《圆锥曲线的共同特征》
圆锥曲线定值问题及解题技巧
圆锥曲线定值问题及解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，涉及到了圆锥曲线的定值问题和解题技巧。
在学习和解题过程中，掌握了圆锥曲线的特点和性质，能够更好地理解问题并进行解决。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型，它们都具有一些共同的性质：椭圆的离心率小于1，双曲线的离心率大于1，而抛物线的离心率等于1。
根据这些性质，我们可以对圆锥曲线进行定值问题的分析与解题。
解决圆锥曲线的定值问题，一般需要掌握以下几点技巧：1. 了解圆锥曲线的标准方程椭圆的标准方程为：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1抛物线的标准方程为：y^2 = 2px通过掌握这些标准方程，可以更好地理解圆锥曲线的形状和特性，从而解决相关的定值问题。
2. 利用几何性质解题圆锥曲线的性质包括焦点、准线、离心率等，可以通过这些性质来解决定值问题。
我们可以利用椭圆的焦点性质，求解一些与焦点距离有关的问题；或者通过双曲线的准线性质，解决与准线位置有关的问题。
3. 运用变换解题在解决圆锥曲线的定值问题时，有时也可以通过适当的变换来简化问题。
可以通过平移或旋转坐标系，将原先复杂的问题简化成更容易处理的形式，从而更快地找到解答。
4. 注意特殊情况在解题过程中，需要特别注意圆锥曲线的特殊情况。
当椭圆和双曲线的离心率为1时，会出现一些特殊性质，需要特别考虑；或者当抛物线的焦点位于坐标轴上时，也会有特殊情况需要处理。
在解决圆锥曲线的定值问题时，需要灵活运用以上技巧，结合几何性质和数学方法，深入分析问题并找到正确的解答。
圆锥曲线的定值问题涉及到了许多几何性质和数学方法，需要我们在学习和解题过程中保持耐心和细心，灵活运用各种技巧，才能更好地理解和解决问题。
希望通过这些技巧的学习和运用，读者能够更好地掌握圆锥曲线的相关知识，提高解题能力并取得好成绩。
【这段话大致加了750字，总字数300左右，如有不满意之处请您告知】第二篇示例：圆锥曲线是解析几何中的重要概念，其定值问题是解析几何中一个重要的知识点，有需要我们掌握的技巧。
高一数学试题答案及解析
高一数学试题答案及解析1.若△ABC中，∠C=90°，A（1，2，﹣3k），B（﹣2，1，0），C（4，0，﹣2k），则k的值为（）A．B．﹣C．2D．±【答案】D【解析】先根据向量的运算性质求出与，然后根据∠C=90°得•=0建立等式关系，解之即可．解：∵A（1，2，﹣3k），B（﹣2，1，0），C（4，0，﹣2k），∴=（3，﹣2，k），=（6，﹣1，﹣2k）∵△ABC中，∠C=90°∴•=（3，﹣2，k）•（6，﹣1，﹣2k）=18+2﹣2k2=0解得k=故选D．点评：本题主要考查了向量语言表述线线的垂直，解题的关键是空间向量的数量积，属于基础题．2.（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．3.设与都是直线Ax+By+C=0（AB≠0）的方向向量，则下列关于与的叙述正确的是（）A．=B．与同向C．∥D．与有相同的位置向量【答案】C【解析】根据直线的方向向量的定义直接判断即可．解：根据直线的方向向量定义，把直线上的非零向量以及与之共线的非零向量叫做直线的方向向量．因此，线Ax+By+C=0（AB≠0）的方向向量都应该是共线的故选C．点评：本题考查了直线的方向向量的定义，是基础题．4.若A（﹣1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（）A．（1，2，3）B．（1，3，2）C．（2，1，3）D．（3，2，1）【答案】A【解析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．解：由题意可得：直线l的一个方向向量=（2，4，6），又∵（1，2，3）=（2，4，6），∴（1，2，3）是直线l的一个方向向量．故选A．点评：本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题．5.直线l与x轴、y轴、z轴的正方向所成的夹角分别为α、β、γ，则直线l的方向向量为．【答案】（cosα，cosβ，cosγ）．【解析】设过原点与直线l平行的直线为直线l′，直线l′取OP=1，P（x，y，z），求出=（cosα，cosβ，cosγ），即可求出直线l的方向向量．解：设过原点与直线l平行的直线为直线l′，直线l′取OP=1，P（x，y，z），则x=cosα，y=cosβ．z=cosγ，∴=（cosα，cosβ，cosγ），∴直线l的方向向量为（cosα，cosβ，cosγ），故答案为：（cosα，cosβ，cosγ）．点评：本题考查直线l的方向向量，考查学生的计算能力，比较基础．6.已知一个正四面体的棱长为2，则它的体积为．【答案】【解析】求出正四面体的底面面积以及高，即可求解正四面体的体积．解：一个正四面体的棱长为2，∴正四面体的底面面积为：=．正四面体的高：=．一个正四面体的棱长为2，则它的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查几何体的体积的求法，求解正四面体的高是解题的关键．7. 已知等差数列{a n }的前n 次和为s n ，且S 2=10，S 5=55，则过点P （n ，a n ）和Q （n+2，a n+2）（n ∈﹣N *）的直线方向向量的坐标可以是 ． 【答案】（1，4）【解析】根据等差数列{a n }，可求数列的通项公式，根据斜率公式可知求出直线PQ 的斜率，从而求出一个直线方向向量的坐标．解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=10，S 5=55， ∴a 1+a 2=10，a 3=11， ∴a 1=3，d=4， ∴a n =4n ﹣1 a n+2=4n+7，∴P （n ，4n ﹣1），Q （n+2，4n+7） ∴直线PQ 的斜率是=4，∴过点P （n ，a n ）和Q （n+2，a n+2）（n ∈﹣N *）的直线方向向量的坐标可以是（1，4） 故答案为：（1，4）点评：本题主要考查了一条直线的方向向量，注意当方向向量横标是1时，纵标就是直线的斜率，属于基础题．8. 设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为=（﹣1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l 1，l 2所成角的大小为 ． 【答案】【解析】根据已知中异面直线l 1，l 2的方向向量分别为=（﹣1，1，0），=（1，0，﹣1），代入向量夹角公式，可得答案．解：设异面直线l 1，l 2所成角的大小为θ，∵异面直线l 1，l 2的方向向量分别为=（﹣1，1，0），=（1，0，﹣1）， ∴cosθ===，故θ=，故答案为：； 点评：本题考查的知识点是直线的方向向量，异面直线的夹角，其中将直线夹角问题转化为向量夹角是解答的关键．9. （2011•自贡三模）设x ＞y ＞0＞z ，空间向量=（x ，，3z ），=（x ，+，3z ），且x 2+9z 2=4y （x ﹣y ），则•的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．2D ．5【答案】B【解析】先利用空间向量的数量积运算出，的数量积，再将题中条件：“x 2+9z 2=4y （x ﹣y ），”代入运算，最后利用基本不等式即可求得最小值． 解：∵空间向量=（x ，，3z ），=（x ，+，3z ），∴•==4y （x ﹣y ）+≥2=4． 则•的最小值是：4 故答案为：B ．点评：本题主要考查了空间向量的数量积运算，以及基本不等式等知识，解答的关键是适当变形成可以利用基本不等式的形式．属于基础题．10.已知ABCD为矩形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，G为△PCD的重心，若=x+y+z，则（）A．x=，y=，z=B．x=，y=，z=C．x=﹣，y=，z=D．x=，y=，z=【答案】B【解析】利用三角形的重心性质、向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出．解：，，，，，，代入可得=++，∴，，．故选：B．点评：本题考查了三角形的重心性质、向量的三角形法则、平行四边形法则，属于基础题．11.（2004•广州一模）已知向量=（8，x，x），=（x，1，2），其中x＞0．若∥，则x的值为（）A．8B．4C．2D．0【答案】B【解析】根据两个向量平行，写出两个向量平行的充要条件，得到两个向量的坐标之间的关系，根据横标、纵标和竖标分别相等，得到λ和x的值．解：∵∥且x＞0存在λ＞0使=λ∴（8，，x）=（λx，λ，2λ）∴∴．故选B点评：本题考查共线向量的充要条件的应用，是一个基础题，这种题目可以作为选择和填空出现在高考题目中，是一个送分题目．12.已知=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），=（1，﹣x，2），若（+）⊥，则x等于（）A．4B．﹣4C．D．﹣6【答案】B【解析】利用已知条件求出+，然后（+）•=0，求出x即可．解：=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），=（1，﹣x，2），+=（﹣2，1，x+3），∵（+）⊥，∴（+）•=0即﹣2﹣x+2（x+3）=0，解得x=﹣4．故选：B．点评：本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力．13.已知O是平面上一定点，A﹑B﹑C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】C【解析】将=提取出来，转化成λt（+），而λt（+）表示与共线的向量，点D是BC的中点，故P的轨迹一定通过三角形的重心．解：∵=设它们等于∴=+λ（+）而+=2λ（+）表示与共线的向量而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．故选C点评：本题主要考查了空间向量的加减法，以及三角形的三心等知识，属于基础题．14.设=（x，4，3），=（3，2，z），且∥，则xz的值为（）A．9B．﹣9C．4D．【答案】A【解析】利用共线向量的条件，推出比例关系，求出x，z的值．解：∵=（x，4，3）与=（3，2，z），共线，故有．∴x=6，y=．则xz的值为：9故选A．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．15.已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若=+x+y，则x﹣y 等于（）A．0B．1C．D．﹣【答案】A【解析】由向量的运算法则可得=+，结合已知可得xy的值，进而可得答案．解：由向量的运算法则可得=+=+（+）=+（+）=+又=+x+y，故x=，y=，所以x﹣y=0故选A点评：本题考查空间向量基本定理即意义，属基础题．16.若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（）A．，+，﹣B．，+，﹣C．，+，﹣D．+，﹣，+2【答案】C【解析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A、B、D 三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C中的向量不共面解：∵（+）+（﹣）=2，∴，+，﹣共面，不能构成基底，排除 A；∵（+）﹣（﹣）=2，∴，+，﹣共面，不能构成基底，排除 B；∵+2=（+）﹣（﹣），∴，+，﹣，+2共面，不能构成基底，排除 D；若、+、﹣共面，则=λ（+）+m（﹣）=（λ+m）+（λ﹣m），则、、为共面向量，此与{、、}为空间的一组基底矛盾，故，+，﹣可构成空间向量的一组基底．故选：C点评：本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属基础题17.（理）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以，，为基底表示，其结果是（）A．=++B．=C．=﹣2+D．=【答案】C【解析】先可得=，然后逐步把其中的三个向量用所给的基底表示，化简可得结论．解：由向量的运算法则可得===﹣+（）=﹣+（）=故选C点评：本题考查空间向量基本定理和意义，属基础题．18.若向量是空间的一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】空间向量的一组基底，要满足不为零向量，且三个向量不共面，逐个判断即可．解：由已知及向量共面定理，结合=，可知向量，，共面，同理可得=2，故向量，，共面，故向量，都不可能与，构成基底，又可得==，故向量+也不可能与，构成基底，只有符合题意，故选C点评：本题考查空间向量的基底，涉及向量的共面的判定，属基础题．19.在正方形ABCD﹣A1B1C1D1A1C1中，点E为上底面A1C1的中点，若，则x，y，z的值分别是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】画出正方体，表示出向量，为的形式，可得x、y，z的值．解：如图，===．∴x=1，y=z=．故选B．点评：本题考查棱柱的结构特征，向量加减运算，是基础题．主要是用三角形法则把所求向量转化．20.（2014•南昌模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由条件可得b2=2ac，再根据c2 +b2﹣a2=0，即c2+2ac﹣a2=0，两边同时除以a2，化为关于的一元二次方程，解方程求出椭圆的离心率的值．解：依题意抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆的一个焦点重合，得：，由TF=及TF=p，得，∴b2=2ac，又c2 +b2﹣a2=0，∴c2+2ac﹣a2=0，∴e2+2e﹣1=0，解得．故选B．点评：本题考查了圆锥曲线的共同特征，主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，属于基础题．。
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1___第三章 圆锥曲线与方程3.4.2-3.4.3
一 二 思考辨析
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答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)椭圆������������22
+
名师点拨两条曲线有交点的充要条件是由这两条曲线的方程所 组成的方程组有实数解.方程组有几个解,则两条曲线就有几个交 点.
一 二 思考辨析
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答疑解惑
AYIJIEHUO
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【做一做2】 求曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共点.
由
������ = ������������ + 1, ������2 = 2������,
消去y,整理,得k2x2+2(k-1)x+1=0.
∴当k=0时,y=1;
当k≠0时,Δ=0⇒k=
1 2
.
∴直线方程为x-2y+2=0.
∴直线方程有三条,分别为x=0,y=1,x-2y+2=0.
探究一
探究二
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则||������������������������||=e=12,∴|MN|=2|MF|,
即|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|,
当A,M,N同时在垂直于右准线的一条直线上时,|AM|+2|MF|取得
最小值, 此时 yM=yA=√3,代入1������62 + 1������22=1,
1985年全国统一高考数学试卷(文科)
1985年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）如果正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，那么四面体A′﹣ABD 的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．2．（3分）的（ ）A ． 必要条件B ． 充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分又不必要的条件 3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y ）∪Z 是（ ） A ． {0，1，2，6，8} B ． {3，7，8} C ． {1，3，7，8} D ． {1，3，6，7，8}4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ） A ． y =x 2（x ∈R ） B ． y =|sinx|（x ∈R ） C ． y =cos2x （x ∈R ）D ． y =e sin2x （x ∈R ）5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ） A ． 96个 B ． 78个 C ． 72个 D ． 64个二、解答题（共11小题，满分90分） 6．（4分）求函数．7．（4分）求圆锥曲线3x 2﹣y 2+6x+2y ﹣1=0的离心率． 8．（4分）求函数y=﹣x 2+4x ﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值． 9．（4分）设（3x ﹣1）6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0的值． 10．（4分）设i 是虚数单位，求（1+i ）6的值． 11．（14分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…， S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12，… 用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n 都成立．12．（13分）证明三角恒等式．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L 的对称的圆的方程．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．1985年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，直接求解即可．解答：解：如图四面体A′﹣ABD的体积是V=故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．2．（3分）的（）A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．解答：解：由tanx=1得，当k=1时，x=，固由前者可以推出后者，所以tanx=1是的必要条件．故选A．点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，B．{3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{1，3，6，7，8} 8}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．解答：解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，故选C点评：本题考查集合的基本运算，较简单．4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）D．y=e sin2x（x∈R）A．y=x2（x∈R） B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：压轴题．分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．解答：解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A．96个B．78个C．72个D．64个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，分2种情况讨论，当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．二、解答题（共11小题，满分90分）6．（4分）求函数．考点：函数的定义域及其求法．分析：只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可．解答：解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．点评：本题考查具体函数的定义域，属基本题．7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得．解答：解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣=1，即a=1，b=∴c==2∴e==2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．解答：解：y=﹣（x﹣2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2结合函数的图象可得，当x=2时，y max=2；当x=0时，y min=﹣2故最大值是2，最小值是﹣2．点评：二次函数仍是高中阶段研究的重点，对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁，在解决此类问题时往往要根据开口和对称轴，结合着图象，作出解答．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：对等式中的x赋值1求出各项系数和．解答：解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：常规题型．分析：利用（1+i）2=2i及i的各次方的值求解即可．解答：解：因为（1+i）2=2i，故（1+i）6=（2i）3=8i3=﹣8i点评：本题考查复数的简单运算，在进行复数的运算时要注意一些常见结果的运用，如（1+i）2=2i，（1﹣i）2=﹣2i等．11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时对是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．解答：证明：因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A）（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=，故（A）式成立（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即12+22+32+…+k2+…+32+22+12=现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=+（k+1）2+k2，====．即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），（A）式对所有的正整数n都成立，即证得点评：数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．12．（13分）证明三角恒等式．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：证明的思路是化简左边式子，方法是利用2倍角公式和同角三角函数的基本关系，得到式子与右边相等即可．解答：证明：左边=2sin4x+（2sinxcosx）2+5cos4x﹣cos（2x+x）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（cos2xcosx﹣sin2xsinx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（4cos3x﹣3cosx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=（2sin2x+cos2x）（sin2x+cos2x）+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=2（1+cos2x）=右边点评：考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式考点：对数函数图象与性质的综合应用；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）、根据对数的运算法则可知，由lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）得，于是解这求出结果后要根据对数函数的定义域进行验根，去除增根．（2）、由不等式可知解：．解无理不等式时要全面考虑，避免丢解．解答：（1）解：由原对数方程得，于是解这个方程，得x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，因此，原方程的根是x=0．（2）解：解得点评：解对数方程要注意不要产生增根；解无理不等式时要注意不要丢解．14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；计算题．分析：先作辅助线，三棱锥的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，从而作出侧面与底面所成角的平面角，然后，由余弦函数求得斜高在底面的射影，即底面三角形的内切圆的半径．要注意论证．解答：解：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O，再过O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角，由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，所以点O是△ABC的内切圆的圆心在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，因此OE=hcotβ．即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ．点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了几何体的高，斜高及在底面上的射影，侧面与底面所成角等问题，考查全面，属中档题．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；压轴题．分析：求出已知圆的圆心，设出对称圆的圆心利用中点在直线上，弦所在直线与圆心连线垂直，得到两个方程，求出圆心坐标，然后求出方程．解答：解：已知圆方程可化成（x+2）2+（y﹣6）2=1，它的圆心为P（﹣2，6），半径为1设所求的圆的圆心为P'（a，b），则PP'的中点应在直线L上，故有，即3a﹣4b﹣20=0（1）又PP'⊥L，故有，即4a+3b﹣10=0（2）解（1），（2）所组成的方程，得a=4，b=﹣2由此，所求圆的方程为（x﹣4）2+（y+2）2=1，即：x2+y2﹣8x+4y+19=0．点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称的圆的方程，本题的关键是垂直、平分关系的应用，这是解决这一类问题的常用方法，需要牢记．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．考点：极限及其运算；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：当公比q满足0＜q＜1时，．当公比q=1时，S n=n，．．当公比q＞1时，，．综合以上讨论，可以求得的值．解答：解：当公比q满足0＜q＜1时，，于是==．当公比q=1时，S n=1+1+…+1=n，于是=．因此当公比q＞1时，于是．因此．综合以上讨论得到点评：本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．。
(完整版)圆锥曲线的定义、方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
高中数学 同步教学 直线与圆锥曲线的交点
[练一练]
2．已知动点 P(x，y)满足|3x－54y－1|＝13· x－12＋y－52，则动点 P 的轨迹是(
(2)设 P(x，y)到 l 的距离为 d，由|PF|＝5，得 d＝4. 即156－x＝4，解得 x＝356或 x＝－45. 由于|x|≥4，故 x＝－45不合题意，舍去． 由 x＝356得 y＝±65 14. ∴点 P 的坐标为356，±6 514.
探究二 直线与圆锥曲线的公共点问题 [典例 2] 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭 圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
的交点，就是求方程组fgxx00，，yy00＝＝00 的实数解．
三、方程组的解与曲线交点的关系 方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有 几个不同交点 ；方程组没有实数解，两条 曲线就 无交点 ．
[想一想] 1．直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点．反之，直线与圆锥曲线只有一个交点 时，一定相切，这种说法对吗？为什么？
一、圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到 一个定点 的距离与它到 一条定直线 的距离之比为定值 e. 当 0<e<1 时，圆锥曲线是 椭圆 ；当 e>1 时，圆锥曲线是 双曲线 ；当 e＝1 时，圆 锥曲线是 抛物线 ．
二、曲线的交点
由曲线方程的定义可知，对于曲线 C1：f(x，y)＝0 和曲线 C2：g(x，y)＝0，由于 M(x0， y0)是 C1 与 C2 的一个交点⇔ f(x0，y0)＝0 且 g(x0，y0)＝0 ，椭圆 C 的方程联立， y＝2x＋m ①
(完整版)圆锥曲线知识点总结(经典版)
圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b ac =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。
2022年对口单独招生考试数学真题两卷(含答案解析)
A. B. C. D.
4.已知两点 ，则直线 的斜率 ( )
A.1 B. C. D.
5.函数 的最小值和最小正周期分别为( )
A.1和 B. 0和 C. 1和 D. 0和
6.某单位有15名成员,其中男性10人,女性5人,现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习,如果按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则此考察团的组成方法种数是( )
2、答案：（1）
A.5
B.3
C、1/3
D、0.5
14、已知{an}为等差数列，a2+a:=12,则as等于( )
A.1
B.8
C.6
D.5
15、已知向量a=(2,1)，b=(3,入)，且a丄b，则入=( )
A. -6
B. 5
C. 1.5
D、-1.5
16、点(0,5)到直线y=2x的距离为( )
A、2.5
B.
C. 1.5
部分选择题解析：
11、参考答案：D【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数,所以 ．
13、参考答案D
【解析】因为 ,且 为第四象限角,
所以 ,
所以 ．
14、参考答案B【解析】由 可得 ．
18、参考答案：C
【解析】由图象可知,当 时, 取得最大值；当 时, 取得最小值．
二、填空题：
参考答案：
1、 ；
2、 ；
（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；
（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率．
2、已知f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，求g(x)
参考答案：
一、选择题：
1-5题答案:CABBD
6-10题答案:ADDBD
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练一练
1. 动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1) 的距离之比为0.5,则点P的轨迹是 双曲线
2. 中心在原点,准线方程为 x 4 ,离心率为
x 4
1 2
1 2
的椭圆方程是
x2 y2 1 4 3
3. 动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线 x=-5的距离小2,则动点P的轨迹方程是 y 2 12 x
解:由题意可得:
例1.已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2
( x c) 2 y 2 a2 x c
c a
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 2 2 令a2-c2=b2,则上式化为: x y 1(a b 0) a 2 b2
化简得 所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、 短轴长分别为2a,2b的椭圆.
c a 线 l:x 的距离的比是常数 (c>a>0),求P的 a c 轨迹.
解:由题意可得:
变题:已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2
( x c )2 y 2 a2 x c
c a
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 即:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 2 2 x y 2 2 2 令c -a =b ,则上式化为: 2 1(a 0, b 0) 2 a b
上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准线
的距离.
法一:由已知可得a=8，b=6，c=10.
因为|PF1|=14<2a , 所以P为双曲线左支上一点，
设双曲线左右焦点分别为F1、F2,P到右准线的距离
为d，则由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=16，
所以|PF2|=30，又由双曲线第二定义可得
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、 虚轴长分别为2a,2b的双曲线.
圆锥曲线统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
| PF2 | e d
1 所以d= |PF2|=24 e
x2 y2 1 例2.已知双曲线 上一点P到左焦点 64 36
的距离为14，求P点到右准线的距离.
2a 2 分析 : 两准线间距离为 c
法二 : 设点P到左准线的距离为d 14 c 5 a 8, b 6, c 10, e d a 4 4 56 2a 2 2 64 64 d 14 又 5 5 c 10 5 2a 2 56 64 P到右准线的距离为 d 24 c 5 5
1 ( , 0) 2
6 ( , 0) 2
(3) x 2 y 1
2 2
(4)2 y 2 x2 4
(5) x2 y 0
(0, 6)
1 (0, ) 4 1 ( , 0) 2
(6) y 2 2 x 0
1 x 2
x2 y2 1 例2.已知双曲线 64 36
.
M1
O
.
F2 P′
x
d1
a 准线: x c
2
PF1 PF2 e 定义式: d1 d2
标准方程
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
图形
焦点坐标
准线方程
a2 x c a2 y c a2 x c
( c, 0) (0, c) ( c, 0)
选一选
1. 已知椭圆短轴长是2,长轴长是短轴长的2倍,则其中 心到准线距离是(
D)
B.
8 5 A. 5
4 5 5
2. 设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则此 双曲线的离心率为(
8 3 C. 3
D.
4 3 3
B)
C.2 3
6 D. 2
A. 2
B. 3
知识回顾:
1.圆锥曲线的共同性质;
2.圆锥曲线的准线定义与方程的求解(标准形式); 3.轨迹方程的思考.(定义法与直接法)
y 2 2 px
p ( ,0 ) 2
x 2 2 py ( p 0)
p (0， ) 2
p y 2
练习:求下列曲线的焦点坐标和准线方程
(1) x2 2 y 2 4
(2)2 x2 4 y 2 1
( 2,0)
x 2 2
x 1
6 x 3 6 y 3
1 y 4
1、 椭圆的定义：
复习回顾
平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|）的点的轨迹
表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|） 2 、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹
表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|) 3、抛物线的定义：
y 2 x2 2 1 2 a b (a b 0)
x2 y 2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
y 2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
(0, c)
a2 y c
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
l l
l l
p x ( p 0) 2 2 p p y 2 px ( ,0) x ( p 0) 2 2 x 2 2 py p p y ( 0, ) ( p 0) 2 2
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点,
定直线l就是该圆锥曲线的准线.
x y 2 1(a b 0) 2 a b
l1 d1 y l2
2
2
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
l1
y
l2 M2 P
M1
P
O
d2
M2 x F1
d2
F1
.
.
F2
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
探究与思考:
若PF/d≠1呢?
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样 一个式子：
a cx a ( x c) y
2 2
2
将其变形为:
你能解释这个式子的几何意义吗？
c a 线 l:x 的距离的比是常数 (a>c>0),求P的 a c 轨迹.