第4讲讲义二进制乘法
【精品】拓展知识（二进制）42
拓展知识（二进制）一、二进制数的表示法二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。
二进制数是用0和1两个数码来表示的数。
它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。
二进制数也是采用位置计数法，其位权是以2为底的幂。
例如二进制数110.11，其权的大小顺序为22、21、2、2-1、2-2。
对于有n位整数，m位小数的二进制数用加权系数展开式表示，可写为：（N）2＝a n-1×2n-1+a n-2×2n-2+……+a1×21+a0×2+a-1×2-1+a-2×2-2+……+a-m×2-m＝式中a j表示第j位的系数，它为0和1中的某一个数。
二进制数一般可写为：（a n-1a n-2…a1a0.a-1a-2…a-m）2。
【例1】将二进制数111.01写成加权系数的形式。
解：（111.01）2＝1×22+l×21+1×2+1×2-2二、二进制数的加法和乘法运算二进制数的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。
最常用的是加法运算和乘法运算。
1. 二进制加法有四种情况：0+0＝0 0+1＝1 1+0＝1 1+1＝０进位为1【例2】求(1101)2+(1011)2的和2. 二进制乘法有四种情况：0×0＝0 1×0＝0 0×1＝0 1×1＝1【例3】求(1110)2乘(101)2之积莱布尼茨的二进制（Gottfriend Wilhelm von Leibniz，1646.7.1.—1716.11.14.）德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。
他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
在德国图灵根著名的郭塔王宫图书馆（Schlossbiliothke zuGotha）保存着一份弥足珍贵的手稿，其标题为：“1与0，一切数字的神奇渊源。
二进制的法则
二进制的法则
二进制法则是指在二进制数系统中，使用一组规则和原则来进行计算、运算和表示数字。
以下是二进制的一些常见法则：
1.二进制位：二进制数系统由0和1组成，每一位称为一个
二进制位（bit）。
每个二进制位代表一个权重，从右至左
分别为1、2、4、8、16，以此类推，每个位上的数字乘
以相应的权重，然后求和即可得到该二进制数的十进制值。
2.二进制加法：二进制加法和十进制加法类似，从右至左，
逐位相加，进位则向前一位。
例如，1 + 1 = 10，表示1个
进位和0作为结果。
3.二进制减法：二进制减法也与十进制减法类似。
需要借位
时，从高位借位，并将借位减去。
例如，1 - 1 = 0，表示从
高位借一位，减法结果为0。
4.二进制乘法：二进制乘法的基本原则是将每一位上的数相
乘，并根据位置确定权重。
例如，1乘1等于1，1乘0
等于0，0乘0等于0。
5.二进制除法：二进制除法需要使用长除法的原理，将除数
逐位与被除数进行比较，并逐位求商和余数。
6.逻辑运算：在计算机中，二进制还常用于逻辑运算，如与
（AND）、或（OR）、非（NOT）等。
这些逻辑运算符可以
应用于二进制位上的数值，用于逻辑判断和计算。
二进制法则是计算机科学中基础且重要的概念，它们在数字逻
辑、数据存储、计算和通信等领域有广泛应用。
理解和掌握二进制的法则对于理解计算机内部的工作原理和编程语言十分重要。
二进制运算及转换(课件)
设X=(0.0110)2，Y=(0.1011)2，求X-Y、X+Y。 将(123.456)10转换成二进制数。
02
表示十进制的基数是10
n-1是位序，10n－1表示位的权值
采用逢十进一的原则计数
本讲内容
1.十进制之间的转换
二进制的计算
3.
二进制与十进制之间的转换
二进制的概念
二进制是计算机技术中广泛采用的一 种数制，用0和1两个数码来表示， 如：1011、11010011。 二进制的基数为2， 进位规则是“逢二进一”， 借位规则是“借一当二”。
=(11.25)10
二进制的转换
十进制转二进制
十进制整数转二进制 方法：“除以2取余，逆序排列”（除二取余法） 十进制小数转二进制 方法：“乘以2取整，顺序排列”（乘二取整法）
二进制的转换 例5：将(35)10转换成二进制数，逐次除2取余： 2 35 2 17 2 8 2 4 2 2 2 1 0 1 1 0 0 0 1
得到的整数从高至低依次为：
1、0、1、1 可得到：(0.6875)10＝(0.1011)2
二进制的转换
并非每一个十进制小数都能转换为有限位的二进 0.335
-----------------0.670 例如，将(0.335)10转换为二进制小数，精确到 × 2 0.001。 -----------------1.34 × 2 得到的整数从高至低依次为： -----------------0、1、0、1 0.68 × 2 可得到：(0.335)10≈ (0.011)2 -----------------1.36 × 2 制小数，此时可以采用0舍1入的方法进行处理。
几个重要概念 数制 又叫进位计数制，指的是一种计数规则
小学奥数讲座标准教案-学案-六年级第4讲 二进制
第4讲二进制从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种不同的选法？31二进制就是只用0和1两数字，在计数与计算时必须“满二进一”，即每两个相同的单位组成一个和它相邻的最高的单位。
二进制的最大特点是：每个数的各个数位上只有0或只有1两种状态。
二进制与十进制之间可以互相转化。
1，将一个二进制数写成十进制数的步骤是：（1）将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数；（2）将各数位上对应的十进制数求和，所得结果就是相应的十进制数。
将十进制数改写成二进制数的过程，正好相反。
2，十进制数改写成二进制数的常用方法是：除以二倒取余数。
3，二进制数的计算法则：（1）加法法则：0＋0=0 0＋1=1 1＋0=1 1＋1=10（2）乘法法则：0×0=0 0×1=0 1×0=0 1×1=1改写成十进制数。
例1：把二进制数110（2）分析与解答：十进制有两个特点：（1）它有十个不同的数字符号；（2）满十进1。
二进制有两个特点：（1）它的数值部分，只需用两个数码0和1来表示；（2）它是“满二进一”。
改写成十进制数，只要把它写成2的幂之和的形式，然后按通常的方法把二进制数110（2）进行计算即可。
=1×22＋1×21＋0×20110（2）=1×4＋1×2＋0×1=4＋2＋0=6把下列二进制数分别改写成十进制数。
（1）100（2）（2）1001（2）例2：把十进制数38改写成二进制数。
分析与解答：把十进制数改写成二进制数，可以根据二进制数“满二进一”的原则，用2连续去除这个十进制数，直到商为零为止，把每次所得的余数按相反的顺序写出来，就是所化成的二进制数，这种方法叫做“除以二倒取余数”。
2 38 02 19 (1)2 9 (1)2 4 02 2 01 (1)即：38（10）=100110（2）把下列十进制数分别改写成二进制数。
第四讲 二进制运算及数的表示
要存储符号、指数与尾数三部分。浮点数分为单精度与双精度两种，
单精度浮点数用32位（4字节）存储，双精度浮点数用64位存储。 在计算机中二进制可进行算术运算与逻辑运算，算术运算规则简单， 实现较容易。逻辑运算包括“与”、“或”、“非”与“异或”运算。
计算机基础科学系
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Department of Computer Science and Technology
计算机基础科学系
3 .计算机中数的概念
在计算机中表示数需要考虑的三个问题 数的长度
长度固定
符号
最高位（最左端）为数的符号位 符号位: 0表示“＋”，１表示“－”
小数点
位置隐含 位置可固定（定点数），也可浮动（浮点数）
计算机基础科学系
4.1 定点数的表示
定点整数
定点小数
小数点的位置约定在数符位和数值部分的最高位之间，用以表示小于１的纯小数。
2.4 二进制异或运算
⑷“异或”运算（XOR） “异或”运算用符号“ ”来表示。其运算规则如 下：0 0 = 0 0 1 = 1 1 0 = 1 1 1 = 0 即当两个参与运算的数取值相异时，运算结果为 1，否则为0。 例二十：分别求10111001 11110011与 100010101 101111100的结果。
2.计算机中是用有限的连续字节保存浮点数的。保存 这些浮点数当然必须有特定的格式，Java 平台上的浮点 数类型 float 和 double 采纳了 IEEE 754 标准中所定义的 单精度 32 位浮点数和双精度 64 位浮点数的格式。
计算机基础科学系
小 结
计算机中的数是利用二进制数来表示，存储数的方法有定点法与浮点 法。定点法通常用来表示整数。浮点法用来表示小数，存储浮点数需
二进制的四则运算知识讲解
二进制的四则运算二进制的四则运算二进制四则运算和十进制四则运算原理相同，所不同的是十进制有十个数码，“满十进一”，二进制只有两个数码0和1，“满二进一”。
二进制运算口诀则更为简单。
1．加法二进制加法，在同一数位上只有四种情况：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝10。
只要按从低位到高位依次运算，“满二进一”，就能很容易地完成加法运算。
例1 二进制加法（1）10110＋1101；（2）1110＋101011。
解加法算式和十进制加法一样，把右边第一位对齐，依次相应数位对齐，每个数位满二向上一位进一。
10110＋1101＝100011 1110＋101011＝111001通过计算不难验证，二进制加法也满足“交换律”，如101＋1101＝1101＋101＝10010。
多个数相加，先把前两个数相加，再把所得结果依次与下一个加数相加。
例2 二进制加法（1）101＋1101＋1110；（2）101＋（1101＋1110）。
解（1）101＋1101＋1110 （2）101＋（1101＋1110）＝10010＋1110 ＝101＋11011＝100000；＝100000从例2的计算结果可以看出二进制加法也满足“结合律”。
巩固练习二进制加法（1）1001＋11；（2）1001＋101101；（3）（1101＋110）＋110；（4）（10101＋110）＋1101。
2．减法二进制减法也和十进制减法类似，先把数位对齐，同一数位不够减时，从高一位借位，“借一当二”。
例3 二进制减法（1）11010－11110；（2）10001－1011。
解（1）110101－11110＝10111；（2）10001－1011＝110。
例4 二进制加减混合运算（1）110101＋1101－11111；（2）101101－11011＋11011。
解（1）110101＋1101－11111＝1000010－11111＝100011（2）101101－11011＋11011＝10011＋11011＝101101。
计算机应用基础第四章《二进制的学习》课件
1010
0012 A
1011
0013 B
1100
0014 C
1101
0015 D
1110 1111
0016 0017 E F
4.4 十六进制和二进制的转换
二进制转换十六进制： 规则：将二进制每四个分组，不够组成四个的进行，往前补0，单独把每四个转换成八进制数（0-9,A-F）即可
十进制转换二进制方法
第二种办法：求余数 例如：150
求算：120 、160、180
4.1、二进制和十进制的转换（整数、负数）
二进制转换十进制方法
128+32+16+4=180
4.1、二进制和十进制的转换（整数、负数）
负号怎么加到二进制中。 180= 1 0 1 1 0 1 0 0 -180=？？？？？？？
一个英文字母(不分大小写)占一个字节的空间，一个中文汉字占两个字节的空间； 符号：英文标点2占一个字节； 中文标点占两个字节；
4.3 程序语言（Programming language）的认识
程序语言是用来定义计算机程序的形式语言。它是一种被标准化的交流技巧，用来向 计算机发出指令。一种计算机语言让程序员能够准确地定义计算机所需要使用的数据，并
0110 0111 1000 0006 0007 0010 0006 0007 0008
1110 1111 0016 0017 E F
4.4 八进制和十六进制的认识
计算机如何区别二进制、八进制、十进制、十六进制？ 例如：6574 八进制：计算机编程中，所以,C,C++规定，一个数如果要指明它采用八进制，必须在它前面加上 一个0，在8086/8088汇编语言中 八进制表示为结尾加Q末尾加Q。 十六进制：C，C++规定，16进制数必须以 0x开头。比如 0x1表示一个16进制数。而1则表示一个 十进制。另外如：0xff,0xFF,0X102A，等等。其中的x也不区分大小写。（注意：0x中的0是数字0， 而不是字母O) Int a=100; Int a=0100; Int a=0x100;
《二进制数的运算》课件
仔细核对运算步骤：在进行二进制数运算时，需要仔细核对运算步骤，确保每一步的运算都正确无误，避免因为运算步骤错误而导致结果不正确。
添加标题
避免溢出错误：在进行二进制数运算时，需要注意溢出问题，确保运算结果不会超出二进制数的表示范围，避免因为溢出错误而导致结果不正确。
添加标题
避免进位错误：在进行二进制数运算时，需要注意进位问题，确保每一位的运算结果都正确无误，避免因为进位错误而导致结果不正确。
二进制数的加法规则：0+0=0，0+1=1，1+1=0，进位为1
二进制数的减法规则：0-0=0，0-1=1（借位），1-1=0
二进制数的乘法规则：0*0=0，0*1=0，1*1=1
二进制数的除法规则：除法相当于连续减法，如10除以2等于5，等于5次2减去1的结果
二进制数运算在计算机科学中的重要性 * 计算机内部数据表示的基础 * 计算机程序运行的基本原理
二进制数的基数为2
二进制数的表示形式为0和1
二进制数的运算速度比十进制数更快
二进制数的运算规则为“逢二进一”
二进制数的基数是2
二进制数可以表示计算机中的所有信息
二进制数的运算规则是逢二进一
二进制数只有0和1两个数字
二进制数的运算规则
二进制数的加法规则
0+0=0, 1+0=1, 1+1=10
二进制数的进位规则
总结与回顾
二进制数的定义：二进制数是一种以0和1为基本符号的数制系统
二进制数的特点：二进制数的运算规则简单，易于实现，适合计算机内部运算
二进制数的应用：在计算机科学中，二进制数被广泛应用于计算机内部的数据表示和运算
二进制数与十进制数的转换：了解二进制数与十进制数的转换方法，方便我们在不同数制之间进行转换
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(8) A．或
B．与
C．异或
D．分别取反后再进行或
2 补码一位乘法 1.算法分析
X补 = X0.X1X2……Xn
（1）Y为正：Y补 = 0.Y1Y2……Yn [XY]补 = X补[0.Y1Y2……Yn]
（2）Y为负：Y补 = 1.Y1Y2……Yn [XY]补 = X补[0.Y1Y2……Yn]+[-X]补
乘”——y仍然是补码
符号位参与运算，自动生成——与原码的不同之处 考虑到运算时可能出现绝对值大于1的情形（但此
数符不变（单：符号位不变；双：第一符号
位不变）。
左移空位补0
右移空位补1（第二符号位移至尾数最高位）
不同码制机器数算术移位后的 空位添补规则
正数 负数
码制 原码、补码、反码
原码 补码
反码
添补代码
0 0 左移添0 右移添1 1
不同码制机器数算术移位
对于正数，三种机器数移位后符号位不变，如果左 移时最高数位丢1，结果“出错”；如果右移时最 低数位丢1，影响精度。
精品
第4讲二进制乘法
二进制乘法运算
要求： 掌握原码一位乘Байду номын сангаас 理解补码一位乘法
0 移位操作 1 定点数一位乘法
0 移位操作
1. 移位类型
逻辑移位：
逻辑左移时，高位移出，低位添0； 逻辑右移时，低位移出，高位添0。
无符号数的移位
10001111
左移： 0 0 0 1 1 1 1 0
算术移位 ：数码位置变化，数值变化, 有符号数的移位 符号位不变。
1 0 0 1 1 1 1 (-15) 算术左移：1 0 1 1 1 1 0 (-30)
2.正数原码移位规则
（1）单符号位 ： （2）双符号位：
0 0111 左移 0 1110 右移 0 0111 右移 0 0011
（3）移位规则
00 0111 左移 00 1110 左移 01 1100 右移 00 1110 右移 00 0111
（3）Y符号任意： [XY]补 = X补[0.Y1Y2……Yn]+[-X]补Y0
符号位
校正法
❖ 当乘数y为正时，可按类似原码乘法的规则进 行运算。
❖ 当乘数为负时，把乘数的补码[y]补去掉符号位， 看成一个正数与[x]补相乘，然后加上[-x]补进 行校正。
按补码进行运算
❖ 按补码规则移位：右移补1，第二符号位一起移 ❖ “乘数的补码[y]补去掉符号位，当成一个正数与[x]补相
0.[10X0Y0]1原11=1X原×Y原 = 1.10001111
C Cn .1011 1.101 11.10 111.1 1111
2.算法流程
0 A、X B、Y C、0 CR
Cn = 1 ？ N
Y
1/2（A+0）
1/2（A+B） A，C
A，C
CR + 1 CR
N CR = n ？ Y
SX + SY SP
1 00101原 1 11011补
2. 末位恒置1（原码、补码） 例. 保留4位尾数： 0 00100原
1 00101原 1 11011补
0 0010原 1 0011原 1 1110补
0 0011原 1 0011原 1 1101补
1 定点数乘法运算
乘法 部分积累加、移位。
1 原码一位乘法
每次用一位乘数去乘被乘数。
数位数有关）。
改进：将一次相加改为分步累加、移位。
（2）分步乘法
每次将一位乘数所对应的部分积与原部分 积的累加和相加，并移位。 设置寄存器：
A：存放部分积累加和、乘积高位 B：存放被乘数 C：存放乘数、乘积低位 设置初值： A = 00.0000 B = X = 00.1101 C = Y = .1011
对于负数，三种机器数移位后符号位均不变。 ❖ 如果负数的原码左移时，高位丢1，结果出错；
低位丢1，影响精度。 ❖ 如果负数的补码左移时，高位丢0，结果出错；
低位丢1，影响精度。 ❖ 如果负数的反码左移时，高位丢0，结果出错；
低位丢0，影响精度。
舍入方法
1. 0舍1入（原码、补码） 例. 保留4位尾数： 0 00100原
步数 条件 操作
A
00.0000
1） Cn=1 +B + 00.1101
00.1101
00.0110
2） Cn=1 +B + 00.1101
01.0011
3）×00..1101C10n11=0
B C
+0
1101
4）00101001Cn=1 +B
1101
00.1001 + 00.0000
00.1001 00.0100 + 00.1101 01.0001 00.1000
数符不变（单：符号位不变；双：第一符号
位不变）。
空位补0
4.正数补码移位规则
（1）单符号位 ： （2）双符号位：
0 0111 左移 0 1110 右移 0 0111 右移 0 0011
（3）移位规则
00 0111 左移 00 1110 左移 01 1100 右移 00 1110 右移 00 0111
1.算法分析 X原
Y原
例. 0.1101×1.1011
乘积 P = X × Y 积符 SP= SX SY
（1）手算 0.1101
×0.1011
1101
1101 0000
部分积
1101
0.10001111
上符号：1.10001111
问题：1）加数增多（由乘数位数决定）。
2）加数的位数增多（与被乘数、乘
3.运算规则
（1）操作数、结果用原码表示； （2）绝对值运算，符号单独处理； （3）被乘数(B)、累加和(A)取双符号位； （4）乘数末位(Cn)为判断位，其状态决定
下步操作； （5）作n次循环（累加、右移）。
习题
❖ 在进行原码乘法时，乘积的符号位是由被乘 数的符号位和乘数的符号位通过__(8C)__运算 来获得的。
数符不变（单：符号位不变；双：第一符号
位不变）
空位补0（右移时第二符号位移至尾数最高位）
3.负数原码移位规则
（1）单符号位 ： （2）双符号位：
1 0101 左移 1 1010 右移 1 0101 右移 1 0010
11 0110 左移 10 1100 右移 11 0110 右移 11 0011
（3）移位规则
数符不变（单：符号位不变；双：第一符号
位不变）
空位补0（右移时第二符号位移至尾数最高位）
5.负数补码移位规则
（1）单符号位 ： （2）双符号位：
1 1011 左移 1 0110 右移 1 1011 右移 1 1101
11 0110 左移 10 1100 右移 11 0110 右移 11 1011
（3）移位规则