测量平差条件方程t的判定
测量平差 条件方程t的判定知识分享
测量平差条件方程t的判定§3-4 三角网条件平差计算2学时三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等。
三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件方程。
因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的。
三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂。
根据观测内容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。
自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。
如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数学理论，以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。
如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。
无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。
在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。
一、网中条件方程的个数三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。
如图3-9所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网中的四个数据，如两个三角点的4个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、一条边的长度和一个方位角，这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。
有了必要起算数据，就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小及其方位，就可以计算三角网中未知点的坐标。
要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观测数t，从而确定了多余观测数：r = n - t由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件方程的个数。
测量平差的基本原理和计算方法
测量平差的基本原理和计算方法测量平差是测量学中一个重要的概念，它用于消除测量误差，提高测量精度。
本文将介绍测量平差的基本原理和计算方法。
一、测量平差的基本原理测量平差的基本原理是通过对测量数据进行处理，消除不可避免的误差，得到更为准确的结果。
在实际的测量过程中，由于各种因素的影响，测量结果往往不是完全准确的。
而通过平差可以将这些误差分布在测量要素上，使得整个测量结果更为合理。
平差的基本原理包括以下几个方面：1. 观测误差的性质：观测误差是服从一定的概率分布的，一般满足正态分布或其近似分布。
2. 绘图、观测和计算误差的连接性：测量平差将绘图误差、观测误差和计算误差联系在一起，通过适当的方法进行计算处理。
3. 误差的耦合性：测量过程中的各个要素之间存在着一定的关系，其误差也会相互影响。
通过平差可以将这些误差合理地分配和补偿。
二、测量平差的计算方法测量平差的计算方法有很多种，下面将介绍几种常见的方法。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的测量平差方法，其基本思想是将误差的平方和最小化。
通过对误差进行建模和优化，可以得到一组最优解。
2. 最大似然估计法：最大似然估计法是一种基于统计原理的测量平差方法。
它根据观测数据的概率分布，选择出最具可能性的结果。
通过最大化似然函数，可以得到一组最优解。
3. 权值平差法：权值平差法是一种根据观测精度的大小，给予不同权值的平差方法。
通过给观测数据引入权值，可以使得精度高的数据在计算过程中起到更大的作用，从而提高整体的测量精度。
4. 卡尔曼滤波法：卡尔曼滤波法是一种基于状态估计的测量平差方法。
它通过建立状态模型和测量模型，利用观测数据进行误差修正，从而得到更加准确的结果。
三、测量平差的应用测量平差在实际应用中有着广泛的应用。
以下通过几个领域的案例来说明。
1. 地理测量：在地理测量中，测量平差常用于大地测量和地图制图。
通过平差可以消除地球曲率、大地水准面等因素的影响，得到更加准确的测量结果，提高地图的精度和真实度。
测量平差问题中必要观测值的确定-new
观测数
n
n
n
n
必要观测数
t
t
t
t
多余观测数 r = n − t
r =n−t
r =n−t
r =n−t
所设参数数
0
0 < u < t 且独立 u = t 且独立 u > t 且包含 t 个独立
方程数
r
r+u
r+u =n
r+u =n+s
待求量数
n
n+u
n+u
n+u
方程形式 AΔ + W = 0 AΔ + BX~ + W = 0 Δ = BX~ − l
分析：示例 10 为一边角网，没有起算数据，需要额外假定 3 个起算数据（一个点的坐
标和一个方位角），属表中的 B-1 情形，必要观测数 t = 2 p − 3 = 2 × 6 − 3 = 9 。
从以上示例分析可知，本文根据实际教学的经验，总结出测量平差问题中不同观测条件、
不同图形条件下的必要观测值确定的通用公式具有普遍适用性，图表简洁清晰，归纳问题全
t = 2p−4 = 2×6−4 =8。
图7
图8
示例 8：如图 8 所示，A、B 为已知点，α~0 为已知方位角，P1、P2、P3、P4、P5、P5 为
待定点， ∠1 ~ ∠21 为观测角。 分析：示例 8 为一测角网，包含 5 个起算数据（ A、B 的坐标和α~0 ），有多余起算数据，
4
属表中的 J-2 情形，必要观测数 t = 2 p − Q = 2 × 7 − 5 = 9 。 示例 9：如图 9 所示， A、B 为已知点，α~0 为已知方位角， P1、P2 为待定点， s1 ~ s5
测绘技术中的测量平差原理解析
测绘技术中的測量平差原理解析测绘技术中的测量平差原理解析引言：测绘技术在现代社会发挥着重要的作用，它涉及到土地界定、地籍管理、基础设施规划等众多领域。
在测绘过程中，测量平差是一个关键的环节。
本文将探讨测绘技术中的测量平差原理及其应用。
1. 测量平差的概念和目的测量平差是指通过一定的数学方法，根据观测数据的误差特征和认定标准，对测量结果进行矫正和调整，以提高测量精度和可靠性的过程。
其主要目的是消除观测误差，减小测量结果的不确定性，使其更符合实际情况。
2. 测量平差的基本原理2.1 观测数据的模型化测量平差首先要对观测数据进行模型化，即将观测量表示为数学方程。
这些方程通常由测量的基本原理和几何关系得出。
例如，在高程测量中，可以利用水准差测量方程将观测数据进行模型化。
2.2 误差的传递与权系数的确定测量中的各种误差会通过观测数据的模型传递到测量结果上。
为了实现测量精度的提高，需要对各个误差源进行分析，并确定权系数。
权系数决定了各观测量对最终结果的影响程度，可以通过误差传递公式进行计算。
2.3 平差方程的建立和求解通过观测数据的模型化和误差分析，可以建立平差方程。
平差方程的求解是整个测量平差的核心环节，它通常是一个较为复杂的数学问题，需要运用矩阵运算、最小二乘法等数学方法进行求解。
2.4 结果的检验和精度评定平差结果的检验是测量平差的最后一步。
通过与实际情况对比，验证平差结果的准确性。
同时，还要评定平差结果的测量精度和可靠性，通常包括单位权中误差、最大误差等参数。
3. 测量平差的应用领域测量平差在实际测绘工作中有广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：3.1 地理信息系统（GIS）建设测量平差为GIS建设提供了精确的地理数据。
在将各种原始数据整合到GIS中时，需要进行数据匹配和转换，这就需要借助测量平差的方法来处理不同数据源的不一致性。
3.2 基础设施建设在基础设施建设中，测量平差可以用于道路设计、建筑物定位、矿山开采等过程中。
测量平差原理
间接平差： 选定t个独立的参数，将每个 观测值分别表示成这t个独立参数的函数， 组成观测方程，这种以观测方程为函数模 型的平差方法就是间接平差。
其数学模型为：
L B X d
n1 nt t1 n1
D
nn
2 0
Q
nn
P 2
1
0 nn
间接平差的数学模型
观测三角形内角，选择t=2个独立
参数A和B为平差参数，设为X1 、X2 则n=3个观测方程为：
针对偶然误差的测量平差中，利用最小二乘 法求得的估计量是最优估计量，具有以下性质：
（1）一致性；（2）无偏性；（3）有效性
数学模型 ：用数学关系描述几何模型的几何关系和内在 联系 。
函数模型 ：几何关系，描述观测量之间或观测量与待定 量之间的数学函数关系式 。
随机模型 ：内在联系，是描述观测量及其相互间的统计 相关性质。实际上，测量平差中所谓的随机模型，就是 观测值向量的权阵。
方程式不能由其他方程式线性组合得到） （3）形式简单
列方程依据：角度、边长、高差等几何关系
条件平差的函数模型举例 (1)
r=2
条件平差的函数模型举例 (2)
S1
1
A
C
已知点：A、B
观测值如图
3
S2
2 B
r=3
条件平差的函数模型举例 (3)
C
D
L3 L4
L6
已知点：A、B
L1
A
L2
L5
B
观测值： L1- L6
必要观测、多余观测
确定平面三角形的形状
观测三个内角的任意两个即可,称其必要
元素个数为2，必要元素有 C32种选择
确定平面三角形的形状与大小
测量平差
测量平差一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。
人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。
测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。
2.协方差传播律及协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
①观测值线性函数的方差： 函数向量：Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为：ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====F D KDK D F D K D K D FD F D TX ZYTX YZT X ZTXY②多个观测值线性函数的协方差阵×n×n×t×n Tn XX t t ZZ KD K D =③非线性的协方差传播TXXZZ KKDD =3.权及常用的定权方法①权表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。
权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。
()n i iiP ,...,2,1220==σσi P 为观测值i L 的权，20σ是可以任意选定的比例常数。
②单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。
确定一组权时，只能用同一个0σ，令0σσ=i，则得:iiP ===0220221σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。
凡是方差等于20σ的观测值，其权必等于1。
权为1的观测值，称为单位权观测值。
无论20σ取何值，权之间的比例关系不变。
③测量中常用的定权方法 ⅰ.水准测量的权NC P h =式中，N 为测站数。
SC P h =式中，S 为水准路线的长度。
ⅱ.距离量测的权ii S C P =式中，iS 为丈量距离。
ⅲ.等精度观测算术平均值的权CPiiN=式中，iN 为i 次时同精度观测值的平均值。
测量平差
条件方程（一）、水准网1、水准网的分类及水准网的基准分为有已知点和无已知点两类。
要确定各点的高程，需要1个高程基准。
2.水准网中必要观测数t的确定有已知点：t等于待定点个数无已知点：t等于总点数减一3、水准网中条件方程的列立方法列条件方程的原则：1、足数； 2、独立；3、最简（1）、先列附合条件，再列闭合条件（2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一（3）、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网中有多少个小环，就列多少个闭合条件在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数、独立、最简原则。
边角网条件方程单一附合导线的条件方程一个方位角条件两个坐标条件纵坐标条件为所以纵坐标条件方程为：纵坐标条件方程的最终形式为：GPS基线向量网三维无约束条件平差1.GPS基线向量网的观测值2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t3、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立GIS数字化数据采集中，折角均为90°的N边形的条件方程直角条件：小结：一、条件平差及其目的二、条件平差的原理三、总结了条件平差的步骤（1）根据具体问题列条件方程式；（2）组成法方程式，（3）解法方程；（4）计算改正数V，（5）求观测值的平差值（6）检核（7）精度评定附有参数的条件平差小结1、为了某种需要，选择参数；2、每选一个参数，就增加一个条件方程，选择u 个参数，就增加u 个条件方程；3、条件方程的总数c=r+u ；4、单位权中误差的计算公式不变；5、求平差值函数的中误差时，应将平差值函数分别对观测值的平差值和参数求偏导数。
间接平差三、选取参数的个数和原则1、所选取t个待估参数必须相互独立；2、所选取t个待估参数与观测值的函数关系容易写出来。
四、不同情况下的误差方程1、水准网误差方程2、方位角误差方程测方位坐标平差函数模型测角网函数模型3、测边网误差方程4、GPS网误差方程。
测量平差中条件方程类型确定的分析
测量平差中条件方程类型确定的分析作者：泥立丽王永来源：《商情》2020年第33期【摘要】给出了测量平差问题中各类条件方程的确定方法。
在测角三角网的平差中，正确无误地确定各类条件方程是一个难点问题。
文中通过精选的四个测角三角网，从如何确定几何模型的类型、如何确定布网的目的、如何确定起算数据以及如何确定必要观测数等几个方面，分步骤地进行了详细的分析，并给出了思路。
文中给出的方法，简单易行，不容易出错，适合于大多数的初学者和普通测量工作者。
【关键词】几何模型;起算数据;必要观测数;条件方程在测量平差的教学工作中，对于一个几何模型，当确定了必要观测数后，就可以确定多余观测数并依此列出各种条件方程了。
条件方程的类型非常多，包括图形条件、圆周条件、极条件以及坐标方位角条件等。
如何正确地列出相应的条件方程是学生学习的一个难点，本文中，作者结合教学的实际精选了四个测角三角网，并给出了一些分析思路。
1 算例如图1至图4所示，为四个测角三角网，求下列各测角三角网按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数，其中Pi为待定点，i为已知边，i为已知方位角，i取非负整数。
2 分析思路2.1大体分析思路（1）确定几何模型的类型即根据三角网的观测值来确定它是测角三角网、测边三角网还是边角网。
如图1至图4均为测角三角网。
（2）确定布设三角网的目的即布设三角网是为了确定网的形状还是待定点的坐标。
如图1中，其已知数据包括两个已知点坐标、一个已知方位角，可知该网是为了确定待定点的坐标;图2中，没有已知点，但包括两条已知边长，因此该网是为了确定形状和大小，由于大小固定的网是形状不变时的一种特例，因此该网的最终目的是为了确定形状。
图3中，没有已知点，仅包括一条已知边长和两个坐标方位角，因此该网是为了确定形状。
图4中，包括3个已知点，因此该网最终目的是为了确定待定点的坐标。
（3）判断已知数据是否为起算数据已知数据未必是起算数据。
在观测网中，为了实现布网的最终目的，已知数据是否起作用需要进行判断。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3-4 三角网条件平差计算2学时三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及位角等。
三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件程。
因此了解三角网的构成，总结其条件程的种类及各种条件程的组成规律是十分重要的。
三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂。
根据观测容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。
自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。
如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的位角），根据数学理论，以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。
如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。
无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。
在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件程的形式问题。
一、网中条件程的个数三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。
如图3-9所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网中的四个数据，如两个三角点的4个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、一条边的长度和一个位角，这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。
有了必要起算数据，就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小及其位，就可以计算三角网中未知点的坐标。
要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观测数t，从而确定了多余观测数：r = n - t由条件平差原理知，多余观测数与条件程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件程的个数。
因此，问题的关键是判定必要观测数t。
1.网中有2个或2个以上已知点的情况三角网中有2个或2 个以上已知三角点，就一定具备了4个必要起算数据。
无论是测角网、测边网还是边角同测网，如果有2个已知点相邻，要确定一个未知点的坐标，需要观测两个观测值（2个角，或者1条边和1个角，或者2条边）。
也就是说，确定1个未知点要有2个必要观测值；那么如果网中有p个未知点，必要观测数应等于未知点个数的两倍。
t = 2 ·p(3-4-1)(1) 测角网图3-9所示，三角网中有2个已知点，待定点个数为p = 6。
如果三角网中观测量全部是角度时。
总观测值个数：n = 23必要观测数：t = 2 · p =12则多余观测数，即条件平差条件程个数：r = n – t = 11(2) 测边网在图3-9中，如果三角网中观测量全部是边的长度时：总观测值个数：n = 14必要观测数：t = 2 · p =12则多余观测数，即条件平差条件程个数：r = n – t = 2(3) 边角同测网在图3-9中，如果三角网中的所有的角度值和所有的边长值都进行观测时：总观测值个数：n = 37必要观测数：t = 2 · p =12则多余观测数，即条件平差条件程个数：r = n – t = 252. 网中已知点少于2个的情况有些情况下，三角网中已知点可能少于2个，只有1个已知点、1个已知边和1个已知位角，或者没有已知点和已知位角只有1个已知边。
但是，不管怎样说，1条已知边是必须已知的，或者需要进行观测的。
如果没有已知点，可以假定网中的1个未知点；如果没有已知位角，可以取网中的1个向的位角为某一假定值。
这样也就间接地等价于网中有2个相邻点的坐标是已知的。
(1) 测角网三角网中共有p个三角点、1个已知位角（也可以没有）、1个已知点（也可以没有已知点）和1个已知边长S（或者也是观测得到的），并观测了所有的角度。
如果已知点和已知位角都没有，就要进行必要的假设。
则在进行条件平差时，必要观测数为：t = 2 · ( p – 2) (3-4-2) 如图3-10所示，三角网中观测了所有角度值（如果没有已知边时，也观测1条边长作为起算数据）。
网中三角点个数：p = 6角度观测值个数：n = 12必要观测数：t = 2 · ( p – 2) = 8则多余观测数，即条件平差条件程个数：r = n – t = 4(2) 测边网或边角同测网若三角网中，共有p个三角点和1个已知点（或者也是假定的），并对所有的边长，或者角度和边长进行了观测，观测值总个数为n。
在进行条件平差时，由于要加上必须的起算边长，则必要观测（边或者边和角）的个数为t = 2 · ( p – 2)+1 (3-4-3) 如图3-10所示，网中三角点个数：p = 6如果是测边网，则总观测值个数： n = 9必要观测数： t = 2 · ( p – 2) +1=9多余观测数，即条件平差条件程个数： r = n – t = 0如果是边角同测网，则总观测值个数： n = 21必要观测数： t = 2 · ( p – 2) +1=9多余观测数，即条件平差条件程个数： r = n – t = 12以上我们仅对几种三角网，讨论了条件平差时必要观测数及多余观测数和条件平差程数的确定法，还有很多情况没有涉及到。
在实际平差计算中，应针对不同情况进行具体分析。
二、条件程的形式三角网中的条件程主要有以下几种形式：1. 图形条件程图形条件，又叫三角形角和条件，或三角形闭合差条件。
在三角网中，一般对三角形的每个角都进行了观测。
根据平面几知识，三角形的三个角的平差值的和应为180˚，如图3-12中的三角形ABP ，其角平差值的和应满足下述关系：0180ˆˆˆ321=-++οL L L (3-4-4)此即为三角形角和条件程。
由于三角形是组成三角网的最基本的几图形，因此，通常称三角形角和条件为图形条件。
因此图形条件也是三角网的最基本、最常见的条件程形式。
与（3-4-4）式相对应的改正数条件程为0321=-++w v v v (3-4-5))180(321ο-++-=L L L w(3-4-6) 2. 水平条件程水平条件，又称圆条件，这种条件程一般见于中点多边形中。
如图3-12所示，在中点P 上设观测站时，围的五个角度都要观测。
这五个观测值的平差值之和应等于360˚，即0360ˆˆˆˆˆ1512963=-++++οL L L L L (3-4-7)相应的改正数条件程为1512963=-++++wvvvvv(3-4-8))360(1512963ο-++++-=LLLLLw(3-4-9)3. 极条件程极条件是一种边长条件，一般见于中点多边形和大地四边形中。
先看中点多边形的情况。
如图3-12所示，中心P点为顶点，有五条边，从其中任一条边开始依次推算其它各边的长度，最后又回到起始边，则起始边长度的平差值应与推算值的长度相等。
在图3-12所示的三角网中，我们应用正弦定理，以BP边为起算边，依次推算AP、EP、DP、CP，最后回到起算边BP、，得到下式14131110875421ˆsinˆsinˆsinˆsinˆsinˆsinˆsinˆsinˆsinˆsinˆˆLLLLLLLLLLSSBPBP⋅⋅⋅⋅=整理得0ˆ1ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin 14118521310741=-L L L L L L L L L L (3-4-10)（3-4-10）式即为平差值的极条件程。
为得到其改正数条件程形式，可用泰勒级数对上式左边展开并取至一次项：1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin 1411852131074114118521310741-=-L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ρρ''-''+22141185213107411114118521310741cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin v L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L ρρ''-''+55141185213107414414118521310741cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin v L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L ρρ''-''+88141185213107417714118521310741cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin v L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L ρρ''-''+111114118521310741101014118521310741cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin v L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L 0cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 141414118521310741131314118521310741=''-''+ρρv L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L化简，即得极条件的改正数条件程：1414131311111010887755442211=--+-+-+-+-w v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL (3-4-11) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-''-=13107411411852sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1L L L L L L L L L L w ρ(3-4-12)在大地四边形中的极条件程与中点多边形稍有不同。