河北省衡水中学2017届高三上学期五调(12月)文科数学试题(扫描版)
【河北省衡水中学年】2017届高三上学年期五调(12月)数学年(理科)试题
3 sin
cos
2sin2
2
cos
2
π 3
3
x 1 x 1
当
cos
2
π 3
1
，即
y
3 2
或
y
3 时，上式取最小值1 ． 2
即当
M
1,
3 2
或
M
1,
3 2
2a2 a 3 3 ，即 2a2 a 0 ，解得 a 0 或 a 1 ， 2
又因为 a 0,b 0,a b 3 ，所以 1 a 3 ．………………10 分 2
-6-/6
又 GF GE G ，所以平面 GEF 平面 ABB1A1 ，
EF 平面 GEF ，EF 平面 ABB1A1 ．…………4 分
(2)连接 AC1 ，在 △AA1C1 中，
C1 A1 A
4
,
A1C1
2AA1 ，
所以由余弦定理得 AC12 AA12 A1C12 2AA1 A1C1 cos AA1C1 AA12 , AA1 AC1,△A1AC1 是等腰直角三角形，
1 2
x2
x
1
0
，
x 1 0
x 1 0
即
ex
1 2
x2
x
1
0
或
ex
1 2
x2
河北省衡水中学2017届高三(上)四调数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．23．抛物线y=3x2的焦点坐标是（）A． B． C．D．4．设向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量与2平行，则m=（）A．B．C．D．5．圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是（）A． B．C．k≥2 D．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=3，且a2016+a2017=0，则S101等于（）A．3 B．303 C．﹣3 D．﹣3037．阅读如图所示程序框图，运行相应程序，则输出的S值为（）A．﹣ B．C．D．8．函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（）A．B．C．D．10．设F1，F2是椭圆E的两个焦点，P为椭圆E上的点，以PF1为直径的圆经过F2，若tan∠PF1F2=，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．11．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π12．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，定点A（0，﹣2），若射线FA与抛物线C 交于点M，与抛物线C的准线交于点N，则|MN|：|FN|的值是（）A．（﹣2）：B．2：C．1：2D．：（1+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线l1：（m+1）x+2y+2m﹣2=0，l2：2x+（m﹣2）y+2=0，若直线l1∥l2，则m=．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A=3C，c=6，（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0，则△ABC的面积是．15．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是．16．已知函数f（x）=|e x+|，（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．18．设f（x）=4sin（2x﹣）+．（1）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调减区间．19．如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2．（1）求证：平面PAB⊥平面QBC；（2）求该组合体QPABCD的体积．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，直线l 过点（﹣1，0）交椭圆E于A、B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax，a∈R，且a≠0．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=（3a+1）x﹣（a2+a）x2，当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy 的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i，则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点（﹣1，5）在第二象限．故选：B．2．设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．【解答】解：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B 为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故选：B．3．抛物线y=3x2的焦点坐标是（）A． B． C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把方程化为标准方程，可知焦点在y轴上，进一步可以确定焦点坐标．【解答】解：化为标准方程为x，∴2p=，∴=，∴焦点坐标是（0，）．故选D4．设向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量与2平行，则m=（）A．B．C．D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由向量、的坐标计算可得与2的坐标，进而由向量平行的坐标计算公式可得（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（﹣1，2），=（m，1），则=（﹣1+2m，4），2=（﹣2﹣m，3），若向量与2平行，则有（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得m=﹣；故选：B．5．圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是（）A． B．C．k≥2 D．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义进行判断．【解答】解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线kx﹣y﹣3=0的距离d=，即，∴k2+1≥9，即k2≥8，∴k或k，∴圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是k，故选：B．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=3，且a2016+a2017=0，则S101等于（）A．3 B．303 C．﹣3 D．﹣303【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出S101．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，且a2016+a2017=0，∴，解得a1=3，q=﹣1，∴a101==3×（﹣1）100=3．故选：A．7．阅读如图所示程序框图，运行相应程序，则输出的S值为（）A．﹣ B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次进行循环体后，S=cos，n=1不满足输出的条件，则n=2，S=cos•cos；当n=2，S=cos•cos时，不满足输出的条件，则n=3，S=cos•cos•cos；当n=3，S=cos•cos•cos时，满足输出的条件，故S=cos•cos•cos=sin•cos•cos•cos÷sin=sin•cos•cos÷sin=sin•cos÷sin=sin÷sin=故选：B8．函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【考点】函数的图象．【分析】分别令a=0，a＞0，a＜0，根据导数和函数的单调性即可判断．【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故（3）正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，当f′（x）＞0，即x∈（﹣，）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确函数f（x）=的图象可能是（2），（3），（4），故选：C9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．【分析】取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，求其面积，可得答案．【解答】解：取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，如图所示：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，∴EF=HG=PC=2且EF∥HG∥PC，EH=FG=BD=2且EH∥FG∥BD，故四边形EFGH为矩形，面积是4，△EIH中，EI=HI=，故EH上的高IJ=，故△EIH的面积为，即平面EFGHI的面积为5，故选：C．10．设F1，F2是椭圆E的两个焦点，P为椭圆E上的点，以PF1为直径的圆经过F2，若tan∠PF1F2=，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，结合已知及椭圆定义把|PF1|、|PF2|用a，c表示，再由勾股定理求得答案．【解答】解：如图，∵以PF1为直径的圆经过F2，∴PF2⊥F1F2，又tan∠PF1F2=，∴，则，由|PF1|+|PF2|=2a，得|PF1|=，在Rt△PF2F1中，得，即，解得：或（舍）．∴椭圆E的离心率为．故选：D．11．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长也是2，∴得AG==a，所以正方体棱长a=2∴Rt△OGA中，OG=a=1，AO=，即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π．故选A．12．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，定点A（0，﹣2），若射线FA与抛物线C 交于点M，与抛物线C的准线交于点N，则|MN|：|FN|的值是（）A．（﹣2）：B．2：C．1：2D．：（1+）【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=2．过M作MP ⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠NMP=k=2，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，再求得|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，则答案可求．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，﹣2），∴抛物线的准线方程为l：x=1，直线AF的斜率为k=2，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠NMP=k=2，∴，可得|PN|=2|PM|，得|MN|=|PM|，而|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，∴|MN|：|FN|=：（1+），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线l1：（m+1）x+2y+2m﹣2=0，l2：2x+（m﹣2）y+2=0，若直线l1∥l2，则m=﹣2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据直线的平行关系得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：直线l1：（m+1）x+2y+2m﹣2=0，l2：2x+（m﹣2）y+2=0，m=2时，l1：3x+2y+2=0，l2：x+1=0，不合题意，m≠2时，若直线l1∥l2，则=≠，即（m+1）（m﹣2）=4，解得：m=3（舍）或m=﹣2，故答案为：﹣2．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A=3C，c=6，（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0，则△ABC的面积是．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数，利用三角形内角和定理可求A，C，进而利用正弦定理可求a，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：已知等式（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0，利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=，则B=60°．∵A=3C，c=6，可得：C=30°，A=90°，∴a===12，=acsinB==．∴S△ABC故答案为：．15．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是（3，5）．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域是四边形，即可确定a 的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y=a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a=3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a=1+4=5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）16．已知函数f（x）=|e x+|，（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是a∈[﹣1，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论．【解答】当a＞0时，f（x）=|e x+|=e x+，则函数的导数f′（x）=e x﹣=，且f（x）＞0恒成立，由f′（x）＞0解得e2x＞a，即x＞lna，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得e2x＜a，即x＜lna，此时函数单调递减，若f（x）在区间[0，1]上单调递增，则lna≤0，解得0＜a≤1，即a∈（0，1]当a=0时，f（x）=|e x+|=e x在区间[0，1]上单调递增，满足条件．当a＜0时，y=e x+在R单调递增，令y=e x+=0，则x=ln，则f（x）=|e x+|在（0，ln]为减函数，在[ln，+∞）上为增函数则ln≤0，解得a≥﹣1综上，实数a的取值范围是[﹣1，1]故答案为：a∈[﹣1，1]三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由a n=s n﹣s n可求通项，进而可求b n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和【解答】解：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，故a n=4n﹣1，又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2T n=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n∴=（4n﹣1）•2n=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+518．设f（x）=4sin（2x﹣）+．（1）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调减区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角函数的单调性与值域即可得出．（2）利用坐标变换得到的图象．可得．再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）f（x）=4sin（2x﹣）+．sin（2x﹣）=1时，f（x）取得最大值4+；sin（2x﹣）=﹣1时，函数f （x）取得最小值4﹣．（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象．∴．由．∴g（x）的单调减区间是．19．如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2．（1）求证：平面PAB⊥平面QBC；（2）求该组合体QPABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PA⊥BC，BC⊥AB，从而BC⊥平面PAB，由此能证明平面PAB ⊥平面QBC．（2）连接BD，过B作BO⊥AD于O，该组合体的体积V=V B+V Q﹣BCD．由此﹣PADQ能求出结果．【解答】证明：（1）∵OD⊥平面ABCD，PA∥QD，∴PA⊥平面ABCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，又∵BC⊂平面QBC，∴平面PAB⊥平面QBC．解：（2）连接BD，过B作BO⊥AD于O，∵PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，∴PA⊥BO，又BO⊥AD，AD⊂平面PADQ，PA⊂平面PADQ，PA∩AD=A，∴BO⊥平面PADQ，∵AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴．∴．∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CBD=∠CDB=30°，又BD=AB=2，∴，∴．∵QD⊥平面ABCD，∴．∴该组合体的体积．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，直线l 过点（﹣1，0）交椭圆E于A、B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意得b=1，由得a=，c=，b=1求得椭圆方程；（2）设直线l的方程为x=my﹣1，将直线方程代入椭圆方程，消去x，根据韦达定理代入三角形面积公式即可求得△AOB的面积，再换元配方即可得出结论．【解答】解：（1）由题意得b=1，由得a=，c=，b=1，∴椭圆E的方程为+y2=1；（2）依题意设直线l的方程为x=my﹣1，联立椭圆方程，得（m2+3）y2﹣2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，S△AOB=|y1﹣y2|=，=，设m2+3=t（t≥3），则S△AOB∵t≥3，∴0＜≤，∴当=，即t=3时，△OAB面积取得最大值为，此时m=0．21．已知函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax，a∈R，且a≠0．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=（3a+1）x﹣（a2+a）x2，当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出a 的取值范围，（2）当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，转化为lnx﹣x＜2ax﹣ax2，在（1，+∞）恒成立，构造函数h（x）=lnx﹣x，利用导数求出函数最值，得到ax2﹣2ax ﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣a2x2+ax，其定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣2a2x+a==．①当a=0时，f′（x）=＞0，∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意．②当a＞0时，f′（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即x ＞．此时f（x）的单调递减区间为（，+∞）．依题意，得解之，得a≥1．③当a＜0时，f′（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即x ＞﹣．此时f（x）的单调递减区间为（，+∞）．依题意，得解之，得a≤﹣．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．（2）∵g（x）=（3a+1）x﹣（a2+a）x2，∴f（x）﹣g（x）=lnx﹣（2a+1）x+ax2＜0，即lnx﹣x＜2ax﹣ax2，在（1，+∞）恒成立，设h（x）=lnx﹣x，则h′（x）=﹣1＜0恒成立，∴h（x）在（1，+∞）为减函数，∴h（x）＜h（1）=﹣1，∴ax2﹣2ax﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，设φ（x）=ax2﹣2ax﹣1当a=0时，﹣1＜0，符合题意，当a＞0时，显然不满足题意，当a＜0，由于对称轴x=1，则φ（1）＜0，即a﹣2a﹣1＜0，解得﹣1＜a＜0，综上所述，a的取值范围为（﹣1，0]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy 的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，即可化为直角坐标方程．（2）将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答．【解答】解（1）直线的斜率为，直线l倾斜角为…由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，得到曲线C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1…（2）点P（0，）在直线l上且在圆C内部，所以|PA|+|PB|=|AB|…直线l的直角坐标方程为y=x+…所以圆心（，）到直线l的距离d=．所以|AB|=，即|PA|+|PB|=…[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．2017年2月6日。
河北省衡水中学2017届高三上学期五调(12月)理数试题
数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 2.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q3.如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．14π-B ．4πC ．18π- D ．与a 的取值有关 4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，则p 的值为（ ） A ．45 B ．50 C.55 D ．605.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于52.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133 B ．35 C. 1043 D ．10747.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ） （参考数据：3 1.732≈,sin150.2588≈°,sin 7.50.1305≈°）A ．12B ．24 C. 36 D ．48.如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．9.三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ） A ．26 B ．212 C. 24 D ．31210. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积1312S c =，则ab 的最小值为（ ） A ．12 B ．13 C. 16D ．3 11.已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3,4)B ．(2,)+∞ C. (2,5) D ．(3,22)12.已知直线y a =分别与函数1x y e +=和1y x =-交于,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ）A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若61()n x x x+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.14.已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，若OAF ∆的面积为3，则p 的值为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.16.若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.（本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，1112AC AA =，114C A A π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2)2Q x y -+-=的圆心Q 在椭圆C 上，点(0,2)P 到椭圆C 的右焦点的距离为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为123x ty t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求2232x xy y-+的最小值，并求相应点M 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲已知实数0,0a b >>，函数()||||f x x a x b =--+的最大值为3. （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.2016～2017学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案一、选择题A D A D CC BD B BB D二、填空题13.5 14. 2 15.84 16.1a ≤-三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.解：（1）()*11n n a S n N λ+=+∈， ()112n n a S n λ-∴=+≥，1n n n a a a λ+∴-=，即()()112,10n n a a n λλ+=+≥+≠，又1211,11a a S λλ==+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………2分()231a λ∴=+，()()241113λλ∴+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=，…………4分 ()12,13132n n n a b n n -∴==+-=-.………………6分 （2）()1322n n n a b n -=-⋅，()121114272322n n T n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅………………①()()12312124272352322n n n T n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅……………②…………8分 ① —②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅…()()12121332212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………10分整理得：()3525n n T n =-⋅+………………12分18.（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为()3939,100P A ∴=…………4分 （Ⅱ）根据以上数据得到如表： 非重度污染重度污染 合计 供暖季 22830非供暖季 63 7 70 合计8515100…………8分 2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分 19.（本题满分12分）解：（1）取11AC 的中点G ， 连接,FG EG ，在111A B C ∆中，EG 为中位线，11,GE A B GE ∴⊄平面1111,ABB A A B ⊂平面11ABB A ，GE ∴平面11ABB A ，同理可得GE 平面11ABB A ，…………2分 又GFGE G =，所以平面GEF 平面11ABB A ，EF ⊂平面GEF ，EF ∴平面11ABB A .…………4分（2）连接1AC ，在11AAC 中，11111,24C A A AC AA π∠==， 所以由余弦定理得2222111111*********cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，平面11AA C C 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -， ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分 设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11110,0m AC m A B ∙=∙=，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量， 所以222110113222cos ,112113m n m n m n⨯+⨯+⨯<>===⨯⨯++， 平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值22211.20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆C 的右焦点(),0,6,2F c PF c =∴=，…………1分()2,2在椭圆C 上，22421a b ∴+=，…………2分由224a b -=得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.…………4分（Ⅱ）由题意可得1l 的斜率不为零，当1l 垂直x 轴时，M AB ∆的面积为14242⨯⨯=，…………5分当1l 不垂直x 轴时，设直线1l 的方程为：2y kx =+，则直线2l 的方程为：()()112212,,,,y x A x y B x y k =-+，由221842x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()22124240k x kx ++-=，所以121222424,1212k x x x x k k --+==++，…………7分 则()()2221224141121k k AB k x x k ++=+-=+，………………8分又圆心()2,2Q 到2l 的距离12221d k =<+得21k >，…………9分又,MP AB QM CD ⊥⊥，所以M 点到AB 的距离等于Q 点到AB 的距离，设为2d ，即222222211k k d kk-+==++，………………10分所以M AB ∆面积()()2222222414411422121k k k k s AB d k k ++===++，…………11分 令()2213,t k =+∈+∞，则222112311131450,,44,4322283t t S t t t ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫∈==--∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，M AB ∆面积的取值范围为45,43⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.…………12分21.解：（1）()()()()221221222x f x ax bx a b ax b e x x x x ⎡⎤=++-++-++-+⎣⎦ ()()2212322xax a b x a e x x ⎡⎤=+++-+⎣⎦，…………1分 ()00f a ∴==，又()010,1f a b b =-+=∴=.………………4分 （2）不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭，整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分 令()()()()()211,1,12x x x g x e x x h x g x e x h x e ⎛⎫=-++==-+=- ⎪⎝⎭.当0x >时，()10x h x e =->；当0x <时，()10x h x e =-<， ()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h ∴≥=，即()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =； 故2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤.∴当()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥， 当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根， 从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分22.解:（1）由1x t =-，得1t x =-，代入23y t =+， 得直线的普通方程3320x y --+=.由2p =，得2224,4p x y =∴+=.…………5分（2）,12x x C y y ⋅⋅⋅⎧=⎪∴⎨=⎪⎩的直角坐标方程为2214x y +=. ∴设()2cos ,sin M θθ，则2cos ,sin x y θθ==.2222324cos 23sin cos 2sin 2cos 233x xy y πθθθθθ⎛⎫∴-+=-+=++ ⎪⎝⎭ ∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩时，上式取最小值1. 即当31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,2M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，2232x xy y -+的最小值为1.…………10分 23.解：（Ⅰ）()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，…………2分 所以()f x 的最大值为a b +，3a b ∴+=.………………4分（Ⅱ）当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=-+=-，…………6分 对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于x a ∀≥，()max 3g x <-成立，()g x 的对称轴为2a x a =-<， ()g x ∴在[),x a ∈+∞为减函数，()g x ∴的最大值为()22223g a a a b a a =---=-+-，…………8分 2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >，又因为0,0,3a b a b >>+=，所以132a <<.………………10分。
河北省衡水中学2017届高三上学期第五次调研考试理数试题解析
河北省衡水中学2017 届高三上学期第五次调研考试（ 12 月）理数试题第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.已知全集U R ，会合A{0,1,2,3,4,5}，B{ x | x2} ，则图中暗影部分表示的会合为（）A．{0,1}B．{1}C．{1,2}D．{0,1, 2}2.已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数z的点是1i（）A．M B．N C．P D．Q3.如下图，墙上挂有边长为 a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的极点为圆心，半径为a的圆弧，某人向此板投镖.假定每次都能击中木板，2且击中木板上每个点的可能性都同样，则他击中暗影部分的概率是（）A．1B．C．1D．与a的取值相关4484.某公司为确立明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的广告支出m与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，获得以下表格中的数据：[根源 :]经测算，年广告支出 m 与年销售额t知足线性回归方程$6.5m17.5 ，则p的值为t（）A． 45B．50 C.55D．605.已知焦点在y 轴上的双曲线 C 的中点是原点 O ，离心率等于e c a2b2a2 155.以双曲线C的一个焦点为圆心， 1 为半径的圆与a a2a222双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为（）A． y2x21B．y2x21 C. y2x21D． x2y21 1644446.已知某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（）A ． 113B ．35C. 104D ． 1073347.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无穷增添时，多边形面积可无穷迫近圆的面积， 并创办了割圆术 .利用割圆术刘徽获得了圆周率精确到小数点后边两位的近似值 3.14，这就是有名的徽率 .如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的 n 为（ ）（参照数据：3 1.732,,）sin15° 0.2588 sin7.5 ° 0.1305[根源 :Z|xx|]A ． 12B ．24C. 36D ．48.如图，周长为 1 的圆的圆心 C 在 y 轴上，极点 A(0,1) ，一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长 ?，直线 AM 与 x 轴交于点 ，则函数AM x N (t ,0) t f (x)的图象大概为（）[ 根源 :学+科+网 Z+X+X+K]A ．B ．C. D ．9.三棱锥 A BCD 的外接球为球 O ，球 O 的直径是 AD ，且 ABC ， BCD 都是边长为1 的等边三角形，则三棱锥 A BCD 的体积是（）A．2B．2C.2D．3 61241210. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c cosB 2a b .若 ABC 的面积 S3c ，则ab的最小值为（）12A．1B．1C.1D．3 2360.5x21,x0,已知直线y mx 与函数f ( x)的图象恰巧有 3 个不一样的公共点，则11. 2 ( 1 )x , x03实数 m 的取值范围是（）A．( 3,4)B．(2, ) C. (2,5)D．( 3,22)12.已知直线y a 分别与函数y e x 1和 y x 1交于 A, B 两点，则 A, B 之间的最短距离是（）A． 3 ln 2B． 5 ln 2 C. 3 ln 2D． 5 ln 22222第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若( x61)n的睁开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.[来x x源:]14.已知抛物线方程为y2 2 px( p 0) ，焦点为F，O是坐标原点， A 是抛物线上的uuur3 ，则p的值为一点， FA 与 x 轴正方向的夹角为 60o，若OAF的面积为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院起码安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不一样的分派方法总数为__________.x y 20,16.若不等式组x5y 100, ，所表示的平面地区存在点 ( x0 , y0 ) ，使 x0 ay0 20 成x y 80立，则实数 a 的取值范围是___________.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.（本小题满分 12 分）设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n， a11， a n 1S n1(n N * ,1) ,且 a1、2a2、 a33 为等差数列 { b n} 的前三项.（1）求数列{ a n} ,{ b n}的通项公式；（2）求数列{ a n b n}的前n项和 .18.（本小题满分 12 分）某市踊跃倡议学生参加绿色环保活动，此中代号为“环捍卫士-12369”的绿色环保活动小组对 2015 年 1 月～ 2015 年 12 月（一年）内空气质量指数API进行监测，下表是在这一年随机抽取的 100 天统计结果：（1）若该市某公司每日由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量0,0t100,指数 API （记为 t ）的关系为：P 4t400,100 t300, ，在这一年内随机抽取一天，1500, t300,预计该天经济损失P (200,600] 元的概率；（2）若本次抽取的样本数占有 30 天是在供暖季节，此中有 8 天为重度污染，达成2×2 列联表，并判断能否有 95%的掌握以为该市今年度空气重度污染与供暖相关？下边对界值表供参照：参照公式： k 2n( ad bc)2，此中 n a b c d .(a b)(c d )(a c)(b d )19. （本小题满分12 分）已知在三棱柱 ABC A1 B1C1中，侧面 ABB1 A1为正方形，延伸AB到D，使得AB BD ，平面 AA1C1C 平面 ABB1 A1，AC112AA1，C1A1A.4（1）若E, F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF / /平面ABB1A1；[根源 :学|科 |网]（2）求平面 A 1B 1C 1 与平面 CB 1D 所成的锐二面角的余弦值 . 20.（本小题满分 12分）22已知椭圆 C :x2y 2 1(a b 0) ，圆 Q ( x 22 ) ( y2) 2 2的圆心 Q 在椭圆 C 上，点abP(0, 2) 到椭圆 C 的右焦点的距离为 6 .（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）过点 P 作相互垂直的两条直线 l 1 , l 2 ，且 l 1 交椭圆 C 于 A, B 两点，直线 l 2 交圆 Q 于C, D 两点，且 M 为 CD 的中点，求MAB 面积的取值范围 .21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) ( ax 2 bx a b)ex1( x 1)(x 2 2x 2)， a R ，且曲线 y f (x) 与 x 轴切2于原点 O .（ 1）务实数 a, b 的值；（ 2）若 f ( x) ?( x 2 mx n) 0 恒成立，求 m n 的值 .请考生在 22、23 中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程是2 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴成立平面直角坐标系，直线x1tl 的参数方程为2（ t 为参数）.y3t（1）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程；x 'x（2）设曲线C经过伸缩变换1获得曲线 C ' ，设M ( x, y)为曲线 C '上任一点，y '2y求 x23xy 2 y2的最小值，并求相应点M的坐标.23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知实数 a 0， b 0 ，函数f (x)| x a | | x b | 的最大值为 3.（1）求a b 的值；（2）设函数g (x)x2ax b ，若关于x a 均有g( x) f ( x) ，求 a 的取值范围.。
2024-2025学年河北省衡水市高三上学期12月月考数学检测试题(含解析)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分1502024-2025学年河北省衡水市高三上学期12月月考数学检测试题分，考试时间第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的120分钟..1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则A B =I （）A. {}1,2B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}4【答案】D 【解析】【分析】先解不等式求出集合A ，再根据交集运算求出A B Ç.【详解】由2230x x -->，解得3x >或1x <-.所以{|3A x x =>或1}x <-，又{}1,2,3,4B =，所以{}4A B Ç=.故选：D.2. 已知(1i)24i z +=+，则z =（ ）A. 10 B. 2C.D. 4【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 再求模长可得答案.【详解】()()()()24i 1i 24i 242i3i 1i 1i 1i 2+-+++====+++-z ，则z =.故选：C.3. 已知3log 2a =，4log 3b =， 1.20.5c =，比较a ，b ，c 的大小为（ ）A. a b c>> B. a c b>>C. b c a >>D. b a c>>【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式和对数的运算性质结合基本不等式比较,a b 的大小，再利用对数函数、指数函数的性质比较,a c 大小，即可求解.【详解】2ln 2ln 3ln 2ln 4(ln 3)ln 3ln 4ln 3ln 4a b ×--=-=×，因为ln 2,ln 40>，所以ln 2ln 4+>，即()()()22211ln 2ln 4ln 8ln 9ln 344×<<=，所以()2ln 2ln 4ln 3×<，且ln 3ln 40×>，所以a b <，又因为 1.2131log 2log 2,0.50.521a c =>===<，所以a c >，综上，b ac >>，故选：D.4. 已知向量()2,1a =r ，()1,3b =-r ，()()ka b a b -^+r rr r ，则实数k 的值为（ ）A. 94-B.94C. 1-D. 1【答案】B 【解析】【分析】计算出()21,3ka b k k -=-+r r ，()3,2a b +=-rr ，根据垂直得到方程，求出实数k 的值.【详解】由题意得()2,1a =r ，()1,3b =-r ，则()21,3ka b k k -=-+r r ，()3,2a b +=-rr ，因为()()ka b a b -^+r r r r ，所以()()321230k k --+=，解得94k =.故选：B5. 已知等比数列{}a 的前n 项和为n S ，若1231117a a a ++=，212a =，则3S =（ ）A.78B.74 C.72D. 7【答案】B 【解析】【分析】运用等比数列的通项公式计算公比，再求和即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ¹，依题意，1231117a a a ++=，212a =，即2222221111117q a a a a a a q qq ++=++×=，所以2227q q++=，即22520q q -+=，解得2q =或12q =，所以114a =，212a =，31a =或11a =，212a =，314a =，所以31171424S =++=.故选：B.6. 定义在()0,¥+上的函数()f x 满足()12,0,x x "Î+¥且12x x ¹，有()()()12120f x f x x x éù-->ëû，且()()()f xy f x f y =+，()243f =，则不等式()()231f x f x -->的解集为（ ）A. ()0,4 B. ()0,¥+ C. ()3,4 D. ()2,3【答案】C 【解析】【分析】结合题设赋值可得()81f =，再根据函数的单调性以及定义域即可求解.【详解】因为()()()f xy f x f y =+，所以()()()()2422223f f f f =´=+=，即()123f =，因为()()()()()18424232313f f f f f =´=+==´=，所以()()231f x f x -->，可转化为()()()238f x f x f -->，即()()()283f x f f x >+-，即()()()()283824f x f x f x >´-=-.因为()f x 满足()12,0,x x "Î+¥且12x x ¹，有()()()12120f x f x x x -->éùëû，所以()f x 在区间()0,¥+上单调递增，即20302824x x x x >ìï->íï>-î，解得34x <<，即不等式()()231f x f x -->的解集为()3,4.故选：C.7. 已知角a ，b 满足tan 2a =，()2sin cos sin b a b a =+，则tan b =（ ）A.13B.17C.16D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到2tan()3tan a b a +=，故3tan()tan 32a b a +==，利用正切和角公式得到方程，求出1tan 7b =.【详解】因为()sin sin sin()cos cos()sin b a b a a b a a b a =+-=+-+，2sin cos()sin b a b a =+，所以2sin()cos 2cos()sin cos()sin a b a a b a a b a +-+=+，即2sin()cos 3cos()sin a b a a b a +=+，则2tan()3tan a b a +=，因为tan 2a =，所以3tan()tan 32a b a +==，其中tan tan 2tan tan()31tan tan 12tan a b ba b a b b+++===--，故2tan 36tan b b +=-，解得1tan 7b =.故选：B.8. 已知0x >，0y >，且2e ln x x y =+，则（ ）A. 2e y > B. 22e x y +> C. 2e lnx y< D. 22e 1x <-【答案】B 【解析】【分析】令()()2e 0xf x xx =->，求导分析单调性可得ln 1y >，选项A 错误；把不等式等价转化，通过构造函数可得选项B 正确；由条件得2e ln x y x -=，根据0x >可得ee ln lnxy y->，选项C 错误；令e 1x =+可得选项D 错误.【详解】对于A 选项：令()2e xf x x =-，0x >，()e 2xf x x ¢=-，令()e 2xh x x =-，()e 2xh x ¢=-，令()0h x ¢=，则ln 2x =，当()0,ln 2x Î时，()0h x ¢<，()h x 单调递减，()f x ¢单调递减；当()ln 2,x Î+¥时，()0h x ¢>，()h x 单调递增，()f x ¢单调递增，所以()f x ¢有最小值()()ln 2min ln 2e 2ln 222ln 20f x f ¢¢==-=->，所以()f x 在区间()0,¥+上单调递增，故()()020e 01f x f >=-=，所以ln 1y >，即e y >，故A 选项错误；对于B 选项：由A 可知2ln e x y x =-，要证22e x y +>，即证22ln ln e x y +>，即证2ln 2y x >+，即证()22e 2x xx ->+，即证22e220xx x --->.令()22e 22xg x x x =---，则()2e 41xg x x ¢=--，令()2e 41xt x x =--，()2e 4xt x ¢=-，令()0t x ¢=，则ln 2x =，当()0,ln 2x Î时，()0t x ¢<，()t x 单调递减，()g x ¢单调递减；当()ln 2,x Î+¥时，()0t x ¢>，()t x 单调递增，()g x ¢单调递增，所以()g x ¢有最小值()()ln 2min ln 22e4ln 2144ln 2134ln 2g x g ==--=-¢-¢-=，由3e 16>得()min 0g x ¢>，所以()g x 在区间()0,¥+上单调递增，故()()0202e 20020g x g >=-´--=，所以22e x y +>成立，故B 选项正确；对于C 选项：由2e ln x x y =+得2e ln x y x -=，因为0x >，所以0e e ln e ln 1ln ln e ln lnx y y y y y ->-=-=-=，所以2e ln x y>，故C 选项错误；对于D 选项：令e 1x =+，则222e 2e 1e 1x =++>-，故D 选项错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据选项合理构造函数，利用导函数判断函数单调性，得出函数的最值，从而判断不等式是否成立.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差15180,224d a a ¹+=.则以下结论正确的是（ ）A. 168a =B. 若910S S =，则43d =C. 若2d =-，则n S 的最大值为21SD. 若151618,,a a a 成等比数列，则4d =【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可结合选项逐一求解.【详解】由1518224a a +=可得()112141724a d a d +++=，故1158a d +=，所以168a =，故A 正确，由910S S =可得101606a a d ==-，故43d =，故B 正确，若2d =-，则201640a a d =+=，且{}n a 单调递减，故n S 的最大值为20S 或19S ，故C 错误，若151618,,a a a 成等比数列，则16161518a a a a ×=，即()()64882d d =-+，解得4d =或0d =（舍去），D 正确，故选：ABD10. 已知函数()()32231f x x x a x b =-+-+，则下列结论正确的是（ ）A. 当1a =时，若()f x 有三个零点，则b 的取值范围是(0,1)B. 当1a =且x ∈(0,π)时，()()2sin sin f x f x<C. 若()f x 满足()()12f x f x -=-，则22a b -=D. 若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ¹，则01322x x +=【答案】ABD 【解析】【分析】求函数f (x )的导函数，判断函数的单调性，求其极值点，由()f x 有三个零点列不等式求b 的取值范围，判断A ，证明1≥sin x >sin 2x >0，结合单调性比较()()2sin ,sin f x f x 的大小，判断B ，由条件可得()f x 成中心对称，结合对称性性质判断C ，由极值点的性质可得12a >-，200661a x x =-+，令012x x t +=，化简又()()01f x f x =，可证明01322x x t +==判断D.【详解】对于选项A ，当1a =时，()3223f x x x b =-+，()()26661f x x x x x ==¢--，由f ′(x )=6x (x−1)>0，得到0x <或1x >，由()()610f x x x -¢=<，得到01x <<，所以()3223f x x x b =-+的单调递增区间为(),0¥-，(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)，故()f x 在0x =处取到极大值，在1x =处取到极小值，若()f x 有三个零点，则f (0)=b >0,f (1)=b−1<0,解得01b <<，故选项A 正确；对于选项B ，当x ∈(0,π)时，0sin 1x <<，20sin 1x <<，又()2sin sin sin 1sin 0x x x x -=->，即2sin sin x x >，由选项A 知，()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()()2sin sin f x f x <，故选项B 正确；对于选项C ，因为()()12f x f x -=-，即()()12f x f x -+=，所以()f x 成中心对称，又()()32231f x x x a x b =-+-+的定义域为R ，所以()111123112842f a b æö=´-´+-´+=ç÷èø，整理得到22b a -=，所以选项C 错误；对于选项D ，因为()()32231f x x x a x b =-+-+，所以()2661f x x x a =-+-¢，由题有()Δ362410a =-->，即12a >-，由()20006610f x x x a =-+-=¢，得200661a x x =-+，令012x x t +=，则102x t x =-，又()()01f x f x =，所以()()002f x f t x =-，得到()()()())323200000023122321(2x x a x b t x t x a t x b -+-+=---+--+，整理得到()()22000036263310x t x t tx t x a -+--++-=，又200661a x x =-+，代入化简得到()()203230x t t --+=，又012x x t +=，10x x ¹，所以00130x t x x -=-¹，得到230t -+=，即01322x x t +==，所以选项D 正确.故选：ABD.11. 设定义在R 上的可导函数()f x 和()g x 的导函数分别为()f x ¢和()g x ¢，满足()()()()11,3g x f x f x g x --=¢¢=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A. ()00f = B. ()g x 的图象关于直线2x =对称C. ()f x 的一个周期是4D.()20251k g k ==å【答案】BCD 【解析】【分析】利用抽象函数及导数的运算判断函数()g x ¢的图象关于点()2,0对称，从而可得()g x 的图象关于x =2对称，所以()g x 是周期函数，4是一个周期，可判断A 、B 、C 项；因为()()130g g ==，且()()20g g =-，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()()()()()()()202515061234202510k g k g g g g g g =éù=´++++==ëûå，可判断D 项.【详解】因为()1g x +为奇函数，所以()()11g x g x +=--+，所以()g x 的图象关于()1,0中心对称，()()11g x g x +=--+两边求导得：()()11g x g x ¢¢+=-+，所以()g x ¢图象关于x =1对称，因为()()11g x f x --=，所以()()10g x f x ¢¢+-=；所以()()10g x f x -+¢=¢，又()()3f x g x ¢=+¢，所以()()130g x g x ¢¢-++=，所以函数()g x ¢的图象关于点()2,0对称；的所以()g x 的图象关于x =2对称，故B 正确；所以()()22g x g x +=-，即()()13g x g x -+=+，又()()11g x g x +=--+，所以()()13g x g x +=-+，即()()2g x g x =-+，所以()()4g x g x =+，所以()g x 是周期函数，且4是一个周期，又因为()()11g x f x --=，所以()()11f x g x =--，所以()f x 是周期函数，且4是一个周期，故C 正确；因为()1g x +为奇函数，所以()g x 过()1,0，所以()10g =，令x =0，代入()()11f x g x =--，可得()()0111f g =-=-，故A 错误；令x =0代入()()13g x g x -+=+，可得()()130g g ==，令x =1，代入()()11g x g x +=--+，可得()()20g g =-，又因为()g x 的周期为4，所以()()04g g =，所以()()240g g +=，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()()()()()()()()20251506123420255064110k g k g g g g g g g =éù=´++++=´+==ëûå，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：1.若()()f x a f x a =+-+，则()f x 关于x a =对称，两边同时求导得：()()f x a f x a ¢¢+=--+，则()f x ¢关于(),0a 中心对称；2.若()()f x a f x a +=--+，则()f x 关于(),0a 中心对称，两边同时求导得：()()f x a f x a ¢¢+=-+，则()f x ¢关于x a =对称；3.若()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数且周期为T ；第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列{}a 满足35a =，221n n a a =+，()*122n n n a a a n ++=+ÎN，设{}na 的前n 项和为S ，则S =______.【答案】2n 【解析】【分析】根据122n n n a a a ++=+，利用等差中项性质判断数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，首项为1a ，由题设条件求得11a =，2=d ，再运用等差数列求和公式计算即得.【详解】由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，首项为1a ，由221n n a a =+，可得11(21)2[(1)]1a n d a n d +-=+-+，解得11d a =+，又由3125a a d =+=，解得11a =，2=d ，故()2122n n S n n -=+´=.故答案为：2n .13. 若函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于直线y x =对称，则函数()24y f x x =-的单调递增区间是______.【答案】()0,2【解析】【分析】根据反函数的定义可得f (x )=log 2x ，进而结合复合函数的单调性求解即可.【详解】由题意得f (x )=log 2x ，0x >，在定义域上单调递增，则()()2224log 4f x xx x -=-，由240x x ->，解得04x <<，所以函数()24f x x-定义域为(0,4)，且24y x x=-在(0,2)上单调递增，所以其单调递增区间为(0,2).故答案为：(0,2).14. 若正实数,a b 满足()1ln ln e a a b a a b --+³，则1ab的最小值为______.【答案】e 4【解析】【分析】把不等式()1ln ln ea ab a a b --+³变形为11ln e e 10a a b b a a--æö-+³ç÷èø，通过换元1e a b t a -=，根据不等式恒成立得出a 与b 的关系，从而把1ab表示为关于a 的表达式，再通过构造函数求最值即可．【详解】∵()1ln ln e a a b a a b --+³，∴1ln ln e a b b a a a--+³，∴11lnln e 1e a a b b a a --++³，即11ln e e 10a a b ba a--æö-+³ç÷èø，令1e a b t a-=，则有()ln 100t t t -+³>，设()ln 1f t t t =-+，则()111-¢=-=tf t t t，由()0f t ¢=得1t =，当01t <<时，()0f t ¢>，()f t 单调递增；当1t >时，()0f t ¢<，()f t 单调递减，∴()()max 10f t f ==，即ln 10t t -+£，∵ln 10t t -+³，∴ln 10t t -+=，当且仅当1t =时等号成立，∴1e 1a b t a -==，即111e a b a -=，∴()121e 0a a ab a-=>，设()()12e 0x g x x x -=>，则()()132e x x g x x --¢=，由()0g x ¢=得2x =，当02x <<时，()0g x ¢<，()g x 单调递减；当2x >时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，∴()()min e 24g x g ==，即1ab 的最小值为e 4.故答案为：e4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把不等式变形为11ln e e 10a a b b a a--æö-+³ç÷èø，通过换元1e a b t a -=得到()ln 100t t t -+³>，结合函数的单调性分析得ln 10t t -+£，即ln 10t t -+=（当且仅当1t =时等号成立），由此得到1e 1a b a -=，等式变形为()121e 0a a ab a-=>，构造函数分析单调性即可得到1ab 的最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=.（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ÐÐ===，求sin B .【答案】（1）2π3A =（2【解析】【分析】（1）等价变形已知条件，得到222b c a bc +-=-，结合余弦定理即可得解.（2）法①：由余弦定理求出CD =结合正弦定理即可求得sin C =，最后根据()sin sin B A C =+即可得解；法②：由法①得CD =ACD V 中由正弦定理得sin ADC Ð=π2ADC B Ð=+，从而得解sin B =CD =ABD △中a =+，由（1）问知222a b c bc =++，代入建立关于c 的方程，解方程得2c =，从而得出AD BD B BD ===；法④：由等面积法得ABC ABD ACD S S S =+V V V ，建立关于c 的方程，求得2c =，代入222a b c bc =++求得a ，最后结合正弦定理即可得解.【小问1详解】()()22222()2b c a b c a b c a b bc c a bc +-++=+-=++-=，则222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-，因为0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】法①：由（1）得，2π3A =，因为3BAD CAD Ð=Ð，所以π6CAD Ð=，如图在ACD V 中，由余弦定理2222cos CD AD AC AD AC DACÐ=+-×31647=+-=，即CD =在ACD V 中由正弦定理sin sin CD AD DAC C Ð==sin C =，因为π03C <<，故cos C ==，在ABC V 中()1sin sin sin cos cos sin 2B A C A C A C =+=+=-=.法②：同解法①CD =ACD V 中由正弦定理sin sin CD AC DAC ADC=ÐÐ，4sin ADC=Ð，所以sin ADC ADC ÐÐ===又因为π2ADC BAD B B ÐÐÐ=+=+，即πcos 2B æö+=ç÷èø，所以sin B =法③同上CD =ABD △中BD =，所以a =，由（1）问知222a b c bc =++，所以22416c c =++，即2210416c c c +=++23,c =+即2440c c -+=，所以2c =，AD BD B BD ===.法④如图由（1）知2π3A =，则π6CAD Ð=，因为ABC ABD ACD S S S =+V V V ，所以12π11π4sin 423226c ´=+´=+2c =，所以222164828a b c bc =++=++=，即a =在ABC V 中，由正弦定理sin sin a bA B=4sin B =，解得sin B ==16. 已知函数()()3ln212x f x x x x=++--.（1）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（2）若()()214f m f m -+<，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）1,12æöç÷èø【解析】【分析】（1）先确定函数的定义域，然后计算()()2f x f x +-的值即可确定函数的对称性，从而得结论；（2）求导()f x ¢，从而得()f x 的单调性，构造函数()()12g x f x =+-，判断函数()g x 的单调性与奇偶性，从而列不等式求解集.【小问1详解】证明：函数()()3ln212x f x x x x=++--，定义域满足02x x >-，解得02x <<，即函数定义域为()0,2，所以()()()()()3322ln21ln 2212x x f x f x x x x x x x-+-=++-++-+--()()()332ln 222112x x x x x x x x -æöéùéù=×++-+-+-ç÷ëûëû-èø0404=++=.所以曲线()y f x =关于点()1,2对称，即曲线()y f x =是中心对称图形.【小问2详解】()()()()2211223123122f x x x x x x x =+++-=++---¢，因()0,2x Î，()202x x >-，所以()()()2223102f x x x x =++->-¢，所以()f x 在区间()0,2上单调递增.因为()f x 关于点()1,2对称，所以()()12g x f x =+-是奇函数，且在区间()1,1-上单调递增.为由()()214f m f m -+<，即()()2122f m f m éù--<--ëû，即()()221g m g m -<--，所以()()221g m g m -<-，所以221,1221,111,m m m m -<-ìï-<-<íï-<-<î解得112m <<.所以实数m 的取值范围为1,12æöç÷èø.17. 已知数列()12nn n a =-+，()10n n n b a a l l +=->，且{}n b 为等比数列.（1）求l 的值；（2）记数列{}2n b n×的前n 项和为nT .若()*2115i i i T TT i ++×=ÎN ，求i 的值.【答案】（1）2l = （2）2i =【解析】【分析】（1）先由1n n n b a a l +=-求出123,,b b b ，在{}n b 为等比数列可得2213b b b =×，由此解出l 即可得出答案.（2）分n 为偶数和n 为奇数，求出n T ，再由()*2115i i i T T T i ++×=ÎN ，解方程即可得出答案.【小问1详解】因为()12nn n a =-+，则11a =，25a =，37a =，417a =.又1n n n b a a l +=-，则1215b a a l l =-=-，23275b a a l l =-=-，343177b a a l l =-=-.因为{}n b 为等比数列，则2213b b b =×，所以()()()2755177l l l -=--，整理得220l l --=，解得1l =-或2.因为0l >，所以2l =.当2l =时，()()111212212n nn n n n n b a a +++éù=-=-+--+ëû()()()()1111221231nnnn n ++=-´-+-´--=-´-.则()()1131131n n nn b b ++-´-==--´-，故{}n b 为等比数列，所以2l =符合题意.【小问2详解】()2231nn b n n ×=-´-×，当n 为偶数时，()2222222231234561n T n n éù=-´-+-+-+-×××--+ëû()()331212n n n =-´++×××+=-+；当n 为奇数时，()()()()()22113311231122n n n T T b n n n n n n ++=-+=-++++=+.综上，()()**31,21,N ,231,2,N .2n n n n k k T n n n k k ì+=-Îïï=íï-+=Îïî因为20i i T T +×>，又2115i i i T T T ++×=，所以10i T +>，所以i 为偶数.所以()()()()()3331231512,222i i i i i i éùéù-+´-++=´++êúêúëûëû整理得23100i i +-=，解得2i =或5i =-（舍去），所以2i =.18. 已知函数()()21e1axf x x -=++，()()()211e 1axa x g x x +-=++.（1）当0a <时，讨论()f x 的零点个数；（2）当0x ³时，()()f x g x ³，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析 （2）1,2æù-¥-çúèû【解析】【分析】（1）求导，得到函数单调性，进而得到最小值111e 1aa f a a+-æö=+ç÷èø，构造()11e 1a h a a +=+，0a <，求导得到其单调性，结合()10h -=，得到1a <-时，11e 10a a++>，则()0f x >，无零点；当1a =-时，()f x 有1个零点；当10a -<<时，()f x 有2个零点.（2）变形得到()1e 1ax x x --³+，两边同时取自然对数得，()()1ln 1x ax x -³-+，当0x =时，00³成立，当0x >时，参变分离得到()11ln 1a x x -+³+，设()()11ln 1m x x x-=++，0x >，多次求导，结合特殊点函数值，得到()m x 区间(0,+∞)上单调递增，又当x 趋近于0时，()m x 趋近于12-，所以()12m x >-，所以12a £-，得到答案.【小问1详解】()()()222e 1e e 1ax ax ax f x a x ax a ---=-+¢=--+，0a <，令()0f x ¢=，得1ax a -=，其中0a ->，10a a-<.当1,a x a ¥-æöÎ-ç÷èø时，f ′(x )<0，当1,a x a ¥-æöÎ+ç÷èø时，f ′(x )>0，则()f x 在区间1,a a ¥-æö-ç÷èø上单调递减，在区间1,a a ¥-æö+ç÷èø上单调递增，所以()1211111e 1e 1aa aaa a f x f a a a--×+--æöæö³=++=+ç÷ç÷èøèø.设()11e 1a h a a +=+，0a <，则()11122111e e e a a a a h a a a a+++-=-=×¢+.因0a <，所以()0h a ¢<，所以()h a 在区间(),0¥-上单调递减，又因为()10h -=，所以当1a <-时，11e 10aa++>，则()0f x >，无零点；当1a =-时，11e 10aa++=，()f x 有1个零点；当10a -<<时，11e 10a a++<，又()20e 10f =+>，当x 趋近于-¥时，()()21e1axf x x -=++趋近于1，()f x 有2个零点，综上，当1a <-时，()f x 无零点；当1a =-时，()f x 有1个零点；当10a -<<时，()f x 有2个零点.【小问2详解】()()f x g x ³，即()()2121e 1(1)e 1a x ax ax x x +--++³++，即()()2121e(1)e a x axax x x +--+³+，在为当0x ³时，11x +³，2e 0ax ->，所以()()f x g x ³，可得()111e ax x x -³+，可得()1e 1ax x x --³+，两边同时取自然对数得，()()1ln 1x ax x -³-+，当0x =时，00³成立，当0x >时，()ln 10x +>，则()()1ln 1x ax x -³-×+，可得()11ln 1a x x-+³+.设()()11ln 1m x x x-=++，0x >，则()()()()()()2222221ln 1111ln 111ln 1x x x m x x x x x x x ¢-++=×-=++++，设()()()221ln1n x x x x =-++，0x >，则()()()()()()2212ln 112ln 12ln 12ln 11n x x x x x x x x x =-+-+××+×=-+-++¢.设()()()22ln12ln 1p x x x x =-+-+，0,x >则()()()22ln 11222ln 1111x x p x x x x x -+=-+×-=+¢++，设()()22ln 1k x x x =-+，0x >，则()222011x k x x x -+¢==>+，所以()k x 在区间(0,+∞)上单调递增，又()00k =，所以()0k x >，所以()0p x ¢>，则()p x 在区间(0,+∞)上单调递增，又()00p =，所以()0p x >，所以()0n x ¢>，则()n x 在区间(0,+∞)上单调递增，又()00n =，所以()0n x >，所以()0m x ¢>，则()m x 在区间(0,+∞)上单调递增，又当x 趋近于0时，()m x 趋近于12-，所以()12m x >-，所以12a £-，所以实数a 的取值范围为1,2æù-¥-çúèû.【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方19. 若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ¹，都有()()1212f x f x k x x -£-成立，则称函数()f x 在其定义域D 上是“k -利普希兹条件函数”.（1）判断函数()1f x x=是否是区间[)1,+¥上的“1-利普希兹条件函数”？并说明理由；（2）已知函数()3f x x =是区间[]()0,0a a >上的“3-利普希兹条件函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为连续函数，其导函数为()f x ¢，若()(),f x K K ¢Î-，其中01K <<，且()01f =.定义数列{}n x ：10x =，()1n n x f x -=，证明：()11n f x K<-.【答案】（1）是，理由见解析 （2）(]0,1 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）先证明[)12,1,x x ¥"Î+，12x x ¹，()()1212f x f x x x -<-，结合定义判断结论；（2）由条件可得()3f x x -在[]()0,0a a >单调递减，由此可得()30f x ¢-£在[]0,a 恒成立，由此可求a 的取值范围；（3）由条件先证明函数()()g x f x Kx =+单调递增，再证明函数()()h x f x Kx =-单调递减，由此证明()()1212f x f x K x x -<-，再证明()()11n n n f x f x K ---<，结合绝对值不等式性质证明结论.【小问1详解】是，理由如下：依题意，[)12,1,x x ¥"Î+，12x x ¹，()()12121212111f x f x x x x x x x -=-=-，注意到[)12,1,x x ¥Î+，因此121x x >，从而1211x x <，故()()121212121f x f x x x x x x x -=-<-，即()f x 是区间[)1,+¥上的“1-利普希兹条件函数”.【小问2详解】依题意，[]12,0,x x a "Î，均有()()12123f x f x x x -£-成立，不妨设21x x >，则()()212133f x f x x x -£-，即()()221133f x x f x x -£-设()()333p x f x x x x =-=-，则()p x 在[]0,a 上单调递减，故()2330p x x -¢=£对[]0,x a "Î恒成立，即2033a <£，因此(]0,1a Î.【小问3详解】证明：由()(),f x K K ¢Î-，设()()g x f x Kx =+，则g ′(x )=f ′(x )+K >0，故()g x 为单调递增函数，则12x x "<，恒有()()12g x g x <，即()()1122f x Kx f x Kx +<+，得()()()1221f x f x K x x -<-，设()()h x f x Kx =-，则()()0h x f x K ¢¢=-<，故ℎ(x )为单调递减函数，则12x x "<，恒有()()12h x h x >，即f (x 1)−Kx 1>f (x 2)−Kx 2，得K (x 2−x 1)>f (x 2)−f (x 1).综上可知，()()1212f x f x K x x -<-，又()01f =， 10x =，()21x f x =，则()()()212121f x f x K x x K x K f x K -<-===，当2n ³时，()()()()1112n n n n n n f x f x K x x K f x f x -----<-=-()()2211122121n n n n n K x x K f x f x K x x K -----<-=×××=-<-=，则()()()()()()()()112211n n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x ---=-+-+×××+-+.()()()()()()()112211n n n n f x f x f x f x f x f x f x ---£-+-+×××+-+1211111n n n K K K K K K---<++×××++=<--.综上所述，()11n f x K <-.【点睛】解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。
河北省衡水中学2017届高三上学期五调(12月)数学(理)试题(解析版)
数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】A【解析】试题分析：图中阴影部分表示的集合为(){}0,1UA B =ð,故选A. 考点：1.集合的图形表示；2.集合的运算.2. 已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1z i+的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q【答案】D选D.考点：1.复数的几何意义；2.复数的运算.3. 如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．14π-B ．4πC ．18π- D ．与a 的取值有关 【答案】A考点：几何概型.4. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，则p 的值为（ ）A ．45B ．50 C.55 D ．60【答案】D【解析】 试题分析：由表格可知，2456855m ++++==，所以 6.5517.550t =⨯+=，所以有 30405070505p ++++=，解得60p =，故选D. 考点：线性回归.5. 已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于c e a ====2.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 【答案】C考点： 双曲线的标准方程与几何性质. 6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133B ．35 C. 1043 D ．1074【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一个三棱柱去掉两个三棱锥，三棱柱的底面为底与高皆为4的等腰三角形，三棱柱的高为5，两个三棱锥的底面底与高皆为4的等腰三角形，高为1，因此几何体的体积为11110444524412323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯= ，故选C. 考点：1.三视图；2.多面体的表面积与体积.7. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ）3 1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°）A ．12B ．24 C. 36 D ．4【答案】B考点：1.数学文化；2.程序框图.8. 如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．【答案】D【解析】试题分析：由图象可知，函数1()tan ()2t f x x π==-，由此知此函数是由tan y x π=的图象向右平移12个单位得到的，由选项可知D 正确，故选D.看完考点：三角函数的图象与性质.9. 三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ）A ．6B ．12 C. 4 D 【答案】B考点：1.球的切接问题；2.棱锥的体积.10. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积S =，则ab 的最小值为（ ）A ．12B ．13 C. 16D ．3 【答案】B【解析】试题分析：由2cos 2c B a b =+及正弦定理得2sin cos 2sin sin 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin C B A B B C B B C B C B =+=++=++，所以2sin cos sin 0B C B +=，又因为B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以1cos 2C =-，又1120,sin 2C S ab C =︒===，即3ab c =，由余弦定理可得 2222292cos 3a b c a b ab C ab ==+-≥，当且仅当a b =时等号成立，解此不等式得13ab ≥，即ab 的最小值为13，故选B. 考点：1.正弦定理与余弦定理；2.基本不等式. 【名师点睛】本题综合考查解三角形与基本不等式，属中档题；利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．利用余弦定理主要解决已知两边及夹角求其它元素问题.11. 已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03x x x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．4) B．)+∞C. D．【答案】B考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．12. 已知直线y a =分别与函数1x y e+=和y =,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ） A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 【答案】D考点：导数与函数的单调性、极值、最值.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值，属难题；利用导数求函数的最值是每年高考的重点内容，求函数在闭区间[,]a b 上的最值，先研究函数的单调性，若函数在该区间上单调，则两端点的值即为最值，若在区间上有极值，比较极值与两端点的值即可求其最值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若6(n x+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.【答案】5考点：二项式定理.14. 已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，若OAF ∆，则p 的值为__________.【答案】2【解析】 试题分析：抛物线的焦点为(,0)2p F ，准线为2p x =-，设00(,)A x y ，则02p AF x =+，又因为60AFM ∠=︒，00sin 60()22p y AF x =︒=+，所以001()282OAF p S OF y x ∆=⋅=+=082p x p =-，00)2p y x =+=，代入2002y px =得24882()2p p p p =-，解之得2p =或p =又当p =FA 与x 轴正方向的夹角为120，不符合题意，所以2p =.考点：抛物线的标准方程及几何性质.15. 在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.【答案】84【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生,①当有两所医院二人，一所医院一人时总数为22353333C C A A ⨯种，其中有甲、乙二人或丙、丁二人在同一组的有33334A A +种；②有两所医院分1 人另一所学校分三人有113223C C A .故满足条件的公法共有()223331135333322333484C C A A A C C A A ⨯-++=种方法. 考点：1.两个计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题考查两个计数原理与排列与组合，属中档题；涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．16. 若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1a ≤-考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划问题，属中档题；线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．本题则是考查二元一次不等式的几何意义，在直线一侧的点的坐标适合同一个不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和.【答案】(1) 12,32n n n a b n -==-；(2) ()3525n n T n =-⋅+.考点：1.n a 与n S 的关系；2.等差数列、等比数列的定义与性质；3.错位相减法求数列的和.【名师点睛】本题考查n a 与n S 的关系、等差数列、等比数列的定义与性质及错位相减法求数列的和，属中档题；解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解． 18. （本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）39100；（2）列联表见解析,有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.（Ⅱ）根据以上数据得到如表：2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.…………………………12分 考点：1.古典概型；2.独立性检验.【名师点睛】本题考查古典概型与独立性检验，属中档题；独立性检验是一种统计案例，是高考命题的热点，高考命题角度主要有：1.已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；2.已知某些数据，求分类变量的部分数据；3.求2K 的观察值或已知观察值，判断命题的正确性. 19. （本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，111AC ，114C AA π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（2）连接1AC ，在11AAC 中，11111,4C A A AC π∠=， 所以由余弦定理得2222111111111111112cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -， ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11110,0m A C m A B ∙=∙=，即1110x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量，所以cos ,2m n m n mn<>===⨯⨯， 平面111A B C 与平面1CB D考点：1.线面平行、面面平行的判定与性质；2. 线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用. 20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>，圆22(2)(2Q x y -+=的圆心Q 在椭圆C 上，点P 到椭圆C .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.【答案】(1) 22184x y +=；(2)4⎤⎥⎝⎦.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21. （本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值. 【答案】(1)0,1a b ==；(2)1m n +=-. 【解析】（2）不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭，整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分 令()()()()()211,1,12x x x g x e x x h x g x e x h x e ⎛⎫''=-++==-+=- ⎪⎝⎭.当0x >时，()10x h x e '=->；当0x <时，()10x h x e '=-<， ()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h ∴≥=，即()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =； 故2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤. ∴当()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥，当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根， 从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与方程、不等式.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C上任一点，求222x y+的最小值，并求相应点M 的坐标.【答案】（120y --=,曲线C 的普通方程为224x y +=；（2）最小值为1，相应的点为M ⎛⎝⎭或1,⎛- ⎝⎭. ∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩1.即当1,2M ⎛ ⎝⎭或1,2⎛-- ⎝⎭，222x y -+的最小值为1. 【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.大陆架参数方程的应用. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =---的最大值为3. （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围. 【答案】(1) 3a b +=；(2)132a <<.【考点】1.绝对值不等式的性质；2.函数与不等式.。
河北省衡水中学2017届高三上学期一调考试数学(文)试题(原卷版)
2016~2017学年度上学期高三年级一调考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}22,0.2,|20A B x x x =-=--=，则A B =（ ）A ．∅B ．{2}C ．{0}D ．{-2}2.复数122ii +-=（ ）A ．1i -B ．1i +C ． i - D．i 3.下列函数为奇函数的是（ ）A ．122x x - B ．3sin x x C ． 2cos 1x + D．22x x + 4.设0,x y R >∈，则“x y >”是“||x y >”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5.设0.14a =，4log 0.1b =，0.20.4c =则（ ）A ．a b c >>B ． b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>6.若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22x y +的最大值是（ ）A ．12B ．10C ．9D ．47.已知函数()cos sin 4f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，则函数()f x 的图象（ ）A ．最小正周期为2T π= B．关于点8⎛ ⎝π对称C ．在区间0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭π上为减函数D ．关于直线8x =π对称8.已知2a <<ππ，3sin 22cos a a =，则cos()a -π等于（ ）A.23B D 9.设函数3,1,()2,1,x x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩若546f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则b =（ ） A ．1 B ．78 C ．34 D ．1210.若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．22log 3B ．2log 7C ．2D ．311.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．14D ．1212.设,a b 为非零向量，2||b a =，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排 列而成，若11223344x y x y x y x y +++所有可能取值中的最小值为24||a ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．0第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数2015()2015sin 2015tan 2015f x x xx =+++，且(2015)2016f -=，则(2015)f 的 值为___________.14.已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1,(1))f 处的切线过点（2,7），则a =__________.15.不等式x e kx ≥对任意实数x 恒成立，则实数k 的最大值为___________.16.已知ABC ∆的三边a b c ，，满足113a b b c a b c+=++++，则角B =_____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分） 函数()3sin(2)6f x x =+π的部分图象如图所示.（1）写出()f x 的最小正周期及图中00,x y 的值；（2）求()f x 在区间212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ，-上的最大值和最小值.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，所对应的边分别为a b c ，，，已知sin 2sin a B = A.（1）求B ；（2）若1cos 3A =，求sinC 的值.19.（本小题满分12分）已知函数()x a f x lnx x-=-，其中a 为常数. （1）若曲数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线1y x =+垂直，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()f x 在区间[1,3]上的最小值为13，求a 的值.20.（本小题满分12分）如图，在一条海防警戒线上的点A B C 、、处各有一个水声监测点，B C 、两点到A 的距离分别为20千 米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该声波信号， 已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.（1）设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值；（2）求P 到海防警戒线AC 的距离.21.（本小题满分12分） 已知函数()(1)()a f x x a lnx a R x=--+∈. （1）当01a <≤时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使()f x x ≤恒成立，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD OE ⊥与D ，割线EC 交圆O 于B C ，两点.（1）证明：O ，,D B C ，四点共圆；（2）设5030DBC ODC ∠=︒∠=︒，，求OEC ∠的大小.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为10x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，圆C 的极坐标方程为24sin 20p ρθ-+=.（1）把圆C 的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）将直线l 向右平移h 个单位，所得直线'l 与圆C 相切，求h .24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|,,()|21|f x x a a a R g x x =-+∈=-.（1）若当()5g x ≤时，恒有()6f x ≤，求a 的最大值；（2）若当x R ∈时，恒有()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.：。
河北省衡水中学2017届高三上学期五调(12月)数学(理)试题(解析版)
数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】A【解析】试题分析：图中阴影部分表示的集合为(){}0,1UA B =ð,故选A. 考点：1.集合的图形表示；2.集合的运算.2. 已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1z i+的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q【答案】D选D.考点：1.复数的几何意义；2.复数的运算.3. 如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）A ．14π-B ．4πC ．18π- D ．与a 的取值有关 【答案】A考点：几何概型.4. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，则p 的值为（ ）A ．45B ．50 C.55 D ．60【答案】D【解析】 试题分析：由表格可知，2456855m ++++==，所以 6.5517.550t =⨯+=，所以有 30405070505p ++++=，解得60p =，故选D. 考点：线性回归.5. 已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于2c e a ====以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 【答案】C考点： 双曲线的标准方程与几何性质.6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133B ．35 C. 1043 D ．1074【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一个三棱柱去掉两个三棱锥，三棱柱的底面为底与高皆为4的等腰三角形，三棱柱的高为5，两个三棱锥的底面底与高皆为4的等腰三角形，高为1，因此几何体的体积为11110444524412323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯= ，故选C. 考点：1.三视图；2.多面体的表面积与体积.7. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ）1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°）A ．12B ．24 C. 36 D ．4【答案】B考点：1.数学文化；2.程序框图.8. 如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．【答案】D【解析】试题分析：由图象可知，函数1()tan ()2t f x x π==-，由此知此函数是由tan y x π=的图象向右平移12个单位得到的，由选项可知D 正确，故选D.看完考点：三角函数的图象与性质.9. 三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ）A ．6B ．12 C. 4 D 【答案】B考点：1.球的切接问题；2.棱锥的体积.10. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积12S =，则ab 的最小值为（ ）A ．12B ．13 C. 16D ．3 【答案】B【解析】试题分析：由2cos 2c B a b =+及正弦定理得2sin cos 2sin sin 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin C B A B B C B B C B C B =+=++=++，所以2sin cos sin 0B C B +=，又因为B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以1cos 2C =-，又1120,sin 2412C S ab C ab =︒===，即3ab c =，由余弦定理可得 2222292cos 3a b c a b ab C ab ==+-≥，当且仅当a b =时等号成立，解此不等式得13ab ≥，即ab 的最小值为13，故选B. 考点：1.正弦定理与余弦定理；2.基本不等式. 【名师点睛】本题综合考查解三角形与基本不等式，属中档题；利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．利用余弦定理主要解决已知两边及夹角求其它元素问题.11. 已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03x x x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．4) B．)+∞C. D．【答案】B考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．12. 已知直线y a =分别与函数1x y e+=和y =,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（ ） A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 【答案】D考点：导数与函数的单调性、极值、最值.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值，属难题；利用导数求函数的最值是每年高考的重点内容，求函数在闭区间[,]a b 上的最值，先研究函数的单调性，若函数在该区间上单调，则两端点的值即为最值，若在区间上有极值，比较极值与两端点的值即可求其最值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若6(n x+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.【答案】5考点：二项式定理.14. 已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，若OAF ∆，则p 的值为__________.【答案】2【解析】 试题分析：抛物线的焦点为(,0)2p F ，准线为2p x =-，设00(,)A x y ，则02p AF x =+，又因为60AFM ∠=︒，00sin 60)2p y AF x =︒=+，所以001)22OAF p S OF y x ∆=⋅=+=082p x p =-，00()22p y x p=+=，代入2002y px =得24882()2p p p p =-，解之得2p =或p =又当p =FA 与x 轴正方向的夹角为120，不符合题意，所以2p =.考点：抛物线的标准方程及几何性质.15. 在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.【答案】84【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生,①当有两所医院二人，一所医院一人时总数为22353333C C A A ⨯种，其中有甲、乙二人或丙、丁二人在同一组的有33334A A +种；②有两所医院分1 人另一所学校分三人有113223C C A .故满足条件的公法共有()223331135333322333484C C A A A C C A A ⨯-++=种方法. 考点：1.两个计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题考查两个计数原理与排列与组合，属中档题；涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．16. 若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】1a ≤-考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划问题，属中档题；线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．本题则是考查二元一次不等式的几何意义，在直线一侧的点的坐标适合同一个不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和.【答案】(1) 12,32n n n a b n -==-；(2) ()3525n n T n =-⋅+.考点：1.n a 与n S 的关系；2.等差数列、等比数列的定义与性质；3.错位相减法求数列的和.【名师点睛】本题考查n a 与n S 的关系、等差数列、等比数列的定义与性质及错位相减法求数列的和，属中档题；解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解． 18. （本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）39100；（2）列联表见解析,有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.（Ⅱ）根据以上数据得到如表：2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.…………………………12分 考点：1.古典概型；2.独立性检验.【名师点睛】本题考查古典概型与独立性检验，属中档题；独立性检验是一种统计案例，是高考命题的热点，高考命题角度主要有：1.已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；2.已知某些数据，求分类变量的部分数据；3.求2K 的观察值或已知观察值，判断命题的正确性. 19. （本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，111AC =，114C AA π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) 11【解析】（2）连接1AC ，在11AAC 中，11111,4C A A AC π∠==， 所以由余弦定理得2222111111111111112cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -， ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11110,0m A C m A B ∙=∙=，即1110x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量，所以cos ,2m n m nm n<>===⨯⨯， 平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值11.考点：1.线面平行、面面平行的判定与性质；2. 线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用. 20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>，圆22(2)(2Q x y -+=的圆心Q 在椭圆C 上，点P 到椭圆C .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.【答案】(1) 22184x y +=；(2) 4⎤⎥⎝⎦.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21. （本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值. 【答案】(1)0,1a b ==；(2)1m n +=-. 【解析】（2）不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭，整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分 令()()()()()211,1,12x x x g x e x x h x g x e x h x e ⎛⎫''=-++==-+=- ⎪⎝⎭.当0x >时，()10x h x e '=->；当0x <时，()10x h x e '=-<， ()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h ∴≥=，即()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =； 故2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤. ∴当()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥，当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根， 从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与方程、不等式.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C上任一点，求222x y+的最小值，并求相应点M 的坐标.【答案】（120y --=,曲线C 的普通方程为224x y +=；（2）最小值为1，相应的点为1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,2⎛--⎝⎭. ∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即12x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或12x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，上式取最小值1.即当1,2M ⎛ ⎝⎭或1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，222x y -+的最小值为1. 【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.大陆架参数方程的应用. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =---的最大值为3. （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围. 【答案】(1) 3a b +=；(2)132a <<.【考点】1.绝对值不等式的性质；2.函数与不等式.。