2016高中数学人教B版必修四2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课后作业题
高中数学人教B版必修4课时作业：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 Word版含解析
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式【选题明细表】1.向量a=(2,-4),与b=(-1,2)的夹角的大小为( D )(A)零角(B)直角(C)钝角(D)平角解析:a·b=2×(-1)+(-4)×故<a,b>=180°.故选D.2.已知向量a=(1,-1),b=(2,x).若a·b=1,则x等于( D )(D)1解析:因为a·b=2-x=1,所以x=1.故选D.3.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( B )(B) (D)10解析:因为a⊥b,所以有x-2=0,解得x=2,所以a=(2,1),所以故选B.4.设m,n是两个非零向量,且m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以下等式中与m ⊥n等价的个数是( D )①m·n=0,②x1x2=-y1y2,③|m+n|=|m-n|,④|m+n|=(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由两非零向量垂直的条件可知①②正确,由模的计算公式与向量垂直的条件可知,③④正确,故选D.5.已知向量a=(1,3),b=(sin α,cos α),a⊥b,则tan α的值为( B )(A)3解析:因为a⊥b,所以sin α+3cos α=0,所以sin α=-3cos α,所以tan α=-3.选B.6.已知a=(1,-1),b=(-2,1),c=λa+b,d=a-λb,且c⊥d,则实数λ= .解析:因为c=λa+b=λ(1,-1)+(-2,1)=(λ-2,-λ+1),d=a-λb=(1,-1)-λ(-2,1)=(1+2λ,-1-λ)又因为c⊥d,所以c·d=0,即(λ-2)(1+2λ)+(λ-1)(λ+1)=0,所以λ2-λ-1=0,解得λ.答案7.在四边形ABCD中则该四边形的面积为( C )(B)2 (C)5 (D)10解析:·(-4,2)=1×(-4)+2×2=0,所以且|=所以S四边形ABCD||故选C.8.(2017·长春外国语学校月考)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y), c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于( B )(B) (D)10解析:因为a⊥c,所以a·c=2x-4=0,所以x=2,又b∥c,所以2y=-4,所以y=-2,所以a=(2,1),b=(1,-2),所以a+b=(3,-1),所以选B.9.已知向量a=(1,0),b=(1,1),则向量b-3a与向量a夹角的余弦值为.解析:由a=(1,0),b=(1,1),得b-3a=(-2,1).设向量b-3a与向量a的夹角为θ,则cos θ答案10.(2017·诸城一中高一下期中)已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若且c∥a,求c的坐标;(2)若且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)设c=(x,y),由得,即x2+y2=20,因为c∥a,a=(1,2),所以2x-y=0,所以y=2x,由所以或所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,所以(a+2b)·(2a-b)=2|a|2+3a·b-2|b|2=0,(*)将|a|2=5,|b|2=(2(*)中,所以2×5+3a·b-2所以a·因为|a|=所以cos θ因为θ∈[0,π],所以θ=π.11.已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可以用v=f(u) 表示.(1)证明对于任意a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;(3)求使f(c)=(p,q)(p、q为常数)的向量c的坐标.解:(1)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),所以f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.(2)f(a)=f[(1,1)]=(1,2×1-1)=(1,1), f(b)=f[(1,0)]=(0,2×0-1)=(0,-1). (3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q),所以y=p,2y-x=q,所以x=2p-q,故向量c=(2p-q,p).。
人教B版高中数学必修四2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
2．3．3 向量数量积的坐标运算与度量公式课时目标1．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝_______________________________________． 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔______________． 3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝_____________________________________． (2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝__________________________． 4．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝____ _______＝__________________________．一、选择题1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1B ．2C ．2D ．42．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A ．3B ．23C ．4D ．12 3．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－16654．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－735．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )A ．5B ．10C ．5D ．256．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17B ．17C ．－16D ．16二、填空题7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝_______________________________． 8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________． 9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的射影为______．10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．三、解答题11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10． (1)求a 的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c．12．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π12变动时，a 的范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3C ．⎝⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)D ．(1，3) 14．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________．1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．2．3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式答案知识梳理1．x 1x 2＋y 1y 2 2.x 1x 2＋y 1y 2＝0 3.(1)x 21＋y 21(2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)24.a ·b |a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 作业设计1．C [由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2＝0，∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3.∴|a |＝1＋n 2＝2.故选C.] 2．B [a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.]3．C [∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)， ∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16.又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665.]4．D [设c ＝(x ，y )，由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，① 由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－73)，故选D.]5．C [∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2， ∴|b |＝5.]6．A [由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.]7．1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1. 8．(－4,8)解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4， ∴b ＝－4a ＝(－4,8)．9.655解析 设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55， 故a 在b 方向上的射影为|a |cos θ＝13×55＝655.10.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)解析 由题意cos α＝a ·b |a||b |＝－2λ－15·λ2＋1， ∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，∴－1<－2λ－15·λ2＋1<0， ∴⎩⎨⎧－2λ－1<0，－2λ－1>－5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，(2λ＋1)2<5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2，∴λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)，则有a ·b ＝λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵b ·c ＝1×2－2×1＝0，a ·b ＝10， ∴a (b ·c )＝0a ＝0，(a ·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)．12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 ∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )， 则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16， |AC →|＝25，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.13．C[已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零， 故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)．] 14．－2解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)， ∴MA →＝(0,1)， MB →＝(－3，－2)． ∴MA →·MB →＝－2.。
数学人教B版必修4训练：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 Word版含解析
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式一、基础过关1． 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．122． 已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17B.17C ．－16D.163． 平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. 3B ．2 3C ．4D ．124． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 5． 若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B.π6C.π4D.3π46． 已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.7． 若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________. 8． 已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值． 二、能力提升9． 已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )A. 5B.10C ．5D ．2510．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的射影为______．11．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．12．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋m b，若c与d夹角为45°，求实数m 的值．三、探究与拓展13．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．答案1．D 2.A 3.B 4.D 5.C 6．1 7.(－4,8) 8.(1)2525 (2)529 9．C 10.65511．解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.12．解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3) ＝(0,1)，d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3) ＝(1－2m,2－3m )，∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m ) ＝2－3m . 又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d|c ||d |＝2－3m(1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35.13．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)， 又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)， 所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0， |AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则 cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。
人教版高中必修4(B版)2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计
人教版高中必修4(B版)2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计一、教学目标1.掌握向量数量积的定义，并能够利用坐标运算求解向量数量积。
2.掌握向量数量积的度量公式，并能够灵活应用。
3.能够在实际问题中运用向量数量积解决几何问题。
二、教学重点和难点1.教学重点：向量数量积的坐标运算和度量公式的应用。
2.教学难点：向量数量积的概念和度量公式的证明。
三、教学方法与手段1.探究式教学：通过让学生自己发现向量数量积的性质和应用方法，激发其学习兴趣和求知欲。
2.讲授式教学：通过教师讲解向量数量积的定义、性质和应用，使学生全面理解该知识点。
3.互动式教学：通过师生互动，让学生积极参与讨论，提高教学效果。
4.录屏演示：通过PPT和教学软件，演示向量数量积的坐标运算和度量公式的应用，加深学生对知识点的理解。
四、教学内容和步骤第一步：向量数量积的概念和坐标运算公式1.讲解向量数量积的定义和性质，并给出两个向量的数量积的向量形式和标量形式。
2.教师以矢量坐标运算符 $ \cdot $ 为例，讲解向量数量积的坐标运算公式和求解方法。
3.设计数学实例，让学生自己动手计算两个向量的数量积，加深其对该知识点的理解。
第二步：向量数量积的度量公式1.讲解向量数量积的度量公式和应用方法，包括向量夹角余弦公式和向量模长公式。
2.教师以例题和练习题为例，演示应用向量数量积的度量公式解决几何问题的过程。
3.让学生自己设计一个实际问题，通过向量数量积的度量公式解决问题，提高其应用能力。
第三步：练习和巩固1.给学生准备一些模拟测试题目，让他们在课后进行复习和练习，巩固所学知识。
2.班内进行一次小测验，检验学生对该知识点的掌握程度，及时纠正学生存在的问题。
五、教学评价与反思在教学过程中，教师应该注意引导学生积极参与课堂活动，并及时纠正学生存在的问题，以达到高效的教学效果。
并在教学评价中，关注学生对向量数量积知识点的掌握情况，及时评价和反馈学生的学习成果，以便教师更好的指导学生。
人教版B版高中数学必修4：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
∴
x－3＝－6λ y－2＝－3λ
.
又∴∵x－A3D＝⊥2B(yC－，2∴)，A→即D·B→x－C＝2y0＋，1＝0.
①
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即 2x＋y－3＝0.
②
由①②可得
x＝1 y＝1
，
即 D 点坐标为(1,1)，A→D＝(－1,2)．
(2)∵a＝(1,0)，n·a＝0，∴n＝(0，－1)． ∴n＋b＝(cosx，sinx－1)． ∴|n＋b|＝ cosx 2＋ sinx－1 2 ＝ 2－2sinx＝ 2· 1－sinx. ∵x∈R，－1≤sinx≤1， ∴0≤ 1－sinx≤ 2. ∴0≤|n＋b→A＝(－3,5)，C→B＝(1，－1)， 所以|C→A|＝ 34，|C→B|＝ 2，C→A·C→B＝－8. cos∠ACB＝|CC→→AA|·|CC→→BB|＝－4 1717.
课后案：4 已知向量 m＝(1,1)，向量 n 与向量 m 的夹角为
3π，且 4
m·n＝－1.
(2)若 a⊥b，则13＋sinxcosx＝0，
∴sinxcosx＝－1<0. 3
∵x∈(0，π)，∴x∈(π，π)， 2
∴sinx>0，cosx<0，
∴sinx－cosx＝ sinx－cosx 2
＝ 1－2sinxcosx＝
1－2×
－1 3
＝
315.
合作探究一：在△ABC 中，已知A→B＝(2,3)、A→C＝(1，k)， 且△ABC 是直角三角形，求 k 的值．
部分题规范解答
5.已知向量 a＝(1，cosx)，b＝(1，sinx)，x∈(0，π)． 3
2016高中数学人教B版必修四2.3.3《向量数量积的坐标运算与度量公式》word学案
2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式一、学习要点：向量数量积的坐标运算与度量公式及其简单运用二、学习过程：一.复习回顾：平面向量数量积的性质及运算律.二.新课学习：1.平面向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a =1,1()x y , b=2,2()x y则a ⋅ b = .根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算.2.向量模的坐标表示:若a =1,1()x y , 则如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为1,1()x y ,2,2()x y , 那么3.两向量垂直和平行的坐标表示:设a =1,1()x y , b=2,2()x y ,则(1)(2)4.两向量夹角的坐标表示:设a 、b 都是非零向量, a =1,1()x y , b=2,2()x y , θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示，可得：三．例题：例1 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断∆ABC 的形状，并给出证明.例2 设a =(5,-7), b=(-6,-4),求a ·b 及a 与b 的夹角θ.例3已知|a |=3, b =(2,3) ,试分别解答下面两个问题:(1) 若a ⊥b ,求a ;(2) 若a ∥b 求a .例4已知向量(2,3),(3,)a b k ==-，且,a b <>是钝角。
求k 的取值范围四.课堂练习:1. 教材114P 练习题;五.课堂小结:１.理解各公式的正向及逆向运用；２.数量积的运算转化为向量的坐标运算；３.掌握平行、垂直、夹角的坐标表示，形成转化技能.六.作业:见作业（22）。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式》
向量数量积的坐标运算与度量公式一．教学目标：1知识与技能：（1）掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算（2）会判断两个平面向量的垂直关系，会计算向量的长度，能运用数量积求两个向量的夹角2过程与方法：经历数量积的坐标运算与度量公式，提高分析问题﹑解决问题的能力。
3情感﹑态度﹑与价值观：（1）通过用坐标表示向量，体现了代数与几何的完美结合，说明世间事物可以相互联系与转化。
（2）用向量的坐标反映向量的数量积，为研究数量积开创了一个新天地。
通过学习本节，使学生感受到同一事物的不同表示形式不会改变其本质规律。
二．教学重点﹑难点重点：掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算难点：会判断两个平面向量的垂直关系，会计算向量的长度，能运用数量积求两个向量的夹角三．学情分析：本章学生首先学习了向量的线性运算几何法及坐标法，以及平面向量数量积，学生以这些知识为基础，学习向量数量积的坐标运算与度量公式，相对来说比较轻松。
在授课过程中，可以充分以学生为主体，通过平面向量数量积及前面向量线性运算的坐标法，启发学生自己推导出向量数量积的坐标公式及度量公式。
四课型分析：新授课五．教学方法:本节内容教学中设置情境，启发引导学生由旧知推新知，自主探索研究，使数学的学习成为再创造的过程，使学生树立学习数学的信心。
六．教学过程及时间分配：（一）导入新课：（5分钟）复习向量数量积公式，垂直的条件以及求模和夹角公式。
结合前面向量的线性运算中几何法和坐标法引出本节课向量数量积的坐标运算及度量公式。
（二）讲授新课：（10分钟）解决课前案中的引导问题，大屏幕展示平面向量数量积坐标公式的推导过程，得出向量数量积的坐标公式，由学生说出向量有关应用的公式。
（三）例题讲解：（10分钟）学生讲解例题，变式1，变式2，引导学生总结判断三角形形状的方法：（1）数量积的方法，（2）求模的方法，（3）求夹角的方法。
（四）体验发现：（18分钟）探究部分：学生小组合作探究一变式3，探究二变式1,2,3，到黑板展示，点评，质疑，总结。
高中数学人教B版必修4作业：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 Word版含解析
一、选择题1．a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a ·b ＝( )A ．23B ．57C ．63D ．83【解析】 |a |2＝a 2＝a ·a ＝(－4)2＋32＝25，a ·b ＝(－4,3)·(5,6)＝－20＋18＝－2.∴3|a |2－4a ·b ＝3×25－4×(－2)＝83.【答案】 D2．(2019·宿州高一检测)若a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的射影为( )A ．25B ．2 C.5 D ．10【解析】 |a |cos θ＝|a |a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝2×3＋1×45＝2. 【答案】 B3．已知a ＝(－1,3)，b ＝(2，－1)且(k a ＋b )⊥(a －2b )，则k ＝( )A.43B ．－43 C.34 D ．－34【解析】 由题意知(k a ＋b )·(a －2b )＝0，而k a ＋b ＝(2－k,3k －1)，a －2b ＝(－5,5)，故－5(2－k )＋5(3k －1)＝0，解得k ＝34.【答案】 C4．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2,6)D ．(－2,6)【解析】 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)．由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎨⎧ －2(x ＋2)＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6.∴点C 的坐标为(－2,6)．【答案】 D5．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)、B (4,1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确 【解析】AC →＝(－1，－3)，AB →＝(3，－1)．∵AC →·AB →＝－3＋3＝0，∴AC ⊥AB .又∵|AC →|＝10，|AB →|＝10，∴AC ＝AB .∴∴ABC 为等腰直角三角形．【答案】 C二、填空题6．(2019·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．【解析】 ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →·AB →＝0.又AB →＝OB →－OA →＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )，∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0.∴t ＝5.【答案】 57．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.【解析】 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．【答案】 (－4,8)8．设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是_________．【解析】 a·b ＜0⇒(－2,1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－12.又设b ＝t a (t ＜0)，则(λ，－1)＝(－2t ，t )，∴t ＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a 和b 反向，且共线，此时，不满足题意．∴λ∈(－12，2)∪(2，＋∞)．【答案】 (－12，2)∪(2，＋∞)三、解答题9．(2019·徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，求：(1)AB →，AC →的坐标；(2)|AB →－AC →|的值；(3)cos ∠BAC 的值．【解】 (1)AB →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，AC →＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．(2)因为AB →－AC →＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|AB →－AC → |＝(－2)2＋(－4)2＝2 5.(3)因为AB →·AC →＝(－1,1)·(1,5)＝4，|AB →|＝2，|AC →|＝26，cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝42×26＝21313. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)、B (2,3)、C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．【解】 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为210，4 2.(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.11．已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求点D 的坐标与|AD →|.【解】 设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)．∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴－3(x －3)＋6(y －2)＝0.即x －2y ＋1＝0.又AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，即2x ＋y －3＝0.联立方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴点D 的坐标为(1,1)，|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝ 5.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、选择题
1．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b＝()
A．23B．57
C．63D．83
【解析】|a|2＝a2＝a·a＝(－4)2＋32＝25，
a·b＝(－4,3)·(5,6)＝－20＋18＝－2.
∴3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.
【答案】 D
2．(2013·宿州高一检测)若a＝(2,1)，b＝(3,4)，则向量a在向量b方向上的射影为()
A．2 5 B．2
C. 5 D．10
【解析】|a|cos θ＝|a|a·b
|a||b|＝a·b
|b|＝
2×3＋1×4
5＝2.
【答案】 B
3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(k a＋b)⊥(a－2b)，则k＝()
A.4
3B．－
4
3
C.3
4D．－
3
4
【解析】 由题意知(k a ＋b )·(a －2b )＝0，
而k a ＋b ＝(2－k,3k －1)，a －2b ＝(－5,5)，
故－5(2－k )＋5(3k －1)＝0，解得k ＝34.
【答案】 C
4．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )
A ．(2,6)
B ．(－2，－6)
C ．(2,6)
D ．(－2,6)
【解析】 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，
BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)．
由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得
⎩⎨⎧ －2(x ＋2)＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝－2，y ＝6.
∴点C 的坐标为(－2,6)．
【答案】 D
5．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)、B (4,1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．以上均不正确 【解析】
AC →＝(－1，－3)，
AB →＝(3，－1)．
∵AC →·AB →＝－3＋3＝0，
∴AC ⊥AB .
又∵|AC →|＝10，|AB →|＝10，
∴AC ＝AB .
∴△ABC 为等腰直角三角形．
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝
(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．
【解析】 ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →·AB →＝0.
又AB →＝OB →－OA →＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )，
∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0.
∴t ＝5.
【答案】 5
7．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.
【解析】 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，
∴b ＝－4a ＝(－4,8)．
【答案】 (－4,8)
8．设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是_________．
【解析】 a·b ＜0⇒(－2,1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－12.又设b ＝t a (t ＜0)，则(λ，－
1)＝(－2t ，t )，∴t ＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a 和b 反向，且共线，此时，不满
足题意．∴λ∈(－12，2)∪(2，＋∞)．
【答案】 (－12，2)∪(2，＋∞)
三、解答题
9．(2013·徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，求：
(1)AB →，AC →的坐标；
(2)|AB →－AC →|的值；
(3)cos ∠BAC 的值．
【解】 (1)AB →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
AC →＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．
(2)因为AB →－AC →＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|AB →－AC →|＝
(－2)2＋(－4)2＝2 5.
(3)因为AB →·AC →＝(－1,1)·(1,5)＝4，
|AB →|＝2，|AC →|＝26，
cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝42×26＝21313. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)、B (2,3)、C (－2，－1)．
(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．
【解】 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则
AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，
所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.
故所求的两条对角线的长分别为210，4 2.
(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，
AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．
由(AB →－tOC →)·OC →＝0，
得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，
从而5t ＝－11，
所以t ＝－115.
11．已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的
高，求点D 的坐标与|AD →|.
【解】 设点D 的坐标为(x ，y )，则
AD →＝(x －2，y ＋1)，
BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)．
∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，
∴－3(x －3)＋6(y －2)＝0.
即x －2y ＋1＝0.又AD ⊥BC ，
∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，
即2x ＋y －3＝0.
联立方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝1，y ＝1.
∴点D 的坐标为(1,1)，
|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝ 5.。