九年级数学上册第4章锐角三角函数42正切作业新版湘教版_
湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3解直角三角形教学设计
湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3解直角三角形教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3节主要是解直角三角形。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念和性质的基础上进行学习的，通过解直角三角形，让学生进一步理解三角函数的定义和应用，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数的概念和性质有一定的了解。
但解直角三角形这一节内容涉及的知识点较多，运算较为复杂，对学生来说是一个较大的挑战。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解概念，突破难点，提高学生的运算能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解解直角三角形的概念和性质；2.学会用锐角三角函数解直角三角形；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的概念和性质，用锐角三角函数解直角三角形；2.难点：理解解直角三角形的性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生自主探究，合作交流；2.利用多媒体辅助教学，直观展示解直角三角形的过程；3.运用练习法，巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件；2.准备一些典型的解直角三角形的题目；3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际生活中的直角三角形，如建筑工人测量高度、运动员测量跳远距离等，引导学生思考如何计算这些直角三角形的未知边长。
2.呈现（10分钟）讲解解直角三角形的概念和性质，引导学生理解直角三角形的三个锐角函数的定义和关系。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些典型的解直角三角形的题目，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5.拓展（10分钟）讲解一些关于解直角三角形的拓展知识，如如何利用解直角三角形求解其他三角形的边长等。
湘教版数学九年级上册 坡度问题
∴ AE = AD·sin60° = 1200× 3 ≈ 1039.2＞800（米）.
∴不会遭到破坏.
2
解直角三角 形的应用
坡度问题 方位角问题
坡角 i h tan
l 坡度(或坡比)
第4章 锐角三角函数
4.4 解直角三角形的应用
第2课时 坡度问题
观察与思考
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路比
较陡？
B
A
C
如何用数量来刻画哪条路更陡呢？
坡度问题
如上图所示，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时， 升高的高度 h（即线段 BC 的长度）与水平前进的距 离 l（即线段 AC 的长度）的比叫作坡度，用字母 i 表
偏东 30°，如果渔船不改变航向继续向东
航行，有没有触礁的危险？ 解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F， 北 D
则 AF 的长是 A 到 BC 上所有
点中的最短距离.
60° E
A 30°
B
CF 东
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°．
∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－30° = 30°.
示，即 i h（坡度通常写成 1 : m 的形式）． l
在下图中，∠BAC 叫作坡角（即山坡与地平面的 夹角），记作 α，显然，坡度等于坡角的正切，即
i h tan l
坡度越大，山坡越陡．
α
练一练 1. 斜坡的坡度是 1 : 3 ，则坡角 α =_3_0_度. 2. 斜坡的坡角是 45°，则坡比是 _1_:_1__. 3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是__1_:__3__.
A
2013年湘教版九年级上第4章锐角三角函数检测题含答案详解
第4章 锐角三角函数检测题（时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.计算：A. B.232+ C.23 D.231+2.在△中，∠＝90°，如果，，那么sin 的值是( ).A.21 B.55C.33 D. 233.在△中，∠＝90︒，，，则sin( )A. 34B. 53 C. 43 D. 454.下列说法中，正确的是（ ） A.B.若为锐角，则C.对于锐角，必有sin cos ββ<D.5.在△中，∠=90°，，则sin 的值是（ ）B.2C. 1D.126.已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A.43 B.45C.54D.347.如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( ) A.B.25 m第7题图C.45 mD.310m 8.如图，在菱形中，，3cos 5A =，，则tan ∠的值是( )A ．12 B ．2 CD9.在△中，，，，则等于( )A.B.1C.2D.310.如图，已知：45°＜A ＜90°，则下列各式成立的是( ) A. B. C.D.二、填空题（每小题3分，共24分）11.在Rt ABC △中，90C ∠= ，5AC =，4BC =，则tan A =______. 12.若∠是锐角，cos ＝23，则∠＝_________. 13.小兰想测量南塔的高度. 她在处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至处，测得仰角为60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计， 732.13≈）. 14.等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ ．第10题图15.大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度，则两个坡角的和为 ．16.△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则_ ．17.如图，在四边形中，，，，，则__________.18. 如图，在△中，已知，，，则________．三、解答题（共46分）19.（8分）计算下列各题： (1)()42460sin 45cos 22+- ；（2）2330tan 3)2(0-+--.20.（6分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A ，测得由点看大树顶端C 的仰角为35°；(2)在点A 和大树之间选择一点B （A 、B 、D 在同一条直线上），测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°； (3)量出A 、B 两点间的距离为4.5.请你根据以上数据求出大树CD 的高度.(结果保留3个有效数字)A B C D 第20题图 ACB第18题图ABCD第21题图21.（6分）已知：如图，在山脚的处测得山顶的仰角为，沿着坡角为的斜坡前进米到达处（即∠，米），测得的仰角为，求山的高度．22.（6分）如图，为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m ，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5 m ，请你计算出该建筑物的高度．（3≈1.732，结果精确到1 m ）23.（6分）如图，在梯形中，∥，，．（1）求sin ∠的值；（2）若长度为，求梯形的面积．24.（6分）如图，在小山的东侧处有一热气球，以每分钟的速度沿着仰角为60°的方向上升，20 min 后升到处，这时热气球上的人发现在的正西方向俯角为45°的处有一着火点，求热气球的升空点与着火点的距离（结果保留根号）.25.（8分）如图，小明家住在m 高的楼里，小丽家住在楼里，楼坐落在楼的正北BCA东西45°60°第24题图面，已知当地冬至中午时太阳光线与水平面的夹角为．（1）如果两楼相距20m，那么楼落在楼上的影子有多长？（2）如果楼的影子刚好不落在楼上，那么两楼的距离应是多少？（结果保留根号）第4章锐角三角函数检测题参考答案1.C 解析：.2.A 解析：如图，3.D 解析：由勾股定理知，又所以所以sin.54ABAC4.B解析:因为，所以，故错；因为，所以，故B正确；当时，，所以，故C错；因为，所以，故D错.5.B 解析：因为∠=90°，，所以2.6.A 解析：如图，设则由勾股定理知，所以tan B7.B 解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得8.B 解析：设又因为在菱形中，所以所以所以由勾股定理知所以2ABC第2题答图BC第6题答图9.B 解析：∵ 在△中，，，，∴，∴．故选B ．10.B 解析：在锐角三角函数中仅当45°时，，所以选项错误；因为45°＜A ＜90°，所以B ＜45°，即A ＞B ，所以BC ＞AC ，所以AB BC ＞ABAC，即，所以选项正确，选项错误 ACBC＞1，＜1，所以选项错误.11.45 解析：如图，12.30° 解析：因为23，所以∠13.43.3 解析：因为，所以所以所以).14.15°或75° 解析：如图，.在图①中，，；在图②中，，所以∠∠.15.解析：设两个坡角分别为，，则tan ，tan ，得，两个坡角的和为．B第14题答图B CD②BC①16.5解析：利用网格,从点向所在直线作垂线,设网格中小正方形的边长为1，则利用勾股定理得,所以17. 解析：如图，延长、交于点，∵ ∠，∴．∵，∴，则． ∵，∴．18.6 解析：如图，过作于点．∵，∠，∴．∴．19.解：（1）()46223222242460sin 45cos 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+-.226262262322=+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2）2330tan 3)2(0-+--3231-+-=.323-=20.解：∵ ∠90°, ∠45°， ∴∵，∴则m ，ACB第18题答图D∵ ∠35°，∴ tan ∠tan 35°5.4+x x.整理，得35tan 135tan 5.4-⨯=x ≈10.5. 故大树的高约为10.521．解:如图，作⊥于，⊥于，在Rt △中， ∠，米，所以，.在Rt △中，∠，设，则. 在矩形中，米，，在Rt △中， ∠，∴，即x x +=+32002003， ∴，∴， ∴米．22解：设，则由题意可知，m ．在Rt △AEC 中，tan ∠CAE ＝AE CE，即tan 30°＝100+x x . ∴33100=+x x ，即3x 3(x ＋100)，解得x 50＋503≈136.6.经检验50＋503是原方程的解．∴ CD CE ED 136.6 1.5138.1≈故该建筑物的高度约为23.解：(1)∵，∴ ∠∠.E FABCD第21题答图∵∥，∴∠∠∠.在梯形中，∵，∴∠∠∠∠∵，∴3∠，∴∠30º，∴（2）过作于点.在Rt△中，•∠，•∠，∴在Rt△中，，∴24.解：过作于，则.因为∠，3003m，所以300(3－1)即热气球的升空点与着火点的距离为300(3－1)25.解：（1）如图，过作于，∵，，∴．故．∴楼落在楼上的影子有12 m长.（2）若楼的影子刚好不落在楼上，，∴两楼的距离应是m.。
24-25学年九年级数学第三次月考卷(湘教版)【测试范围：第3章~第4章】(考试版A4)
2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考（湘教版）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：湘教版第3章图形的相似~第4章锐角三角函数，第1章占比20%，第二章占比15%，第3-4章占比65%。
5．难度系数：0.68。
第一部分（选择题共30分）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的值等于（）A．1B．17C D2．已知xy =34，那么下列等式中，不成立的是（）A．xx+y =37B．x―yy=14C．x+3y+4=34D．4x=3y3．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．3x2―5x=6B．1x―2=0C．x2+y2=4D．x3―1=04．点A(―2,y1)，B(―1,y2)，C(1,y3)均在反比例函数y=kx(k>0)的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1>y2>y3B．y3>y1>y2C．y3>y2>y1D．y2>y1>y35．正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则的值为（）A ．12B C D ．16．已知一元二次方程的两根分别为x 1=3，x 2=―4，则这个方程可能为（ ）A ．(x ―3)(x +4)=0B ．(x +3)(x ―4)=0C ．(x +3)(x +4)=0D ．(x ―3)(x ―4)=07．如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，点O 为位似中心，OC:CF =1:2．若△ABC 的周长为6，则△DEF 的周长是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．248．如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．项目于2009年12月30日开工建设，2016年9月15日完成竣工验收．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B 处看塔顶A ，仰角为，然后向后走160米（BC =160米），到达C 处，此时看塔顶A ，仰角为，则该主塔的高度是（ ）A ．160B ．C ．200D ．9．关于x 的一元二次方程(k +2)x 2―2x +1=0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．B ．k ≤―1C ．k ≥―1且k ≠―2D ．k ≤―1且k ≠―210．如图所示，已知双曲线y =5x (x <0)和y =kx (x >0)，直线OA 与双曲线y =5x 交于点A ，将直线OA 向下平移与双曲线y =5x 交于点B ，与y 轴交于点P ，与双曲线y =kx 交于点C ，，BP CP =12，则k的值是（ ）A．4B．―4C．8D．―8第二部分（非选择题共90分）二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
初中数学湘教版九上4.4 第2课时 坡度问题 课件
4.4 解直角三角形的应用
第2课时 坡度问题
导入新课
观察与思考
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路比
较陡？
B
A
C
如何用数量来刻画哪条路更陡呢？
新课讲授
坡度问题
如上图所示，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时，
升高的高度 h（即线段 BC 的长度）与水平前进的距
离 l（即线段 AC 的长度）的比叫作坡度，用字母 i 表
灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？
B
解：如图 ，在 Rt△APC 中，
PC = PA·cos(90°－65°) = 80×cos25° ≈ 72.505.
在 Rt△BPC 中，∠B = 34°，
65° A P
C
∴PB PC sin B
72.505 sin 34°
129.66
n
mile
.
34°
因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南
偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大
约 129.66 n mile．
B
例4 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪
鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东
60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北
解：过点 A 作 AE⊥BD，垂足为 E. 北
A
∵ 点 A 在点 B 的北偏东 60° 方向上，
在点 D 的北偏东 30° 方向上， ∴ ∠ABE = 30°，∠ADE = 60°.
60°
30°
B 1200 米 D E东
∴∠BAD = ∠ADE -∠ABE = 30° =∠ABE.
【湘教版】九年级数学上册：4.1.1 正弦及30°角的正弦值(含答案)
第4章 锐角三角函数4.1 正弦和余弦第1课时 正弦及30°角的正弦值01 基础题 知识点1 正弦的意义1.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，则∠A 的正弦值可以表示为(C)A.AC ABB.AC BCC.BC ABD.BC AC2.(贵阳中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sinA 的值为(D)A.512B.125C.1213D.5133.正方形网格中，△AOB 如图放置，则sin ∠AOB ＝(C)A.32B.23C.31313D.213134.已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则sinA ＝(A) A.35 B.45 C.53 D.345.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sinA ＝23，则边AC 的长是(A)A. 5B.3C.43D.126.把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值(A) A.不变 B.缩小为原来的13C.扩大为原来的3倍D.不能确定7.如图，在平面直角坐标系内有一点P(5，12)，那么OP 与x 轴的夹角α的正弦值是1213.8.分别求出图中∠A.∠B 的正弦值.图1 图2解：图1：AC ＝AB 2－BC 2＝62－22＝42， ∴sinA ＝BC AB ＝13，sinB ＝AC AB ＝223.图2：AB ＝AC 2＋BC 2＝（2）2＋（6）2＝22， ∴sinA ＝BC AB ＝622＝32，sinB ＝AC AB ＝222＝12.知识点2 30°角的正弦值 9.计算：sin30°＝12.10.计算：sin30°－|－2|＝－32.11.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠B ＝30°，则sin ∠ADE 的值为12.12.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ∶∠B ＝1∶2，则sinA ＝12.02 中档题13.在Rt △ABC 中，∠B ＝90°.若AC ＝2BC ，则sinC 的值是(C) A.12 B.2C.32D. 3 14.(乐山中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论中不正确的是(C)A.sinB ＝AD ABB.sinB ＝ACBCC.sinB ＝AD ACD.sinB ＝CDAC15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线于点D ，垂足为E ，则sin ∠CAD ＝(A) A.14 B.13C.154D.151516.(威海中考)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A.B.O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是(D) A.31010 B.12C.13D.101017.如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A 出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B 处)，AB ＝80米，则孔明从A 到B 上升的高度BC 是40米.18.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，AD ⊥BD ，AB ＝4，sinA ＝34，求▱ABCD 的面积.解：∵AD ⊥BD ，∴在Rt △ABD 中，sinA ＝34＝BDAB .∵AB ＝4，∴BD ＝3.由勾股定理，得AD ＝AB 2－BD 2＝16－9＝7，∴S ▱ABCD ＝AD·DB＝7×3＝37.19.如图，等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm ，求它的底边长.解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠BAD ＝∠CAD ＝60°，BD ＝DC. ∵AD ⊥BC ， ∴∠B ＝30°. ∴sinB ＝AD AB ＝12.∵AB ＝2， ∴AD ＝1，BD ＝ 3. ∴BC ＝2 3.20.如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若AC ＝4，BC ＝3，求sin ∠ACD 的值.解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.根据同角的余角相等，得∠ACD ＝∠B. ∴sin ∠ACD ＝sinB ＝AC AB ＝45. 03 综合题21.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，请你根据正弦的定义证明sin 2A ＋sin 2B ＝1. 证明：在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°， ∴a 2＋b 2＝c 2，sinA ＝a c ，sinB ＝bc.∴sin 2A ＋sin 2B ＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c2＝1，即sin 2A ＋sin 2B ＝1.。
九年级数学单元检测卷4—锐角三角函数(含答案解析)
九年级数学单元检测卷4—锐角三角函数（含答案解析）一、选择题.(每小题4分，共32分)1.（2016·四川乐山）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°,AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是（）A.sin B =AD AB B.sin B =AC BC C.sin B =ADAC D.sin B =CD AC 2.已知沿一山坡水平方向前进40米，在竖直方向上就升高20米，那么这个山坡的坡度是（）A.1∶2B.2∶1C.1∶1 3.锐角A 满足cos A =12，利用计算器求∠A 时，依次按键则计算器上显示的结果是（）A.30° B.45° C.60° D.75°4.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（）m B.4m C.m D.8m第4题图第5题图5.如图，∠1的正切值是（）A.2B.13C.5 D.526.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A.2B.255C.55D.12第6题图第8题图7.0.5cosA 3tan B－3|=0,那么对△ABC的形状描述最准确的是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形8.如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin C>sin D；②cos C>cos D；③tan C>tan D中，正确的结论为（）A.①②B.②③C.①②③D.①③二、填空题.(每小题4分，共32分)9.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=31，c2，则∠A=度，∠B=度，b=．10.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了米.第10题图第11题图11.如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=32，则t的值是.12.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1:2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．13.（四川南充中考）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tan E=.第13题图第14题图14.如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为m（结果保留根号）15.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=12∠BAC，则tan∠BPC =．第15题图第16题图16.如图，A市气象局预报：一沙尘暴中心在A市正西方向1000km的B处，正迅速向北偏东60°的BC方向移动，距沙尘暴中心400km的范围内为受沙尘暴影响的区域，根据所学过的知识，你认为A市（填“会”或“不会”）受这次沙尘暴的影响．三、解答题.(共56分)17.（6分）计算：（1）tan30°·cos30°+sin260°－cos245°·tan45°；（2）14tan245°+2160cos －3sin260°+tan45°sin30°.18.（6分）解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，求sin A，cos A，tan A；（2）Rt△ABC的斜边AB=5，cos A=0.5，求△ABC的其他元素．19.（6分）（2016·新疆建设兵团）如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度.（结果保留根号）20.（8分）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，sin A=37，D为边AC上一点，∠BDC=45°，DC=6．求△ABC的面积．（结果保留根号）21.(8分)A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C 处的方向角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路.问连接A，B的高速公路是否穿过风景区？请说明理由.22.（10分）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O 上，连接CD且DC=BC，过C点作AD的垂线交AD延长线于E.（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．23.（12分）某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°.斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高.(结果精确到1m，≈1.4，≈1.7)。
中考数学一轮教材复习-第四章 三角形 锐角三角函数及其应用
∴AF=AE+EF=AE+BG=576+469=1 045(m).
答:水平距离AF的长约为1 045 m.
（第四章 三角形）
考点2 解直角三角形的实际应用(10年9考)
2-1 [2024黔东南州模拟]随着传统能源的日益紧缺,太阳能的应用将会越来
越广泛,如图(1)是一款太阳能路灯实物图,图(2)是某校兴趣小组测量太
点拨
tan D=tan A
5
2
.
（第四章 三角形）
考点2 解直角三角形的实际应用(10年9考)
2 [2023贵州22题10分]贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好
的游览体验,拟在如图(1)景区内修建观光索道.设计示意图如图(2)
所示,以山脚A为起点,沿途修建AB,CD两段长度相等的观光索道,最
方向角:如图(3),点A,B,C关于点0的方向角分别是北偏东 30°、
的实际
⑰ 南偏东60°
、北偏西45'(也称西北方向)
解直角
应用
【注意】通常需
要作辅助线构造
直角三角形解题
（第四章 三角形）
2 [人教九下P19第9题变式]如图,水库某段横截面迎水坡AB的坡度
i=1∶2,若坡高BC=20 m,则坡面AB的长为 20 5
∠A的正切:tan A=③
（第四章 三角形）
【规律记忆】30°,45°,60°角的正弦值的分母都是2,
分子依次为1, 2, 3;30°,45°,60°角的余弦值分别是
60°,45°,30°角的正弦值
特殊角的三角函数值
α
30°
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4.2 正 切
一、选择题
1．如图K －33－1，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为(12，5)，则tan α等于( )
图K －33－1
A.513
B.1213
C.512
D.125
2．若tan(α＋10°)＝ 3，则锐角α的度数是( )
A ．20° B．30° C．35° D．50°
3.2017·宜昌△ABC 在网格中的位置如图K －33－2所示(每个小正方形的边长均为1)，AD ⊥BC 于点D ，则下列四个选项中错误的是( )
图K －33－2
A ．sin α＝cos α
B ．tan
C ＝2
C ．sin β＝cos β
D ．tan α＝1
4．在△ABC 中，若锐角A ，B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosA －
32＋(1－tan B )2＝0，则∠C 的大小是( ) A ．45° B．60° C．75° D．105°
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝2
3
，那么tan B 的值是( ) A.52 B.53 C.2 55 D.23
6．如图K －33－3，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC ＝10米，∠B ＝36°，则中柱AD (D 为底边的中点)的长是( )
图K －33－3
A ．5sin36°米
B ．5cos36°米
C ．5tan36°米
D ．10tan36°米
7如何求tan75°的值，按下列方法作图可解决问题．如图K －33－4，在Rt △ABC 中，AC ＝k ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点M ，在射线BM 上截取线段BD ，使BD ＝AB ，连接AD ，依据此图可求得tan75°的值为
( )
图K －33－4
A ．2－3
B ．2＋3
C ．1＋3 D.3－1
二、填空题
8．如图K －33－5所示，BC 是一条河的直线河岸，A 是河岸BC 对岸上的一点，AB ⊥BC 于点B ，站在河岸的C 处测得∠BCA ＝50°，BC ＝10 m ，则桥长AB 的长约为______m(用计算器计算，结果精确到0.1 m)．
图K －33－5
9．如图K －33－6，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12
∠BAC ，则tan ∠BPC ＝________.
图K －33－6
10．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tan A ＝________．
三、解答题
11．计算：(1)3sin60°－cos30°＋2tan45°；。