全等三角形的性质：典型例题
全等三角形的性质
全等三角形的性质一、知识回顾1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
用符号“≌”表示，读作：全等。
4、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．（2）全等三角形的周长、面积相等．5、全等三角形的表示：△ABC和△A'B'C'全等，记作△ABC≌△A'B'C'．通常对应顶点字母写在对应位置上．二、典型例题例1：下列判断正确的是（）A．形状相同的图形叫全等形B．图形的面积相等的图形叫全等形C．部分重合的两个图形全等D．两个能完全重合的图形是全等形分析：要判断选项的正误，要以全等形的概念为依据，结合各选项认真验证，与之相符和是正确的，反之，是错误的．解答：A、如果形状相同而面积不同，则不是全等形，错；B、如果面积相等，而形状不同，则不是全等形，错；C、根据全等形概念，强调是完全重合，错．D、正确．故选D．______________________________________________________ _______________________________例2：在下列各组图形中，是全等的图形是（）分析：能够完全重合的两个图形叫做全等形．只有选项C能够完全重合，A 中大小不一致，B，D中形状不同．解答：由全等形的概念可以判断：C中图形完全相同，符合全等形的要求，而A、B、D中图形很明显不相同，A中大小不一致，B，D中形状不同．故选C．______________________________________________________ _______________________________例3：下列说法中，错误的是（）A．全等三角形的面积相等B．全等三角形的周长相等C．面积相等的三角形全等D．面积不等的三角形不全等分析：判断选项是否正确，要根据全等三角形的性质，全等三角形的周长、面积分别相等；而面积相等的三角形不一定重合，即不一定全等，可得选项C 是错误的．解答：全等的三角形一定是能够互相重合的三角形，故全等的三角形面积相等，周长相等，而面积相同的两个三角形不一定能重合，即不一定全等，面积不等的三角形一定不会重合，不会全等．∴根据全等三角形的定义可知A、B、D均正确，C不正确．故选C．______________________________________________________ _______________________________例4：已知△ABC≌△A′B′C′，若∠A=50°，∠B′=80°，则∠C的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°分析：根据全等三角形的对应角相等，可求得∠B=∠B′=80°；根据三角形内角和定理，即可求得∠C的度数．解答：∵△ABC≌△A′B′C′∴∠B=∠B′=180°∴∠C=180°-∠A-∠B=50°故选C．______________________________________________________ _______________________________例5：如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB=6cm，AC=4cm，BC=5cm，则AD的长为（）A．4cm B．5cm C．6cmD．以上都不对分析：由△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，知AD和BC 是对应边，全等三角形的对应边相等即可得．解答：∵△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点∴AD=BC=5cm．故选B．______________________________________________________ _______________________________例6：如图△ABC≌△BAD，若AB=9，BD=8，AD=7，则BC的长为（）A．9 B．8 C．7 D．6分析：观察图形根据已知找出对应边，运用两三角形全等的性质得对应边相等可求解．解答：∵△ABC≌△BAD，∴BC=AD=7．故选C______________________________________________________ _______________________________例7：（2003·海南）如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC，其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个分析：根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可．解答：∵△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E∴EF=BC，∠EAF=∠BAC∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF即∠EAB=∠FACAC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB∴①、②错误，③、④正确故选B．______________________________________________________ _______________________________例8：如图，在△ABC中，D、E分别是AB，BC上的点，若△ACE≌△ADE≌△BDE，则∠ABC=（）A．30°B．35°C．45°D．60°分析：运用全等三角形的性质可得出∠C=∠EDA=∠EDB=90°和∠B=∠BAE=∠CAE，从而求出∠B．解答：∵△ADE≌△BDE则∠ADE=∠BDE又∵∠ADE+∠BDE=180°∴∠ADE=∠BDE=90°∵△ACE≌△ADE∴∠C=∠ADE=90°∴∠CAB+∠B=90°又∵△ACE≌△ADE≌△BDE∴∠CAE=∠EAD=∠B=90°/3 =30°故选A．三、解题经验全等形的概念：两个能完全重合的图形是全等形，做题时要严格按照定义去判断。
三角形全等的判定(含例题)
1．判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）（1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“SSS”．（2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．2．判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS）（1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“__________”．（2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．3．判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“__________”．（2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．4．判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS）（1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“__________”．（2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．5．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）（1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“________”．（2）“HL ”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下： HL SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩一直角边一斜边—已知两边找夹角—找另一边—边为角的对边—找任一角—找夹角的另一边—已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角—找边的对角—找夹边—已知两角找任一角的对边—K 知识参考答案：1．（1）边边边2．（1）SAS 3．（1）ASA4．（1）AAS5．（1）HLK —重点 三角形全等的判定K —难点 三角形全等的判定和性质的综合运用 K —易错三角形全等的判定一、用边边边（SSS ）证明三角形全等明确要证明全等的两个三角形，在书写两个三角形全等时，“≌”左边三角形的三边与“≌”右边三角形的三边的前后顺序要保持一致．【例1】如图，ABC △中，AB AC =，EB EC =，则由“SSS ”可判定A ．ABD △≌ACD △B ．ABE △≌ACE △△D．以上答案都不对C．BDE△≌CDE【答案】B二、用边角边（SAS）证明三角形全等此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【例2】如图，AB=AC，添加下列条件，能用SAS判断△ABE≌△ACD的是A．∠B=∠C B．∠AEB=∠ADC C．AE=AD D．BE=DC【答案】C【解析】∵AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），∴只需要AE=AD，∴△ABE≌△ACD，故选C．三、用角边角、角角边（ASA、AAS）证明三角形全等1．不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等．2．有三个角对应相等的两个三角形不一定全等．【例3】如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长，就得出AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是A．SSS B．SASC．SAA D．ASA【答案】D【解析】∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC=∠BDE．又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE，∴△EDC≌△ABC（ASA）．故选D．【例4】如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠A=∠D，BF=EC，AB∥DE，若∠1=80°，求∠BFD 的度数．四、用斜边、直角边（HL）证明直角三角形全等1．当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明．2．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法．【例5】如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌△Rt△DCF，则还需要添加一个条件是A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC【答案】D五、全等三角形的判定和性质的综合寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等．【例6】如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为A．50°B．30°C．80°D．100°【答案】B【解析】∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D=∠B=30°．故选B．【例7】如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．求证：BC=AD．【解析】∵∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC，∴∠DAB=∠CBA．在△ADB与△BCA中，CAB DBA AB ABDAB CBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADB≌△BCA（ASA），∴BC=AD．。
全等三角形经典例题
全等三角形经典例题〔全等三角形的概念和性质〕类型一、全等形和全等三角形的概念1、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形及镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A及点A1对应，点B及点B1对应，点C及点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，假设运动方向一样，那么称它们是真正合同三角形(如图1)，假设运动方向相反，那么称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，那么必须将其中一个翻转180°，以下各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )〔答案〕B；提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，那么必须将其中一个翻转180°，B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，应选B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边，对应角类型三、全等三角形性质3、如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果60BAF∠=︒，那么DAE∠等于〔〕．A.60° B.45° C.30° D.15°〔答案〕D；〔解析〕因为△AFE是由△ADE折叠形成的，所以△AFE≌△ADE，所以∠FAE＝∠DAE，又因为60BAF∠=︒，所以∠FAE＝∠DAE＝＝15°.〔点评〕折叠所形成的三角形及原三角形是全等的关系，抓住全等三角形对应角相等来解题.举一反三：〔变式〕如图，在长方形ABCD中，将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，假设∠1＝35°，那么∠2＝________.〔答案〕35°；提示：将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，所以∠2＝∠CBD，又因为AD∥BC，所以∠1＝∠CBD，所以∠2＝35°.4、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，假设∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.〔答案〕∠α＝80°〔解析〕∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28x，∠2＝5x，∠3＝3x，∴28x＋5x＋3x＝36x＝180°，x＝5°即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，∴△ABE≌△ADC≌△ABC∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°“比例〞设未知数x是比拟常用的解题思路.举一反三：〔变式〕如图，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，那么∠BCM：∠BCN等于〔〕A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4〔答案〕D；提示：设∠A＝3x，∠ABC＝5x，∠BCA＝10x，那么3x＋5x＋10x＝18x＝180°，x＝10°. 又因为△MNC≌△ABC，所以∠N＝∠B＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.〔全等三角形判定一〔SSS，SAS〕〕类型一、全等三角形的判定1——“边边边〞1、如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE.(答案及解析〕证明：在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE〔SSS〕∴∠BAD＝∠CAE〔全等三角形对应角相等〕. (点评〕把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA和△CAE，然后证这两个三角形全等.举一反三：(变式〕：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.(答案〕证明：连接DC，在△ACD及△BDC中∴△ACD≌△BDC〔SSS〕∴∠CAD＝∠DBC〔全等三角形对应角相等〕类型二、全等三角形的判定2——“边角边〞2、3、举一反三：(变式〕，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝12〔AB＋AD〕，求证：∠B＋∠D＝180°.(答案〕证明：在线段AE上，截取EF＝EB，连接FC，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠CEF＝90°在△CBE 和△CFE 中，∴△CBE 和△CFE 〔SAS 〕∴∠B ＝∠CFE∵AE ＝12〔AB ＋AD 〕，∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2〔AF ＋EF 〕－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC 〔SAS 〕∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. 类型三、全等三角形判定的实际应用4、如图，公园里有一条“Z 字形道路ABCD ，其中AB ∥CD ，在AB ，BC ，CD 三段路旁各有一个小石凳E ，M ，F ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点.试判断三个石凳E ，M ，F 是否恰好在一条直线上？Why ？(答案及解析〕三个小石凳在一条直线上证明：∵AB 平行CD 〔〕∴∠B ＝∠C 〔两直线平行，内错角相等〕∵M 在BC 的中点〔〕∴BM ＝CM 〔中点定义〕在△BME 和△CMF 中∴△BME ≌△CMF 〔SAS 〕∴∠EMB ＝∠FMC 〔全等三角形的对应角相等〕∴∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°〔等式的性质〕∴E ，M ，F 在同一直线上(点评〕对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由易证△BME≌△CMF ，可得∠EMB ＝∠FMC ，再由∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°得到E ，M ，F 在同一直线上.〔全等三角形判定二〔ASA ，AAS 〕〕类型一、全等三角形的判定3——“角边角〞1、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.(答案及解析〕证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE及△BCF中∴△DAE≌△BCF〔ASA〕∴DE＝BF(点评〕利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．(变式〕：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.(答案〕证明：∵MQ和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，∴△MPQ ≌△NHQ 〔ASA 〕 ∴PM ＝HN类型二、全等三角形的判定4——“角角边〞2、：如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD 是经过点C 的一条直线，过点A 、B 分别作AE CD ⊥、BF CD ⊥，垂足为E 、F ，求证：CE BF =.(答案及解析〕证明：∵ CD AE ⊥，CD BF ⊥ ∴︒=∠=∠90BFC AEC∴︒=∠+∠90B BCF∵,90︒=∠ACB ∴︒=∠+∠90ACF BCF ∴B ACF ∠=∠在BCF ∆和CAE ∆中∴BCF ∆≌CAE ∆〔AAS 〕∴BF CE =(点评〕要证BF CE =，只需证含有这两个线段的BCF ∆≌CAE ∆.同角的余角相等是找角等的好方法.3、平面内有一等腰直角三角板〔∠ACB ＝90°〕和一直线MN ．过点C 作CE ⊥MN 于点E ，过点B 作BF ⊥MN 于点F ．当点E 及点A 重合时〔如图1〕，易证：AF ＋BF ＝2CE ．当三角板绕点A 顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，线段AF 、BF 、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜测，不需证明．(答案及解析〕解：图2，AF ＋BF ＝2CE 仍成立，证明：过B 作BH ⊥CE 于点H ，∵∠CBH ＋∠BCH ＝∠ACE ＋∠BCH ＝90°∴∠CBH ＝∠ACE在△ACE 及△CBH 中， 90ACH CBH AEC CHB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ACE≌△CBH．〔AAS〕∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC．(点评〕过B作BH⊥CE及点H，易证△ACH≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF＋BF＝2CE．正确作出垂线，构造全等三角形是解决此题的关键.举一反三：(变式〕错误!未找到引用源。
全等三角形的性质和判定练习
（一）全等三角形的特征 ∵△ABC ≌△DEF∴AB= ，AC= BC= ， （全等三角形的对应边 ） ∠A= ，∠B= ，∠C= ； （二）三角形全等的识别方法1、如图：△ABC 与△DEF 中2、如图：△ABC 与△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧===__________________________________________________________∵⎪⎩⎪⎨⎧===__________________________________________________________∴△ABC ≌△DEF （ ） ∴△ABC ≌△DEF （ ）3、如图：△ABC 与△DEF 中4、如图：△ABC 与△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧===__________________________________________________________ ∵⎪⎩⎪⎨⎧===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） ∴△ABC ≌△DEF （ ）证明思路⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS SAS1.已知如图,AE＝AC,AB＝AD,∠EAB＝∠CAD,试说明:∠B＝∠D2.如图，BC=DE,AC=AE, ∠C=∠E. AB与AD相等吗？请说明理由。
3.△ABC和△EDC中，∠BCA=∠DCE, BC=DC①若加条件_____________,则可得△ABC≌△EDC（SAS）②若加条件_____________,则可得△ABC≌△EDC（ASA）4.如图，A B∥DE, ∠A=∠D, AB=DE,请说明AC∥DF5.如图，∠B=∠ E, AB=DE,①求证：，△ABC≌△DEC②AC和DC相等吗？6.已知：如图：AB=DE，AD=CF，BC=EF.①求证；△AB C≌△DEF②AB∥DE吗？为什么？DCBDABAABCDA B C。
全等三角形经典例题
全等三角形经典例题（全等三角形的概念和性质）类型一、全等形和全等三角形的概念1、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等(合同）三角形，点A 与点A 1对应，点B 与点B 1对应，点C 与点C 1对应，当沿周界A→B→C→A，及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时,若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图1），若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2）,两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°,下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）（答案）B ；提示：抓住关键语句,两个镜面合同三角形要重合,则必须将其中一个翻转180°，B 答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，故选B ；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边，对应角 类型三、全等三角形性质3、如图,将长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，那么DAE ∠等于（ )．A 。
60° B 。
45° C 。
30° D.15°（答案）D ；（解析）因为△AFE 是由△ADE 折叠形成的，所以△AFE ≌△ADE,所以∠FAE＝∠DAE ，又因为60BAF ∠=︒，所以∠FAE ＝∠DAE ＝90602︒-︒＝15°.（点评）折叠所形成的三角形与原三角形是全等的关系,抓住全等三角形对应角相等来解题.举一反三：（变式)如图，在长方形ABCD 中，将△BCD 沿其对角线BD 翻折得到△BED ，若∠1＝35°，则∠2＝________。
（答案）35°；提示：将△BCD 沿其对角线BD 翻折得到△BED,所以∠2＝∠CBD ，又因为AD ∥BC ，所以∠1＝∠CBD ，所以∠2＝35°.4、 如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的,若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.（答案）∠α＝80°(解析）∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28x ,∠2＝5x ，∠3＝3x ,∴28x ＋5x ＋3x ＝36x ＝180°，x ＝5° 即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的， ∴△ABE ≌△ADC ≌△ABC ∴∠2＝∠ABE ，∠3＝∠ACD∴∠α＝∠EBC ＋∠BCD ＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°（点评）此题涉及到了三角形内角和,外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题。
八年级数学全等三角形常考题型例题
八年级数学全等三角形常考题型例题单选题1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若AC=4，AB=6，则S△ABD:S△ACD=（）A．3:2B．2:3C．1:1D．4:3答案：A解析：过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得，DE＝DC再根据三角形面积公式即可求解．解：过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ABC中，∠C=90°∴DC⊥AC，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE=DC，∵S△ABDS△ACD =12AB·DE12AC·DC=ABAC，∵AC=4，AB=6，S△ABD S△ACD =ABAC=64=32，所以答案是：A．小提示：本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确理解角平分线的性质是解本题的关键．2、作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D 为圆心，适当的长度为半径作弧使两弧在∠AOB的内部相交于一点，则这个适当的长度（）A．大于12CD B．等于12CD C．小于12CD D．以上都不对答案：A解析：根据作已知角的角平分线的方法即可判断．因为分别以C，D为圆心画弧时，要保证两弧在∠AOB的内部交于一点，所以半径应大于12CD，故选：A．小提示：本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．3、如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④答案：D解析：根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．解：在△ABC 中，∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，又∵AD 、BE 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠BAD+∠ABE=12(∠BAC+∠ABC)=12(180°-∠ACB)=12(180°-90°)=45°，∴∠APB=135°，故①正确．∴∠BPD=45°，又∵PF ⊥AD ，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB ，又∵∠ABP=∠FBP ，BP=BP ，∴△ABP ≌△FBP(ASA)，∴∠BAP=∠BFP ，AB=FB ，PA=PF ，故②正确．在△APH 和△FPD 中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP ，PA=PF ，∴△APH ≌△FPD(ASA)，∴PH=PD，故③正确．连接CP，如下图所示：∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确，综上所述，①②③④均正确，故选：D．小提示：本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．4、作∠AOB平分线的作图过程如下：作法：（1）在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．DE的长为半径作弧，两弧交于点C．（2）分别以D，E为圆心，大于12（3）作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．用下面的三角形全等的判定解释作图原理，最为恰当的是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS答案：A解析：根据作图过程可得OD=OE，CE=CD，根据OC为公共边，利用SSS即可证明△OCE≌△OCD，即可得答案．∵分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点C；∴CE=CD，在△OCE和△OCD中，{OE=OD CD=CE OC=OC，∴△OCE≌△OCD（SSS），故选：A．小提示：本题考查全等三角形的判定，正确找出相等的线段并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．5、如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB 和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS答案：A解析：根据题意两个三角形的三条边分别对应相等，即可利用“边边边”证明这两个三角形全等，即可选择． 在△ABC 和△ADC 中，{AB =ADBC =DC AC =AC，∴△ABC ≅△ADC(SSS)，∴∠BAC =∠DAC ，即∠QAE =∠PAE ．∴此角平分仪的画图原理是SSS ．故选：A ．小提示：本题考查了三角形全等的判定和性质．根据题意找到可证明两三角形全等的条件是解答本题的关键．6、小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ）A ．第1块B ．第2块C ．第3块D ．第4块答案：B解析：本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．小提示：本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7、如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为()A．14B．13C．12D．10答案：C解析：∵平行四边形ABCD∴AD∥BC，AD=BC，AO=CO∴∠EAO=∠FCO∵在△AEO和△CFO中，{∠AEO=∠CFO AO=CO ∠AOE=∠COF∴△AEO≌△CFO∴AE=CF，EO=FO=1.5∵C四边形ABCD=18∴CD+AD=9∴C四边形CDEF=CD+DE+EF+FC=CD+DE+EF+AE=CD+AD+EF=9+3=12.故选C小提示：本题关键在于利用三角形全等，解题关键是将四边形CDEF的周长进行转化．8、如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，若PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R，S，给出下列三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS．其中正确的是 ( )A．①②③B．①C．①②D．①③答案：C解析：先求证两个三角形全等，可得角、边对应相等，再根据同位角相等从而得出平行关系即可解题.如图在RT△APR和RT△APS中，PS=PR，AP=AP，∴RT△APR≅RT△APS，∴AS=AR，①正确；因为AQ＝PQ∴∠PAQ=∠QPA，又因为∠PAQ=∠PAR,∴∠PQC=∠PAQ+∠QPA=∠BAC，∴QP∥AR，②正确；△ BRP和△QPS中只有一个条件PR=PS，没有别的条件可以证明这两个三角形全等，③错误；所以正确答案选C.小提示：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边对应角相等的性质，本题中求证RT△APR≅RT△APS 是解题的关键填空题9、如图，在ΔABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为_______.答案：9.解析：根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD≅△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.小提示：此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.10、如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠DAC，请补充一个条件____，使△ABC≌△ADC．答案：∠D=∠B(答案不唯一)解析：本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．解：添加的条件为∠D=∠B，理由是：在△ABC和△ADC中，{∠BAC=∠DAC∠D=∠BAC=AC，∴△ABC≌△ADC(AAS)，所以答案是：∠D=∠B．小提示：本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．11、如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=______度．答案：120解析：根基三角形全等的性质得到∠C=∠C′=24°，再根据三角形的内角和定理求出答案.∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，∴∠B=120°，所以答案是：120.小提示：此题考查三角形全等的性质定理：全等三角形的对应角相等，三角形的内角和定理.12、如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，若∠A=50°，则∠DFE的度数为________．答案：40°解析：先利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，得出∠D的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出∠DFE的度数．解：在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴∠D=∠A=50°，∴∠DFE=90°-∠D=90°-50°=40°．所以答案是：40°．小提示：此题主要考查直角三角形全等的HL定理．理解斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等是解题关键．13、工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此做法得△MOC≌△NOC的依据是____．答案：SSS##边边边解析：由作图过程可得MO=NO，NC=MC，再加上公共边CO=CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．解：∵在△ONC和△OMC中{ON=OM CO=CO NC=MC，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC=∠AOC，所以答案是：SSS．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．解答题14、已知：AB//CD,AB=CD,AE=CF．求证：BF//DE．答案：见解析解析：根据AB∥CD，得到∠A=∠C，然后推出AF=CE，即可证明△ABF≌△CDE得到∠AFB=∠CED，则BF∥DE．解：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在△ABF和△CDE中，{AB=CD ∠A=∠C AF=CE，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴∠AFB=∠CED，∴BF∥DE．小提示：本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．15、如图，∠C＝∠E，AC＝AE，点D在BC边上，∠1＝∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．答案：见解析解析：先利用三角形外角性质证明∠ADE=∠B，然后根据“AAS”判断△ABC≌△ADE．∵∠ADC＝∠1+∠B，即∠ADE+∠2＝∠1+∠B，而∠1＝∠2，∴∠ADE＝∠B，在△ABC和△ADE中，{∠C=∠E ∠B=∠ADE AC=AE∴△ABC≌△ADE（AAS）．小提示：本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．。
直角三角形全等的判定_典型例题
典型例题直角三角形全等的判定例1：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。
分析：首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出、已知求证后，再写出证明过程。
已知：如图1，在Rt△ABC、Rt△中，∠ACB=∠=Rt∠，BC=，CD⊥AB于D，⊥于，D=求证：Rt△ABC≌Rt△证明：在Rt△CDB和Rt△中∵∴Rt△CDB≌Rt△（HL）由此得∠B=∠在Rt△ABC与Rt△△中∵∴Rt△ABD≌△（ASA）说明：文字证明题的书写格式要标准。
例2 ：如图2，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F.求证：BE＝CF分析： BE和CF分别在△BDE和△CDF中，由条件不能直接证其全等，但可先证明△AED≌△AFD，由此得到DE＝DF证明：（略）说明：本题容易误认为AD⊥BC。
根据图形的直观“好象相等”或“好象垂直”要避免这种错误，要把“好象”变为确定。
例3：如图3，已知△ABC中，∠BAC＝，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：（1） BD＝DE+CE（2）若直线AE绕A点旋转到图4位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何，请证明；（3）若直线AE绕A点旋转到图5时（BD＞CE），其余条件不变，BD与DE、CE的关系怎样？请直接写出结果，不须证明归纳（1）、（2）、（3），请用简捷的语言表述BD、DE、CE的关系。
分析：（1）由已知出发容易得到：BD＝AE，再分析观察AE＝AD+DE又易证AD＝EC。
（2）猜想规律，再运用几何知识证明。
解：（1）略（2）BD＝DE－CE（3）BD＝DE－CE（4）结论：当B、C在异侧时，BD＝DE+CE；当B、C在同侧时，BD＝DE－CE说明：本题是阅读理解题，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想。
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。
边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。
需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。
例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。
但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。
在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。
角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。
例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。
在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。
除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。
在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。
总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。
1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。
根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。
又因为AB=DC，所以BC=AC。
因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。
同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。
2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。
根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。
又因为AD=CE，所以BD=BE。
因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。
同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。
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全等三角形的性质：典型例题
：
1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2.全等三角形：能够完全重合的三角形（形状、大小相同）。
重合的顶点叫做对应点，重合的边叫做对应边，重合的叫叫做对应角。
3.全等三角形的符号：≌，注意：在写三角形全等的时候，先找出对应字母，然后按对应
顶点的字母顺序记两个三角形全等，再按顺序写出对应边和对应角。
4.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，全等三角形的面积相等。
反之，面积相等的三角形是全等三角形是错误的。
5.常见的三角形的基本图形有，平移，旋转和翻折。
知识的探索：
一．根据全等三角形全等的性质填空： 1.如图所示，△ABC ≌△DEF ， （这种情况是 ）
对应顶点有：点___和点___，点___和点___，点___和点___； 对应角有：____和____，_____和_____，_____和_____； 对应边有：____和____，____和____，_____和_____．
2.如图（1），点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,△AOB 绕O 旋转180°， 可以与△______重合，这说明△AOB ≌△______．这两个三角形的对应边是AO 与_____，OB 与_____，BA 与______；对应角是∠AOB 与________，∠OBA 与________，∠BAO 与________．（此种情况是 ） （2）如图，已知△ABC ≌△ADE,∠C=∠E,BC=DE, 其它的对应边有： ，
对应角有： 。
想一想: ∠ BAD= ∠ CAE 吗?为什么? 3.如图（2），已知△ABC 中，AB=3，AC=4, ∠ABC ＝118°,
那么△ABC 沿着直线AC 翻折，它就和△ADC 重合， 那么这两个三角形________，
即____________所以DA=______，∠ADC ＝_____°。
C
A
B
D
E
(此种情况是 )
自主探究：
类型一：.运用全等三角形的性质解决问题
1.如图，⊿OAD ≌⊿OBC,∠C=25°,∠O=70°,则∠AEB 的度数是（ ） A. 120° B. 70° C. 60° D. 50°
E
C
A
D
B
O
E
D C
B A
E C
B
D
F
A
类型二：全等三角形性质与三角形内角和的综合 1. 如图所示，⊿ABE ≌⊿ACD ，AB=AC,BE=CD ∠B=50°,∠AEC=120°,则∠CAD 的度数是
（ ）
A. 120 °
B. 70 °
C. 60°
D. 50° (解题关键：找清全等三角形中的对应关系)
2.如图所示，在⊿ABC 中，D,E 分别是边AC,BC 边上的点，若⊿ADB ≌⊿EDB ≌⊿EDC,
则∠C 的度数是（ ）
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30° 类型三：全等三角形与平行线的综合
1.如图，⊿ADF ≌⊿CBE,且点E,B,D,F 在同一直线上，判定AD 与BC 的位置关系，并加以说明。
类型四：全等三角形的性质与判定的综合
1.如图，沿AD 将⊿ABC 对折，若B 与C 重合，结合全等三角形的定义，写出全等的三角形，并用等式表示对应边，对应角，0为AD 上一点，延长BO 交AC 与点F,延长CO 交AB 于E ，还有哪些三角形全等。
E
F
C
B D O
A
D
B
C
A
1、如图1已知AB 和CD 相交于O ，△AOD ≌△BOC ， 点A 和点B 是对应点，那么∠DAO 的对应角是 ； 那么DO 的对应边是 。
2、如上图△ACD ≌△BDC ，点C 和点D 是对应点， 那么AD= ，∠DAC= 。
3、如图3已知△ABC ≌△DEF ，∠B=50°，∠D=80°则∠EFD= 。
4、如图4已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C ，其它对应边和对应角分别是 。
5、如图5已知△AOB ≌△COD ，△EOB ≌△FOD ，则图中 对角相等，有 对线段相等。
6、如图6，△ABD ≌△EBC,AB=3cm ，BC=4cm ，则DE= cm 。
2 1 B D E C A 图4
F
E
D C A B 图3
7、已知△ABC ≌△GFH ，若△ABC 的周长为24，AB=9，BC=11，则GF= ，HG= ，FH= 。
8、如图8已知△ABC ≌△ADE,其中BC 与DE 是对应边，则∠DAC 等于（ ） A 、∠ACB B 、∠CAE C 、 ∠BAE D 、∠BAC
9、如图9已知△ABC ≌△DEF ，则在此图中，相等的线段组数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
10、如图10△ABC ≌△CDA ，则它们的一组对应边是（ ） A 、AB=DC B 、CD=AB C 、AD=DC D 、AB=AC
11、下列说法中：①全等三角形形状相同。
②全等三角形对应边相等。
③全等三角形对
应角相等。
④全等三角形周长、面积分别相等。
其中正确说法的个数有（ ） A 、1全 B 、2 个 C 、3个 D 、4个
12、Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′可以完全重合，且∠C=∠C ′=90°, ∠B=∠B ′， AB= A ′B ′,那么下列不正确的是（ ）
A 、AC=A ′C ′
B 、BC=B ′
C ′ C 、AC=B ′C ′
D 、∠A=∠A ′ 13、已知△ABC ≌△DEF ，AB=2，BC=4，若△DEF 周长为偶数，则DF 取值为（ ）。
A 、3 B 、4 C 、5 D 、3或4或5
14如图已知△ABC ≌△ADE ，AB=AD ，AC=AE ，∠B=31°, ∠E=92°∠EAB=22°， 求：∠CAE 和∠CAD 的度数。
15、如图已知△ABC ≌△DEF ，BF=2.求：EC 的长
A D
B
E
C
C
B D
A C E F A
B
D
C
B
A
D
E
图
F
D
E
B
C
O
A
图5
B
A E
C
F
D
16、已知△ABC≌△DEF，AB=DE，BC=EF，∠A=70°, ∠E—∠F =60°.
求：∠B与∠C的度数
作业：
1.如图，将长方形ABCD沿AM折叠，使点D落在BC上的N点处，若AD=7cm，DM=3cm，∠NAB=
2.把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相较于点0，若
∠DBC=15°,则∠BOD= °
3.如图所示，△ACE≌△DBF,AE=DF,CE=BF,AD=8，BC=2，
(1)求AC的长
（2）求证CE∥BF.
4.如图所示，△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠ACB=∠AED=105°,∠B=∠D=10°,求∠DFB和∠DGB的度数。