通化月考改编)已知ω>0，a >0，f (x )＝a sin ωx ＋3a cos ωx ，g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π6，h (x )＝f xg x .这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如图所示，则函数g (x )＋h (x )的图象的一条对称轴方程可以为( AC )A ．x ＝π12 B ．x ＝13π6C ．x ＝－23π12D ．x ＝－29π12[解析] ∵f (x )＝a sin ωx ＋3a cos ωx ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π6，又由函数图象可知，f (x )的最大值为2，可得a ＝1，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由图象可知，f (x )的周期为π，∴ω＝2，h (x )＝f x g x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ≠k π＋π3(k ∈Z )．那么函数g (x )＋h (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，x ≠k π＋π3(k ∈Z )．令x ＋5π12＝π2＋k π(k ∈Z )．可得对称轴方程为x ＝π12＋k π(k ∈Z )，当k＝0时，x ＝π12，当k ＝－2时，可得x ＝－23π12.故选A 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则f (π3)＝32. [解析] 由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π3＝32.14．(2020·安徽省池州中学第二次质量检测)已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是 －45 .[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45.15．(2021·河南名校联考)已知函数f (x )＝ 2sin ωx ·cos ωx －23cos 2ωx ＋a ＋3(ω>0，x ∈R ，a 是常数)的图象的一条对称轴方程为x ＝5π12，与其相邻的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－1，则函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) .[解析] 本题考查三角函数的图象及其性质．f (x )＝2sin ωx ·cos ωx －23cos 2ωx ＋a ＋3＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＋a .因为其图象的一条对称轴方程为x ＝5π12，与其相邻的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－1，所以T 4＝2π3－5π12＝π4，所以T ＝π，即2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋a .因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－1，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3－π3＋a ＝－1，所以a ＝－1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－1.由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． 16. (2020·全国Ⅰ，16)如图，在三棱锥P －ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD ＝3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝ －14.[解析] 本题考查立体几何平面展开图及解三角形问题． 在△ABC 中，AB ⊥AC ，AC ＝1，AB ＝3，所以BC ＝2. 在△ABD 中，AB ⊥AD ，AD ＝3，AB ＝3，所以BD ＝ 6.在△ACE 中，AC ＝1，AE ＝AD ＝3，∠CAE ＝30°，由余弦定理得CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE ·cos∠CAE ＝1＋3－2×1×3×32＝1， 所以CE ＝1.在△BCF 中，BC ＝2，FC ＝CE ＝1，BF ＝BD ＝6，由余弦定理得cos ∠FCB ＝FC 2＋BC 2－FB 22FC ·BC ＝1＋4－62×1×2＝－14.四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2020·浙江杭州联考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2. (1)求tan 2α的值； (2)求β的值．[解析] (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437， 所以tan α＝sin αcos α＝437×71＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－432＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.又β＝α－(α－β)，所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，所以β＝π3.18．(本小题满分12分)(2020·辽宁重点中学协作体阶段测试)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π时，求f (x )的取值范围．[解析] (1)由图象知A ＝3，T 4＝4π3－π3＝π，即T ＝4π，又2πω＝4π，所以ω＝12，因此f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－3，所以π6＋φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝－2π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝－2π3，即f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π3.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π时，12x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π3≤－12，从而有－3≤f (x )≤－32.19．(本小题满分12分)(2020·湖南重点高中联考)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π3.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，a 上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－12，求a 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos πx －32sin πx ⎝ ⎛12cosπx ＋⎭⎪⎫32sin πx ＝14cos 2πx －34sin 2πx ＝14×1＋cos 2πx 2－34×1－cos 2πx 2＝12cos 2πx －14，令π＋2k π≤2πx ≤2π＋2k π，k ∈Z ，解得12＋k ≤x ≤1＋k ，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ＋12，k ＋1，k ∈Z .(2)∵f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－12，∴－1≤cos 2πx ≤－12.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，a ，∴2π3≤2πx ≤2πa ，结合余弦函数图象可知π≤2πa ≤4π3，解得12≤a ≤23，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23.20．(本小题满分12分)(2021·蓉城名校高三第一次联考)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋(sin x ＋cos x )2－2.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的集合；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝1，若AC 边上的高等于14b ，求cos C 的值．[解析] (1)由题意知f (x )＝2cos 2x ＋1＋2sin x cos x －2＝2sin x cos x ＋2cos 2x －1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∴f (x )max ＝2，此时2x ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴x ＝k π＋π8，k ∈Z .∴f (x )取得最大值时x的集合为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝k π＋π8，k ∈Z .(2)∵f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝22，又A ∈(0，π)， ∴2A ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，9π4，∴2A ＋π4＝3π4，解得A ＝π4. 设AC 边上的高为BD ，则BD ＝14b .∵A ＝π4，∴BD ＝AD ＝14b ，CD ＝34b ， ∴AB ＝24b ，BC ＝104b ，∴cos C ＝CD BC ＝31010. 21．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，外接圆半径为2，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，b 4，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac，b 2＋c 2－a 22bc ，m·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c 的长．[解析] (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，b 4，n ＝(cos B ，cos A )，所以m·n ＝a 4·a 2＋c 2－b 22ac ＋b 4·b 2＋c 2－a 22bc.又△ABC 外接圆半径为2， 所以a ＝4sin A ，b ＝4sin B ，所以m·n ＝a 4·a 2＋c 2－b 22ac ＋b 4·b 2＋c 2－a 22bc ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sinC ，则sin C ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，∴cos C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝60°.(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 则2sin C ＝sin A ＋sin B ，即2c ＝a ＋b ，又CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝ab cos 60°＝12ab ＝18，得ab ＝36，由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －ab ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴3c 2＝3ab ，c 2＝36，得c ＝6.22．(本小题满分12分)(2021·甘肃天水一中阶段考改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)＋2sin 2ωx ＋φ2－1(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为π2.(1)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π4时，求f (x )的单调递减区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6时，若方程g (x )－m ＝0有两个不等实根，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由题意可知：f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6，因为相邻两对称轴间的距离为π2，所以T ＝π，ω＝2， 因为函数为奇函数，所以φ－π6＝k π，φ＝k π＋π6，k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ＝π6，函数f (x )＝2sin 2x ， ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π4，∴2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，π2，要使f (x )单调减，需满足－π<2x ≤－π2，即－π2<x ≤－π4，所以函数的减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π4.(2)由题意可得：g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3，∵－π12≤x ≤π6，∴－2π3≤4x －π3≤π3，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3≤32，∴g (x )∈[－2，3]．列表：4x －π3－2π3－π2 0 π3 x －π12－π24π12 π6 g (x )－3 －23描点连线得g (当4x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π24，π6时，g (x )∈[－2，3]由题意知y ＝m 与y ＝g (x )的图象在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6有两个交点．则符合题意的m 的取值范围为(－2，－3]．。
近年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业文(20
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数[基础送分提速狂刷练］一、选择题1．给出下列四个命题：①－错误!是第二象限角；②错误!是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析①中－错误!是第三象限角，故①错．②中错误!＝π＋错误!，从而错误!是第三象限角,故②正确．③中－400°＝－360°－40°,从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C.2．sin2·cos3·tan4的值（）A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案A解析∵错误!〈2〈3<π<4〈错误!，∴sin2〉0，cos3〈0，tan4〉0。
∴sin2·cos3·tan4〈0.故选A.3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（)A．1 B．4 C．1或4 D．2或4答案C解析设此扇形的半径为r，弧长是l，则错误!解得错误!或错误!从而α＝错误!＝错误!＝4或α＝错误!＝错误!＝1.故选C.4．若错误!〈θ〈错误!，则下列不等式成立的是( )A．sinθ>cosθ〉tanθB．cosθ〉tanθ〉sinθC．sinθ>tanθ〉cosθD．tanθ〉sinθ〉cosθ答案D解析∵错误!〈θ〈错误!，∴tanθ>1，sinθ－cosθ＝错误!sin错误!.∵错误!〈θ〈错误!，∴0<θ－错误!〈错误!，∴sin错误!>0，∴sinθ>cosθ.故选D.5．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C〈0，则△ABC的形状是（) A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定答案B解析∵△ABC中每个角都在（0，π)内,∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.若B，C同为锐角，则cos B·tan C〉0.∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B.6．（2018·永昌县期末）已知角α的终边经过点(3a,4a)(a≠0）,则sinα＋cosα的值为（）A。
2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章 三角函数、解三角形 3-6 Word版含答案
课时规范训练[A级基础演练]1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π12 B.π6C.π4D．π3解析：选D.在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.2．(2022·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝() A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.3．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或150°解析：选A.在△ABC中，ABsin C＝BCsin A，∴2sin C＝2sin 45°，∴sin C＝12，又AB＜BC，∴∠C＜∠A，故∠C＝30°.4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．5．(2022·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝()A.3π4B．π3C.π4D．π6解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝π4.6．(2022·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝．解析：∵a＝3c，∴sin A＝3sin C，∵∠A＝2π3，∴sin A＝32，∴sin C＝12，又∠C必为锐角，∴∠C＝π6，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝π6，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴bc＝1.答案：17．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为．解析：由S△ABC＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.答案：78．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B＝() A.π6B．π4C.π3 D ．3π4解析：选C.依据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a＝sin Asin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.9．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值． 解：(1)证明：∵三角形的三边a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝22.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B 2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)由于S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. [B 级 力量突破]1．(2021·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3 B ．π3 C.3π4D ．5π6解析：选A.由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b . 又由于b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.由于C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.2．(2021·北京东城一模)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B ．13或37 C.37D ．13解析：选D.由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC ＝32，由于△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.3．(2021·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，假如sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D.由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2， 即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， ∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A ＝A ，A >B ，A >C ， 即3A >A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3. 因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.4．(2021·云南第一次检测)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于 ． 解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.答案：16 25．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过 分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开头时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)． 答案：4036．(2021·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解：(1)由题意知，f (x )＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3()1＋sin 2x ＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由f (A )＝3＋1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π3. 又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3. 由A ＝π3，a ＝3.得|BC→|＝|AC →－AB →|＝a ＝3，① 又BC 边上的中线长为3，知|AB →＋AC →|＝6.②联立①②，解得AB →·AC→＝274，即|AB →|·|AC →|·cos π3＝274， ∴|AB →|·|AC →|＝272. ∴△ABC 的面积为S ＝12|AB →|·|AC →|·sin π3＝2738.。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3-6简单的三角恒等变换课时规范练理
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3—6 简单的三角恒等变换课时规范练（授课提示：对应学生用书第71页)A组基础对点练1．（2017·简阳市期末）已知cos α＝错误!，α∈错误!,则cos错误!等于（ B ）A。
错误!B．－错误!C.错误!D．－错误!解析：α∈错误!，∴错误!∈错误!,则cos错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!。
2．(2016·高考山东卷)函数f(x)＝（错误!sin x＋cos x）·（错误!cos x－sin x）的最小正周期是( B )A.错误!B．πC。
错误!D．2π3．(2017·开封模拟）设a＝错误!cos 6°－错误!sin 6°，b＝错误!，c＝错误!,则( C ）A．c〈b〈a B．a〈b<cC．a〈c〈b D．b<c<a4．（2018·高考全国卷Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B（2，b），且cos 2α＝23，则|a－b|＝（ B ）A。
2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第1讲课后作业理含解析
第3章 三角函数、解三角形 第1讲A 组 基础关1.集合{α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当＝2n (n ∈)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时上式表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当＝2n ＋1(n ∈)时，2n π＋5π4≤α≤2n π＋3π2，此时上式表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样.2.下列各选项中正确的是( ) A.sin300°>0B ．cos(－305°)<0 C.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3>0D ．sin10<0答案 D解析 因为300°＝360°－60°， 所以300°是第四象限角，故sin300°<0； 因为－305°＝－360°＋55°，所以－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0； 因为－22π3＝－8π＋2π3所以－22π3是第二象限角，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3<0.因为3π<10<7π2，所以10是第三象限角， 所以sin10<0.3.若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A.sin α<tan α<cos α B ．cos α<sin α<tan α C.sin α<cos α<tan α D ．tan α<sin α<cos α答案 C解析 作出α的正弦线MP ，余弦线OM 和正切线AT ，如图所示．由图可知MP <OM <AT ，所以sin α<cos α<tan α.4.若α＝·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(，m ∈)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A.重合 B ．关于原点对称 C.关于轴对称 D ．关于y 轴对称答案 C解析 θ与－θ的终边关于轴对称，α与θ终边相同，β与－θ终边相同，所以α与β的终边关于轴对称.5.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错误；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错误；③正确；由于sinπ6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错误；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错误．综上可知只有③正确.6.点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 A解析 由题意得2π3的终边与单位圆的交点是Q ，由任意角三角函数的定义可知，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.7.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A.－12 B ．－32 C.12 D.32答案 C解析 由点P (－8m ，－6sin30°)在角α的终边上，且cos α＝－45，知角α的终边在第三象限，则m >0，又cos α＝－8m8m 2＋9＝－45，所以m ＝12.8.－2019°角是第________象限角，与－2019°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________．答案 二 141° －219°解析 因为－2019°＝－6×360°＋141°，所以－2019°角的终边与141°角的终边相同．所以－2019°角是第二象限角，与－2019°角终边相同的最小正角是141°.又141°－360°＝－219°，故与－2019°角终边相同的最大负角是－219°.9.(2018·北京通州区一模)在平面直角坐标系Oy 中，角α以O 为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，则sin α＝________.答案 －32解析 ∵角α以O 为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，∴y ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32，∴sin α＝y ＝－32.10.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2,3]解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. B 组 能力关1.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角 B ．第二象限角 C.第三象限角 D ．第四象限角答案 B解析 因为θ是第三象限角，所以2π＋π<θ<2π＋3π2，∈，所以π＋π2<θ2<π＋3π4，∈，所以θ2为第二或第四象限角，又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2＜0，所以θ2是第二象限角. 2.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2 C.3 D. 2 答案 C解析 设圆的半径为R ，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长为3R .所以该圆弧所对圆心角的弧度数为3R R＝ 3.3.已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A.若α，β是第一象限的角，则cos α>cos βB.若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βC.若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βD.若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析 由三角函数线可知选D.4.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为2π3，弦长为40 3 m 的弧田．其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为________平方米．(其中π≈3，3≈1.73)( )A.15 B ．16 C ．17 D ．18 答案 B解析 因为圆心角为2π3，弦长为40 3 m ，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为12×(403×20＋20×20)＝4003＋200，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12×2π3×402－12×20×403＝1600π3－4003，因此两者之差为1600π3－4003－(4003＋200)≈16.5.已知角α的终边经过点P (，－2)(≠0)，且cos α＝36，则sin α＋1tan α的值是________．答案 －66＋5或－66－ 5解析 ∵P (，－2)(≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36，∴cos α＝x x 2＋2＝36. ∵≠0，∴＝±10. ∴r ＝2 3.当＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，有sin α＝－223＝－66，1tan α＝10－2＝－5，∴sin α＋1tan α＝－66－ 5.当＝－10时，同理可求得 sin α＋1tan α＝－66＋ 5.6.已知圆O 与直线l ′相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l ′向右，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．答案 S 1＝S 2解析 如图所示，因为直线l ′与圆O 相切，所以OA ⊥AP ，设AQ ︵的长为l ，所以S 扇形AOQ ＝12·l ·r ＝12·l ·OA ，S △AOP ＝12·OA ·AP ，因为l ＝AP ，所以S 扇形AOQ ＝S △AOP ，即S 扇形AOQ －S 扇形AOB ＝S △AOP －S 扇形AOB ， 所以S 1＝S 2.。
数学一轮复习第三章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数学案含解析
第三章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[考纲解读］1。
了解任意角的概念及弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化．(重点)2.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等．(重点、难点)[考向预测］从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2021年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.1．任意角的概念（1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着错误!端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝．2．弧度制的定义和公式（1)定义：把长度等于错误!半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
(2)公式3．任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y）,那么sinα＝错误!y,cosα＝错误!x，tanα＝错误!错误!.1．概念辨析（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()（3)不相等的角终边一定不相同．（）（4)三角形的内角必是第一、第二象限角．(）答案（1）×（2）√（3）×(4）×2．小题热身(1)下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是(）A．2kπ＋45°(k∈Z）B．k·360°＋错误!（k∈Z）C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4（k∈Z）答案C解析角度制与弧度制不能混用,排除A,B；因为错误!＝2π＋π4，所以与错误!终边相同的角可表示为k·360°＋45°(k∈Z)或k·360°－315°等，故选C。
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【课堂新坐标】（安徽专用）2015届高考数学一轮总复习 第三
章 三角函数 第1节 课后限时自测 理
一、选择题
1．(2014·安徽“江南十校”联考)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A ．2
B ．sin 2 C.
2
sin 1
D ．2sin 1 【解析】 由题设，圆弧的半径r ＝1
sin 1，
∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2
sin 1
. 【答案】 C
2．(2013·皖北协作区高三联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线y ＝－3x (x <0)上，则cos 2θ＝( )
A ．－310
B ．－45 C.310 D.45
【解析】 在射线y ＝－3x (x <0)上取一点P (－1,3)，则cos θ＝－110
，所以co s 2θ
＝2cos 2
θ－1＝2×110－1＝－45
.
【答案】 B
3．(2014·济南质检)点P (sin 2 014°，cos 2 014°)在角α的终边上，则角α的终边位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解析】 2 014°＝360°×5＋214°知2 014°是第三象限角， ∴sin 2 014°<0，cos 2 014°<0.
则点P 在第三象限，角α 终边在第三象限． 【答案】 C
4．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝1
5x ，则tan α＝( )
A.43
B.34 C ．－34 D ．－43
【解析】 由题意知x ＜0，r ＝x 2
＋16， ∴cos α＝
x
x 2
＋16＝1
5
x ，∴x 2＝9，∴x ＝－3，
∴tan α＝－4
3.
【答案】 D
5．(2011·课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )
A ．－45
B ．－35 C.35 D.45
【解析】 ∵角θ的终边在直线y ＝2x 上， ∴tan θ＝2.
则cos 2θ＝cos 2
θ－sin 2
θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2
θ1＋tan 2
θ＝－35. 【答案】 B 二、填空题
6．(2013·深圳模拟)若角120°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________． 【解析】 由题意知－a 4＝tan 120°，∴－a
4＝－3，∴a ＝4 3.
【答案】 4 3
7．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上，则|sin α|sin α－|cos α|
cos α＝________.
【解析】 因为角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上， 所以角α是第二象限角，因此sin α＞0，cos α＜0， 故
|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos α
cos α
＝1＋1＝2.
【答案】 2 8．函数y ＝sin x ＋
1
2
－cos x 的定义域是________． 【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
sin x ≥0，1
2
－cos x ≥0，即⎩
⎪⎨⎪
⎧
sin x ≥0，cos x ≤1
2.
∴x 的取值范围为π
3
＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z.
【答案】 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z) 三、解答题
9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．
【解】 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，
∴tan θ＝－1x
，又tan θ＝－x ，∴x 2
＝1，∴x ＝±1.
当x ＝1时，sin θ＝－
22，cos θ＝22
， 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－
22，cos θ＝－2
2
， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 综上sin θ＋cos θ＝0或－ 2.
10．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB 的长；
(2)求AB 所在弓形的面积． 【解】 (1)∵α＝120°＝
2π3，r ＝6，∴AB 的长l ＝2π
3
×6＝4π. (2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝1
2
×4π×6＝12π，
S △A BO ＝1
2r 2·sin
2π3＝12×62×3
2
＝93， ∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.
B 组 能力提升
1．如图3－1－2所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )
图3－1－2
【解析】 ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π
4.
按逆时针转时间t 后，得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π
4
.
由三角函数定义，知点P 的纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，
因此d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝
⎛⎭⎪⎫t －π4.
当点P 在P 0处时，t ＝0，d ＝2，排除A 、D ； 当t ＝π
4时，点P 在x 轴上，此时d ＝0，排除B.
【答案】 C
2．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．
【解析】 ∵角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0， ∴α终边在第三象限，则m <0，n <0， 又|OP |＝m 2
＋n 2
＝10，得m 2
＋n 2
＝10，① 又tan α＝n m
＝3，知n ＝3m .② 由①、②联立，得m ＝－1，n ＝－3. 因此m －n ＝－1－(－3)＝2. 【答案】 2
3．(2014·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆
O 的交点B 在第一象限，已知A (－1,3)．
(1)若OA ⊥OB ，求tan α的值； (2)若B 点的横坐标为4
5
，求S △AOB .
【解】 由三角函数定义，知B (cos α，sin α)， 则OA →＝(－1,3)，OB →
＝(cos α，sin α) (1)由OA ⊥OB ，得OA →·OB →
＝0.
∴－cos α＋3sin α＝0，故tan α＝1
3.
(2)∵cos α＝4
5，且α终边在第一象限．
∴sin α＝1－cos 2
α＝35，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.
又直线OA 的方程为3x ＋y ＝0，
∴点B 到直线OA 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪45×3＋3510
＝3
10
10. 又|OA |＝
－1
2
＋32
＝10.
故S △AOB ＝12|OA |·d ＝12×10×31010＝3
2.。