基于网络限制的最短路模型
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。
在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。
在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
这些算法各有特点，适用于不同的场景和要求。
下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于边权值为正的图，可以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。
Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为负的图，并且可以检测负权回路。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的个数，E为边的个数。
这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。
Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。
除了上述几种经典的最短路求解算法外，还有一些其他的方法，比如A算法、SPFA算法等。
这些算法在不同的场景和要求下有着各自的优势和局限性，需要根据具体情况进行选择和应用。
在实际应用中，最短路问题的求解方法需要根据具体的场景和要求进行选择，需要综合考虑图的规模、边权值的情况、时间效率等因素。
同时，对于大规模图的求解，还需要考虑算法的优化和并行化问题，以提高求解效率。
Ch6.2网络模型-最短路问题
7 11
36 9 12 3
6
⑤ 2 12 18
8
16 24
8
⑥
⑧ 18
6
8 10 图6-10
6 12 ⑦ 18 24
2
6
所有点都已标号，点上的标号就是v1到该点的最短距离，最短路 线就是红色的链。
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
Ch6 网络模型 Network Model
2015年6月8日星期一 Page 8
从上例知，只要某点已标号，说明已找到起点vs到该点的最短路 线及最短距离，因此可以将每个点标号，求出vs到任意点的最短 路线，如果某个点vj不能标号，说明vs不可达vj 。 6.2.3 无向图最短路的求法 无向图最短路的求法只将上述步骤（2）改动一下即可。 点标号：b(i) —起点vs到点vj的最短路长； 边标号：k(i，j)=b(i)+cij， 步骤：(1)令起点的标号；b(s)＝0。 (2)找出所有一端vi已标号另一端vj未标号的边集合 B={[i，j]}如 果这样的边不存在或vt已标号则计算结束； (3)计算集合B中边标号：k[i，j]=b(i)+cij
min Z
( i , j )E
cij xij
x12 x13 x14 1 xij xki 0 i 2,3, (i , j )E ( k ,i )E x57 x67 1 xij 0或1，(i, j ) E
,6
制作与教学 武汉理工大学管理学院 熊伟
制作与教学 武汉理工大学管理学院 熊伟
xiongw@
6.2 最短路问题 Shortest Path Problem
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
运筹学图与网络分析-最短路
(P0
)
min P
(P)
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为d(vs,vt)。
求网络上的一点到其它点 的最短路
Dinkstra标号法
这是解决网络中某一点到其它点的最 短路问题时目前认为的最好方法。
适用于有向图权值非负的情况
有向图权值非负---- Dijkstra算法
Dijkstra算法的基本步骤（权值非负） 1、给顶点v1标号（0），v1称为已标号点，记标号点集为
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
3
1 (4,4) 3 1
4
6
7
(1,3)
5
④重复上述步骤，直至全部的
点都标完。
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
1
3
3
1
4
6
7
(1,3)
5
7
(1,2)
2
2
0
2
7
1
5
(2,4)
35
55
7
1
3
3
1
4
6
7
(1,3)
5
(3,7)
(1,2)
2
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
3
1
3 1
34 5 6
7
④重复上述步骤，直至全部的
(1,2)
点都标完。
2
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
最短路问题数学模型
最短路问题数学模型
最短路问题是指在带权有向图中，求两个顶点之间的最短路径。
这个问题在现实生活中有很多应用，如在交通规划、电信网络设计、人工智能等领域。
为了解决这个问题，需要建立一个数学模型。
数学模型是指用数学方法对实际问题进行抽象和描述，从而进行定量分析和求解的方法。
对于最短路问题，可以使用图论和运筹学的方法建立数学模型。
在图论中，最短路问题可以使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法求解。
这些算法基于图的边权和，采用动态规划的思想，逐步计算每个节点到源节点的最短距离，最终得到整个图中每对节点之间的最短路径。
在运筹学中，最短路问题可以被看作是一种线性规划问题。
可以将每个节点看作是一个决策变量，节点之间的边权看作是线性约束条件，目标函数则是从源节点到目标节点的路径长度。
通过对目标函数进行最小化，可以得到最短路径的解。
总之，最短路问题数学模型可以通过图论和运筹学的方法进行建立和求解。
建立好的数学模型可以为实际问题提供科学解决方案，优化效率和效果。
- 1 -。
最短路模型
以引例为例，说明标号法的基本思想。
s =1,因所有wij0，故d(v1,v1)=0, 这 时v1 是具有P 标号的点。 考察从v1出发的三条弧(v1,v2), (v1,v3), (v1,v4) 。如果从v1出发沿(v1,v2)到达v2, 则需要d(v1,v1)+w12=6单位费用；如果 v1
v2
一、引例 例1：已知如图所示的单行线交通网， 每弧旁的数字表示通过这条单行线所 需的费用。现在某人要从v1出发通过 v1 这个交通网到v8 ，求使总费用最小的 旅行路线。
v2
6 3 2
1
v5
2 6 3
v9
3
v3
2
1
6 4 10
10
v4
v6
2
v7 4 v8
对于有向图G 或无向图G 的每一条边e ，附加一个实数w(e),则称 w(e)为边e 上的权，当e=(vi,vj)时，w(e)也可记为wij 。G 连同其各边 上的权称为带权图，带权图常记为G=<V,E,W>。
例2 求右图所示带权图中从v1到 v8 的最短路 解：这里只给出结果 P(v1)=0 , P(v4)=1 , P(v3)=3 , P(v2)=5 ,
6
v2
2 3 1
1
v5
2 6 3
v9
3
v1
v3
2
6 10
4
P(v5)=6 , P(v9)=8 , P(v7)=9 , P(v6)=10 ,
v4
v6
2
v7 4
6 3 2
1
v5
2 6 3
v9
3
v3
2
1
6 4 10
10
v4
图与网络分析-最短路
② 给 v2 标号（4）。
③ 划第二个弧。
v2 (4)
4
5
4
v4
7
9
5
v6
1
v1 (0)
①
②
5
v8
1
6
4
v3
7
v5
6
v7
表明走出 v1 后走向 v8 的最短路目前看是 (v1 , v2 ) ，最优距离 是4 。 现已考察完毕第二个圈内的路，或者说，已完成 v1 , v2 的标号。
v1 v3 v6
59 40 28 30
21
v1 (0)
①
12
19 13
v2 (12)
② ③
v3 (19)14 20
v4 (28) 15
29
④
15 v5 (40)
22
v6
41
⑤
最短路路长为49。 即：在第一年、第三年初各购买一台新设备为最优决策。 这时5年的总费用为49。
例3 (选址问题 ) 已知某地区的交通网络如图所示， 其中点代表居民小区，边代表公路，边权为小区间公路距离， 问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民就 诊时所走的路程最近？ 解 求中心的问题。 解决方法：先求出 vi 到 其它各点的最短路长 d j
min{ 24 , k34 , k56 , k57 } min{ ,10,13,14} 9 k 9
① 给 (v2 , v4 ) 划成粗线。 ② 给 v4 标号（9）。 ③ 划第5个弧。
v2 (4)
4
5
4
v4(9)
7
9
5
v6 (13)
1
v1 (0)
含有禁止路线网络中的最短路问题
上的所有权为正数．Ｄ ｋｔ 于 １ ９年提出一种求 网络中一点到其余各点的最短路树算法，算法基本 ｉ ｓａ ９ ｊ ｒ ５
思想是 ：对 于 中的每 一个节点 ，赋 予 两个 数 值 （ 常 称 为 “ 通 标号 ” ：一个 是距 离标 号 ｕｊ ） （），记
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第 ７卷
第 １ 期
集美大学学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｉ ｅ Ｕ ｉ ｒｔ（ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ） ｏｒａ ｏ ｍ ｉ ｎｖ ｓｙ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ Ｊ ｅｉ ｅ
Ｖｏ ． Ｎ ． １７ ｏ １ ＭＥ ．２ ０ ｒ ０２ ｒ
，称 ｙ 为弧 的头 ， 为孤 Ⅱ 的尾 ， ＝ ，… ，一 对 于弧 Ⅱ＝Ｖ．ａ １ ． ； ，叶＝ Ｖ Ｅ Ａ，
记为 ＝
如果 的尾等于 叶 的头 ，即 ＝ ， 称 是 的直接后继．Ｂ是禁止路线集 ， ＝ ｛ ， ， ． 则 Ｂ ６ ｂ …，
｝， Ｂ中每一个元素 ６是 Ｖ中某三个元素 ， ， 的有序集 ，记为 ６ ＝
Ａ ，表示从节点 经有 向弧
是 一条禁止 路线
， 中 其
，
ｅ
到达节点 再经有向弧
到达节点 的路线是禁止的 ，称
Ｄ是距 离矩 阵 ， ＝ （ ） ，ｄ≥０ Ｄ … ， ｆｉ 的弧 长 ， 当 Ｖ Ｅ Ａ
Hale Waihona Puke ｄ＝ ｛ 【 ，０ ，
当 ＃． Ａ
当 时
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第１ 期
储理才等 ：含 有禁止路线 网络中的最短路 问题
・８ ７・
定义 １ 含有禁止路线的有向网络是一个 四元组 Ⅳ ＝ （ ，， ， ），其中 是节点集 ， ＶＪ Ｂ Ｄ ４ Ｖ＝ ｔ ，
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交 通情 况 中许 多经 典 算 法 不 能直 接应 用 ［ ， ６ 因为 在 ］
实 际道路 条件 下 ， 了使得 交通 畅 通 ， 通 管理 部 门 为 交
是 禁行 的． ，＝ ， ） 表示 结 点 经 由（ ， ＞ ｄ ＝ （ ， ， ＝ ，到 达结 点 ｊ 是禁行 的（ 表 由于某 种 原 因强行 禁 止 通 代
由（ ， ） 达结 点 口 ， 经 由 （ ， ＞ 到 ，再 到达 结 点
我们 考虑 引入 图 的概 念对 带约 束 的城 市交 通系 统 中 的情 况进行 分 析 ］ ． 在 图论 中对 一般情 况 下最 短 路径 问题 的求 解 已 有 了较 为成熟 的算 法 ． 车辆诱 导 系统 而 言 ， 实 的 对 现
行 的车辆 通行 线 路 ） ．
制定 了许 多 规则 ， 中包 括 路 段 单 行 、 口禁 止 左 、 其 路 右转 行 等等 情况 ， 样 就 使 得 表 面 上 连 通 的 道路 网 这
络 实际上 可 能 并 不 连 通 ｌ ． 此 本 文 考 虑 设 计 算 ＿ 因 ７ ］ 法将 这种 含 有交通 限制 的路 网转化 为 不含 禁行 的一 般路 网 ， 后 再利 用 图 论 中 的有 效 经 典算 法完 成 最 然 终 的最优 路 径求 解．
摘要 ： 带限制的网络是一类特殊的网络， 如具有禁止通行限制信息的交通路网． 由于此类网络的最短路
径 的求解是有后效性 的 ， 因此 经 典 的 Ｄｊｓｒ 算 法 等就 无 法 用 来 解 决 此 类 问 题 ． 出 了 一 种 路 网带 限 制 的 交 ｉ ｔａ ｋ 提 通 网 络 最 短 路 径 建 模 方 法 ． 方 法将 具有 禁行 限 制 的特 殊 网 络 转 化 成 一 个 一 般 的 网络 模 型 ・ 而 可 用 任 一 传 该 从 统 高 效 的 算 法 完 成 对 其最 短 路 径 的求 解 ．
一
，
有 向路径 ， 所 有合 法 的 到 ， 向路 径 在 有
最 短 路 径 的 网 络模 型
２ １ 问题 的数 学表 述 ，
中其 所经 过 的所 有 有 向 弧 的 权 之 和 最 小 的路 径 为 一 的最 短路 ． 另 外 ， 要 指 出对 于不 含 禁 行 路 线 的 道路 网络 还
题越 来越 成 为一个 重 要 问题． 为 一个 复 杂 的系统 ， 作
城市 交通 中更 多 的包 含 了 如交 通 信 号 的合 理 配 置 ，
含有 禁行 路线 的道路 网 ， 中 其
单行 、 禁行 等 限制 的情 况 ， 如交 通 信 号 的合 理 配 置 ，
单行 、 禁行 等 限制可 使 交通 流合 理 分流 ， 而提 高交 从
中 一 （ ， ） 即元素 是 以 为弧 尾 以 ， ， ， 为弧 头 的单 向弧 （ 代表 实质 存 在 的交通 线 路 ） ． （） Ｆ 表 示 禁 行 路 线 集 合 ， ３ Ｆ一 ｛ … ， ； ｆ， ｄ ．， ， 中 ｆ ＝ （ ， ， ＞ 示 从 结 点 经 ．ｄ ｝ 其 ＝ ， ＝ 表
（） Ｖ是 结 点 集 ， ｛ ， ， ， ｝ 代 表 路 １ Ｖ一 … （
口、 站点 等 ） ．
通安 全 和效 率 ］ 而 作 为 图论 中 的点 与线 构 成 的 ．
各种 图能 完 整地表 示 交 通 系统 中 的各 种 情 况 ， 因而
（） Ｅ 表 示 单 向 弧 集 ， ２ Ｅ一 ｛ Ｐ， ， ｝ 其 Ｐ， … ，
（） Ｍ 是 带 权 的邻 接 矩 阵 ， 表示 （ ， ） ４ 批， ｊ上 的权 重 。 中元 素 ≥ Ｏ （ ｊ７） 其 ， ，ｉ ∈Ｅ（ 表 车辆 通 － ） 代
行某 段线 路 的长 度 ） ． 对 于含有 禁 行 路 线 的路 网 ， 义 从 点 出 发 ， 定 为 终点 的不 含 禁 行 路 线 的有 向 路 线 称 为合 法 的
第 一 种是 某一 路 段禁 止 通 行 ； 二 种情 况 是 某 一路 第 口禁 止左 转 、 或禁 止右 转 或者 禁止 直行 ． 于是 我们 可
以用 这 样 一个 四元 组 Ｇ（ Ｅ， Ｍ） 表 示 道 路 中 Ｖ， Ｆ， 来
伴 随社 会 的发 展 、 城市 人 口的增 多 ， 市交通 问 城
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５ ２
曲阜 师 范 大学学报 （ 自然科 学版 ）
２０ ０ ７丘
含禁行 路线 的道路 网 络 实 际上 可 以用 三 元组 Ｇ（ Ｖ， Ｅ， 来 表述 ， 它 的最 优 路径 的求解 ， 以 直接 利 Ｍ） 对 可 用 图论 中最短 路径 算 法 ， 中 比较 成 熟 和效 率 较 高 其
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第３ ３卷
第 １期
阜
师 范
Ｖｏ１ ３ ＮＯ． ．３ １
２０ ０ ７年 １月
ｏ Ｑｕ ｕ ｆ ｆ
Ｊｎ ０ ７ ａ ．２ ０
基于 网络 限制 的最短路模 型
黄 奇成①， 王丽君②， 苏 醒①
（① 曲阜师 范大学运筹 与管理学 院Ｉ② 曲阜师范大学信息与传播学院 ，２ ６ ２ ，山东省 日照市） ７８ ６
实际道 路 中禁 止通行 作 为一 种强 制 的交通 规则
情 况较 为简 单． 与含 有禁 行路 线 的道 路 网络 相 比 ， 不
＊ 收 稿 日期 ：０ ６０ ＿４ ２ ０— １０
作 者 简 介 ： 奇 成 ， ， ９ ２，硕 士 生 ； 黄 男 １８ 主要 研 究 方 向 策 分 析 、 通 规 划 决 交
关键 词 ： 路网限制Ｉ 最短路径ｆ 交通路网ｆ 模型
中图分 类号 ： １７ ６ Ｏ ５．
文献 标 识码 ： Ａ
文章编 号 ：０ １ ３７２０ ）１０５ ０ ｉ０ ３（０ ７０ ０ １ ３ ５
ｌ 引
言 Biblioteka 普 遍 存在 ， 于含 有禁 行路 线 的道 路 网络 包括 两种 ： 对