随机过程期中考试试卷答案
随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
(完整版)随机过程习题答案
解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为
10000 111
00 333 P 01110
333
00111 333
00001
二步转移概率矩阵为
10 0 00 1 00 0 0
11 1 00 11 1 0 0
3 33
333
P (2)
111
111
0
00
0
33 3
333
00 1 11 0 01 11
333
333
00 0 01 0 00 01
（3） mX (t ) 1 cos( t) 1 2t 1 cos( t ) t
2
2
2
1 mX (1)
2
2 X
(t )
E[ X 2 (t)] [ EX (t )] 2
1 cos2 ( t )
1 ( 2t) 2
1 [ cos( t )
t]2
2
2
2
1 cos2 ( t) 2t 2 1 cos2 ( t) t 2 t cos( t)
。
解 （1） t
1
时，
X ( 1) 的分布列为
2
2
1
0
1
X( )
2
P
1
1
2
2
一维分布函数
0, x 0
1
1
F ( , x) ,
2
2
1,
0 x1 x1
t 1 时， X (1) 的分布列为
-1
2
X (1)
P
1
1
2
2
一维分布函数
0, x 1
1
F (1, x)
,
2
答案-随机过程答案.doc
F(0,x)8P{X(0)Vx} ‘031x<0;< .r < 1;M>4分P{i l0<5} = P{N(5) >10} =工it=10 e 心(12.5)*k\=i-Ek=0e"5(12.5)*V.®0.79857 (5)随机过程参考答案及评分标准一、填空(每空5分)1.才儿匚 + 2min(/] ,0)2.Vr n eT,limEIX(0-X(r n)l2 = 0 或limE I X(x + /i)-X(x) l2 = 0■ t^>t…"TO3.5at74.—24'o r二、解：(1).心0时，X(0)~ I 25 3 J(2). m * (/) = EX (/) = 1 x * + sin / x * + cos / x * = * (1 + sin / + cos t).R x (?, ,t2) = EX(/J • EX (切=1 x P { W]} + sin £ sin t2P {w2} + cos £ cos t2P {w3} = -{l + COS(r i _?2)} .......................................................................................................................Cx(t\ ,t2) = Rx(t\) —EX (G • X 律)=Rx(t[，G)-m.Y(?1)m A-(?2)= — +—008(^ -Z2)- —(sin t x +cos/] + cos t2 + sinr2)- — sinZ2(cos+sin/J.................................................................................................. 3分二、解：N⑴为何到达的顾客数，贝U N(f)~P(2.5)—2.5x5 /r\斥10 1(1)-列“⑸=吩爲诂严•(12®。
(完整)随机过程复习试题及答案,推荐文档
N(t)
N(t),t 0独立，令 X(t)= Yk , t 0 ，证明：若 E(Y12 <) ，则 EX(t) tEY1。
k=1
证明：由条件期望的性质 EX(t) E E X(t) N(t) ，而
E X(t)
N(t)
n
N(t) E i=1 Yi
N(t)
n
n
= E i=1
Yi
N(t)
，四步转移概率矩阵为
P(4)
P(2) P(2)
0.5749 0.5668
0.4251 0.4332 ，从而得到
今天有雨且第四天仍有雨的概率为
P(4) 00
0.5749 。
4.一质点在 1,2,3 三个点上作随机游动，1 和 3 是两个反射壁，当质点处于 2 时，下一时刻处于 1,2,3 是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。
3.设Xn , n 0为马尔科夫链，状态空间为 I ，则对任意整数 n 0,1 l <n 和 i, j I ， n 步转
移概率
p(n) ij
p p (l ) (n-l ) ik kj
，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
kI
证明：
P(n) ij
P
X(n)=j X(0)=i
解：（1）样本函数集合为cos t,t, t (-,+) ；
（2）当 t=0 时， PX(0)=0 PX(0)=1 1 ，
2
故
F(;0 x<1
；同理
F(x;1)=
0 1
x<-1 1 x<1
2 1
x 1
2 1
x 1
2.设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 2 分钟内到达的顾客不超过 3 人的概率。
随机过程习题答案
随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。
解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。
（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。
经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，（2）因此：P112/9．解：（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，则有：因此有：（1）令矩阵P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。
随机过程试题带答案
随机过程试题带答案1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 __________2 ?设随机过程X(t)⼆Acos( ? ? t+G),-：：⽴的随机变量，且A和门服从在区间10,1 1上的均匀分布，贝U X(t)的数学期望为______________ 。
3?强度为⼊的泊松过程的点间间距是相互独⽴的随机变量，且服从均值为丄____ 的同⼀指数分布。
4?设:W n,n 是与泊松过程1X(t),t ⼀0?对应的⼀个等待时间序列，则W n服从-分布。
5?袋中放有⼀个⽩球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取⼀球，取后放回，f t对每⼀个确定的t对应随机变量x(t)⼆3,如果t时取得红球，则这个随机过e t, 如果t时取得⽩球程的状态空间_________ 。
6?设马⽒链的⼀步转移概率矩阵P=(P j)，n步转移矩阵P(n)，⼆者之间的关系为—P(n) =P n—。
7?设:X n,n ⼀0?为马⽒链，状态空间I，初始概率P i⼆P(X。
⼆i)，绝对概率P j(n) =P(X n⼆j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为P j(n)⼋P i p j n)。
8 .设｛X(t),t - 0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则1. 设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
1.为e，(e -1)。
2. (sin(?t+1)-sin t)。
3. _ 2 ■1 24. - 5 . -1,—t,|l| ;e,e2"l 。
6 . P(n^ P n。
7 . P j(n) 7 P i p j n) <—13 3 J ------------ 阳6t a8. 18e 9。
K t i；=H t］⼇i0K t — sdM s 10.2. 设｛X(t), t_0｝是独⽴增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t_0｝是⼀个马尔科夫过程。
(完整版)随机过程习题答案
随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。
随机过程试卷及答案
随机过程 试 卷学期： 2010 至 2011 学年度 第 1 学期 课程： 随机过程 班级： YS201021/22/23/25/31/32 姓名（10分）设有正弦波随机过程()()()t B t A t X ωωsin 2cos 2+=，其中∞<≤t 0，ω为常数，A 和B 都是均匀分布于[]2,0之间的随机变量，并且它们之间相互统计独立。
确定随机变量⎪⎭⎫ ⎝⎛ωπ4X 的概率密度并画出概率密度函数波形。
解：B A B A X 224sin 24cos 24+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛ππωπ，而B A 2,2是均匀分布于[]2,0之间的随机变量，它们的概率密度都为()21=x f ，⎪⎭⎫⎝⎛ωπ4X 的概率密度为()21=x f 与()21=y f 的卷积。
即有()()()[]()()[]()()()()()()()()()()()4441222141224122141221221--+---=-*-+-*-*=--*--=x u x x u x x xu x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x f X二、（10分）设两状态时间离散马尔可夫链() ,2,1,0,=n n ξ，()n ξ可取 0 或 1，它的一步转移概率矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2211q pp q P 其中 1 ,12211=+=+q p q p , 且 (){}(){}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+==2122110010p p p P p p p P ξξ 已知 ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--------++=n n nnnp p p p p p p p p p p p p p p p p p P 21212122211121122111111 试证明该过程为严平稳过程。
（5分）()()., 1 })({})({}1)({}0)({})(/)({})(/)({})({ })(/)({ )(/)({})({ })(,,)(,)({})(/)({})(/)({})({ })(,,)(,)({,)(1})(,,)(,)({})(,,)(,)({ )(1111111122111111221122111111221122112211221121即是严平稳过程始时刻无关阶联合概率与发生的起所以任意式成立，以所以上面二式相等，所无关，所以与发生时刻或因为刻无关所以它的转移概率与时是一齐次马尔可夫链由于，即要证明个时刻设任意是一严平稳随机过程，要说明k i m n P i n P n n P n P i n i n P i n i n P i m n P i m n i m n P i m n i m n P i m n P i m n i m n i m n P i n i n P i n i n P i n P i n i n i n P n i m n i m n i m n P i n i n i n P n n n k n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =+========⋅=+==+=+=+=+⋅=+==+=+=+====⋅======+=+=+====<<<------ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ（5分）利用抛掷硬币的试验定义一个随机过程()()⎩⎨⎧=出现反面出现正面tt t X 2cos π 设出现正反面的概率是相同的。
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随机过程-期中考试试卷答案
一、填空题（每题4分，共20分）
1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则特征函数ϕ(t)=eλ(e it−1)
2. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则称T为随机过程的参数集
3. 设随机过程{X(t),t∈T}为二阶矩过程，则自相关函数R X(s,t)=E(X(s)X(t))
4. 设有泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度λ=E(N(t))
t
5. 记X n为抛掷一颗骰子出现的点数，于是{X n,n≥1}为随机序列。
则{X n,n≥1}的状态空间E={1,2,3,4,5,6}
二、判断题（每题4分，共20分）
1. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则C X(t1,t2)=R X(t1,t2). Ⅹ
2. 设二阶矩过程{X(t),t≥a}是独立增量过程，且X(a)=0，则对任意s,t≥a，有
C X(s,t)=σX2(min(s,t))√
3. 设有非齐次泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度是参数t的函数，一般记为λ(t). √
4. 设有维纳过程{W(t),t≥0}，则W(6)−W(3)与W(4)−W(2)独立. Ⅹ
5. 设有强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}，则N(5)−N(2)服从参数为3λ的泊松分布. √
三、计算题（每题20分，共60分）
1. 设随机过程X(t)=tV,t≥0，其中V为离散型随机变量，其分布律为
（1）求X(t)的均值函数、方差函数；
（2）求X(t)的一维分布函数F(x;2)、二维随机变量(X(1),X(2))的联合分布律。
解 (1) 根据概率论知识，E (V )=0.2,E (V 2)=1，由此可得 ……2分
均值函数 μX (t )=E (tV )=tE (V )=0.2t ……4分
方差函数 σX 2(t )=E(tV)2−(μX (t ))2
=t 2−(0.2t )2=0.96t 2 ……4分
(2) X (2)=2V 的分布律为
于是得一维分布函数F(x;2)
F (x;2)={0, x <−2
0.4, −2≤x <21, x ≥2 ……6分
二维随机变量(X (1),X(2))的联合分布律为
……4分
2. 设某设备的使用期限是10年，已知在前4年每年平均维修次数为0.2，后6年每年平均维修次数为0.
3. 记N(t)表示在时段(0,t]的维修次数。
试求 （1）前6年平均维修次数；
（2）前6年维修次数超过1次的概率。
解 记N(t)表示在时间(0,t]内的维修次数，则强度函数为 λ(t )={0.2, 0<t ≤4
0.3, 4<t ≤10
……5分
（1） E [N (6)]=∫0.2dt 4
0+∫0.3dt 6
4=1.4 ……7分 （2） N (6)服从参数为1.4的泊松分布，由此
P(N(6)>1)=1−P(N(6)≤1)=1−P(N(6)=0)−P(N(6)=1)
=1−1.40e−1.4
0!
−
1.41e−1.4
1!
=1−2.4e−1.4
……8分
3. 设{W(t),t≥0}是参数为σ2的布朗运动，记随机过程X(t)=W(t+2)−W(t),t≥0，试求随机过程X(t)的相关函数R X(1,4)和R X(1,2).
解根据定理3.5.1（2），即维纳过程的独立增量性，得
R X(1,4)=E[X(1)X(4)]=E{[W(3)−W(1)]∙[W(6)−W(4)]}
=E[W(3)−W(1)]∙E[W(6)−W(4)]=0×0=0
……10分
根据定理3.5.1（4）及数学期望性质，得
R X(1,2)=E[X(1)X(2)]=E{[W(3)−W(1)][W(4)−W(2)]}
=E{W(3)W(4)−W(3)W(2)−W(1)W(4)+W(1)W(2)}
=R W(3,4)−R W(2,3)−R W(1,4)+R W(1,2)
=3σ2−2σ2−σ2+σ2=σ2
……10分。