2.4.2解直角三角形
(完整版)解直角三角形总结
解直角三角形总结解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。
1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。
如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系:sinA＝cosB＝ac， cosA＝sinB＝bc,tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。
（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。
(3）三条边之间的关系：。
以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路，就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。
2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。
由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。
所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。
这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。
四种基本类型和解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA斜边c及锐角A B＝90°—A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°—A,直角边a和斜边c sinA=ac，B＝90°-A，例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1,求AB的长。
2.4.2解直角三角形
课堂小结：
C C
D
A D B A B E
（1）当锐角三角形时，选择一边作高 （2）当钝角三角形时，可内部作高或外部作高 注意：通常过非特殊点作高
（六）当堂达标
1、如图，在ΔABC 中， ∠C=45°，AB= 那么BC的长等于________.
5 , AC=2,
2、等腰三角形的顶角是120°，底边上的高为10cm, 则此三角形的周长是______ ,面积是 __________。
B
c a b
A
C
黄岗中学 孙道宏
温故知新
1.什么叫做解直角三角形？ （1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °； （2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ; b a a （3）角与边之间的关系：sinA= ， cosA= tanA= ， c b
c
2. 如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的元素？ 有几种情况？
两个元素(至少一个是边) 两条边或一边一角
情境导入
有一块三角形的土地，已知∠A=150°， AB=20m,AC=30m,求三角形土地的面积 D ？
20 150
A 30
15 30
B
D
C
学习目标
通过添加辅助线（作三角形一边上的高）， 把解非直角三角形的问题转化为解 直角三角形的问题。
合作探究、交流展示
例3.如图,在△ABC中,已知∠A﹦60°, ∠B﹦45°,AC﹦20,求AB 的长.
解： 过点C作CD AB, 垂足为点D AD 0 ABC cos 60△ 不是直角三角形， 怎么办？ 20 1 0 20 10 AD 20 COS 60 2
sin 60 0 CD 20
E
解直角三角形的基本类型及解法
解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形是初中数学中的重要内容之一，也是后续高中数学和物理学的基础。
解直角三角形的基本类型及解法是学习这一内容的关键。
下面将为大家介绍关于“解直角三角形的基本类型及解法”的相关内容。
一、基本类型1. 已知两边求斜边在直角三角形中，如果已知其中两条边的长度，那么通过勾股定理可以求出第三条边（即斜边）的长度。
勾股定理是一种用勾股定理求斜边的基本方法，即a²+b²=c²。
其中a、b分别为直角三角形的两个直角边，c为斜边的长度。
2. 已知斜边求直角边如果已知斜边和另一条直角边的长度，那么可以使用直角三角形定理来求出另外一条直角边的长度。
这个定理是勾股定理的一个特例，即c²=a²+b²。
其中c为斜边的长度，a、b为直角三角形的两条直角边的长度。
3. 已知三角形内角求其它角的大小在直角三角形中，根据三角形内角的和为180°，其中一个直角角度已知，另外一个角度可以用90°来计算，从而可以求出第三个角度的值。
因为在直角三角形中，除直角外的另外两个内角一定是锐角或钝角，所以得到的答案只能是其中一个锐角或一个钝角的大小。
二、解法1. 勾股定理解法勾股定理是解直角三角形的基本公式，在题目中如果已知两条边中的任何一条边和直角，则可以使用勾股定理求出第三边的长度。
此方法适用于已知两个边长，求第三条边长的情况。
2. 直角三角形定理解法在已知直角和一条直角边的情况下，可以利用直角三角形定理来确定另外一个边的长度。
在这种情况下，直角三角形定理c²=a²+b²可以用来求解问题。
如果仅知道斜边和其中一个直角边，则可以利用直角三角形定理求解另一个直角边的长度。
3. 正弦定理及余弦定理解法在某些情况下，可能需要求解一个已知的直角三角形内的其它角度，此时可以使用正弦定理或余弦定理。
正弦定理是指sinA/a=sinB/b=sinC/c，其中A、B、C为任意三角形的角度，a、b、c为对应边的长度。
初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料2.4.2解直角三角形(2)非直角三角形
初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料
课题：解直角三角形（2）
【学习目标】
1.阅读课本，掌握通过添加辅助线，将非直角三角形问题转化为直角三角形问题来解的方法，说出转化思想的应用；
2.根据草图求解三角形花坛的边长，发展数学抽象素养；
3.与同学分享交流解三角形的过程及收获。
【学习任务】
借助解直角三角形的方法，根据给出的草图求出花坛的未知边长。
【学法指导】
先精读教材P51—P52，用红色笔进行勾画,总结如何添加辅助线来解非直角三角形，完成导学案的问题。
【情境问题】
潍坊美加实验学校在暑假整修时准备建设一块锐角三角形的花坛，设计草图如下：在△ABC中，已知∠A = 60°，∠B = 45°，花坛的一边AC是20米，求花坛另一边AB的长度。
【思考】
1.△ABC不是直角三角形，那如何来解此类问题？
【小结】
对于非直角三角形，一般用__________________的方法将其转化为_________________来解答。
【知识延伸】
1.在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AD⊥BC，垂足为D，∠B = 60°，AD = 3，求BC的长。
2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，且一腰长与底边的比是5：8，求sin B ,cosB 的值。
3.由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图所示，在△ABC 中，∠A = 30°，，AC = 4 3，求AB的长。
”小明翻看答案后
显示AB=10，你能帮助小明通过计算说明污渍部分的内容吗？。
解直角三角形题型的解法
解直角三角形题型的解法
直角三角形是一个非常基础的三角形，但在初中数学中却是一
个非常重要的知识点。
解直角三角形问题并不难，下面我将分享几
种解法。
方法一：勾股定理
勾股定理是解直角三角形问题中最常用的方法，根据这个定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
因此，我们可
以通过已知两条边求第三条边的长度。
例如，如果我们知道直角三
角形的一条直角边长为3，另一条直角边长为4，那么我们可以通
过勾股定理求得斜边长，即5。
方法二：正弦定理
正弦定理适用于已知一个角和两边，求另一边的长度。
正弦定
理公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
其中a、b、c分别为三角形中
的边，A、B、C为对应的角度。
例如，如果我们已知三角形的一
个角度为30度，其对边长为5，且斜边长为10，那么我们可以通
过正弦定理求得该直角三角形的另一直角边长为5根3。
方法三：余弦定理
余弦定理适用于已知三角形的任意两边及它们之间夹角，求第三边长度的情况。
余弦定理公式为：c²=a²+b²-2ab*cosC。
其中c为求解的第三边长度，a、b为已知边的长度，C为它们之间的夹角。
例如，如果我们已知直角三角形的两个直角边长分别为3和4，夹角为90度，那么我们可以通过余弦定理求得斜边长，即5。
通过上述三种方法，我们可以解决绝大多数直角三角形问题。
当然，在应用定理时，我们需要确保我们有足够的信息来求解。
学好这些方法，相信解直角三角形问题将变得非常简单明了。
2.4.2解直角三角形(2)
2.4.2解直角三角形（2）学习目标：会用一条边和一个锐角解直角三角形。
学习过程：一、复习回顾：已知两边解直角三角形的方法。
二、自主探究（已知一条边和一个锐角解直角三角形） 1、已知一个锐角及斜边例1：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=6，∠A=45°，解这个直角三角形。
2、已知一个锐角及一条直角边例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=10，∠B=60°，解这个直角三角形。
跟踪练习：在Rt △ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： （1）已知∠A=60°，b=4（2）已知a=13，c=√23（3）已知c=28√2，∠B=30°三、随堂小结1、总结已知一条边和一个锐角解直角三角形的方法。
2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）已知c ，∠A ，如何解直角三角形？（2）已知a ，∠A 呢？ （3）已知b ，∠A 呢？cbaCB Ac baCBA四、当堂检测1、如图1，A ，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°，则AB 等于（ ） A ．asin40°米 B ．acos40°米 C ．atan40°米 D ．atan40°米 2、有一棵树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是5√3m ，则原树高是 m 。
3、如图2，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是（ ）A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．74、如图3，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC⊥AB ，AD=CD ，cos ∠DCA=45，BC=10，求AB 的长。
解直角三角形的方法,步骤与应用
解直角三角形的方法,步骤与应用
几何学中最常见的形状之一是直角三角形，它的特点是一个锐角90度，三
条边均不等的三角形。
学习有关直角三角形的方法有助于理解和应用几何学。
一、如何确定一个三角形是直角三角形？
若要确定一个三角形是否为直角三角形，可以使用斜边-直角定理：如果一个
三角形的斜边的平方等于另外两边相加的平方，则此三角形正是直角三角形。
另外，我们可以使用勾股定理快速判断一个三角形是否为直角三角形，即两个直角边的平方等于对角边的平方。
二、如何确定一个直角三角形的高度？
要计算直角三角形的高度，可以使用直角三角形高度公式：高度=斜边×正弦
度数，其中斜边是三角形斜边的长度；正弦度数是三角形斜边相对应的角度，也就是直角相对应的角度。
三、直角三角形的应用
直角三角形在工程学、护理学、机械学、建筑学等领域都有广泛应用。
在工程学中，直角三角形可以用来计算坡度，从而实现控制俯仰角；在护理学中，直角三角形可以帮助计算肌肉拉伸时的牵力；在机械学中，直角三角形的绘制可以帮助机械工程师确定轴的夹角；在建筑学中，直角三角形可以帮助建筑师设计建筑物的外形和内部空间结构。
综上所述，学习有关直角三角形的方法有助于我们更好地理解几何学知识，并将其应用于各个领域。
解直角三角形的几种方法
解直角三角形的几种方法（二）引言：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
解直角三角形是高中数学中的重要内容。
本文将介绍几种解直角三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、特殊三角函数值以及特殊角度的计算方法等。
概述：解直角三角形主要涉及到三边的关系、三角函数的计算以及角度的计算。
在本文中，我们将详细讨论这些方法，并给出具体的解题步骤和例题，以帮助读者更好地理解和掌握解直角三角形的技巧。
正文内容：一、正弦定理1.推导正弦定理的原理与公式2.利用正弦定理解直角三角形的方法3.根据已知条件求解角度和边长的具体步骤4.通过示例说明正弦定理在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析二、余弦定理1.推导余弦定理的原理与公式2.利用余弦定理解直角三角形的方法3.根据已知条件求解角度和边长的具体步骤4.通过示例说明余弦定理在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析三、特殊三角函数值1.讨论特殊角度下正弦、余弦、正切的值2.借助特殊角度的数值计算直角三角形的边长和角度3.解析特殊角度下的直角三角形示例题4.探讨特殊角度对解直角三角形的影响5.实践中注意事项和常见错误分析四、特殊角度的计算方法1.利用标准角度和标准角度的三角函数值2.利用和差角公式计算特殊角度的三角函数值3.根据特殊角度的计算方法确定直角三角形的属性4.通过示例说明特殊角度计算方法在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析五、综合运用各个方法1.结合正弦定理、余弦定理和特殊角度的计算方法解直角三角形2.根据题目条件选择合适的解题方法3.通过综合运用不同方法解答综合题目4.分析不同解题方法的优缺点和适用范围5.总结解直角三角形的方法和技巧总结：解直角三角形是数学学科中的基础内容，本文介绍了几种解直角三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、特殊三角函数值以及特殊角度的计算方法等。
对于不同的题目和条件，可以选择合适的方法进行解答。
在解题过程中，需要注意运用正确的公式和计算方法，避免常见的错误和误解。
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a c
C
b
A
温馨提醒：画出草图，解决问题更简单.
例4. 在Rt△ABC中，已知∠C=90°， a=15，∠A=35°27′.求∠B的度数和b，c 的长（精确到1）. A
b c
C
a
B
在Rt△ABC中，∠C=90°.（见课本43页议一议） （1）已知c，∠A，写出求a和b的式子； （2）已知b，∠A，写出求a和c的式子； （3）已知a，∠A，写出求b和c的式子；
2.4.2解直角三角形 学习目标：
1、会根据三角形中的已知量正确地求未知量. 2、能够应用解直角三角形的知识解决相关问 题.
1.解直角三角形的定义. 2.直角三角形中，除直角外，其他五个 元素之间的等量关系. B
c a
A
b
C
3.已知两边解直角三角形的方法.
例3. 在Rt△ABC中，已知∠C=90°， c=128，∠B=60°，解这个直角三角形.
2.已知： △ABC中，∠B=45°， ∠C=75°，AC=8，求BC的长。.已知： △ABC中，∠A=105°，∠C=45°， BC=8，求AC和AB的长。
A
B
D
C
谈谈收获
1、通过这节课的学 习你有什么收获？ 2、本节课你有什么疑惑？
你能总结一下已知一条边和一个锐角解直角三 角形的方法吗？小组交流展示
在Rt△ABC中,∠C=90°：
（1）已知c=15，∠B=60°，求a的长.
（2）已知b=24，∠A=45 °，解这个直角三
角形.
1、在下列直角三角形中 不能求解的是（ D ） A、已知一直角边一锐角
B、已知一斜边一锐角
C、已知两边 D、已知两角