初中数学竞赛专题辅导--函数图像
初中培优竞赛 第12讲 函数与图象
一、选择题1.（2007年浙江省竞赛题）抛物线y=x2+x+P(P≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标是p，那么该抛物线的顶点坐标是()A.(0,−2)B.(12,−94)C.(−12,94)D.(−12,−94)2.（2006年全国初中数学竞赛浙江赛区复赛题）设0<k<1，关于x的一次函数y=kx+1k(1−x)，当1≤x≤2时的最大值是()3.（2007浙江省竞赛题）直线l：y=Px（p是不等于0的整数）与直线y=x+10的交点恰好是格点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l有( )A.6条B.7条C.8条D.无数条4.（2007浙江省竞赛题）若ab+c =bc+a=ca+b=t，则一次函数y=tx+t2的图象必定经过的象限是()A.第一、二象限B.第一、二、三象限C.第二、三、四象限D.第三、四象限5.（2007浙江省竞赛题）函数y=−1|x|图象的大致形状是( )6.（2006年全国初中数学竞赛海南赛区初赛题）如图12 -6所示，正方形ABCD的边长为1，E，F，G，H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是( )7.（2006年全国初中数学竞赛浙江赛区赛题）作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2再将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2(x+1)2−1，则抛物线C l所对应的函数解析式是( )A.y=2(x+3)2−2B.y=−2(x+3)2+2C.y=2(x−1)2−2D.y=−2(x−1)2+28.（2007年山东省竞赛题）如图12 -7所示，一次函数y=kx+b的图象过点P(l，4)，且分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点O为坐标原点.当△AOB面积最小时，k，b 的值为( )A.k=−4,b=8B.k=−4,b=4C.k=−2,b=4D.k=−2,b=29.（2006年全国初中数学竞赛题）若函数y=(k+1)x2+x+k2+3k−2的图象与y 轴交点的纵坐标为-4，则k的值是()A.-1B.-2C.-1或2D.-1或-210.（2006年全国初中数学竞赛题）Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h，则()A.h<1B.ℎ=1C.1<ℎ<2D.ℎ>211.（第41届美国高中数学考试题）已知f x=ax2−2,a为一个正常数，如果f(f(2))=−2，则a的值为()A.2−2B.1C.2− 2D.2E.2+2二、填空题12.（1996年上海市初中数学竞赛题）已知函数y=(a−2)x−3a−1，当自变量x的取值范围为3≤x≤5时，y既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a的取值范围为______________13.（2006年太原市初中数学竞赛题）不论m取何值，抛物线y=x2+2mx+m2+m−1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是__________ .14.（1999年黄冈初中数学竞赛题）如图12 -8所示，直线y=−2x+10与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿AB翻折，点O落在C处，则点C的坐标是____ .15.（2007年周报杯竞赛题）已知点A，B的坐标分别为(1，0)，(2，0).若二次函数y=x2+(a−3)x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是______________ 16.（2007年数学周报杯竞赛题）如图12 -9所示，点A，C都在函数y=33x(x>0)的图象上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为___________17.（2006年全国初中数学竞赛题）函数y=x2−2006|x|+2008的图象与x轴交点的横坐标之和为________________18.（2005年全国初中数学竞赛题）在直角坐标系中，抛物线y=x2+mx−43m2(m>0)与x轴交于A，B两点，若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足1OB −1OA=23，则m=________________19.（1999年全国初中数学竞赛题）如图12 - 10所示，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP 与AB的交点为F.设DP=x cm，△EFB与四边形AFPD的面积和为y cm2，那么y与x之间的函数关系式是________(0<x<10).三、解答题20.（1997年江苏省初中数学竞赛题）求证：不论k为何值，一次函数(2k−1)x−(k+3)y−(k−11)=0的图象恒过一定点.21.（1993年江苏省初中数学竞赛题）已知mm是两位数，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点，这两点间的距离不超过2.(1)求证：0<m2−4n≤4;22.（2005年全国初中数学竞赛天津赛区初赛题）已知二次函数y=a(a+1)x2−(2a+1)x+1，其中a为正整数.(1)若函数y的图象与x轴相交于A，B两点，求线段AB的长；(2)若a依次取1，2，…，2005时，函数y的图象与x轴相交所截得的2005条线段分别为A1B1,A2B2，…，A2005B2005，试求这2005条线段长之和.23.（2006年黑龙江竞赛题）甲、乙两个登山队分别以不变的行进速度同时攀登一座高为2. 6km的高山，甲、乙两个登山队选择了不同的登山路线，图12 - 11为登山高度不超过2km时，两个登山队登山的高度h(km)与登山时间t（小时）的函数图象.根据图象回答下列问题：(1)求出乙登山队登山高度与登山时间的函数关系式；(2)在两个登山队登山高度不超过2km时，问：经过多长时间两队登山的高度相同？(3)若登山的高度超过2km时，这两个登山队继续按原行进速度登山，那么能否确定哪个登山队先到达山顶？若能确定，请求出先到达山顶的那个登山队所用的时间；若不能，请说明理由.24.（2005年太原市初中数学竞赛题）已知两个二次函数y A=x2+3mx−2和y B=2x2+6mx−2，其中m>0.构造函数y;当y A>y B时，设y=y A；当y A≤y B时，设y=y B.若自变量x在−2≤x≤1的范围内变化，求函数y的最大值与最小值.25.（2005年全国初中数学联赛题）设点A，B是抛物线y=2x2+4x−2上的点，原点位于线段AB的中点处.试求A，B两点的坐标.26.（2007年全国初中数学竞赛题）设m，n为正整数，且m≠2.如果对一切实数t二次函数y=x2+(3−mt)x−3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于|2t+n|，求m，n的值.答案与解析1.D 由题意得P2+P+P=0，解得P1=−2,P2=0（舍去）.当P=−2时，抛物线是y=x2+x−2，求得顶点坐标是(−12,−94)⋅2.A y=(k−1k )x+1k.因为0<k<1，所以k−1k=(k+1)(k−1)k<0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，最大值为k−1k +1k=k.3.B 解方程组y=pxy=x+10得x=10P−1因为x和p都是整数，所以p−1=±10,±5，±2，±1，即P=11，-9，6，-4，3，-1，2，0，共8个值，p=0舍去.4.A 由已知可得a+b+c=2(a+b+c)t，当a+b+c≠0时，t=12,y=12x+14，直线过第一、二、三象限；当a+b+c=0时，t=−1,y=−x+1，直线过第一、二、四象限.综上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限.5.D 当x>0时，y=−1x ，图象在第四象限；当x<0时，y=1x，图象在第三象限.所以原函数的图象在第三、四象限.6.B s=1−4×12x(1−x)=2x2−2x+1(0<x<1).本题也可从选项来判断，选项A中AE为负是不可能的，从而排除选项A；如果从极端情况看，当E无限接近于点A时，S=1而不是s=0，从而排除选项C；对于如图所示的面积显然是关于x的二次函数，而选项D的图象是折线段而不是二次函数的图象，从而排除选项D.7.D 将抛物线C再变回到抛物线Cl，即将抛物线y=2(x+1)2−1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y = 2(x-l)2 -2 ，其关于x轴对称的抛物线是y=−2(x−1)2+2.SΔBOA=SΔBOP+SΔPOA=11×4−k+1×4×k−4=4−1k+16.显然，k<0，令u=−k,v=−16k，则u>0,v>0，且uv=16.所以SΔBOA=4+12(u+v)=4+12[(u−v)2+2uv]当且仅当u=v，即k=−u=−4时.上式取等号，SΔBOA取最小值8.此时b=4−(−4)=8.9.D 由函数图象与y轴交点的纵坐标为-4，可知k2+3k−2=−4，进而求得k的值为-1或-2.本题易错之处：学生往往认为它是一个二次函数而人为约定k+1≠0,从而错误地选择B，忽略了它作为一个一次函数也符合题意.10.B 设点A的坐标为(a,a2)，点C的坐标为(c,c2)(|c|<|a|)，则点B的坐标为(−a,a2).由勾股定理得AC2=(c−a)2+(c2−a2)2,BC2=(c+a)2+(c2−a2)2,AC2+BC2=AB2.所以(a2−c2)2=a2−c2.由于a2>c2，所以a2−c2=1，即斜边AB上高h=a2−c2=1.11.D因为f(x)=ax2−2，所以f(2)=2a− 2.f(f(2))=f(2a−2)=a(2a−2)2−2.又因为f(f(2))=−2，所以a(2a−2)2=0.因为a为正常数，所以2a−=0，即a=22⋅12. a>8(1)当a>2时，一次函数y随x的增大而增大，由题意得(a−2)×3−3a−1<3(a−2)×5−3a−1>5，解得a>8.(2)当a<2时，y随x的增大而减小，由题意(a−2)×3−3a−1>5(a−2)×5−3a−1>3.解集为∅集所以a的取值范围是a>8.13. y=−x−1将二次函数变形为y=(x+m)2+m−1，可知抛物线的顶点坐标为x=−my=m−1，消去m得x+y=−1,所以y=−x−1.说明对于二次函数，其中基本认识之一是函数的标准写法.14.(8，4) 直线y=−2x+10与x轴交点A的坐标为A(5，0)，与y轴交点B的坐标为B(0，10)，则OA=5,OB=10.连结OC交AB于M，则AB垂直平分OC.在Rt△AOB中，易得OM=25,因为OB：OA =2:1，所以M到y轴的距离等于到x轴距离的2倍，所以可以得M(4，2)，由中点坐标公式得C(8，4).15.分两种情况：(1)因为二次函数y=x2+(a−3)x+3的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为(1，0)，(2，0)，所以[12+(a−3)×1+3]×[22+(a−3)×2+3]<0.解得−1<a<−12.由12+(a−3)×1+3=0得a=−1.此时x1=1,.令x=0，得B（0，4-k），令y=0，得A(k−4,0)⋅连结PO（见图1-3）.x2=3,符合题意.由22+(a−3)×2+3=0得a=−12⋅此时x1=2,x2=32，不符合题意.(2)今x2+(a−3)x+3=0，由判别式Δ=0得a=3±23.当a=3+23时，x1=x2=−3，不合题意；当a=3−23时,x1=x2=3,符合题意.综上所述，a的取值范围是−1≤a<12或a=3−2 3.16.(26,0)如图1-4所示，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F.设OE=a,BF=b,则AE=3a,CF=3b,所以点A，C的坐标分别为(a,3a),(2a+b,3b).所以3a2=333b2a+b=33解得a=3b=6−3.因此点D的坐标为(26,0).17.0 原问题可转化为求方程x2−2006|x|+2008=0⋯①的所有实根之和.若实数x0为方程①的根，则其相反数一x0也为方程①的根.所以方程的所有实根之和为0，即函数的图象与x轴交点的横坐标之和等于0.18.2 设方程x2+mx−34m2=0的两根分别为x1，x2，且x1<x2，则有x1+x2=−m<0,x1x2=−34m2<0.所以x1<0,x2>0.由1OB−1OA=23可知OA>OB.又因为m>0，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，于是OA=|x1|=−x1,OB=x2⋅所以1 x2+1x1=23,x1+x2x1x2=23，故−m−34m2=23，解得 m=2.19.由DP=x得PC=10−x,FB=12(10−x)，所以y=12×10×12(10−x)+1 2[10−12(10−x)+x]×10.即y=5x+50,0<x<10.20.解法1 既然不论k取何值，于是我们取k=1,k=2得x−4y+10=03x−5y+9=0，解得x=2y=3.把x=2,y=3代人(2k−1)x−(k+3)y−(k−11)=0，发现(2，3)就是该一次函数图象上的点，即该一次函数恒过定点(2，3).解法2 把(2k−1)x−(k+3)y−(k−11)=0表达成(2x−y−1)k=x+3y−11⋯①因为k可取任何值，即关于k的方程①有无穷多解，故2x−y−1=0x+3y−11=0，解得x=2y=3⋅因为点(2，3)是①的解，当然也适合原一次函数，故2k−1x−k+3y−(k−11)=0恒过定点(2，3).21.(1)设y=x2+mx+n的图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0),x1≠x2,则x1,x2为方程x2+mx+n=0的两个不同的实根，所以x1+x2=−m,x1x2=n.又因为0<|x1−x2|≤2,即0<(x1+x2)2−4x1x2≤4,也即0<m2−4n≤4.(2)因为m，n为数码(m≠0)，所以m2−4n=1,2,3,4,而m2被4除余0或1，故m2−4n被4除也余0或1，从而只能有m2−4n=1或m2−4n=4.解这两个不定方程得m=1n=0或m=2n=2或m=5n=6或m=2n=0或m=4n=3或m=6n=8，所以所求的两位数mn为10，32,56,20,43,68.22.(1)设函数y的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程a(a+ 1)x2−(2a+1)x+1=0的两个实根.由a(a+1)x2−(2a+1)x+1=0得(ax−1)[(a+1)x−1]=0，所以x1=1a ,x2=1a+1⋅所以|AB|=|x1−x2|=1a−1a+1=1a(a+1)⋅因此所求线段的长为1a(a+1)（a为正整数）(2)当a依次取1，2，…，2005时，所截得的线段长分别为|A1B1|=1−12,|A2B2|=1 2−13,⋯,|A2005B2005|=12005−12006⋅故|A1B1|+|A2B2|+⋯+|A2005B2005|=(1−12)+(12−13)+⋯+(12005−12006)=1−12006=20052006⋅23.(1)当0≤t≤1时，ℎ乙=0.5t；当1<t≤5时，h乙=0.5；当5<t≤10时，设ℎ乙=kt+b，把(5，0.5)，(10，2)代人得{10k+b=25k+b=0.解得{b=−1k=0.3所以ℎ乙=0.3t−1.(2)设甲登山队登山高度与登山时间之间的函数关系为ℎ甲=kt,所以2=12k,k=1 6⋅所以ℎ甲=16t.当ℎ甲=0.5时，t=3.解方程组ℎ=16tℎ=0.3t−1得ℎ=1.25t=7.5，所以经过3小时或经过7.5小时，两登山队登山的高度相同.(3)不确定.因为两个登山队在2km以上时，到达山顶的路程不确定，所以不能确定登山高度与时间的关系（如有其他答案，符合题意即可）.24.依题意得y=x2+3mx−2(y A>y B)2x2+6mx−2(y A≤y B).易看出，已知的两个二次函数的图象皆开口向上，有共同的对称轴x=−32m<0，在直线y=−2上有两个交点，其中一点坐标为（0，-2），描绘函数y A=x2+3mx−2与y B=2x2+6mx−2的图象，则两曲线中数值相对较大部分组成的曲线（即两交点左右两虚线及中间实线）就是所求函数的图象（如图1-5）.讨论函数y在−2≤x≤1时的最值.(1)当−32m≤−2，即m≥43时，y min=y A|x=−2=2−6m,y max=y B|x=1=6m;(2)当−2<−23m<−12，即13<m<43时，y min=y A|x=−3m=−94m2−2,y max=y B|x=1=6m;(3)当−12≤−32m<0时，即0<m≤13时，y min=y A|x=−32m=−94m2−2,y max=y B|x=−2=6−12m.25.因为原点是线段AB的中点，所以点A和点B关于原点对称，设点A的坐标为(a，b)，则点B的坐标为（-a，-b）.又因为A，B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式得b=2a2+4a−2−b=2a2−4a−2，解得a=1,b=4或者a=−1,b=−4.故A(l，4)，B(-l,-4)或A(-l,-4),B(l,4).26.因为x2+(3−mt)x−3mt=(x−mt)(x+3)，则方程x2+(3−mt)x−3mt=0的解是x1=mt,x2=−3，所以二次函数y=x2+(3−mt)x−3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为|x1−x2|=|mt+3|.由题意得|mt+3|≥|2t+n|，即(mt+3)2≥(2t+n)2，即(m2−4)t2+(6m−4n)t+9−n2≥0.又由题意可知m2−4≠0，且上式对一切实数t恒成立，所以m2−4>0Δ=(6m−4n)2−4(m2−4)(9−n2)≤0，即m>24(mn−6)2≤0,则m>2mn=6.所以m=3n=2或m=6n=1。
初中数学竞赛专题复习一次函数的图象与性质(无答案)
一次函数的图象与性质考点·方法·破译1．一次函数及图象：⑴形如y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，且k ≠0），则y 叫做x 的一次函数，当b ＝0，k ≠０时，y 叫做x 的正比例函数．⑵正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象是经过（0,0），（1，k ）两点的直线，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）是经过（0，b ）、（－k b，0）两点的直线．2．一次函数的性质：当k ＞0时，y 随自变量x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．3．函数y ＝kx ＋b 中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性．经典·考题·赏析【例１】（山东）函数y ＝ax ＋b ①和y ＝bx ＋a ②（ab ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）【解法指导】A 中①a ＞0，b ＞0，②b ＜0，a ＜0矛盾．B 中①a ＜0，b ＜0，矛盾．C 中①a ＞0，b ＞0②b ＞0，a ＝0矛盾．D 中①a ＞0，b ＜0②b ＜0，a ＞0，故选D ．【变式题组】01．（河北）如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（）02．（安徽）已知函数y ＝kx ＋b 的图象如左图，则y ＝2kx ＋b 的图象可能是（）03．下列图象中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx （m 、n 为常数，则mn ≠0）的图象是（）【例２】（绍兴）如图，一次函数y ＝x ＋5的图象经过点P(a ，b)和Q （c ，d ）则a （c －d ）－b （c －d ）的值为_______．【解法指导】因为点P(a ，b),Q （c ，d ）在一次函数图象上，∴b ＝a ＋5，d ＝c ＋5∴a －b ＝－5，c －d ＝－5，a （c －d ）－b （c －d ）＝（c －d ）（a －b ）＝（－5）×（－5）＝25【变式题组】01．如图一条直线l 经过不同三点A （a ，b ）,B （b ，a ）C （a －b ，b －a ）则直线l 经过（）A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限02．（南京市八年级竞赛试题）已知三点A(2,3),B （5,4）C(－4,1)依次连接这三点，则（）A ．构成等边三角形B ．构成直角三角形C ．构成锐角三角形D ．三点在同一条直线上03．（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形，则a 的值为_______．【例３】如图，已知正方形ABCD 的顶点坐标为A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)、D(1,3),直线y ＝2x ＋b 交AB 于点E ，交CD 于点F ．直线与y 轴的交点为（0，b ），则b 的变化范围是_____.【解法指导】直线y ＝2x ＋b 是平行于直线y ＝2x 的直线，当直线经过B 点时，b 最小，当x ＝3时，y ＝1∴1＝2×3＋b ， b ＝－5当直线经过D 点时，b 最大，所以当x ＝1时，y ＝3∴3＝2×1＋b ， b ＝1∴－5≤b ≤１【变式题组】01．线段y ＝－21x ＋a （1≤b ≤3），当a 的值由－1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（）A ．6B ．8C ．9D ．1002．（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P （－1,1），Q(2,2)，函数y＝kx －1的图象与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是_________.03．（济南）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y ＝k1x ＋b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y ＝k2x ＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝ k2，且b1＝b2，我们就称直线l1与直线l2平行．解答下面的问题：⑴求过点P （1,4）且与已知直线y ＝－2x －1平行的直线l 的函数表达式，并画出直线l 的图象；⑵设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：y ＝kx ＋t （t ＞0）与直线平行且交于x 轴于点C ，求出△ABC 的面积S 关于t 的函数关系式．【例４】已知一次函数y ＝kx ＋b ，当自变量取值范围是2≤x ≤６时，函数值的取值范围5≤y ≤9.求此函数的解析式．【解法指导】⑴当k ＞0，y 随x 的增大而增大，∴y ＝kx ＋b 经过（2,5），（6,9）两点∴9652b kb k∴31b k ，∴y ＝x ＋3 ⑵当k ＜0，y 随x 的增大而减小，∴y ＝kx ＋b 经过（2,9），（6,5）两点∴5692b k b k∴111bk ，∴y ＝－x ＋11 ∴所求解析式为y ＝x ＋3或y ＝－x ＋11【变式题组】01．已知一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x ≤１时，对应y 的值为1≤y ≤9，则kb的值为（）A ．4B ．－6C ．－4或21D ．－6或1402．（遂宁）已知整数x 满足－5≤x ≤5，y1＝x ＋1，y2＝2x ＋4，对任意一个x ，m 都取y1,、y2中的最小值，则m 的最大值是（）A ．1B ．2C ．24D ．－9【例５】如图，直线y ＝－5x －5与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于C ，与y 轴交于B 点，CD ⊥AB 交y 轴于E ．若CE ＝AB,求直线BC 的解析式．【解法指导】由CE ＝AB ，CD ⊥AB 可得△AOB ≌△EOC,因而OB＝OC 而y ＝－5x －5与y 轴交于B∴B(0，－5)∴C(5,0),而直线BC 经过（0，－5），（5,0）可求得解析式y ＝x －5【变式题组】01．如图，在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）是直线y ＝－x ＋6第一象限上的点，点A(5,0),O 是坐标原点，△PAO 的面积S ．⑴求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；⑵探究：当P 点运动到什么位置时△PAO 的面积为10.02．如图，直线l ：y ＝－21x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C （0,4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动．⑴求A 、B 两点的坐标；⑵求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标．03．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝kx ＋b 经过A （0,2）、B(4,2)两点．⑴求直线AB 的解析式；⑵点C 的坐标为（0,1），过点C 作CD ⊥AO 交AB 于D. x 轴上的点P 和A 、B 、C 、D 、O 中的两个点所构成的三角形与△ACD 全等，这样的三角形有_____个，请子啊图中画出其中两个三角形的示意图．【例６】如图，已知直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B.另一条直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过（1，0），且把△AOB 分成两部分．⑴若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；⑵若△AOB 被分成的两部分的面积比为1:5,求k 和b 的值．【解法指导】欲求k 和b 的值，需知道直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过两已知点，而点C （1，0）在直线上，因而只需求出另一点的坐标即可．解：⑴由题意得（2，0）、B(0，2)，∴Ｃ为OA 的中点，因而直线y ＝kx ＋b 过OA 中点且平分△AOB 的面积时只可能韦中线BC ．∴y ＝kx ＋b 经过C （1，0），（0，2）∴b b kx 20∴k ＝2 b ＝2⑵①设y ＝kx ＋b 与OB 交于M （0，t ）则有S △OMC ＝S △CAN,∴MN ∥ｘ轴，∴N(34,32)∴直线y ＝kx ＋b 经过34,32)，（1，0）∴03234b kb k∴22b k 【变式题组】01．如图，在平面直角坐标系xOy ，已知直线AC 的解析式为y ＝－21x ＋2，直线AC 交x 轴于点C ，交于y 轴于点A ．⑴若一个等腰直角三角形OBD 的顶点D 与点C 重合，直角顶点B 在第一象限内，请直接写出点B 的坐标；⑵过点B 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存一点P ，使得△AOP 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；⑶试在直线AC 上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．02．（浙江杭州）已知，直线y ＝－133x 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B,以线段AB 为直角边的第一象限内作等腰Rt △ABC,90BAC°，且点P （1,a ）为坐标系中的一个动点．⑴求三角形ABC 的面积S △ABC;⑵证明不论a 取任何实数，三角形BOP 的面积是一个常数；⑶要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．演练巩固·反馈提高01．（芜湖）关于x 的一次函数y ＝kx ＋k2＋1的图象可能正确的是（）02．一次函数y ＝kx －b 和正比例函数y ＝kbx 在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）03．一次函数y ＝（m －1）x ＋m2＋2的图象与y 轴的交点的纵坐标是3，则m 的值是（）A ．5B ．1C ．－1D ．－204．直线y1＝kx ＋b 过第一、二、四象限，则直线y2＝bx －k 不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限05．已知一次函数y ＝（1－2m ）x ＋m －2，函数y 随着x 的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m 的取值范围是（）A ．m ＞21 B.m ≤2 C ．21＜m ＜2 D.21＜m ≤２06．如图，点A 、B 、C 、D 在一次函数y ＝－2x ＋m 的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A ．1B ．3C ．3(m －1)D ．23（m －2）07．（绍兴）如图，在x 轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y ＝ax ，y ＝（a ＋1）x ，y ＝（a ＋2）x 相交，其中a ＞0，则图中阴影部分的面积是（）A ．12.5B ．25C ．12.5aD ．25a08．（重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →Ｄ作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（）09．（日照）如图，点A 的坐标为（－1,0）,点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（22，－22）C ．（－21，－21）D ．（－22，－22）10．（义务）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大.在你学习的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式_________.11．观察下列各直角坐标系中的直线AB ，点P （x ，y ）是线段AB 上的点，且x 、y 都是整数，请根据图中所包含的规律，回答下列问题：⑴第5个图中满足条件的点P 个数是_______;⑵第n 个图中满足条件的点P 个数m 与n 之间的关系是________.12．（十堰）直线y ＝kx ＋b 经过点A(－2,0)和y 轴上的一点B ，如果△ABO （O为坐标原点）的面积为2，则b 的值为________.13．如图，长方形OABC 的顶点B 的坐标为（6，4），直线y ＝－x ＋b 恰好平分长方形的面积，则b ＝_______.14．如图，点B 、C 分别在两条直线y ＝2x 和y ＝kx 上，点A 、D 是x 轴上两点，已知四边形ABCD 是正方形，则k ＝______.15．（东营）正方形A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置．点A1,A2,A3,…和C1,C2，C3,…分别在直线y ＝kx ＋b(k ＞0)和x 轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2）则Bn 的坐标是________.16．点P 为直线y ＝－3x ＋6上的一点，且点P 到两坐标轴距离相等，则P 点坐标为_____.17．已知直线y1＝x ，y2＝31x ＋1，y3＝－54x ＋5的图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取y1、y2、y3中最小的值，则y 的最大值为_______.18．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P(0,－3),且与函数y ＝21x ＋1的图象相交于点A （a ,38）.⑴求a 的值；⑵若函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点是B,函数y ＝21x ＋1的图象与y 轴的交点是C,求四边形ABOC 的面积(其中O 为坐标原点).19．定义q p,为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．⑴求一次函数y ＝－2（x －1）的特征数；⑵若特征数是2,2k 的一次函数为正比例函数，求k 的值．20．已知：三点A(a ，1)、B(3,1)、C(6,0)，点A 在正比例函数y ＝21x 的图象上．⑴求a 的值；⑵点P 为x 轴上一动点，当△OAP 与△CBP 周长的和取得最小值时，求点P 的坐标；21.已知直线ln ：y ＝－n n 1x ＋n 1（n 是正整数）.当n ＝1时，直线l1:y ＝－2x＋1与x 轴和y 轴分别交于点A1和B1.设△A1OB1(O 是平面直角坐标系的原点)的面积为s1.当n ＝2时，直线l2：y ＝－2123x 与x 轴和y 轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为s2，…，依次类推，直线ln 与x 轴和y 轴分别交于点An 和Bn ，设△AnOBn 的面积为Sn.求△A1OB1的面积s1；⑵求s1＋s2＋s3＋…＋s2019的值.22.（长沙）在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A（－1，1），B （－1，－1），C （1，－1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，图③是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分．⑴ｓ与t 之间的函数关系式是：_________；(2）与图③相对应的P 点的运动路径是：________；P 点出发 _______秒首次到达点B ；⑶写出当3≤s ≤８时，y 与s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．培优升级·奥赛检测01．已知abc ≠0，且b a c a c b c ba ＝t ，则直线y ＝tx ＋t 一定通过（）A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限02．一个一次函数的图象与直线y ＝x45＋495平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(－1,－25),则在线段AB 上（包括端点A 、B ）横坐标、纵坐标都是整数的点有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个03．在一次函数y ＝－x ＋3的图象上取点P ，作PA ⊥ｘ轴，PB ⊥ｙ轴，垂足分别为A 、B ，长方形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个04．在直角坐标系中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5），Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，若MP ＋MQ 取最小值，则点M 的坐标为________. 05．已知点A （0，2）、B(4,0)，点C 、D 分别在直线x ＝1与x ＝2上运动，且CD ∥ｘ轴，当AC ＋CD ＋DB 的值最小值，点C 的坐标为_____________.06．在直角坐标系中，有两个点A(－8,3)、B （－4，5）以及动点C （0，n ）、D（m ，0）.当四边形ABCD 的周长最短时，n m的值为_________.07．已知函数y ＝（a －2）x －3a －1，当自变量x 的值范围为3≤x ≤５时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数a 的取值范围．08．（荆州市八年级数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b （a 为整数）的图象过（98，19），它与x 轴的交点为（p ，0），与y 轴的交点为（0，q ），若P 为质数，q 是正整数，问符合条件的一次函数是否存在？若存在，求出解析式；若存在，说明理由．09．若直线y ＝mx －3，y ＝－1，y ＝3和x ＝1所围成的四边形面积为12，求m.10．设f （x ）＝kx ＋1是x 的函数，若m （k ）表示函数f （x ）＝kx ＋1在1≤x ≤３条件下的最大值，求函数m （k ）的解析式，并作出图象．。
初二函数的图像知识点总结
初二函数的图像知识点总结一、坐标系和直角坐标系在学习函数图像之前，我们需要先了解坐标系和直角坐标系的概念。
坐标系是用来描述平面上点的工具，它由水平方向和垂直方向的两条线组成。
而直角坐标系是将坐标系中的每一个点都表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点在横坐标轴上的位置，y表示点在纵坐标轴上的位置。
二、函数的概念函数是数学中的重要概念，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量。
通俗地讲，函数就是一种关系，它将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值。
函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
在学习函数图像时，我们需要了解一些常见的函数类型，比如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
三、函数图像的基本性质在绘制函数图像时，我们需要掌握一些基本的性质。
比如，线性函数的图像是一条直线，它可以通过两个点来确定；二次函数的图像是一条抛物线，它的开口方向取决于二次项系数的正负；指数函数和对数函数的图像分别是指数曲线和对数曲线，它们有一些特定的性质和规律。
四、函数图像的绘制方法在学习函数图像时，我们也需要了解一些绘制方法，比如利用表格法来绘制函数图像。
表格法是通过选取一些自变量的值，计算对应的因变量的值，然后将这些点连接起来来近似函数的图像。
此外，我们还可以利用函数的性质和变化规律来绘制函数图像，比如线性函数的斜率和截距可以帮助我们绘制出函数的大致形状。
五、函数图像与实际问题的应用函数图像不仅仅是数学中的一个概念，它还可以帮助我们解决一些实际问题。
比如，我们可以利用函数图像来描述日常生活中的变化规律，比如温度随时间的变化、物体的运动轨迹等。
此外，在学习物理和工程学科时，我们也经常会遇到一些与函数图像相关的问题，因此掌握函数图像的知识对于解决实际问题是非常有帮助的。
总之，函数图像是数学中的一个重要概念，它能够帮助我们直观地理解函数的性质和特点。
在初中阶段，学生需要掌握关于函数图像的基本知识，包括坐标系和直角坐标系、函数的概念、函数图像的基本性质、函数图像的绘制方法以及函数图像与实际问题的应用。
函数图像专题PPT课件图文
2．(2011·福州质检)函数y＝log2|x|的图象大致是( ) 答案 C 解析 函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，图象关于y轴对称，应选C.
答案 A
4．(08·山东)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则a的值为( ) A．3 B．2 C．1 D．－1 答案 A 解析 ∵函数f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(2)＝f(0)．即3＋|2－a|＝1＋|a|，用代入法知选A.
思考题1 将函数y＝lg(x＋1)的图象沿x轴对折，再向右平移一个单位，所得图象的解析式为________． 【答案】 y＝－lgx
题型二 知式选图或知图选式问题 例2 (2011·合肥模拟)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为( )
【解析】 首先分析奇偶性，知函数为偶函)＝1，∴选A.
1.函数图象的三种变换 (1)平移变换：y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位，得到y＝f(x＋a)的图象；y＝f(x－b)(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移b个单位而得到；y＝f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位，得到y＝f(x)－b的图象；y＝f(x)＋b(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向上平移b个单位而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减上加下减．
【答案】 C
题型三 函数图象的对称性 例3 (1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为________________． (2)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于( ) A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
初三数学竞赛专题--函数的图象(doc 10页)
初三数学竞赛专题--函数的图象(doc 10页)初中数学竞赛专题选讲（初三.17）函数的图象一、内容提要1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象. 例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线l.① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx 0+b ；② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上. 2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象.P(x,y)lox y义，还要注意是否连续，是否有界. ②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 二、例题例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)，试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0.∵对称轴在原点右边，∴x=－a b 2>0且a<0, ∴b>0.∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上，∴截距c>0.∵抛物线与横轴有两个交点，∴b 2－4ac>0.例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5.试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求：（1） x 的值什么范围，曲线f 1和f 2都是下降的；（2） x 的值在什么范围，曲线f 1和f 2围成一个封闭图形；（3） 求在f 1和f 2围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值.（1980年福建省中招试题）解：f 1 ：y=－x 2+5 (由顶点横坐标变化确定的)，f 2 ：y=(x －2)2－5 (由开口方向相反确定的). （1）当x ≥0时，f 1下降，当x ≤2时，f 2下降，∴当0≤x ≤2时，曲线f 1和f 2都是下降的.（2）求两曲线的交点横坐标，即解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=.5)2(522x y x y ，x 2－2x －3=0 .∴x=－1；或x=3.∴当－1≤x ≤3时，曲线f1和f2围成一个封闭图形.(3)封闭图形上，平行于y轴的线段的长度，就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点的纵坐标的差.在区间–1≤x ≤3内，设f1上的点P1(x,y1), f2上的点P2(x,y2)，求y1－y2的最大值，可用配方法：y1－y2＝(－x2+5)－[ (x－2)2－5]＝－2x2+4x+6＝－2(x－1)2+8.∵－2<0，∴y1－y2有最大值.当x=1 时，y1－y2的值最大是8.即线段长度的最大值是8.例3.画函数y=2x的图象.1-+x+解：自变量x的取值范围是全体实数，下面分区讨论：当x<－1 时， y=－(x+1)－(x －2)=－2x+1；当－1 ≤x<2时， y=x+1－(x －2)=3 ； 当x ≥2时， y=x+1+x －2=2x －1.即y=21-++xx =⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-).2(12)21(3)1(12x x x x x ；；x … －2 －1 2 3 …y=－2x+1(x<－1) (5)3 y=3(－1≤x<2) 3 3 y=2x －1(x ≥2)3 5 …∴ 画函数y=21-++x x 的图象如下图：例4. 画方程[x]2+[y]2=1 的图象， [m] 表示不超过m 的最大整数.(1985年徐州市初中数学竞赛题).解：∵[x]2≥0， 且 [y]2=1－[x]2≥0，∴[x]2≤1 . ∴ 0≤[x]2≤1.∵[m] 表示不超过m 的最大整数， ∴当[x]2=0⇔[x]=0⇔0≤x ≤1 .当[x]2=1⇔[x]=⎩⎨⎧<≤<≤--).21(1)01(1x x ，自变量x 的取值范围是：－1≤x<2.如图x－1≤x<0 0 ≤x<11≤x<2[x] －1 0 1 [x]2 10 1 [y]2=1－[x]2 0 1 0 [y] 0 －1 1 0 y 0≤y<1－1≤y<01≤y<2 0≤y<1阴影部分的四个正方形，就是所求方程的图象. 只包括各正方形左、下边界， 不包括各正方形右、上边界.例5. 直线y=x+m 与双曲线y=x m 在第一象限相交点A ，S Rt △AOB =3. ① 求m 的值 ；②设直线与x 轴交于点C ，求点C 的坐标； ③求S △ABC .解： ①设A 坐标为 (x, x+m). ∵ S △AOB =21OB ×BA.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=x m m x m x x )(213 整理得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+mmx x mx x 2206∴m=6② ∵直线与x 轴交于点C. 把y=0 代入y=x+6 得x=－6, ∴点C 的坐标是(－6，0)③∵直线y=x+m 与双曲线y=xm 在第一象限相交点A ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 66得⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=153153y x 即点A 的坐标是 (－3+15，3+15).∴BC=1536+-+-=3+15∴S△ABC =21(3+15)(3+15)=12+315.例6. 选择题(只有一个正大确的答案).①函数y=kx+k 与y=xk 在同一坐标系中的图象的大体位置是 ( )②函数y=1－2xx 的图象是( )k在一、解：①常数k是同一个值，.双曲线y=x三象限，k>0,那么y=kx+k中，当k>0时，直线上升且在y轴上的截距为正.所以应选(D)；②注意到y=1－2xx 中，当x=0和x=1时y有最大值1，故选(A).三、练习1.填空：①横坐标为－2的点的集合，记作直线＿＿＿＿＿，纵轴记作直线＿＿＿＿＿＿，横轴记作直线＿＿＿＿＿，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线＿＿＿＿＿＿，经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程＿＿＿＿＿＿＿.②点P（x,y）关于横轴的对称点P1的坐标是（），点P关于原点的对称点P2的坐标是（）.③f：y=3(x－2)2+5,关于横轴对称的抛物线f1记作＿＿＿＿＿＿＿f关于原点对称的抛物线f2记作＿＿＿＿＿＿＿.④A（1，3）关于直线y=x的对称点A，的坐标是（ ）.点B （－2，3）关于直线y=－x 的对称点B ，的坐标是（ ）. 2. 根据图象位置判断指定的常数的符号 ① 直线y=kx+b 经过二、一、四象限，则k,b 的符号是＿＿＿＿＿＿② 抛物线y=ax 2+bx+c 的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号a__, －a b 2______,b______,c_______, b 2－4ac______,ab ac 442-______aacb b 242---_____3. 选择题（只有一个正确的答案）（1）下图（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（ ）.（A ）p=q, r=0 . (B) p=－q, r=0. (C)p=q, r=1. (D) p=－q, r=1.（2）下图（2）是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如下答案哪个正确？（ ）（A）a+b+c=0.（B）a+b+c<0.（C）a+b+c>0.（D）a+b+c值不定.(1)（3）二次函数y=a(x+m)2+n中，a>0 , m>0, n>0 它的图象（）(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn<0,那么它们在同一坐标系内的图象大致为（ ） D ）（5）在同一坐标系内，y=ax+b 与y=ax 2+b 的图象大体位置是（ ）(6)已知函数y+ax+b 和y=ax 2+bx+c 那么它们的图象是（ ）（1983年福建省初中数学竞赛题）4. 画下列函数的图象①y=xx 2；②y=2x ； ③y=(x)2；④ y=－x .5.有m部同样的机器，同时开始工作，需要m小时完成某项任务.设由x部机器完成某一任务，求所需的时间y(小时)与机器台数x(x为小于m的整数)的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.6.画如下方程、函数的图象. ①2=x；②y=x2+y－2|x|－3.7.这是一张追及图看图回答：①谁追及谁？②谁早出发，早几小时？③甲、乙在这段路程速度各多少？④追的人从出发到追上，用了几小时？走多少路程？⑤分别列出甲、乙两人的路程y甲，y乙和时间x的函数关系的解析式.8.如图，抛物线L1：y=ax2+2bx+c和抛物线L2：y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.①.判断哪条抛物线经过A、B、C三点，说明理由；②.求出点B和点C的横坐标；③.若AB＝BC，OC＝OD，求a,b,c的值.9. 坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)， 试在二次函数 y=5910102+-x x的图象上找出满足y x ≤的所有整点(x,y), 并说明理由.(1995年全国初中数学联赛题)（8）-1CBDA1练习题参考答案1. ①x=－2,x=0,y=0,y=－x,y=x；②(x,y),(－x,－y)；③y=－3(x－2)2－5, y=－3(x+2)2－5④(3，1)，(－3，2)2.①k<0,b>0.②正，负，正，负，负，正，负.3.①(A)，②(B)，③(B)，④(C)，⑤(D)，⑥(C)4.①∵x≠0，∴图象不以过原点；②y≥0；③x≥0；④y≤0.m2(x 是正整数x≤m=5).5.y=x6.（如图）7. ①乙追及甲； ②甲先1小时； ③时速甲4、乙5千米； ④乙用4小时追上甲先走的4千米 ⑤y 甲=4x, y 乙=5x8. ①∵由图象a,a+1异号，∴L 2过A ，B ，C三点. ②－3，－1. ③－31，0，31. 9. (2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(－3，3)，(－6，6).由x 2－x+18≤10x .当x ≥0时，x 2－x+18≤10x, x 2－11x+18≤0, (x －2)(x －9)≤0，2≤x ≤9, 这时，有4个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)；当x<0时，x2－x+18≤－10x,x2＋9x+18≤0，（x+6）(x+3)≤0，－6≤x≤－3, 这时有两个整数点：(－3，3)，(－6，6).。
函数图像九年级知识点梳理
函数图像九年级知识点梳理函数图像是数学中的一个重要概念，是我们学习函数的基础知识点之一。
在九年级的数学课程中，函数图像的概念和性质被广泛讲解和应用。
本文将对九年级数学课程中与函数图像相关的知识点进行梳理和总结。
一、函数的定义函数是一个从一个数集到另一个数集的特定对应关系。
通常表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。
对于每一个自变量的取值，函数都有唯一确定的因变量的取值。
二、函数图像的绘制函数图像可以通过绘制函数的特定坐标点，然后连接它们得到。
可以通过两种方法进行绘制：表格法和坐标轴法。
1. 表格法表格法是通过给定自变量的取值，计算对应的因变量的取值，然后将这些点绘制在坐标轴上，最后将这些点连接成连续的曲线。
2. 坐标轴法坐标轴法是先确定函数的坐标轴上的关键点，然后通过这些关键点绘制函数图像。
三、常见函数的图像特点在九年级的数学课程中，我们学习了几种常见的函数类型和它们的图像特点。
1. 一次函数一次函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率决定了直线的斜率和方向，截距决定了直线与y轴的交点。
2. 二次函数二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a，b和c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
其特点还包括对称轴、顶点和与x轴的交点等。
3. 绝对值函数绝对值函数的一般形式为y=|x|。
绝对值函数的图像是以y轴为对称轴的V形曲线。
|x|的值始终是非负的，所以绝对值函数的图像都位于x轴及其上方。
4. 平方根函数平方根函数的一般形式为y=√x。
平方根函数的图像是一条非负的曲线，从原点开始向右上方逐渐增加。
5. 正比例函数正比例函数的一般形式为y=kx，其中k为常数且k≠0。
正比例函数的图像是经过原点，并且过原点的直线与x轴的夹角为45°。
四、对称性和平移函数图像还具有一些特定的对称性和平移特点。
经典数学函数图像(大全)
经典数学函数图像(大全)1. 一次函数图像一次函数图像是一条直线，其一般形式为 y = mx + b，其中 m是斜率，b 是 y 轴截距。
当 m > 0 时，直线向上倾斜；当 m < 0 时，直线向下倾斜。
2. 二次函数图像二次函数图像是一个抛物线，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
3. 三角函数图像三角函数图像包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数图像是一条波动曲线，余弦函数图像与正弦函数图像相似，但相位差为π/2。
正切函数图像是一条周期性振荡的曲线。
4. 指数函数图像指数函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
当 a > 1 时，曲线上升；当 0 < a < 1 时，曲线下降。
5. 对数函数图像对数函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y =log_a(x)，其中 a 是底数，x 是真数。
当 a > 1 时，曲线上升；当0 < a < 1 时，曲线下降。
6. 双曲函数图像双曲函数图像包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。
双曲正弦函数和双曲余弦函数图像都是上升或下降的曲线，而双曲正切函数图像是一条周期性振荡的曲线。
7. 幂函数图像幂函数图像是一条上升或下降的曲线，其一般形式为 y = x^n，其中 n 是指数。
当 n > 0 时，曲线上升；当 n < 0 时，曲线下降。
8. 反比例函数图像反比例函数图像是一条双曲线，其一般形式为 y = k/x，其中 k是常数。
当 k > 0 时，曲线位于第一和第三象限；当 k < 0 时，曲线位于第二和第四象限。
经典数学函数图像(大全)3. 反三角函数图像反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
初中函数图像分析知识总结
初中函数图像分析知识总结函数图像是初中数学中的重要内容，通过对函数图像的分析，我们可以了解函数的性质和特点，进而解决与函数相关的各种问题。
本文将对初中函数图像分析的知识进行总结。
1. 函数图像的基本概念函数图像是指将函数的定义域内的各个点对应到平面上的点，形成的图形。
函数图像的横坐标表示自变量的取值，纵坐标表示函数值。
通常用直角坐标系绘制函数图像。
2. 函数图像的分类根据函数的性质，函数图像可以分为线性函数图像、二次函数图像、指数函数图像、对数函数图像等多种分类。
不同类型的函数图像具有不同的特点和规律。
3. 函数图像的基本特点函数图像的基本特点包括零点、极值点、奇偶性、单调性、对称性等。
零点是指函数图像与x轴交点的横坐标值，可以通过函数值为0的方程求解得到。
极值点是指函数图像在某一区间内取得最大值或最小值的点，可以通过求导推导得到。
奇偶性是指函数图像关于y轴或原点的对称性，可以通过函数的定义域和值域的奇偶性进行判断。
单调性是指函数图像在某一区间内的上升或下降趋势，可以通过函数的导数进行判断。
对称性是指函数图像关于某一直线的对称性，可以通过函数的定义式进行判断。
4. 函数图像的分析方法函数图像的分析方法包括观察法、数学方法和图形法。
观察法是通过观察函数式的变化来获取函数图像的大致形状和特点。
数学方法是通过数学计算和推导来获取函数图像的准确形状和特点。
图形法是通过利用计算机或绘图工具来绘制函数图像，并进行分析和判断。
5. 函数图像的应用函数图像的分析不仅仅是数学学科的一部分，也是许多其他学科的基础和重要工具。
在物理学中，通过对函数图像的分析可以描述和解决运动问题；在经济学中，通过对函数图像的分析可以描述和解决供求关系和效益问题；在计算机科学中，通过对函数图像的分析可以描述和解决算法和数据结构的问题。
综上所述，初中函数图像分析是数学学科中的重要内容，通过对函数图像的分析，我们可以了解函数的性质和特点，进而解决与函数相关的各种问题。
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初中数学竞赛专题选讲函数的图象一、内容提要1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象.例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx ② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上.2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如：二元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y=xk(k ≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如：① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值；② 由图象的上升，下降反映函数 y 是随x 的增大而增大(或减小)；③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解.④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等4. 画函数图象一般是：①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界.②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 二、例题例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)，试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0.∵对称轴在原点右边，∴x=－ab2>0且a<0, ∴b>0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上， ∴截距c>0. ∵抛物线与横轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0.例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5.试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求：（1） x 的值什么范围，曲线f 1和f 2都是下降的；（2） x 的值在什么范围，曲线f 1和f 2围成一个封闭图形；（3） 求在f 1和f 2围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值.（1980年福建省中招试题）解：f 1 ：y=－x 2+5 (由顶点横坐标变化确定的)， f 2 ：y=(x －2)2－5 (由开口方向相反确定的). （1）当x ≥0时，f 1下降，当x ≤2时，f 2下降，∴当0≤x ≤2时，曲线f 1和f 2都是下降的.（2）求两曲线的交点横坐标，即解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=.5)2(522x y x y ，x 2－2x －3=0 . ∴x=－1；或x=3.∴当－1≤x ≤3时，曲线f 1和f 2围成一个封闭图形.(3)封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度， 就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点 的纵坐标的差.在区间 –1≤x ≤3内，设f 1 上的点P 1(x,y 1), f 2 上的点P 2(x,y 2)， 求y 1－y 2的最大值，可用配方法： y 1－y 2 ＝ (－x 2+5)－[ (x －2)2－5]＝－2x 2+4x+6 ＝－2(x －1)2+8.∵－2<0， ∴y 1－y 2有最大值.当x=1 时，y 1－y 2的值最大是8. 即线段长度的最大值是8. 例3. 画函数y=21-++x x 的图象.解： 自变量x 的取值范围是全体实数，下面分区讨论： 当x<－1 时， y=－(x+1)－(x －2)=－2x+1； 当－1 ≤x<2时， y=x+1－(x －2)=3 ； 当x ≥2时， y=x+1+x －2=2x －1.即y=21-++x x =⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-).2(12)21(3)1(12x x x x x ；；∴ 画函数y=21-++x x 的图象如下图：例4. 画方程[x]2+[y]2=1 的图象， [m] 表示不超过m 的最大整数.(1985年徐州市初中数学竞赛题).解：∵[x]2≥0， 且 [y]2=1－[x]2≥0，∴[x]2≤1 . ∴ 0≤[x]2≤1.∵[m] 表示不超过m 的最大整数， ∴当[x]2=0⇔[x]=0⇔0≤x ≤1 .当[x]2=1⇔[x]=⎩⎨⎧<≤<≤--).21(1)01(1x x ，自变量x 的取值范围是：－1≤x<2.如图阴影部分的四个正方形， 就是所求方程的图象.只包括各正方形左、下边界， 不包括各正方形右、上边界.例5. 直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限相交点A ，S Rt △AOB =3. ① 求m 的值 ；②设直线与x 轴交于点C ，求点C 的坐标； ③求S △ABC .解： ①设A 坐标为 (x, x+m).∵ S △AOB =21OB ×BA. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=x m m x m x x )(213整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+mmx x mx x 226∴m=6② ∵直线与x 轴交于点C.把y=0 代入y=x+6 得x=－6, ∴点C 的坐标是(－6，0) ③∵直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限相交点A ， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 66 得⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=153153y x 即点A 的坐标是 (－3+15，3+15).∴BC=1536+-+-=3+15 ∴S △ABC =21(3+15)(3+15)=12+315. 例6.选择题(只有一个正大确的答案).①函数y=kx+k 与y=xk在同一坐标系中的图象的大体位置是 ( )② 函数 y=1－2x x - 的图象是( )解：①常数k 是同一个值，.双曲线y=xk在一、三象限，k>0, 那么y=kx+k 中， 当k>0时，直线上升且在y 轴上的截距为正. 所以应选 (D)；②注意到y=1－2x x -中， 当x=0和x=1时 y 有最大值1，故选 (A). 三、练习 1. 填空：① 横坐标为－2的点的集合，记作直线＿＿＿＿＿，纵轴记作直线＿＿＿＿＿＿， 横轴记作直线＿＿＿＿＿，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线＿＿＿＿＿＿， 经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程＿＿＿＿＿＿＿.② 点P （x, y ）关于横轴的对称点P 1的坐标是（ ），点P 关于原点的对称 点P 2的坐标是（ ）.③ f ：y=3(x －2)2+5,关于横轴对称的抛物线f 1记作＿＿＿＿＿＿＿ f 关于原点对称的抛物线f 2记作＿＿＿＿＿＿＿.④ A （1，3）关于直线y=x 的对称点A ，的坐标是（ ）.点B （－2，3）关于直线y=－x 的对称点B ，的坐标是（ ）. 2. 根据图象位置判断指定的常数的符号① 直线y=kx+b 经过二、一、四象限，则k,b 的符号是＿＿＿＿＿＿ ② 抛物线y=ax 2+bx+c 的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号a__, －ab2______,b______,c_______, b 2－4ac______,a b ac 442-______ aacb b 242---_____3. 选择题（只有一个正确的答案）（1）下图（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（ ）. （A ）p=q, r=0 . (B) p=－q, r=0. (C)p=q, r=1. (D) p=－q, r=1. （2）下图（2）是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如下答案哪个正确？（ ） （A ）a+b+c=0. （B ）a+b+c<0. （C ）a+b+c>0. （D ）a+b+c 值不定.(1)（3）二次函数y=a(x+m)2+n 中，a>0 , m>0, n>0 它的图象（ ）(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn<0, 那么它们在同一坐标系内的图象大致为（ ）（D ）（5）在同一坐标系内，y=ax+b 与y=ax 2+b 的图象大体位置是（ ）(6)已知函数y+ax+b 和y=ax 2+bx+c 那么它们的图象是（ ）（1983年福建省初中数学竞赛题）4. 画下列函数的图象①y=xx 2； ②y=2x ； ③y=(x )2； ④ y=－x .5. 有m 部同样的机器，同时开始工作，需要m 小时完成某项任务.设由x 部机器完成某一任务，求所需的时间y(小时)与机器台数x(x 为小于m的整数)的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.6.画如下方程、函数的图象.①2=+y x ；②y=x 2－2|x|－3.7. 这是一张追及图看图回答： ① 谁追及谁？② 谁早出发，早几小时？③ 甲、乙在这段路程速度各多少？y 甲，y 乙和时间x 的函数8. 如图，抛物线L 1：y=ax 2+2bx+c 和抛物线L 2：y=(a+1)x 2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.①.判断哪条抛物线经过A 、B 、C 三点，说明理由； ②.求出点B 和点C 的横坐标；③.若AB ＝BC ，OC ＝OD ，求a, b, c 的值 .9. 坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)， 试在二次函数 y=5910102+-x x.年全国初中数学联赛题)（8）练习题参考答案1. ①x=－2, x=0, y=0, y=－x, y=x ； ②(x,y),(－x,－y)；③y=－3(x －2)2－5, y=－3(x+2)2－5 ④(3，1)，(－3，2) 2. ①k<0, b>0. ②正，负，正，负，负，正，负.3. ①(A)， ②(B)， ③(B)， ④(C)， ⑤(D)， ⑥(C)4. ①∵x ≠0，∴图象不以过原点；② y ≥0；③x ≥0；④ y ≤0.5. y=xm 2(x 是正整数x ≤m=5).6. （如图）7. ①乙追及甲； ②甲先1小时； ③时速甲4、乙5千米；④乙用4小时追上甲先走的4千米 ⑤y 甲=4x, y 乙=5x 8. ①∵由图象a,a+1异号，∴L 2过A ，B ，C 三点. ②－3，－1. ③－31，0，31. 9. (2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(－3，3)，(－6，6).由x 2－x+18≤10x .当x ≥0时，x 2－x+18≤10x, x 2－11x+18≤0, (x －2)(x －9)≤0，2≤x ≤9, 这时，有4个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)； 当x<0时，x 2－x+18≤－10x, x 2＋9x+18≤0， （x+6）(x+3)≤0，－6≤x ≤－3, 这时有两个整数点：(－3，3)，(－6，6).。