第11章 压杆稳定
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压杆稳定
受压极限应力。这是因为当临界应力达到材料的受压极限应
力时，压杆已因为强度不足而破坏。因此，对于由塑性材料
制成的压杆，其临界应力不允许超过材料的屈服应力 s ，即:
或
cr (aa bs)/ bs
令
s (as)/b
(11-15)
得 式中，
s
s
为临界应力等于材料的屈服点应力时压杆的柔度值。
但应工大力程于超中某过有个比许数 例多值 极压限 s杆的的，压压它杆杆们稳，的定称柔问为度题中往，长往其杆小临。于界这应P类，力压对一杆于般属用于由临实P界
验所得到的经验公式来计算，常用的有直线形经验公式和抛 物线形经验公式。
1.直线形经验公式
直线形经验公式把压杆的临界应力 下列线性关系:
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第二节压杆的临界力与临界应力
如果将式(11-9)和式(11-13)中的临界应力与柔度之间的函数
关的系曲绘线在图形cr，称直为角临坐界标应系力内总，图将。得如到图临11界-8应所力示随，柔图度中变曲化线
ACB是按欧拉临界应力公式(11-9)制的;曲线EC是按抛物线 形经验公式(11-17)绘制的。两曲线交于C点，C点的坐标可 由式(11-9)和式(11-17)联立解得。例如对Q235钢E = 200 GPa, a = 235 MPa, b= 0. 006 68MPa，此时
cr
与压杆的柔度
表示为
crab
(11-14)
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第二节压杆的临界力与临界应力
式中，a和b为与材料有关的常数，其单位为MPa。一些常用 材料的a、b值可见表11-2。
图11-7表示厂直线形经验公式与欧拉曲线。应当指出，经验 公式(11-14 )也有其适用范围，它要求临界应力不超过材料的
第十一章压杆的稳定 - 工程力学
第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
第11章压杆稳定
材料力学
第29页/共63页
二、折减因数法
s
F A
[s w ]
s cr
nst
scr、nst与压杆柔度有关，[sw]是的 函数。
[sw]=j [s ]
[s ]——强度许用应力 j —— 折减因数 j 1
稳定条件
与柔度有关
s FP j[s ] 工作应力不大于
A
稳定许用应力
注 不必由柔度判断压杆属何种性质的杆，简化计算。 意
强度 条件
sr
[s ]
s0
n
相当应力不大 于许用应力
极限应力
s0
s
{
s
sb
塑性材料 脆性材料
极限应力和安全因数只与材料有关，与实 际应力状态无关，即强度许用应力为常数。
材料力学
第27页/共63页
稳定 条件
s
F A
[s
w
]
s0
nst
s cr
nst
工作应力不大于稳定许用应力。
极限应力（临界应力）和稳定安全因数不仅 与材料有关，而且与实际压杆的长度、约束 条件、横截面尺寸和形状有关，即与实际压 杆的柔度有关，所以稳定许用应力不是常数。
z
ml
iz
1 940 14.43
65.1
第36页/共63页
F A
z
材料力学
l1 z
B l1
y Fx
z
h
b
F x
x-z 面内，两端固定
绕y轴发生失稳
m = 0.5
iy
b 23
20 23
5.77 mm
y
ml
iy
0.5 880 5.77
76.3
静力学11、压杆稳定
Fcr
2 EI l2
μ= 1
2 EI Fcr (0.7l)2
μ= 0.7
2 EI Fcr (0.5 l ) 2
μ= 0.5
2EI Fcr (2l )2
μ= 2
2 EI Fcr l 2
μ= 1
§11.4 欧拉公式的适用范围.经验公式
一、欧拉临界应力公式及使用范围
1.细长压杆的临界应力：临界力除以压杆横截面面积
0
Pcr d EI
k
2d
将边界条件代入统一微分方程的通解得：
式 0
如 图
k 0
1 0 k2
0 1 0
1 0 0
0 0 k
2
C1
C C
2 3
0
sinkL
coskL L 1
k 2 sinkL k 2 coskL 0 0
1 0
Cd4
有非零解的充要条件为：系数行列式值为零；
解得压杆失稳特征方程为：coskL 0
解： (1) 2 E I
Pcr ( l)2
2E d4
64
( l)2
1 16
2E I正
(2)
Pcr 正 Pcr 圆
( l)2 2E I圆
d2 2
a4 4
I正 I圆
12
d4
12
d4
3
( l)2
64
64
例5：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构
成平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相 同，弹性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种 载荷作用下杆系所能承受的最大荷载。
60
2. cr=S时: 强度破坏，采用强度公式。
≤ S—粗短杆(小柔度杆)；
表 1 直线公式的系数 a 和 b
第十一章 压杆稳定
各方向约束情况不同时：
使Fcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横
截面对其中性轴的惯性矩。
如销孔类铰链，即所谓的柱状铰。约束特点为：
在垂直于轴销的平面内，轴销对杆的约束相当于铰支；
而在轴销平面内，轴销对杆的约束则接近于固定端。
第十一章 压杆稳定问题
思考：试判断下列压杆长度系数的取值范围
μ>2
0.7<μ<2
cr
2E 2
P
或
2E p
E
p
P
(10 10)
P值仅与弹性模量E及比例极限P 有关， P仅随材料
性质而异。柔度≥P的压杆称大柔度杆。
当 ≥P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧
拉公式。
当＜P时（中、小柔度压杆），不能应用欧拉公式。
第十一章 压杆稳定问题
P 的大小仅取决于压杆材料的 力学性能。例如，对于Q235 钢，E=206GPa， P=200MPa，得
0.7
0.5
欧拉临界压力公式的统一表达式：
Fcr
2EI (l)2
(10 6)
第十一章 压杆稳定问题
Fcr为维持微弯平衡状态最小的压力
各方向约束情况相同时：
Fcr
2EI (l)2
乘积l称为压杆的相当长度或有效长度。 为常数，称长度因素，代表支持方式对临界载荷的
影响。 I＝Imin––– 最小形心主惯性矩
第十一章 压杆稳定问题
压杆的稳定(4学时)
教学内容：压杆稳定的概念，细长压杆的临界力和欧 拉公式，欧拉公式的适用范围，中、小柔度杆的临界 应力，压杆的稳定计算，提高压杆稳定性的措施。 教学要求： 1、了解丧失稳定、临界力的概念，中、小柔度杆的临 界应力，压杆的稳定条件，提高压杆稳定性的措施； 2、理解细长压杆的临界力和欧拉公式，临界应力、惯 性半径、柔度的概念，欧拉公式的适用范围。 重点：细长压杆的临界力和欧拉公式。 难点：细长压杆的临界力和欧拉公式。
使Fcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横
截面对其中性轴的惯性矩。
如销孔类铰链，即所谓的柱状铰。约束特点为：
在垂直于轴销的平面内，轴销对杆的约束相当于铰支；
而在轴销平面内，轴销对杆的约束则接近于固定端。
第十一章 压杆稳定问题
思考：试判断下列压杆长度系数的取值范围
μ>2
0.7<μ<2
cr
2E 2
P
或
2E p
E
p
P
(10 10)
P值仅与弹性模量E及比例极限P 有关， P仅随材料
性质而异。柔度≥P的压杆称大柔度杆。
当 ≥P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧
拉公式。
当＜P时（中、小柔度压杆），不能应用欧拉公式。
第十一章 压杆稳定问题
P 的大小仅取决于压杆材料的 力学性能。例如，对于Q235 钢，E=206GPa， P=200MPa，得
0.7
0.5
欧拉临界压力公式的统一表达式：
Fcr
2EI (l)2
(10 6)
第十一章 压杆稳定问题
Fcr为维持微弯平衡状态最小的压力
各方向约束情况相同时：
Fcr
2EI (l)2
乘积l称为压杆的相当长度或有效长度。 为常数，称长度因素，代表支持方式对临界载荷的
影响。 I＝Imin––– 最小形心主惯性矩
第十一章 压杆稳定问题
压杆的稳定(4学时)
教学内容：压杆稳定的概念，细长压杆的临界力和欧 拉公式，欧拉公式的适用范围，中、小柔度杆的临界 应力，压杆的稳定计算，提高压杆稳定性的措施。 教学要求： 1、了解丧失稳定、临界力的概念，中、小柔度杆的临 界应力，压杆的稳定条件，提高压杆稳定性的措施； 2、理解细长压杆的临界力和欧拉公式，临界应力、惯 性半径、柔度的概念，欧拉公式的适用范围。 重点：细长压杆的临界力和欧拉公式。 难点：细长压杆的临界力和欧拉公式。
材料力学-第十一章-压杆稳定
＝
π2
×
206 52
×109
×
π
×
160 ×10-3 64
4
= 2.6 ×106 N = 2.60 ×103 kN
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa ，确定两根杆的临 界载荷
对于两端固定的压杆，就有
F
d2w + k2w = 0 k2 = F
dx 2
EI
M
F
F
w
微分方程的解: w =Asinkx + Bcoskx
边界条件:=x 0= , w 0 :
B=0
=x l= , w 0 :
Asin kl = 0
系数A，B不能全为0：sin kl = 0
= kl nπ , =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
k=2
F n2π 2
EI l2
屈曲位移函数： w = Asin nπ x l
弯曲幅值A取决于弯曲程度，与压力F有关。
分叉点 F
Fcr
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
压杆稳定平衡路径
F
平衡路径
F<Fcr 时，直线平衡态为稳定且唯一的
平衡路径
F>Fcr 时，直线平衡态不稳定，一旦有 扰动，杆将转为弯曲平衡态
=
, =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
EI l2
临界载荷： F=cr
n2π 2EI , =n
l2
1, 2,⋅ ⋅ ⋅
最小临界载荷：
Fcr
=
π 2EI
l2
材料力学09第十一章 压杆稳定问题
n 2 2 EI Fcr 2 l
Fcr Fcr min
EI
2
l2
理想中心压杆的欧拉临界力
M(x)= Fcr(-w) =-Fcrw
EIw ' ' M ( x) Fcr w
x Fcr
A
Fcr 2 k 令 EI
w' ' k 2 w 0
与前面获得的结果相同。
w
w l 2 x
2）计算许可载荷[P]
1.5 y 0 : [ P ] P 2 0 [ P] 2.82( KN)
BC cr
§11-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
1. 欧拉公式的应用范围
欧拉临界应力
I 2 EI 2 i Fcr 2 ( l ) A 2 2 2 E E EI Fcr cr 2 ( l ) A ( l ) 2 A ( l ) 2 A
约束越弱，μ系数越大， 临界力Fcr越低，稳定性越差。
其他支座条件下细长压杆的临界压力
由于边界条件不同，则：
2 EI Fcr ( l ) 2
I：最小惯性矩
称为长度系数。
一端固定一端自由：
2
1
两端铰支：
一端铰支一端固定：
临界应力
cr
Fcr A
0.7 0.5
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯 一的平衡状态；
稳定：
理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）
直线平衡状态；
失稳（屈曲）：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 线平衡状态； 临界力 压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值
Fcr Fcr min
EI
2
l2
理想中心压杆的欧拉临界力
M(x)= Fcr(-w) =-Fcrw
EIw ' ' M ( x) Fcr w
x Fcr
A
Fcr 2 k 令 EI
w' ' k 2 w 0
与前面获得的结果相同。
w
w l 2 x
2）计算许可载荷[P]
1.5 y 0 : [ P ] P 2 0 [ P] 2.82( KN)
BC cr
§11-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
1. 欧拉公式的应用范围
欧拉临界应力
I 2 EI 2 i Fcr 2 ( l ) A 2 2 2 E E EI Fcr cr 2 ( l ) A ( l ) 2 A ( l ) 2 A
约束越弱，μ系数越大， 临界力Fcr越低，稳定性越差。
其他支座条件下细长压杆的临界压力
由于边界条件不同，则：
2 EI Fcr ( l ) 2
I：最小惯性矩
称为长度系数。
一端固定一端自由：
2
1
两端铰支：
一端铰支一端固定：
临界应力
cr
Fcr A
0.7 0.5
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯 一的平衡状态；
稳定：
理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）
直线平衡状态；
失稳（屈曲）：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 线平衡状态； 临界力 压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值
第11章 压杆稳定性问题
相等，则此压杆的临界压力又为多少？
（压杆满足欧拉公式计算条件）
h
动脑又动笔
解： 一端固定，一端自由，长度因数 μ=2 在应用欧拉公式时，截面的惯性
矩应取较小的I 值。
Iy 1 3 1 hb 90 403 mm 4 48 104 mm 4 12 12
b
F
l
1 3 1 I z bh 40 903 mm 4 243 104 mm 4 12 12
理解长细比、临界应力和临界应力总图的概念，熟 悉各类压杆的失效形式。
§11–1 压杆稳定性的基本概念
① 强度 衡量构件承载能力的指标 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 可靠地工作。 杆件在各种基本变形下的强度和刚度问题在前述各章节中 已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上， 杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。
屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
F F EI L
M d2w 2 EI dx
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
一、两端铰支压杆的临界力
多大的轴向压力才会使压杆失稳？
d2w EI 2 Fw 0 dx
y
M EI x w L
记
F
k2
F EI
F
F
x
d2w 2 k w0 2 dx
§11–3长细比的概念 三类不同压杆的判断
三、临界应力总图
cr
S
P
cr s
cr a b
2E cr 2
粗短杆 s
s s a
b
中长杆
P
细长杆
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3)式中I应为压杆横截面的最小惯性矩。
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
二、欧拉公式的普遍形式
1．压杆临界力的一般解法
1)统一微分方程 y"" k 2 y" 0 ——适用各种约束压杆
y C1 sin kx C 2 coskx C 3 x C 4 y' kC1 coskx kC 2 sin kx C 3 2)微分方程的通解 y'' k 2C1 sin kx k 2C 2 coskx y''' k 3C1 coskx k 3C 2 sin kx
2)抛物线公式
s cr s u k
2
su——材料的极限应力(ss或s b)
k——与材料有关的常数
2．scr=ss时： 强度破坏，采用强度公式
§11-3
欧拉公式的使用范围 临界应力总图
三、临界应力总图
临界应力总图：压杆临界应力随柔度变化的曲线图
scr
ss A scr=ss s =ab cr
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
2)挠曲线：y asin( x / l ) ——两端铰支压杆的挠曲 线为半波正弦曲线； a)若欧拉公式推导中n>1，则为多波正弦曲线， 理论 上存在这些临界状态，实际无意义； b)令x=l/2，fl/2=fmax=a，即挠曲线方程中的a等于中点 挠度，但并不确定； 因为推导时使用了近似曲率公式，若采用精确公式 则当压力达到临界值Fcr后，a与F一一对应，所以上 挠曲线方程只在a微小时近似成立。
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
F B
系数行列式值为零 3)通解方程有非零解的充要条件： 解得压杆失稳特征方程为： kl 0 cos
kl
F l n ( n 0， ， ) 1 2 EI 2
4)取n=1，得一端固定，一端自由压杆临界力 的欧拉公式为
l
Fcr EI ( 2l ) 2
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
x
引用记号： 2 F y" k 2 y k 2d k EI 4)微分方程的通解为 y Asinkl Bcoskl d y' Ak coskl Bk sinkl 5)边界条件为 x 0：y 0，y' C k 2d l / 6 A x l：y d 6)将边界条件代入微分方程通解得到 0 A B d 0 Asinkl bcoskl d d Ak 0 B k 2 ld / 6 0 上式非零解的条件为 0 1 1 sinkl coskl 0 0 k 0 k 2l /6
M
0.5l y
l M
F
5)相当于0.5l长两端铰支压杆的临界力。
2 EI Fcr ( 0.5 l ) 2
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
3．欧拉公式的统一形式
2 EI ml——相当长度，压杆折算成两端铰支 Fcr ( ml ) 2 杆的长度，m 称为长度系数。
表11-1 压杆的长度系数 压杆约束条件 长度系数m
§11-3
欧拉公式的使用范围 临界应力总图
2．欧拉公式适用范围 1)线弹性状态 2 E s s s
cr p
2
2 E p
sp
2 E p
sp
2)≥ p： 细长杆(大柔度杆)，欧拉公式的适用范围。
E=200GPa，s p=200MPa 3)对于Q235钢：
2 20010 9 100 p 20010 6
4)外界干扰力。
§11-1 二、中心受压直杆稳定性分析
压杆稳定的概念
由稳定平衡向微弯平衡过渡的状态 1．临界状态： 2．临界载荷Fcr： 描述压杆稳定的能力，压杆临界状 态所受到的轴向压力。
F<Fcr F=Fcr
F>Fcr
a) 直 1 线 F1FF1 稳 态 干扰力去除后 恢复直线状态
b) 微 F 弯 F1F1 1 平 衡 干扰力去除后 保持微弯
2．稳定计算过程 1)确定压杆受载、约束情况、截面参数、相当长度； 2)计算 ( 、 p、 0)； 3)由 判断压杆类型，选择相应公式计算临界力Fcr； Fcr nst 。 4) n F
§11-4
压杆的稳定条件及设计准则
3．注意 1)对于不同方向，压杆的约束条件、长、惯性矩可能 不相同，要分别考虑，一般情况， 越大压杆越易 失稳；
c) 失 1 稳 F1FF1
干扰力去除后继续 变形，直至倒塌
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
一、两端铰支压杆的临界力
1．思路 求Fcr →临界状态(微弯)→弯曲变形 →挠曲线微分方程
2．推导 F 1)挠曲线微分方程： " M ( x ) Fy EIy 引用记号： 2 F y" k 2 y 0 k EI x 失 2)该微分方程的通解为 Fcr F 稳 y Asinkx Bcoskx 模 l M(x)=Fy 式中A、B为积分常数 式 y x0 y0 如 3)杆的边界条件 图 x xl y0 y B0 代入通解得 Asinkl 0 sinkl 0
B
y x
0.7l
y FAx
( 0.7 l ) 2
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
x F 失 稳 模 式 如 图
例11-3 试导出两端固定压杆的欧拉公式。 解：1)边界条件： 两端M均不为零 x 0：y 0，y' 0 x l：y 0，y' 0 2)将边界条件代入统一微分方程的通解为 1 0 1 C 1 0 k 0 1 0 C 2 0 sinkl coskl l 1 C 3 k coskl k sinkl 1 0 C 4 3)利用系数行列式值为零解得 2(coskl 1) klsinkl 0 F kl cr l 2 EI 4)两端固定压杆临界力的欧拉公式为
y — 挠曲线方程，y'— 转角方程， 3) dM ( x ) EIy " M ( x )，EIy "' dx FQ
4)代入位移与静力边界条件，求出压杆稳定的特征方 程，得到Fcr。
§11-2
2．例题
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
例11-1 一端固定、另一端自由的细长压杆如图所示，试导出其临界力的 欧拉公式。 x F 解：1)边界条件 B d M x 0：y 0，y' 0，y" A Fd k 2d 失 EI EI 稳 M (l ) x l：y d，y" 0 模 EI l 式 2)将边界条件代入统一微分方程的通解为 如 0 1 0 1 0 C 1 图 y k 0 1 0 0 C 2 A 2 2 C3 0 0 k 0 0 k MA=Fd F coskl l 1 1 C 4 sinkl k 2 sinkl k 2 coskl 0 0 0 d
B
scr ss
C
粗 短 杆 中 粗 杆
scr=ssk 2
sp
2 E s cr 2
0.57ss
2 E s cr 2
细长 杆
D
O
0
p
O
0
采用抛物线经验公 式的临界应力总图
采用直线经验公式 的临界应力总图
§11-4
压杆的稳定条件及设计准则
一、稳定校核的安全因数法
1．压杆的稳定条件： 工作安全因数n大于或等于规定的稳 定安全因数nst。 Fcr s cr n nst 1)表达式： F s 2)三类稳定计算问题 确定许可载荷、稳定性校核、截面尺寸设计(逼近法)。
2
A
5)相当于2l长两端铰支压杆的临界力 C
l
§11-2
பைடு நூலகம்
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
x
例11-2 导出一端固定、另一端铰支压杆临界力的欧拉公式。 F 解：1)边界条件： A端FAy、MA及B端FBy不为零。 FBy x 0：y 0，y' 0 M (l ) 失 x l：y 0，y" 0 EI 稳 2)将边界条件代入统一微分方程的通解为 模 l 0 1 0 1 C 1 式 如 k 0 1 0 C 2 C 0 图 coskl l 1 3 sinkl A k 2 sinkl k 2 coskl 0 0 C 4 FAy 3)利用系数行列式值为零解得： kl kl tan MA Fcr kl l 4.49 EI 0.7 2 EI 4)一端固定、一端铰支压杆临界力的欧拉公式为 Fcr 5)相当于0.7l长两端铰支压杆的临界力。
2)压杆临界力取决于整个杆的抗弯刚度，因此对局部 有截面削弱情况按未削弱的截面尺寸计算其惯性矩 I和横截面面积A。但是对受削弱的横截面，还应进 行强度校核； 3)确定稳定安全因数nst，除考虑确定安全因数的一 般原则外，还应考虑压杆初挠度、载荷偏心等因素 影响。所以稳定安全因数nst的值比强度安全因数 大一些。
d
y x C
F D
C
B
7)化简整理得稳定特征方程为 tg kl 6 kl 8)用逼近法求得kl≈0.4294，从 而得到临界力为 2 EI Fcr ( 2.33l ) 2
§11-3
欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及使用范围
临界力除以压杆横截面面积得到的压应 1．临界应力： 力，用scr表示。 Fcr 2 EI 2 E s cr A ( ml ) 2 A ( ml / i ) 2 横截面对微弯中性轴的惯性半径 1)i I / A ： ml 2)柔度(长细比)： i 综合反应了杆端约束、杆的长度和截面面积等 因素对临界力的影响，是描述压杆稳定性能的重 要参数。 2 E s 3)欧拉临界应力公式： cr 2
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
二、欧拉公式的普遍形式
1．压杆临界力的一般解法
1)统一微分方程 y"" k 2 y" 0 ——适用各种约束压杆
y C1 sin kx C 2 coskx C 3 x C 4 y' kC1 coskx kC 2 sin kx C 3 2)微分方程的通解 y'' k 2C1 sin kx k 2C 2 coskx y''' k 3C1 coskx k 3C 2 sin kx
2)抛物线公式
s cr s u k
2
su——材料的极限应力(ss或s b)
k——与材料有关的常数
2．scr=ss时： 强度破坏，采用强度公式
§11-3
欧拉公式的使用范围 临界应力总图
三、临界应力总图
临界应力总图：压杆临界应力随柔度变化的曲线图
scr
ss A scr=ss s =ab cr
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
2)挠曲线：y asin( x / l ) ——两端铰支压杆的挠曲 线为半波正弦曲线； a)若欧拉公式推导中n>1，则为多波正弦曲线， 理论 上存在这些临界状态，实际无意义； b)令x=l/2，fl/2=fmax=a，即挠曲线方程中的a等于中点 挠度，但并不确定； 因为推导时使用了近似曲率公式，若采用精确公式 则当压力达到临界值Fcr后，a与F一一对应，所以上 挠曲线方程只在a微小时近似成立。
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
F B
系数行列式值为零 3)通解方程有非零解的充要条件： 解得压杆失稳特征方程为： kl 0 cos
kl
F l n ( n 0， ， ) 1 2 EI 2
4)取n=1，得一端固定，一端自由压杆临界力 的欧拉公式为
l
Fcr EI ( 2l ) 2
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
x
引用记号： 2 F y" k 2 y k 2d k EI 4)微分方程的通解为 y Asinkl Bcoskl d y' Ak coskl Bk sinkl 5)边界条件为 x 0：y 0，y' C k 2d l / 6 A x l：y d 6)将边界条件代入微分方程通解得到 0 A B d 0 Asinkl bcoskl d d Ak 0 B k 2 ld / 6 0 上式非零解的条件为 0 1 1 sinkl coskl 0 0 k 0 k 2l /6
M
0.5l y
l M
F
5)相当于0.5l长两端铰支压杆的临界力。
2 EI Fcr ( 0.5 l ) 2
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
3．欧拉公式的统一形式
2 EI ml——相当长度，压杆折算成两端铰支 Fcr ( ml ) 2 杆的长度，m 称为长度系数。
表11-1 压杆的长度系数 压杆约束条件 长度系数m
§11-3
欧拉公式的使用范围 临界应力总图
2．欧拉公式适用范围 1)线弹性状态 2 E s s s
cr p
2
2 E p
sp
2 E p
sp
2)≥ p： 细长杆(大柔度杆)，欧拉公式的适用范围。
E=200GPa，s p=200MPa 3)对于Q235钢：
2 20010 9 100 p 20010 6
4)外界干扰力。
§11-1 二、中心受压直杆稳定性分析
压杆稳定的概念
由稳定平衡向微弯平衡过渡的状态 1．临界状态： 2．临界载荷Fcr： 描述压杆稳定的能力，压杆临界状 态所受到的轴向压力。
F<Fcr F=Fcr
F>Fcr
a) 直 1 线 F1FF1 稳 态 干扰力去除后 恢复直线状态
b) 微 F 弯 F1F1 1 平 衡 干扰力去除后 保持微弯
2．稳定计算过程 1)确定压杆受载、约束情况、截面参数、相当长度； 2)计算 ( 、 p、 0)； 3)由 判断压杆类型，选择相应公式计算临界力Fcr； Fcr nst 。 4) n F
§11-4
压杆的稳定条件及设计准则
3．注意 1)对于不同方向，压杆的约束条件、长、惯性矩可能 不相同，要分别考虑，一般情况， 越大压杆越易 失稳；
c) 失 1 稳 F1FF1
干扰力去除后继续 变形，直至倒塌
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
一、两端铰支压杆的临界力
1．思路 求Fcr →临界状态(微弯)→弯曲变形 →挠曲线微分方程
2．推导 F 1)挠曲线微分方程： " M ( x ) Fy EIy 引用记号： 2 F y" k 2 y 0 k EI x 失 2)该微分方程的通解为 Fcr F 稳 y Asinkx Bcoskx 模 l M(x)=Fy 式中A、B为积分常数 式 y x0 y0 如 3)杆的边界条件 图 x xl y0 y B0 代入通解得 Asinkl 0 sinkl 0
B
y x
0.7l
y FAx
( 0.7 l ) 2
§11-2
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
x F 失 稳 模 式 如 图
例11-3 试导出两端固定压杆的欧拉公式。 解：1)边界条件： 两端M均不为零 x 0：y 0，y' 0 x l：y 0，y' 0 2)将边界条件代入统一微分方程的通解为 1 0 1 C 1 0 k 0 1 0 C 2 0 sinkl coskl l 1 C 3 k coskl k sinkl 1 0 C 4 3)利用系数行列式值为零解得 2(coskl 1) klsinkl 0 F kl cr l 2 EI 4)两端固定压杆临界力的欧拉公式为
y — 挠曲线方程，y'— 转角方程， 3) dM ( x ) EIy " M ( x )，EIy "' dx FQ
4)代入位移与静力边界条件，求出压杆稳定的特征方 程，得到Fcr。
§11-2
2．例题
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
例11-1 一端固定、另一端自由的细长压杆如图所示，试导出其临界力的 欧拉公式。 x F 解：1)边界条件 B d M x 0：y 0，y' 0，y" A Fd k 2d 失 EI EI 稳 M (l ) x l：y d，y" 0 模 EI l 式 2)将边界条件代入统一微分方程的通解为 如 0 1 0 1 0 C 1 图 y k 0 1 0 0 C 2 A 2 2 C3 0 0 k 0 0 k MA=Fd F coskl l 1 1 C 4 sinkl k 2 sinkl k 2 coskl 0 0 0 d
B
scr ss
C
粗 短 杆 中 粗 杆
scr=ssk 2
sp
2 E s cr 2
0.57ss
2 E s cr 2
细长 杆
D
O
0
p
O
0
采用抛物线经验公 式的临界应力总图
采用直线经验公式 的临界应力总图
§11-4
压杆的稳定条件及设计准则
一、稳定校核的安全因数法
1．压杆的稳定条件： 工作安全因数n大于或等于规定的稳 定安全因数nst。 Fcr s cr n nst 1)表达式： F s 2)三类稳定计算问题 确定许可载荷、稳定性校核、截面尺寸设计(逼近法)。
2
A
5)相当于2l长两端铰支压杆的临界力 C
l
§11-2
பைடு நூலகம்
中心受压细长直杆临界力的欧拉公式
x
例11-2 导出一端固定、另一端铰支压杆临界力的欧拉公式。 F 解：1)边界条件： A端FAy、MA及B端FBy不为零。 FBy x 0：y 0，y' 0 M (l ) 失 x l：y 0，y" 0 EI 稳 2)将边界条件代入统一微分方程的通解为 模 l 0 1 0 1 C 1 式 如 k 0 1 0 C 2 C 0 图 coskl l 1 3 sinkl A k 2 sinkl k 2 coskl 0 0 C 4 FAy 3)利用系数行列式值为零解得： kl kl tan MA Fcr kl l 4.49 EI 0.7 2 EI 4)一端固定、一端铰支压杆临界力的欧拉公式为 Fcr 5)相当于0.7l长两端铰支压杆的临界力。
2)压杆临界力取决于整个杆的抗弯刚度，因此对局部 有截面削弱情况按未削弱的截面尺寸计算其惯性矩 I和横截面面积A。但是对受削弱的横截面，还应进 行强度校核； 3)确定稳定安全因数nst，除考虑确定安全因数的一 般原则外，还应考虑压杆初挠度、载荷偏心等因素 影响。所以稳定安全因数nst的值比强度安全因数 大一些。
d
y x C
F D
C
B
7)化简整理得稳定特征方程为 tg kl 6 kl 8)用逼近法求得kl≈0.4294，从 而得到临界力为 2 EI Fcr ( 2.33l ) 2
§11-3
欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及使用范围
临界力除以压杆横截面面积得到的压应 1．临界应力： 力，用scr表示。 Fcr 2 EI 2 E s cr A ( ml ) 2 A ( ml / i ) 2 横截面对微弯中性轴的惯性半径 1)i I / A ： ml 2)柔度(长细比)： i 综合反应了杆端约束、杆的长度和截面面积等 因素对临界力的影响，是描述压杆稳定性能的重 要参数。 2 E s 3)欧拉临界应力公式： cr 2