2018年上海高考文科数学试题及答案
2018年上海高考数学真题和答案
2018 年上海市高考数学试卷参照答案与试题分析一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题5 分）考生应在答题纸的相应地点直接填写结果 .1．（4 分）（2018 上海）队列式的值为18．【考点】 OM：二阶队列式的定义．【专题】 11 ：计算题； 49 ：综合法； 5R ：矩阵和变换．【剖析】直接利用队列式的定义，计算求解即可．【解答】解：队列式=4×5﹣2×1=18．故答案为： 18．【评论】此题观察队列式的定义，运算法例的应用，是基本知识的观察．2．（4 分）（2018?上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】 KC：双曲线的性质．【专题】 11 ：计算题．【剖析】先确立双曲线的焦点所在座标轴，再确立双曲线的实轴长和虚轴长，最后确立双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为 y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为： y=±【评论】此题观察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4 分）（2018?上海）在（ 1+x）7的二项睁开式中， x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】 DA：二项式定理．【专题】 38 ：对应思想； 4O：定义法； 5P ：二项式定理．【剖析】利用二项式睁开式的通项公式求得睁开式中x2的系数．【解答】解：二项式（ 1+x）7睁开式的通项公式为 T r+1= ?x r，令 r=2，得睁开式中 x2的系数为=21．故答案为： 21．【评论】此题观察了二项睁开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4 分）（2018?上海）设常数 a∈R，函数 f（ x） =1og2（x+a）．若 f （x）的反函数的图象经过点（ 3，1），则 a= 7．【考点】 4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【剖析】由反函数的性质得函数 f （x）=1og2（x+a）的图象经过点（ 1， 3），由此能求出 a．【解答】解：∵常数 a∈R，函数 f （x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数 f（x）=1og2（ x+a）的图象经过点（ 1，3），∴log2（1+a）=3，解得 a=7．故答案为： 7．【评论】此题观察实数值的求法，观察函数的性质等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．5．（4 分）（2018?上海）已知复数 z 知足（ 1+i）z=1﹣ 7i（i 是虚数单位），则|z|= 5．【考点】 A8：复数的模．【专题】 38 ：对应思想； 4A ：数学模型法； 5N ：数系的扩大和复数．【剖析】把已知等式变形，而后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（ 1+i） z=1﹣7i，得，则 |z|=．故答案为： 5．【评论】此题观察了复数代数形式的乘除运算，观察了复数模的求法，是基础题．6．（ 4 分）（2018?上海）记等差数列 {a n}的前 n 项和为 S n，若 a3 =0，a6+a7=14，则S7= 14．【考点】 85：等差数列的前 n 项和．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O：定义法； 54 ：等差数列与等比数列．【剖析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列 {a n}的前 n 项和为 S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得 a1=﹣4，d=2，∴ S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为： 14．【评论】此题观察等差数列的前 7 项和的求法，观察等差数列的性质等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．7．（5 分）（2018?上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（ 0，+∞）上递减，则α= ﹣1 ．【考点】 4U：幂函数的观点、分析式、定义域、值域．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O：定义法； 51 ：函数的性质及应用．【剖析】由幂函数 f（ x）=xα为奇函数，且在（ 0， +∞）上递减，获得 a 是奇数，且 a＜0，由此能求出 a 的值．【解答】解：∵α∈ {﹣2，﹣ 1，，1，2，3}，幂函数 f（x）=xα为奇函数，且在（ 0， +∞）上递减，∴a 是奇数，且 a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣ 1．【评论】此题观察实数值的求法，观察幂函数的性质等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．8．（5 分）（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣ 1，0）、 B（ 2，0），E、F 是 y 轴上的两个动点，且 | |=2 ，则的最小值为﹣3．【考点】 9O：平面向量数目积的性质及其运算．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转变思想； 41 ：向量法； 5A ：平面向量及应用．【剖析】据题意可设 E（ 0， a），F（0，b），进而得出 |a ﹣b|=2 ，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2 带入上式即可求出的最小值，同理将 b=a+2 带入，也可求出的最小值．【解答】解：依据题意，设E（0，a），F（ 0， b）；∴；∴a=b+2，或 b=a+2；且；∴；当 a=b+2 时，；∵ b2﹣2的最小值为；+2b∴的最小值为﹣ 3，同理求出 b=a+2 时，的最小值为﹣ 3．故答案为：﹣ 3．【评论】观察依据点的坐标求两点间的距离，依据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数目积运算，二次函数求最值的公式．9．（5 分）（2018?上海）有编号互不同样的五个砝码，此中 5 克、 3 克、 1 克砝码各一个， 2 克砝码两个，从中随机选用三个，则这三个砝码的总质量为9 克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】 CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 49 ：综合法； 5I ：概率与统计．【剖析】求出全部事件的总数，求出三个砝码的总质量为9 克的事件总数，而后求解概率即可．【解答】解：编号互不同样的五个砝码，此中 5 克、 3 克、 1 克砝码各一个， 2克砝码两个，从中随机选用三个， 3 个数中含有 1 个 2； 2 个 2，没有 2，3 种状况，全部的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9 克的事件只有： 5，3，1 或 5， 2，2 两个，所以：这三个砝码的总质量为9 克的概率是：=，故答案为：．【评论】此题观察古典概型的概率的求法，是基本知识的观察．10．（ 5分）（2018?上海）设等比数列n 的通项公式为n n﹣1（n∈N*），前n{a } a =q项和为 S n．若= ，则 q= 3．【考点】 8J：数列的极限．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 35 ：转变思想； 49 ：综合法； 55 ：点列、递归数列与数学概括法．【剖析】利用等比数列的通项公式求出首项，经过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列 {a n的通项公式为a =q n﹣1（n∈ N*），可得 a1，}=1因为=，所以数列的公比不是1，，a n+1=q n．可得====，可得 q=3．故答案为： 3．【评论】此题观察数列的极限的运算法例的应用，等比数列乞降以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的观察．11．（5 分）（2018?上海）已知常数 a＞0，函数 f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若 2p+q，则a=6．=36pq【考点】 3A：函数的图象与图象的变换．【专题】 35 ：转变思想； 51 ：函数的性质及应用．【剖析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值．【解答】解：函数 f （x） =的图象经过点 P（p，），Q（ q，）．则：，整理得：=1，解得： 2p+q=a2pq，因为： 2p+q=36pq，所以： a2=36，因为 a＞0，故： a=6．故答案为： 6【评论】此题观察的知识重点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（ 5 分）（2018?上海）已知实数x1、x2、 y1、y2知足： x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】 7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】 35 ：转变思想； 48 ：剖析法； 59 ：不等式的解法及应用．【剖析】设 A（x1，1），（2，2），（1，1），（ 2，2），由圆的方程y B x y= x y= x y和向量数目积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形， AB=1，+的几何意义为点A， B 两点到直线 x+y﹣1=0 的距离 d1与 d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设 A（ x1，y1），B（x2，y2），=（ x1，y1），=（x2，y2），由 x12+y12=1，x22 +y22=1，x1x2+y1y2= ，可得 A，B 两点在圆 x2+y2=1 上，且 ? =1×1×cos∠AOB= ，即有∠ AOB=60°，即三角形 OAB 为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A， B 两点到直线 x+y﹣ 1=0 的距离 d1与 d2之和，明显 A，B 在第三象限， AB 所在直线与直线x+y=1 平行，可设 AB：x+y+t=0，（t ＞0），由圆心 O 到直线 AB 的距离 d=，可得 2=1，解得 t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【评论】此题观察向量数目积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，观察点与圆的地点关系，运用点到直线的距离公式是解题的重点，属于难题．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项 .考生应在答题纸的相应地点，将代表正确选项的小方格涂黑 .13．（5 分）（2018?上海）设 P 是椭圆=1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2B．2C．2D．4【考点】 K4：椭圆的性质．【专题】 11 ：计算题； 49 ：综合法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a，接利用椭圆的定义，转变求解即可．【解答】解：椭圆=1 的焦点坐标在 x 轴， a=，P 是椭圆=1 上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=2．应选： C．【评论】此题观察椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（ 5 分）（2018?上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充足非必需条件B．必需非充足条件C．充要条件D．既非充足又非必需条件【考点】 29：充足条件、必需条件、充要条件．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O：定义法； 5L ：简略逻辑．【剖析】“a＞1”? “”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解： a∈R，则“a＞1”? “”，“”? “a＞1 或 a＜0”，∴“a＞1”是“”的充足非必需条件．应选： A．【评论】此题观察充足条件、必需条件的判断，观察不等式的性质等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．15．（ 5 分）（ 2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的极点为极点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．16【考点】 D8：摆列、组合的实质应用．【专题】 11 ：计算题； 38 ：对应思想； 4R：转变法； 5O ：摆列组合．【剖析】依据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：依据正六边形的性质，则D1﹣1 1，1﹣1 1 知足题意，而AABB D AAFFC1， E1，C，D，E，和 D1同样，有 2×6=12，当 A1ACC1为底面矩形，有2 个知足题意，当 A1AEE1为底面矩形，有 2 个知足题意，故有 12+2+2=16应选： D．【评论】此题观察了新定义，以及清除组合的问题，观察了棱柱的特点，属于中档题．16．（ 5 分）（2018?上海）设 D 是含数 1 的有限实数集， f（x）是定义在 D 上的函数，若 f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只好是（）A．B．C．D．0【考点】 3A：函数的图象与图象的变换．【专题】 35 ：转变思想； 51：函数的性质及应用； 56 ：三角函数的求值．【剖析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意获得：问题相当于圆上由12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们能够经过代入和赋值的方法当 f（1）=，，0 时，此时获得的圆心角为，，0，但是此时 x=0 或许 x=1 时，都有 2 个 y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个 x 只好对应一个 y，所以只有当 x= ，此时旋转，此时知足一个 x 只会对应一个 y，所以答案就选： B．应选： B．【评论】此题观察的知识重点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答以下各题一定在答题纸的相应地点写出必需的步骤 .17．（ 14 分）（ 2018?上海）已知圆锥的极点为P，底面圆心为 O，半径为 2．（1）设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积；（2）设 PO=4，OA、OB 是底面半径，且∠ AOB=90°，M 为线段 AB 的中点，如图．求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小．【考点】 LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】 11 ：计算题； 31 ：数形联合； 41 ：向量法； 5F ：空间地点关系与距离； 5G ：空间角．【剖析】（1）由圆锥的极点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4 能求出圆锥的体积．（2）以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OP 为 z 轴，成立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 PM 与 OB 所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的极点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4，∴圆锥的体积 V===．（2）∵ PO=4，OA，OB 是底面半径，且∠ AOB=90°，M为线段 AB 的中点，∴以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OP 为 z 轴，成立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣ 4），=（0，2，0），设异面直线 PM 与 OB 所成的角为θ，则 cosθ===．∴θ=arccos ．∴异面直线 PM 与 OB 所成的角的为 arccos．【评论】此题观察圆锥的体积的求法，观察异面直线所成角的正切值的求法，观察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．18．（ 14 分）（ 2018?上海）设常数 a∈R，函数（ 1）若 f （x）为偶函数，求 a 的值；（ 2）若 f （）=+1，求方程 f （x） =1﹣f（ x） =asin2x+2cosx2．在区间 [﹣π，π]上的解．【考点】 GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】 11 ：计算题； 38 ：对应思想； 4R：转变法； 58 ：解三角形．【剖析】（1）依据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出 a 的值，再依据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵ f（ x） =asin2x+2cosx，∴（﹣）﹣2f x = asin2x+2cosx，∵f（x）为偶函数，∴ f（﹣ x） =f（x），∴﹣ asin2x+2cosx=asin2x+2cosx，∴ 2asin2x=0，∴ a=0；（ 2）∵ f（） = +1，∴ asin +2cos2（）=a+1=+1，∴a= ，∴ f（x）= sin2x+2cosx= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+ ）+1=1﹣，∴sin（2x+ ）=﹣，∴ 2x+ =﹣+2kπ，或 2x+ =π+2kπ，k∈Z，∴ x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵ x∈[ ﹣π，π]，∴ x=或x=或x=﹣或x=﹣【评论】此题观察了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（ 14 分）（2018?上海）某集体的人均通勤时间，是指单日内该集体中成员从居住地到工作地的均匀用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．剖析显示：当 S 中 x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾集体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交集体的人均通勤时间不受x 影响，恒为 40 分钟，试依据上述剖析结果回答以下问题：（ 1）当 x 在什么范围内时，公交集体的人均通勤时间少于自驾集体的人均通勤时间（2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g（x）的表达式；议论 g（x）的单一性，并说明其实质意义．【考点】 5B：分段函数的应用．【专题】 12 ：应用题； 33 ：函数思想； 4C ：分类法； 51 ：函数的性质及应用．【剖析】（1）由题意知求出 f （x）＞ 40 时 x 的取值范围即可；（2）分段求出 g（x）的分析式，判断 g（x）的单一性，再说明其实质意义．【解答】解；（1）由题意知，当 30＜ x＜100 时，f（x）=2x+﹣90＞40，即 x2﹣65x+900＞0，解得 x＜20 或 x＞45，∴x∈（45，100）时，公交集体的人均通勤时间少于自驾集体的人均通勤时间；（ 2）当 0＜x≤30 时，g（x）=30?x%+40（ 1﹣ x%）=40﹣；当 30＜ x＜100 时，g（x）=（2x+﹣90）?x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴ g（ x）=；当 0＜x＜时， g（x）单一递减；当＜ x＜ 100 时， g（ x）单一递加；说明该地上班族 S 中有小于 %的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于 %的人自驾时，人均通勤时间是递加的；当自驾人数为 %时，人均通勤时间最少．【评论】此题观察了分段函数的应用问题，也观察了分类议论与剖析问题、解决问题的能力．20．（16 分）（2018?上海）设常数 t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点 F（2，0），直线 l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤ x≤t ， y≥0）． l 与 x 轴交于点 A、与Γ交于点 B．P、Q 分别是曲线Γ与线段 AB 上的动点．（ 1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离；（ 2）设 t=3，|FQ|=2 ，线段 OQ 的中点在直线 FP上，求△ AQP的面积；（ 3）设 t=8，能否存在以 FP、 FQ为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在Γ上若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明原因．【考点】 KN：直线与抛物线的地点关系．【专题】 35 ：转变思想； 4R：转变法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】（1）方法一：设 B 点坐标，依据两点之间的距离公式，即可求得|BF| ；方法二：依据抛物线的定义，即可求得|BF| ；（2）依据抛物线的性质，求得 Q 点坐标，即可求得 OD 的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得 P 点坐标，即可求得△ AQP 的面积；（3）设 P 及 E 点坐标，依据直线 k PF?k FQ=﹣1，求得直线 QF 的方程，求得 Q 点坐标，依据+ = ，求得 E 点坐标，则（）2（），即可求得=8+6P 点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（ t，2t），则 |BF|==t+2，∴|BF|=t+2 ；方法二：由题意可知：设B（t ，2t ），由抛物线的性质可知： |BF|=t+=t+2，∴ |BF|=t+2 ；（2） F（2，0），|FQ|=2 ，t=3，则 |FA|=1 ，∴ |AQ|= ，∴ Q（ 3，），设 OQ 的中点 D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得： 3x2﹣20x+12=0，解得： x=，x=6（舍去），∴△ AQP的面积 S= ××=；（ 3）存在，设 P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线 QF 方程为 y=（x﹣2），∴ y Q=（﹣），（，），8 2 =Q 8依据+ =，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得： y2=，∴存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在Γ上，且 P（，）．【评论】此题观察抛物线的性质，直线与抛物线的地点关系，观察转变思想，计算能力，属于中档题．21．（ 18 分）（ 2018?上海）给定无量数列 {a n}，若无量数列 {b n}知足：对随意n∈ N*，都有 |b n﹣ a n| ≤ 1，则称 {b n}与{a n}“靠近”．（ 1）设 {a n}是首项为 1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}能否与 {a n}靠近，并说明原因；（2）设数列 {a n}的前四项为： a1=1，a2=2， a3=4， a4 =8，{b n}是一个与 {a n}靠近的数列，记会合 M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求 M 中元素的个数 m；（3）已知 {a n}是公差为 d 的等差数列，若存在数列 {b n }知足： {b n }与{a n}靠近，且在 b2﹣b1， b3﹣b2，，b201﹣b200中起码有 100 个为正数，求 d 的取值范围．【考点】 8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】 34 ：方程思想； 48 ：剖析法； 54 ：等差数列与等比数列．【剖析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“靠近”，即可判断；（2）由新定义可得 a n﹣1≤b n≤ a n +1，求得 b i，i=1，2，3，4 的范围，即可获得所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得 a n，议论公差 d＞0，d=0，﹣ 2＜ d＜ 0， d≤﹣ 2，联合新定义“靠近”，推理和运算，即可获得所求范围．【解答】解：（1）数列 {b n}与 {a n}靠近．原因： {a n}是首项为 1，公比为的等比数列，可得 a n， n n+1，= b =a +1= +1则 |b n﹣n+1﹣|=1 ﹣＜1，n∈N * ，a |=|可得数列 {b n}与{a n}靠近；（2）{b n}是一个与{a n}靠近的数列，可得 a n﹣ 1≤ b n≤a n+1，数列 {a n}的前四项为： a1 =1，a2 =2，a3=4， a4=8，可得 b1∈ [0，2]，b2∈[1，3]， b3∈[3，5] ，b4∈[7， 9]，可能 b1与 b2相等， b2与 b3相等，但 b1与 b3不相等， b4与 b3不相等，会合 M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M 中元素的个数 m=3 或 4；（3） {a n}是公差为 d 的等差数列，若存在数列 {b n}知足： {b n}与 {a n}靠近，可得 a n=a1+（n﹣1）d，①若 d＞0，取 b n=a n，可得 b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则 b2﹣b1， b3﹣b2，，b201﹣b200中有 200 个正数，切合题意；②若 d=0，取 b n1﹣，则|b n﹣ n1﹣﹣ 1＜，∈N* ，=a a |=|a a |= 1 n可得 b n+1﹣n﹣＞，b =0则 b2﹣b1， b3﹣b2，，b201﹣b200中有 200 个正数，切合题意；③若﹣ 2＜d＜0，可令 b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则 b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（ a2n﹣1﹣ 1） =2+d＞ 0，则 b2﹣b1， b3﹣b2，，b201﹣b200中恰有 100 个正数，切合题意；④若 d≤﹣ 2，若存在数列 {b n}知足： {b n}与{a n}靠近，即为 a n﹣ 1≤ b n≤a n+1， a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得 b n+1﹣ b n≤a n+1+1﹣（ a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣ b1，b3﹣ b2，，b201﹣ b200中无正数，不切合题意．综上可得， d 的范围是（﹣ 2， +∞）．【评论】此题观察新定义“靠近”的理解和运用，观察等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，观察分类议论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．感恩和爱是亲姐妹。
2018年上海高考数学试题(文科)
2018年上海高考数学试题（文科）部门： xxx时间： xxx制作人：xxx整理范文，仅供参考，勿作商业用途2018年上海高考数学试卷<文科）一、填空题<本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式的解为．2．在等差数列中，若，则．3．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则．4．若，，则．5．已知的内角、、所对的边分别是，，．若，则角的大小是<结果用反三角函数值表示）．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．b5E2RGbCAP7．设常数．若的二项展开式中项的系数为-10，则．8．方程的实数解为．9．若，则．10．已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上地面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图．若直线与所成角的大小为，则．p1EanqFDPw11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是<结果用最简分数表示）．DXDiTa9E3d12．设是椭圆的长轴，点在上，且．若，，则的两个焦点之间的距离为． 13．设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为．14．已知正方形的边长为1．记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、．若且，则的最小值是．RTCrpUDGiT 二、选择题<本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．5PCzVD7HxA 15．函数的反函数为，则的值是< ） <A ）<B ）<C ）<D ）16．设常数，集合，．若，则的取值范围为< ）<A ）<B ）<C ）<D ）17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的< ） <A ）充分条件<B ）必要条件<C ）充分必要条件<D ）既非充分又非必要条件18．记椭圆围成的区域<含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则< ）A．0 B ． C．2 D ．三．解答题<本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19．<本题满分12分）如图，正三棱锥底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积．第19题图B20．<本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲厂以千M/小时的速度匀速生产某种产品<生产条件要求），每小时可获得的利润是元．<1）求证：生产千克该产品所获得的利润为；<2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．21．<本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数，其中常数．<1）令，判断函数的奇偶性并说明理由；<2）令，将函数的图像向左平移个单位，再往上平移个单位，得到函数的图像．对任意的，求在区间上零点个数的所有可能值．jLBHrnAILg22．<本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分． 已知函数．无穷数列满足．<1）若，求，，；<2）若，且，，成等比数列，求的值；<3）是否存在，使得，，，…，…成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．23．<本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如图，已知双曲线：，曲线：．是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．<1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程<不要求验证）；xHAQX74J0X<2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；<3）求证：圆内的点都不是“型点”．参考答案一、选择题1．2．153．4．15．6．787．8．9．10．11．12．13．14．15．A16．B17．A18．D19．20．解：<1）每小时生产克产品，获利，生产千克该产品用时间为，所获利润为.<2）生产900千克该产品，所获利润为所以，最大利润为元。
2018年上海市高考数学试卷(含详细答案解析)
2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）行列式的值为．2．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为．3．（4分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．4．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=．5．（4分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=．6．（4分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．10．（5分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=．11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=．12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．414．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．1616．（5分）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．18．（14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．20．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（18分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n ﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）行列式的值为18．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=5．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=3．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n=q n．+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF•k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n ﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．第21页（共21页）。
上海高考数学真题及答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018?上海）行列式的值为18．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）（2018?上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=?x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=5．【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）（2018?上海）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018?上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）（2018?上海）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=3．【考点】8J：数列的极限．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，=q n．，a n+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）（2018?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且?=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）（2018?上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）（2018?上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）（2018?上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f （x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）（2018?上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）（2018?上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30?x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）?x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）（2018?上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF?k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）（2018?上海）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n +1﹣b n =﹣＞0，则b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d ＜0，可令b 2n ﹣1=a 2n ﹣1﹣1，b 2n =a 2n +1，则b 2n ﹣b 2n ﹣1=a 2n +1﹣（a 2n ﹣1﹣1）=2+d ＞0，则b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中恰有100个正数，符合题意；④若d ≤﹣2，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，即为a n ﹣1≤b n ≤a n +1，a n +1﹣1≤b n +1≤a n +1+1，可得b n +1﹣b n ≤a n +1+1﹣（a n ﹣1）=2+d ≤0，b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．。
2018年上海高考数学真题和答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分，第1~6题每题4分,第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。
1．（4分）（2018•上海）行列式的值为18 ．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R :矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用,是基本知识的考查．2．(4分）（2018•上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2,b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．(4分）（2018•上海）在（1+x)7的二项展开式中，x2项的系数为21 （结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 :对应思想;4O:定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解:二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）（2018•上海）设常数a∈R,函数f（x）=1og2（x+a)．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a= 7 ．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 :函数思想；4O：定义法；51 :函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f（x)=1og2(x+a）的图象经过点（1,3)，由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x)=1og2（x+a）．f(x）的反函数的图象经过点（3，1)，∴函数f（x）=1og2(x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a)=3，解得a=7．故答案为:7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想,是基础题．5．（4分）（2018•上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i(i是虚数单位）,则｜z|= 5 ．【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A :数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由(1+i）z=1﹣7i，得，则｜z｜=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）（2018•上海)记等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7= 14 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想;4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列｛a n｝的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴,解得a1=﹣4，d=2,∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为:14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想,是基础题．7．(5分）（2018•上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3｝，若幂函数f （x)=xα为奇函数，且在(0,+∞）上递减,则α=﹣1 ．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 :计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f(x）=xα为奇函数,且在(0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0,由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈｛﹣2，﹣1，，1,2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为:﹣1．【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．(5分）(2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点A(﹣1，0）、B(2，0)，E、F是y轴上的两个动点，且｜｜=2，则的最小值为﹣3 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 :计算题；35 :转化思想；41 ：向量法；5A :平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a）,F(0，b）,从而得出｜a﹣b｜=2,即a=b+2，或b=a+2,并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0,a）,F(0，b）；∴;∴a=b+2,或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3,同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分)（2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB:古典概型及其概率计算公式．【专题】11 :计算题；34 :方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个,从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2,3种情况,所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有:5，3，1或5，2,2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是:=,故答案为:．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分)（2018•上海）设等比数列｛a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N＊），前n项和为S n．若=,则q= 3 ．【考点】8J:数列的极限．【专题】11 :计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 :综合法;55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可．【解答】解:等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1(n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1,，a n+1=q n．可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查．11．（5分)(2018•上海)已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p,），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a= 6 ．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f(x）=的图象经过点P（p，）,Q（q，）．则:，整理得:=1,解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以:a2=36，由于a＞0,故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）(2018•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 :转化思想；48 ：分析法;59 :不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1）,B(x2,y2）,=（x1,y1）,=(x2,y2)，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1,+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解:设A(x1,y1），B（x2，y2），=(x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题．二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项。
高三数学-2018年高考数学试题(上海卷文科) 精品
2018年高考数学试题（上海卷文科）一、填空题1．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期=T ．2．若3π=x 是方程1)cos(2=+αx 的解，其中)2,0(πα∈，则=α ．3．在等差数列}{n a 中，35=a ，26-=a ，则=+++1054a a a ． 4．已知定点)1,0(A ，点B 在直线0=+y x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是 ．5．在正四棱锥ABCD P -中，若侧面与底面所成二面角的大小为︒60，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 ．（结果用反三角函数值表示） 6．设集合}4|||{<=x x A ，}034|{2>+-=x x x B ，则集合A x x ∈|{且=∉}B A x 7．在△ABC 中，4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则=∠BAC ．（结果用反三角函数值表示）8．基首项为1a ，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项1a ，公比q 的一组取值可能是=),(1q a ．9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一国家的概率为 ．（结果用分数表示） 10．方程18lg 3=+x x 的根=x ．（精确到0.1）11．已知)2,0(n A ，)2,0(n B -，)0,24(nC +，其中n 为正整数．设n S 表示△ABC 外接圆的面积，则=∞→n n S lim ．12．给出问题：1F 、2F 是双曲线1201622=-y x 的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到焦点2F 的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由8||||||21=-PF PF ，即8|||9|2=-PF ，得1||2=PF 或17．该学生的解答是否正确？若正确，请将的解题依据填在下面空格内；若不正确，将正确结果填在下面空格内．二、选择题13．下列函数中，既为偶函数又在),0(π上单调递增的是 （A ）||x tg y = （B ）)cos(x y -=（C ）)2sin(π-=x y （D ）|2|x ctgy = 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （A ）α、β都垂直于平面γ（B ）α内存在不共线的三点到平面β的距离相等 （C ）l 、m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β（D ）l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β15．在)1,1(P 、)2,1(Q 、)3,2(M 和)41,21(N 四点中，函数x a y =的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点（A ）P （B ）Q （C ）M （D ）N 16．)(x f 是定义在区间],[c c -上的奇函数，其图象如图所示，令b x af x g +=)()(，则下列关于函数)(x g 的叙述正确的是（A ）若0<a ，则函数)(x g 的图象关于原点对称； （B ）若1=a ，20<<b ，则方程0)(=x g 有大于2的实根（C ）若0,2=-=b a ，则)(x g 方程的图象关于y 轴对称 （D ）2,0=≠b a 0)(=x g ，则方程0)(=x g 有三个实根三解答题17．已知复数i z -=θcos 1，i z +=θsin 1，求||21z z ⋅的最大值和最小值．18．已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，⊥1AA 平面ABC D ，2,4==AD AB ，若BC D B ⊥1，直线D B 1与平面ABCD 所成角等于︒30，求平行六面体1111D C B A ABCD -的体积．19．已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2，求)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.20．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状． （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少米？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=），柱体体积为：底面积乘以高，本题结果均精确到0.1米）21．在以O 为原点的直角坐标系中，点)3,4(-A 为△OAB 的直角顶点．已知||2||OA AB =，且点B 的纵坐标大于零．（1）求向量的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a 的取值范围．22．已知数列}{n a （n 是正整数）是首项为1a ，公比为q 的等比数列．（1）求和：223122021C a C a C a +-，334233132031C a C a C a C a -+-； （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明； （3）设1≠a ，n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，求：nnn n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-。
2018年高考真题——文科数学(上海卷)+word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式4125的值为 。
2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示）4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。
7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______ 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示） 10.设等比数列{}的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。
若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q=____________ 11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________ 12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，的最大值为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）2 （B ）2此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号（C）2（D）414.已知a R∈，则“1a﹥”是“1a1﹤”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）（A）4（B）8（C）12（D）16定16.设D是含数1的有限实数集，f x（）是义在D上的函数，若f x（）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f（）的可能取值只能是（）（A（B（C（D）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a R∈，函数f x（）22?asin x cos x=+（1）若f x（）为偶函数，求a的值；（2）若4fπ〔〕1=，求方程1f x=（）ππ-［，］上的解。
2018年上海卷高考真题数学试卷(详解版)(加密版)
7 2018 年上海卷高考真题数学试卷一、填空题（1~6 每小题 4 分，7~12 每小题 5 分，共 54 分）1.行列式|4 1|的值为．2 5【答案】 18【解析】|4 1| = 4 × 5 − 1 × 2 = 18.2 52.双曲线x 2 − y 2 = 1的渐近线方程为．4【答案】 y = ±x 2【解析】 ∵ x 2− y 2 = 1，∴ a = 2, b = 1，∴y = ± 4x .23.在(1 + x )7的二项展开式中，x 2项的系数为．（结果用数值表示）【答案】 21【解析】 C 2 = 21.4.设常数a ∈ R ，函数f (x ) = log 2(x + a )，若f (x )的反函数的图像经过点(3,1)，则a = ．【答案】 7【解析】 由题意得：函数经过点(1,3)，∴ log 2(1 + a ) = 3，∴ a = 7. 5.已知复数z 满足(1 + i)z = 1 − 7i （i 是虚数单位），则|z | =．【答案】 5【解析】 由题意得：z =1−7i = −3 − 4i ，∴ |z | = √(−3)2 + (−4)2 = 5．1+i6.记等差数列{a n } 的前n 项和为S n ，若a 3 = 0，a 6 + a 7 = 14，则S 7 = ．【答案】 14【解析】 a 6 + a 7 = 2a 3 + 7d = 14，∴ d = 2，S 7 = 7a 4 = 14．7.已知α ∈ {−2, −1, − 1 , 1 , 1,2,3}，若幂函数f (x ) = x α为奇函数，且在(0, +∞)上递减，则2 2α =．【答案】 −1【解析】 由题意得：f (x )为奇函数，∴ α为奇数，又∵ 在(0, +∞)递减，∴ α < 0，故α = −1．→8.在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)，B (2,0)，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF | = 2，则→ →AE ⋅ BF 的最小值为．【答案】 −3→ →【解析】 设E (0, t ), F (0, t + 2)，∴ AE ⋅ BF = (t + 1)2 − 3，∴ 最小值为−3．9. 有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 ．（结果用最简分数表示）【答案】1 5【解析】 总共有(5,3,1), (5,2,2)两种情况， P =21C 3 = 5.10.设等比数列{a }的通项公式为a = q n +1(n ∈ N ∗)，前n项和为S．若lim S n = 1，则nnq =．nn→∞ a n +12【答案】 3【解析】 若q = 1，则a n +1 = 1，S n = n ，∴ lim S n = lim n ≠ 1；若q ≠ 1，则a= q n ，S= a 1(1−q n )，n→∞ a n +1n→∞2a 1(1−q n )n +1n 1−q∴ lim S n = lim 1−q= a 1 lim 1−q n ．当q = −1时，极限不存在，显然不满足题 n→∞ a n +1 n→∞q n 1−q n→∞ q n 意；当|q | < 1时， lim S n = ∞ ≠ 1，不满足题意；当|q | > 1时， lim S n = a 1 lim ( 1 n→∞ a n +1 2 − 1) = a 1 = 1，n→∞ a n +1 1−q n→∞ q n∵ a 1 = 1，q−1 2∴ q = 3．综上，q = 3．11.已知常数a > 0，函数f (x ) =2x的图像经过点 6、1，若2p +q = 36pq ，则a =．(2x +ax )p (p , ) 5 Q (q, − )5【答案】 6【解析】 由题意得： 2p2p +ap+ 2q2q+aq= 1，∴ 2p +q = a 2pq = 36pq ，∴ a = 6.12.已知实数x 、x 、y 、y 满足：x 2 + y 2 = 1，x 2 + y 2 = 1，x x+ y y = 1，则|x 1+y 1−1| + 121211221 21 2 2 √2|x 2+y 2−1|的最大值为 ．√2【答案】 √2 + √3【解析】 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则P 、Q 在单位圆x 2 + y 2 = 1上．→ →∵ OP = (x 1, y 1)，OQ = (x 2, y 2)，→→→→→→1∴ OP ⋅ OQ = x 1x 2 + y 1y 2 = |OP ||OQ |cos ⟨OP , OQ⟩ = 2， →→∵ |OP | = |OQ | = 1，5→→1∴ cos ⟨OP, OQ⟩ = ，2→→∵ ⟨OP, OQ⟩∈ [0, π]，→→π∴ ⟨OP, OQ⟩ = ，3∴△ OPQ为正三角形，∴|x1+y1−1| +|x2+y2−1|为P、Q两点到直线l：x + y− 1 = 0的距离和|PP′| + |QQ′|．取√2 √2PQ中点M，过点M作MM′ ⊥ l于点M′．根据梯形中位线可得|PP′| + |QQ′| = 2|MM′|．∵ |OM| =√3，2∴点M在圆x2 + y2 = 3上运动，故点M到直线l的最大距离为√3 + √2，4 2 2∴ (|PP′| + |QQ′|) = 2 × (√3 +√2) = √3 + √2．max 2 2二、选择题（每小题5 分，共20 分）13.设P是椭圆x 2+ y2 = 1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）．5 3A.2√2B.2√3C.2√5D.4√2【答案】C【解析】椭圆x 2+ y2 = 1的焦点坐标在x轴，a = √5，P是椭圆x2 + y2 = 1上的动点，由椭圆的5 3 5 3定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a =2√5．故选C．14.若a∈ R，则“a > 1”是“1 < 1”的（）．aA.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条【答案】 A【解析】 由a > 1，一定能得到1< 1．a但当1< 1时，不能推出a > 1（如a = −1时），a故a > 1是1< 1的充分不必要条件．a故选A ．15. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）．A.4B.8C.12D.16 【答案】 D【解析】 符合条件的面有4个，每一个面对应的顶点有4个，∴4 × 4 = 16．16. 设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图像绕原点逆时针旋转π后与6原图像重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（ ）．A. √3B. √32C. √33D.0【答案】B【解析】设f(1)处的点为A，若f(x)逆时针旋转π后与原图象重合，1 6则旋转后的图象g(x)上A1的对应点A2，同时有A2的对应点A3，以此类推，则f(x)对应的图象可以为一个圆周上的12等分的12个点．当f(1)取值为√3时，点(1, √3)在图象上，点(1, −√3)也在图象上，此时，x = 1时，有两个y的值与之对应，不符合函数定义．同理，f(1) =√3和f(1) = 0亦不符合函数定义．3故选B．三、解答题（第17 题14 分，第18 题14 分，第19 题14 分，第20 题16 分，第21 题18 分）17.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．( 1 )设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积．( 2 )设PO = 4，OA，OB是底面半径，且∠AOB = 90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小．【答案】(1)8√3π．3(2) arc tan √17．。
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在平面直角坐标系xOy中，对于直线I：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η<0，则称点P1，P2被直线I分隔，若曲线C与直线I没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线I分割，则称分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长35米， 长80米，设 在同一水平面上，从 和 看 的仰角分别为 .
（1）设计中 是铅垂方向，若要求 ，问 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后. 与铅垂方向有偏差，现在实测得 求 的长（结果精确到0.01米）？
已知数列{an}满足 an≤3an+1≤3an，n N*，a1=1。
（1）若a1=2，a2=x，a3=9，求x的取值范围；
（2）若{an}是等比数列，且am= ，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{an}的公比；
（3）若a1，a2，…，a100成等差数列，求数列a1，a2，…，a100的公差的取值范围。
三．解答题（本大题共5题，满分74分）
19、（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥 ,其表面展开图是三角形 ，如图，求△ 的各边长及此三棱锥的体积 .
20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。
设常数 ，函数
（1）若 =4，求函数 的反函数 ；
（2）根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由.
（1）求证：点A（1，2），B（-1,0）被直线x+y-1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线。
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分。