第1课时 弧长和扇形面积1 教案
九年级数学上册(人教版)24.4弧长与扇形面积(第一课时)教学设计
"首先，我们来看弧长的计算公式。弧长等于圆周长的一部分，我们可以通过圆心角和半径来计算。其公式为：弧长= (圆心角/360) × 2πr。接下来，我们学习扇形面积的计算公式。扇形面积是圆面积的一部分，它等于圆心角所对的圆弧与半径所围成的图形。其公式为：扇形面积= (圆心角/360) × πr²。"
2.教师通过示例题，展示如何运用这些公式解决实际问题，让学生理解并掌握计算方法。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成小组，让学生合作讨论以下问题：
"如何计算一个圆的1/4弧长和扇形面积？如果圆的半径是10cm，圆心角是90度，你能计算出弧长和扇形面积吗？"
2.学生在小组内进行讨论，共同解决这些问题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.梯度练习，巩固知识
设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。针对学生的错误，进行及时反馈和指导。
4.理论联系实际，学以致用
通过解决实际问题，让学生感受数学的实用性。例如，计算一段弯曲的道路的长度、计算扇形门的面积等。
5.总结反馈，拓展提高
在课堂结束时，让学生总结本节课所学内容，并进行自我评价。教师对学生的表现给予肯定和鼓励，同时对学生的不足之处进行指导。
（四）课堂练习，500字
1.教师设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
"请同学们完成以下练习题：计算半径为5cm的圆的1/6弧长和扇形面积；计算圆心角为120度的扇形面积，半径为8cm。"
2.教师对学生的练习进行批改和反馈，针对错误进行讲解，确保学生掌握所学知识。
（五）总结归纳，500字
24.4 弧长和扇形面积第1课时教案
24.4弧长和扇形面积教案一、【教材分析】二、【教学流程】自 主 探 究问题2、你还记得圆面积的计算公式吗？圆面积可以看作多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n 的圆心角呢？设：已知⊙O 半径为R ，求n 的圆 心角所对的扇形面积. 比较扇形面积公式和弧长公式，看看它们之间有什么关系？2R =360n S π扇形 1=2S lR 扇形其中，l 是扇形的弧长，R 为半径． 学生认真思考，由中等学生回答：圆周长为2R π，可看作是360°的圆心角所对的弧长；教师关注学生对公式的理解程度.教师引导学生类比弧长公式的推导过程，推导出扇形面积公式. 经过观察，学生能够看出：类比的方法研究问题．来源于生活服务于生活，强化应用意识O DC B A 补 偿 提 高1、 如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m ，其中水面高0.3m ，求截面上有水部分的面积（精确到0.01 m 2）2、三角形ABC 的外接圆半径为2，60=∠BAC °，则∠BAC 所对的弧BC 的长为教师出示例题后，引导学生分析已知条件，教师要关注学生对题目中的有关概念是否清楚，如水面高指的是什么？ 经过分析，学生知道了水面高即弧AB 的中点到弦AB的距离． 因此想到做辅助线的方法：连接OA 、AB ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，交弧AB 于点C ．垂径定理的应用．加强学生对本节课内容的认识与联系三、【板书设计】四、【教后反思】。
24.4 弧长和扇形面积(第1课时教案)
24.4 弧长和扇形面积(第1课时)教学内容1．n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ 2．扇形的概念；3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π；4．应用以上内容解决一些具体题目． 教学目标了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L=2180n R π和扇形面积S 扇=2360n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．重难点、关键1．重点：n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用．2．难点：两个公式的应用．3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程． 教具、学具准备小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板． 教学过程 一、引入问题：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm ，精确到10mm)二、探索新知（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．1．半径为R 的圆,周长是多少？ 2．圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？3．1°圆心角所对弧长是多少？ 2°的圆心角所对的弧长是_______． 4°的圆心角所对的弧长是_______． ……n °的圆心角所对的弧长是_______．（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：n °的圆心角所对的弧长为180Rn l π=（幻灯片5）.c针对练习题1.已知一个圆的半径为12，则圆心角为150°所对的弧长为（ ） A ．5π B ．6π C ．8π D ．10π2.一个圆的半径为8cm ，则弧长为π316cm 所对的圆心角为（ ）A ．60°B ．120°C ．150°D ．180°3.若长为12π的弧所对的圆心角120°，则这条弧所在圆的半径为（） A ．6 B ．9 C ．18 D ．36问题、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即»AB 的长（结果精确到0.1mm ）（幻灯片7）.c分析：要求»AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可． 解：R=40mm ，n=110∴»AB 的长=180n R π=11040180π⨯≈76.8（mm ）因此，管道的展直长度约为76.8mm ．练习题： 有一段弯道是圆弧形的，道长是12m ，弧所对的圆心角是段圆弧的半径R(精确0.1m)扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．1）半径为R 的圆,面积是多少？圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？ 1°圆心角所对扇形面积是多少？2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．设圆半径为R ，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． 因此：在半径为R 的圆中，圆心角n °的扇形针对练习题1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S 扇=_ .已知扇形面积为π34 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=已知半径为2cm 的扇形，其弧长为π34 ，则这个扇形的面积，S 扇=例题：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m ，其中水面高0.3m 。
弧长与扇形的面积教案
弧长与扇形的面积教案一、教学目标1. 理解弧长的概念和计算方法。
2. 掌握扇形面积的计算方法。
3. 能够应用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。
二、教学内容1. 弧长的概念和计算方法。
2. 扇形面积的计算方法。
3. 弧长和扇形面积的应用。
三、教学过程1. 导入老师通过引入一道实际问题，如一个半径为10cm的圆的一条弧长为15cm，问这条弧长对应的圆心角是多少度，让学生思考并尝试解答。
2. 弧长的概念和计算方法（1）引导学生观察圆的弧形和其中一个弧长，进一步培养学生对弧的直观感受。
（2）让学生尝试用圆的半径和圆心角来计算弧长，通过实际测量验证计算结果的准确性。
（3）总结弧长的计算方法（弧长 = 半径×圆心角 / 360°），并让学生进行练习。
3. 扇形面积的计算方法（1）引导学生观察一个扇形和其对应的圆，进一步培养学生对扇形的直观感受。
（2）让学生尝试用圆的半径和圆心角来计算扇形的面积，通过实际测量验证计算结果的准确性。
（3）总结扇形面积的计算方法（扇形面积 = 1/2 ×半径×半径×圆心角 / 360°），并让学生进行练习。
4. 弧长和扇形面积的应用（1）导入一个实际问题：一个圆形花坛的周长为30米，花坛中心的喷泉水按每秒60毫升的速度喷出，问这个喷泉每分钟喷水多少升？（2）引导学生分析问题，并利用已学知识解答问题。
（3）通过解答问题，让学生认识到弧长和扇形面积在解决实际问题中的应用价值。
五、教学总结1. 弧长是圆的一部分长度，可以用圆的半径和圆心角来计算。
2. 扇形是圆的一部分面积，可以用圆的半径和圆心角来计算。
3. 弧长和扇形面积的计算方法是由圆的半径和圆心角决定的。
4. 弧长和扇形面积的知识在解决实际问题中有很大的应用价值。
六、教学延伸1. 可以引导学生查找更多弧长和扇形面积的实际应用例子，并进行讨论和分享。
2. 可以设计更多扩展题目和实践任务，让学生更加熟练运用弧长和扇形面积的知识。
弧长和扇形面积教案1人教版(优秀教案)
《弧长和扇形面积》教课设计教课内容．圆锥母线的观点．．圆锥侧面积的计算方法．．计算圆锥全面积的计算方法．．应用它们解决实质问题．教课目的认识圆锥母线的观点，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题．经过设置情形和复习扇形面积的计算方法研究圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实质问题．重难点、要点．要点：圆锥侧面积和全面积的计算公式．．难点：研究两个公式的由来．．要点：你经过剪母线变为面的过程．教具、学具准备直尺、圆规、量角器、小黑板．教课过程一、复习引入．什么是°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．．问题：一种太空囊的表示图如下图， ?太空囊的表面面须作特别办理，以蒙受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热办理的面积应由几部分组成的．n R n R2老师评论：（）°圆心角所对弧长：，扇形，公式中没有°，而是；弧长公式180360中是，分母是；而扇形面积公式中是，分母是，二者要记清，不可以混杂．（）太空囊要接受热办理的面积应由三部分构成；圆锥上的侧面积，?圆柱的侧面积和底圆的面积．这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，?但圆锥的侧面积，到当前为止，怎样求，我们是力所不及，下边我们来研究它．二、研究新知我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线睁开成长方形，同理道理，我们也把连结圆锥顶点和底面圆上随意一点的线段叫做圆锥的母线．（学生疏组议论，发问二三位同学）问题：与圆柱的侧面积求法同样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，简单获得，圆锥的侧面睁开图是一个扇形，设圆锥的母线长为， ?底面圆的半径为， ?如下图，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为， ?所以圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为．老师评论：很明显，扇形的半径就是圆锥的母线，?扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因此，要求圆锥的侧面积就是求睁开图扇形面积n l 2，此中可由n l 2求得：360r， ?∴扇360180l360r l 2形面积l；全面积是由侧面积和底面圆的面积构成的，所以全面积．360例．圣诞节快要，某家商铺正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为，高为，要制作顶这样的纸帽起码要用多少平方厘米的纸？（结果精准到）剖析：要计算制作顶这样的纸帽起码要用多少平方厘米的纸，只需计算纸帽的侧面积．解：设纸帽的底面半径为，母线长为，则582(58) 2202≈2纸帽侧≈1××（）2×（）所以，起码需要的纸．例．已知扇形的圆心角为°，面积为．（）求扇形的弧长；（）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？剖析：（）由扇形n R2n R?扇形求出，再代入求得．（）若将此扇形卷成一个圆锥，360180的弧长就是圆锥底面圆的周长，便可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，?圆锥母线为腰的等腰三角形．解：（）如下图：∵120R2360∴∴弧长12030（）180（）如下图：∵∴，900 1002∴轴截面1××21××× 2 2（）2所以，扇形的弧长是卷成圆锥的轴截面是 2 ．三、稳固练习教材练习、．四、应用拓展例．如下图，经过原点（，）和（，），（，）?两点的曲线是抛物线（≠）.（）求出图中曲线的分析式；（）设抛物线与轴的此外一个交点为，认为直径作⊙，?假如抛物线上一点作⊙的切线，切点为，且与轴的正半轴交点为，连结，已知点的坐标为（，），求四边形的面积（用含的代数式表示）．（）延伸交⊙于点，连结、，当点在（）的条件下运动到什么地点时，能使得四边形△ 恳求出此时点的坐标．解：（）∵（，），（，），（，）在曲线（≠）上0 c∴ 3 a b c5 a b c解得，，∴图中曲线的分析式是（）抛物线与轴的另一个交点坐标为（，）,连结，∴⊙的半径为，即∵、都是⊙的切线∴∴△≌△∴四边形△× 1·2（）设点的坐标为（，）12∴ 四边形△时即，∵∴∥轴又∵为切线∴（，）∵点在直线上，故设（，）∵在圆中曲线上∴解得：4168±62∴（ 6 ，），（ 6 ，）为所求．五、概括小结（学生概括，老师评论）本节课应掌握：．什么叫圆锥的母线．．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵巧应用它们解决问题．六、部署作业．教材复习稳固综合运用拓广研究、．．采用课时作业设计．第二课时作业设计一、选择题．圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥的高线为（）．．．．．在半径为的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，?用节余部分制作成一个底面直径为，母线长为的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（）．°．°．°．°．如下图，圆锥的母线长是，底面半径是，是底面圆周上一点，?从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是（）．3．33．3．2二、填空题．母线长为，底面半径为的圆锥的表面积．．矩形的边，，以直线为轴旋转一周，?所得圆柱体的表面积是（用含的代数式表示）．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为，母线长为，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，假如按用料的计接头的重合部分，那么这座粮仓实质需用的油毡．三、综合提高题．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是，母线长是，?需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：（）起码需要多少厘米铁皮（不计接头）（）假如用一张圆形铁皮作为资料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径起码应是多少？．如下图，已知圆锥的母线长，轴截面的顶角为°，?求圆锥全面积．．如下图，一个几何体是从高为，底面半径为?的圆柱中挖掉一个圆锥后获得的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的极点在圆柱下底面的圆心上，?求这个几何体的表面积．答案 :一、．．．二、．．．三、．（）（）3．．表柱侧柱底锥侧×××××．学习是一件增加知识的工作，在茫茫的学海中，也许我们困苦过，在困难的竞争中，也许我们疲惫过，在失败的暗影中，也许我们绝望过。
24.4《弧长和扇形面积》(第1课时)教案
24.4《弧长和扇形面积》（第1课时）教案学习目标：【知识与技能】1、理解并掌握弧长及扇形面积的计算公式2、会利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长【过程与方法】1、认识扇形，会计算弧长和扇形的面积2、通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知识的能力【情感、态度与价值观】1、通过对弧长及扇形的面积公式的推导，理解整体和局部2、通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用【重点】弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积【难点】运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积学习过程:一、自主学习（一）复习巩固1、小学里学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式，那公式分别是什么？2、我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，那么弧长、扇形面积应怎样计算呢？（二）自主探究1、如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？OB O B A ABO A B O A B O2、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即AB 的长(结果精确到0.1mm)．3、上面求的是110°的圆心角所对的弧长，若圆心角为n ︒，如何计算它所对的弧长呢？请同学们计算半径为3cm ，圆心角分别为180︒、90︒、45︒、1︒、n ︒所对的弧长。
因此弧长的计算公式为l =__________________________4、如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形问：右图中扇形有几个？同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1︒的扇形面积是面积的几分之几？进而求出圆心角n 的扇形面积 如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为S = ___ .因此扇形面积的计算公式：S=————————或S=——————————（三）、归纳总结： 1、 叫扇形2、弧长的计算公式是 扇形面积的计算公式是 （四）自我尝试：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
弧长和扇形面积(教案)
教案：弧长和扇形面积教学目标：1. 理解弧长的概念及计算方法。
2. 掌握扇形面积的计算公式。
3. 能够运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。
教学重点：1. 弧长的计算。
2. 扇形面积的计算。
教学难点：1. 弧长的计算公式的应用。
2. 扇形面积的计算公式的应用。
教学准备：1. 课件或黑板。
2. 教学卡片。
3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的周长公式：C = 2πr。
2. 提问：如果我们知道圆的半径，如何计算圆的周长呢？二、新课：弧长（10分钟）1. 引入弧长的概念：在圆上，弧长是指连接圆上两点之间的部分的长度。
2. 解释弧长的计算方法：弧长= 圆心角/ 360°×2πr。
3. 示例：给定一个半径为5cm的圆，圆心角为90°，计算弧长。
三、练习：弧长的计算（10分钟）1. 学生独立完成练习题，老师巡回指导。
2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
四、导入扇形面积的概念（5分钟）1. 引入扇形面积的概念：扇形面积是指圆心角所对应的圆弧与半径所围成的区域的面积。
2. 提问：扇形面积与圆的面积有何关系？五、新课：扇形面积的计算（10分钟）1. 解释扇形面积的计算公式：扇形面积= (圆心角/ 360°) ×πr²。
2. 示例：给定一个半径为5cm的圆，圆心角为90°，计算扇形面积。
3. 强调扇形面积与圆心角的关系：圆心角越大，扇形面积越大。
教学反思：本节课通过引入弧长和扇形面积的概念，让学生掌握了弧长和扇形面积的计算方法。
在教学过程中，通过示例和练习题的讲解，帮助学生理解和应用知识点。
在今后的教学中，可以结合实际问题，让学生更好地运用弧长和扇形面积的知识。
六、练习：弧长和扇形面积的综合应用（10分钟）1. 学生独立完成综合练习题，老师巡回指导。
2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
七、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容：弧长的计算方法和扇形面积的计算方法。
《弧长和扇形面积(1)》教案
24.4 弧长和扇形面积第一课时一、教学目标 （一）学习目标1．理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法推导弧长公式； 2．认识扇形，类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式； 3．能运用弧长计算公式和扇形面积计算公式解决问题． （二）学习重点弧长计算公式和扇形面积计算公式. （三）学习难点会运用弧长计算公式和扇形面积计算公式解决问题. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务阅读教材P111～112，再填空：（1）半径为R 的圆的周长为R π2 ，面积为2R π.（2）由于在半径为R 的圆中，360°圆心角所对的弧长（即圆的周长）为R π2，所以1°的圆心角所对的弧长是3602R π，化简为：180Rπ．于是，n °的圆心角所对的弧长为180R n π． （3）由组成圆心角的两条 半径 和圆心角所对的 弧 围成的图形叫做扇形．由于在半径为R 的圆中，360°圆心角所对的扇形面积（即圆的面积）为2R π，所以1°的圆心角所对的弧长是3602R π．于是，n °的圆心角所对的弧长为3602R π．2．预习自测（1）半径为10 cm 的圆中，60°的圆心角所对的弧长是________. 【知识点】弧长的计算公式【思路点拨】已知半径、圆心角，可以直接套用弧长计算公式求得弧长. 【解题过程】解：∵半径R ＝10cm ，圆心角n ＝60° ∴由弧长计算公式：180R n π＝ππ3101801060=⨯⨯【答案】π310cm （2）下列图片中，阴影部分为扇形的是__________（填图形编号）① ② ③ ④ ⑤ 【知识点】扇形的概念【思路点拨】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的，一定有一条边是弧线，顶点一定在圆心处，不会在圆周上．【解题过程】根据扇形的定义：扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，因此只有③、⑤是扇形，其余都不是． 【答案】③、⑤（3）已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积是_______. 【知识点】扇形的面积计算公式【思路点拨】已知半径、圆心角，可以直接套用扇形面积计算公式求得扇形面积． 【解题过程】解：∵半径R ＝6，圆心角n ＝120°∴由扇形面积计算公式：3602R n π＝ππ1236061202=⨯⨯． 【答案】π12（4）已知一扇形的面积为π8，且该扇形的半径为4，则该扇形对应圆心角的度数是________. 【知识点】扇形的面积计算公式的逆用【思路点拨】已知扇形面积、圆心角，可以逆用扇形面积计算公式求得扇形圆心角的度数，实际上扇形面积、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一”． 【解题过程】解：∵半径R ＝4，扇形面积＝π8∴由扇形面积计算公式：3602R n π＝ππ836042=⨯⨯n 解得：180=n ∴圆心角度数为180° 【答案】180° （二）课堂设计1．知识回顾师问：生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小学已经学过了有关圆的周长和面积公式，你还记得吗？生答：圆的周长公式：R π2或d π（R 表示圆的半径，d 表示圆的直径） 生答：圆的面积计算公式：2R π师问：弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？【设计意图】本节课探究的弧长是圆周的一部分、扇形面积是圆面积的一部分，都离不开小学里学生已经掌握了圆的周长、面积的计算公式，因此本节课从回顾两个基本公式入手． 2．问题探究探究一 弧长的计算公式（★） ●活动① 动画展示，探究新知师问：如图所示，在半径为R 的⊙O 上，有两动点A 、B ，当A 、B 两点在圆上运动时，想一想弧AB 的长度与什么因素有关？生答：与∠AOB 的大小有关师问：当∠AOB ＝360°时，弧AB 的长表示什么意思？ 生答：⊙O 的周长，即l ＝R π2师问：当∠AOB ＝1°时呢？弧AB 的长与整个圆的周长是什么关系？ 生答：当∠AOB ＝1°时，弧AB 的长是整个圆的周长的3601，即l ＝R π23601⨯ 师问：当∠AOB ＝2°时呢？生答：当∠AOB ＝2°时，弧AB 的长是整个圆的周长的3602，即l ＝R π23602⨯ 师问：当∠AOB ＝n °时呢？生答：当∠AOB ＝n °时，弧AB 的长是整个圆的周长的360n ，即l ＝R n π2360⨯＝180R n π 师：非常好，弧AB 的长l ＝R n π2360⨯＝180Rn π，这就是弧长的计算公式，其中n 表示弧AB 所对的圆心角的度数，R 表示弧AB 所在圆的半径．根据弧长的计算公式，我们可知，只要知道n 和R 就可以求弧长．特别的，几个特殊圆心角所对的弧长是我们经常用到的，比如：①当n ＝30°时，弧长l ＝R π236030⨯＝6Rπ ②当n ＝45°时，弧长l ＝R π236045⨯＝4Rπ ③当n ＝60°时，弧长l ＝R π236060⨯＝3Rπ ④当n ＝90°时，弧长l ＝R π236090⨯＝2Rπ ⑤当n ＝120°时，弧长l ＝R π2360120⨯＝32Rπ ⑥当n ＝180°时，弧长l ＝R π2360180⨯＝R π【设计意图】推导弧长的计算公式，采用了从特殊到一般的思想，能更加深刻地使学生理解到弧长是圆周长的一部分，弧长的大小取决于圆心角占360°的比例． ●活动② 例题演练，巩固新知师问：（出示一组运用弧长计算公式的基本题型） （1）半径为3cm ，圆心角为30°的弧长为__________ （2）半径为6cm ，圆心角为120°的弧长为__________ （3）半径为4cm ，长度为π2的弧所对的圆心角是________° （4）圆心角为150°，长度为π5的弧所在圆的半径是_________ （学生独立完成） 生答：（1）cm 2π（2）cm π4 （3）90 （4）6师：通过上面的4个问题，我们不难发现弧长、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一” ． 【设计意图】推导出弧长计算公式后，马上对其进行简单的应用，既能加深学生对公式的理解，帮助学生熟练掌握公式，同时，也对公式进行逆向应用，进一步拓展公式的使用范围． 探究二 扇形面积的计算公式（★） ●活动① 引入概念师问：观察下面阴影部分图形，它像我们生活中的什么图案呢？生答：扇子的形状师问：对，像上面阴影这样由两条半径和圆心角所对的弧围成的图形就叫做扇形． ●活动② 类比弧长，探究新知师问：你能类比前面弧长计算公式的推导，得到扇形的面积计算公式吗？试试看吧！ （学生小组合作，推导扇形面积计算公式，并展示）生答：类似前面弧长的讨论，我们可以知道扇形AOB 的面积也与圆心角∠AOB 的大小有关：当∠AOB ＝360°时，扇形AOB 的面积就是整个圆的面积，即2R S π=；当∠AOB ＝1°时，扇形AOB 的面积就是整个圆面积的3601，即3602R S π=；当∠AOB ＝2°时，扇形AOB 的面积就是整个圆面积的3602，即36022R S π=；……当∠AOB ＝n °时，扇形AOB 的面积就是整个圆面积的360n，即3602R n S π=．师：非常好！非常好，扇形AOB 的面积S ＝2360R nπ⨯，这就是扇形面积的计算公式，其中n 表示弧AB 所对的圆心角的度数，R 表示弧AB 所在圆的半径．同样的根据扇形面积的计算公式，我们可知，只要知道n 和R 就可以求扇形面积．特别的，几个特殊圆心角所对的扇形面积是我们经常用到的，比如：①当n ＝30°时，扇形面积S ＝236030R π⨯＝122R π ②当n ＝45°时，扇形面积S ＝236045R π⨯＝82R π ③当n ＝60°时，扇形面积S ＝236060R π⨯＝62R π ④当n ＝90°时，扇形面积S ＝236090R π⨯＝42R π ⑤当n ＝120°时，扇形面积S ＝2360120R π⨯＝32R π ⑥当n ＝180°时，扇形面积S ＝2360180R π⨯＝22R π ●活动③ 例题演练，巩固新知师问：（出示一组运用扇形面积计算公式的基本题型） （1）半径为3cm ，圆心角为30°的扇形面积为__________ （2）半径为6cm ，圆心角为120°的扇形面积为__________ （3）半径为4cm ，面积为π4的扇形所对应的圆心角是________°（4）圆心角为150°，面积为π35的扇形所在圆的半径是_________（学生独立完成） 生答：（1）243cm π（2）212cm π （3）90 （4）2 师：通过上面的4个问题，同样可以发现扇形面积、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一” ．【设计意图】有了前面弧长计算公式的推导，学生比较容易理解到扇形面积也是圆面积的一部分，扇形面积的大小取决于圆心角占360°的比例．因此可以将扇形面积公式的推导交给学生，学生类比弧长公式的推导，很快就可以得到扇形面积的计算公式．在公式得出后，也同样马上进行简单的应用，既能加深学生对公式的理解，帮助学生熟练掌握公式，同时，也对公式进行逆向应用，进一步拓展公式的使用范围． ●活动④ 对比联系，拓展新知师问：现在我们从特殊到一般的方法推导出弧长的计算公式l ＝180Rn π和扇形面积的计算公式3602R n S π=，对比这两个公式，你能找到它们之间的联系吗？生1答：都含有π；生2答：都与圆心角度数n 有关； 生3答：都与圆的半径R 有关； ……（学生言之有理即可，老师多鼓励学生观察发现两个公式的共同部分）师问：实际上，扇形的面积计算公式里就包含着一个弧长计算公式，聪明的你们发现了吗？生答：因为R R n R n S ⨯⨯==180213602ππ，而l ＝180R n π，所以lR S 21= 师：非常好！这样我们又得到了一个扇形面积的计算公式：lR S 21=．在这个公式里，圆心角的度数n 不见了，取而代之的是弧长l ，只要知道弧长l 和半径R 就能求出扇形面积了． 师：同时lR S 21=这个公式还比较简洁，简单到和我们三角形的面积计算公式ah S 21=非常相似．不同的是，三角形的底是一条线段，而扇形的“底”是一条弧线；三角形的高是底上的一条过顶点的垂线段，而扇形的“高”是弧线上任意一条半径．BBA【设计意图】对比弧长的计算公式和扇形面积的计算公式，学生能较容易的找到两个公式之间的联系，这样能得到扇形面积的第二个公式．探究三 应用弧长公式和扇形面积公式解决问题（★、▲） ●活动① 基础性例题例1 填空（若结果含圆周率的请保留π）（1）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为___________ （2）圆心角为135°，半径为4的弧长为___________ 【知识点】弧长计算公式和扇形面积计算公式 【解题过程】（1）∵圆心角n ＝120°，半径R ＝3∴扇形面积πππ3360312036022=⨯⨯==R n S （2）∵圆心角n ＝135°，半径R ＝4 ∴弧长πππ31804135180=⨯⨯==R n l 【思路点拨】根据弧长计算公式和扇形的面积计算公式即可直接求出． 【答案】（1）π3 （2）π3练习 填空（若结果含圆周率的请保留π）（1）一个扇形的圆心角为240°，半径为6，则这个扇形的面积为___________ （2）圆心角为45°，半径为8的弧长为___________ 【知识点】弧长计算公式和扇形面积计算公式 【解题过程】（1）∵圆心角n ＝240°，半径R ＝6∴扇形面积πππ24360624036022=⨯⨯==R n S （2）∵圆心角n ＝45°，半径R ＝8 ∴弧长πππ2180845180=⨯⨯==R n l【思路点拨】根据弧长计算公式和扇形的面积计算公式即可直接求出． 【答案】（1）π24 （2）π2 例2 填空（若结果含圆周率的请保留π）（1）75°的圆心角所对的弧长是π5.2cm ，则此弧所在圆的半径是___________ （2）一个扇形的弧长是π20cm ，半径是6 cm ，则该扇形的面积是___________ 【知识点】弧长公式的逆用，扇形面积公式二（扇形面积与弧长的关系） 【解题过程】解：（1）∵圆心角n ＝75°，弧长π5.2=l cm ∴弧长πππ5.218075180=⨯⨯==RR n l 解得：6=R ∴此弧所在圆的半径为6cm（2）∵弧长π20=l cm ，半径R ＝6 cm∴扇形面积2606202121cm lR S ππ=⨯⨯==【思路点拨】第1小问知道的是圆心角和弧长，根据弧长公式反过来求半径，只需根据弧长公式建立关于半径的方程即可；第2小问也可以先求出对应的圆心角度数后再求扇形面积，但是比较复杂．另外两个题目需注意单位的问题． 【答案】（3）6cm （4）260cm π 练习 填空（若结果含圆周率的请保留π）（1）75°的圆心角所扇形的面积是25.7cm π，则此扇形所在圆的半径是________ （2）一个扇形的面积是220cm π，半径是4 cm ，则该扇形的周长是___________ 【知识点】弧长公式的逆用，扇形面积公式二（扇形面积与弧长的关系） 【解题过程】解：（1）∵圆心角n ＝75°，扇形面积25.7cm S π=∴扇形面积πππ5.73607536022=⨯⨯==R R n S 解得：6=R ∴此弧所在圆的半径为6cm（2）∵扇形面积220cm S π=，半径R ＝4 cm ∴扇形面积π2042121=⨯⨯==l lR S 解得：π10=l ∴扇形周长为cm )810(4410+=++ππ【思路点拨】第1小问知道的是圆心角和扇形面积，根据扇形面积公式反过来求半径，只需根据扇形面积公式建立关于半径的方程即可；第2小问也可以先求出对应的圆心角度数后再求弧长，但是比较复杂．同时第2小问要注意扇形周长包含两条半径． 【答案】（1）6cm （2）cm )810(+π【设计意图】本节课的重点和难点内容就是弧长公式和扇形面积公式的理解和应用，因此本环节用例1 和例2及变式练习，使学生掌握弧长公式和扇形面积公式最基本的应用，为接下来生活实际应用问题做铺垫． ●活动2 提升型例题例1 制造弯型管道时，经常要先按照中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L （结果保留整数）【知识点】弧长的计算【解题过程】解：由弧长公式，得弧AB 的长)(1570500180900100mm l ≈=⨯⨯=ππ所以展直长度L ＝)mm (297015707002=+⨯．【思路点拨】本题需审清题目中“展直长度”的含义：展直长度包括一段弧长和两端700mm 的线段长． 【答案】mm 2970练习 如图是一段弯型管道，其中∠O ＝∠O ’＝90°，中心线的两条圆弧半径都是1000 mm ，求图中管道的展直长度（π取3.142）【知识点】弧长的计算【解题过程】解：由弧长公式，两端弧长均为ππ500180100090=⨯⨯=l所以展直长度L ＝250030001000 3.14230006142()mm π⨯+=⨯+=． 【思路点拨】本题中展直长度包括两段弧长和一条长3000mm 的线段长 【答案】6142 mm例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m ，其中水面高0.3 m ，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）【知识点】扇形面积、弓形的面积、垂径定理、等边三角形、 【数学思想】转化思想【解题过程】解：连接OA 、OB ，过点O 做OC ⊥AB ，垂足为D ，交弧AB 于点C ，连接AC ．∵OC ＝0.6 m ，DC ＝0.3 m ∴OD ＝OC －DC ＝0.3m ∴OD ＝DC 又∵AD ⊥DC∴AD 是线段OC 的垂直平分线 ∴AC ＝AO ＝OC ∴△AOC 是等边三角形从而∠AOD ＝60°，∠AOB ＝120° 又∵AO ＝0.6 m ，DO ＝0.3 m ∴AD ＝31033.06.022=- m ∴AB ＝2AD ＝353∴有水部分的面积S ＝OAB OAB S S ∆-扇形＝3.0353213606.01202⨯⨯-⨯⨯π ＝3100912.0-π≈0.22（2m ） 【思路点拨】弓形的面积＝扇形面积－三角形面积． 【答案】0.222m练习 如图是一个马戏团帐篷的地面，是一个半径为20m 的圆形，从点A 到点B 有一段笔直的栅栏，且∠AOB ＝90°，观众坐在阴影区域内看马戏，如果每平方米可以坐3名观众，估计阴影区域内坐满观众时可以坐多少人？【知识点】扇形面积、弓形的面积 【数学思想】转化思想【解题过程】解：∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝20m ∴11420010020202120360902≈-=⨯⨯-⨯⨯=-=∆ππAOB AOB S S S 扇形阴影（平方米） ∵每平方米可以坐3名观众∴ 估计坐满观众时可以坐3×114＝342人 【思路点拨】弓形的面积＝扇形面积－三角形面积 【答案】342人【设计意图】例1、例2及变式练习采用生活中常见的弧长或扇形问题，进一步帮助学生熟练弧长计算公式和扇形的面积计算公式，同时使学生提高应用数学的意识． ●活动3 探究型例题例1 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90o ，∠A =30o ，若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，求点A 所经过的路线的长．（结果用含л的式子表示）．【知识点】勾股定理、旋转、弧长计算公式的应用【解题过程】解析：AC =3，∠ACB =90o ，∠A =30°，可以由勾股定理计算斜边长度是2， ∴点A 第一次落在l 上时经过的路线长度是1202180π⨯， 点A 第二次落在l 1202180π⨯+， 点A 第三次落在l 上时经过的路线长度与第二次落在l 上时经过的路线长度相同，也是901202180180ππ⨯+， 所以当点A 三次落在直线l 上时，经过的路线长度是1202180π⨯＋2×（901202180180ππ⨯+） =43π＋2×43π＋4π． 【思路点拨】解旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算． ＋4π练习 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，求点A 所经过的路径长．【知识点】勾股定理、旋转、弧长计算公式的应用【解题过程】△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，顶点A 经过的路径是以C 为圆心AC 为半径，ABC圆心角为60°的弧，首先根据勾股定理，可以得到AC∴根据弧长公式180rn l ⋅=ππ 【思路点拨】解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是关键.【答案】例2 （1）如图（1），以△ABC 的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分的面积是__________（2） 如图（2），若将三角形改为四边形，半径不变，则阴影部分的面积是________ （3）若改为n 边形，半径不变，则阴影部分的面积是________（4）如图（3），以n 边形各顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分面积是_________ 【知识点】多边形内角和、多边形外角和、扇形面积 【数学思想】从特殊到一般思想，整体思想【解题过程】解（1）设三角形三个内角度数分别为321,,x x x ∴ 180321=++x x x 又∵半径为1∴ππππππ211360180136013601360136022321232221=⨯⨯=⨯⨯++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=x x x x xx S 阴影（2）设四边形四个内角度数分别为4321,,,x x x x ∴ 3604321=+++x x x x 又∵半径为1∴πππππππ=⨯⨯=⨯⨯+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=22432124232221136036013601360136013601360x x x x xx x x S 阴影（3）设n 边形n 个内角度数分别为n x x x x ,,,,321 ∴)2(180321-=++++n x x x x n 又∵半径为1∴πππππππ221360)2(180********136013601360223212232221-=⨯⨯-=⨯⨯++++=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=n n x x x x x x xx S n n 阴影（4）设n 边形n 个外角度数分别为n x x x x ,,,,321 ∴ 360321=++++n x x x x 又∵半径为1∴πππππππ=⨯⨯=⨯⨯++++=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=223212232221136036013601360136013601360n n x x x x x x xx S 阴影【思路点拨】阴影部分的面积是由多个扇形组成的，而这些扇形的圆心角之和恰好是多边形的内角和或外角和．【答案】（1）π21（2）π （3）π22-n （4）π练习 等边△ABC 的边长为a ，分别以A 、B 、C 为圆心，2a为半径的圆两两相切于点O 1、O 2、O 3．求弧O 1O 2、弧O 2O 3、弧O 3O 1围成的图形面积S （图中阴影部分）．【知识点】等边三角形的性质与面积、扇形的面积 【解题过程】解：连接AO 2， ∵BO 2＝CO 2，△ABC 是等边三角形∴AO 2⊥BC ∵AB ＝a ，BO 2＝2a ∴在Rt △ABO 2中，由勾股定理：AO 2＝a a a 23)2(22=- ∴2432321a a a S ABC =⨯⨯=∆ ∴2222843)2(36018043)(232131a a a a S S S S S O CO O BO O AO ABC ππ-=⨯⨯-=++-=∆扇形扇形扇形阴影【思路点拨】阴影部分的面积可以用等边三角形的面积减去三个圆心角为60°的扇形面积． 【答案】22843a a π- 【设计意图】将扇形与多边形结合，从简单的三角形入手，培养学生重视从特殊到一般的数学思想方法． 3．课堂总结 知识梳理（1）弧长是圆周的一部分，它的大小取决于圆心角占360°的比例，因此弧长的计算公式是：1802360Rn R n l ππ=⨯=（n 表示圆心角度数，R 表示圆的半径）； （2）扇形面积是圆的面积的一部分，它的大小取决于圆心角占360°的比例，因此扇形面积的计算公式是：2360R nS π⨯=（n 表示圆心角度数，R 表示圆的半径）； （3）扇形面积第二种求法：lR S 21=（其中，l 表示弧长，R 表示圆的半径）．重难点归纳（1）灵活应用弧长计算公式180Rn l π=，一般半径、圆心角、弧长三者之间可以“知二求一”； （2）灵活应用扇形面积计算公式2360R nS π⨯=，一般半径、圆心角、扇形面积三者之间可以“知二求一”；（3）注意扇形面积还可能直接用lR S 21=来求； （4）弓形的面积可以转化为求扇形面积与三角形面积之差．（三）课后作业 基础型 自主突破1．在半径为6cm 的圆中，60º圆心角所对的弧长_______cm. （结果保留π） 【知识点】弧长的计算【解题过程】解：根据弧长公式ππ2180660=⨯=l 【思路点拨】注意正确应用弧长计算公式 【答案】π22．扇形的半径是9 cm ，弧长是3πcm ，则此扇形的圆心角为 度． 【知识点】弧长的计算 【解题过程】解：由弧长公式180n r l π=ππ31809=⨯⨯=n ，可求得n =60 【思路点拨】注意正确应用弧长计算公式 【答案】603．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________（结果保留π） 【知识点】扇形面积的计算【解题过程】解∵圆心角n ＝120°，半径R ＝3∴扇形面积πππ3360312036022=⨯⨯==R n S 【思路点拨】正确应用扇形的面积计算公式 【答案】π34．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为__________ 【知识点】新定义、扇形面积 【解题过程】解：∵扇形的半径为2， ∴根据定义，扇形的弧长也为2，【思路点拨】理解“等边扇形”的定义，利用扇形面积公式lR S 21=计算 【答案】25．已知扇形的半径为2cm ，面积是234cm π，则扇形的弧长是_______，扇形的圆心角度数是________【知识点】弧长的计算，扇形面积的计算【解题过程】解：因为扇形的半径为2cm ，面积是234cm π∴π3422121=⨯==l lR S ，解得：π34=l又∵扇形面积πππ34360236022=⨯⨯==n R n S ，解得：120=n ∴弧长为π34cm ，圆心角度数为120°【思路点拨】扇形面积有两种计算方法：lR S 21=和3602R n S π=【答案】π34cm 120°6．已知扇形的圆心角为60°，圆心角所对的弦长是2cm ，则此扇形的面积为________ cm 2． 【知识点】垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，扇形面积的计算 【解题过程】如图，作OC ⊥AB ， ∵AB ＝2cm ，∴AC ＝BC ＝1cm ，∠AOC ＝∠BOC ＝30°， ∴OA ＝2cm ，利用扇形面积计算公式可求出面积，26022S 3603ππ⋅⋅==扇形cm 2．【思路点拨】本题求扇形面积，但是半径未知，可以通过作垂线，利用垂径定理和30°角的直角三角形来计算半径．【答案】π32能力型 师生共研7．如图所示，⊙O 1和⊙O 2的半径均为2，且⊙O 1经过O 2，⊙O 2经过O 1，两圆相交于点A 、B 点，求两圆重叠部分的面积．【知识点】叶形面积，弓形面积，扇形面积，等边三角形【解题过程】解：连接AO 1、AO 2、BO 1、BO 2、O 1O 2、AB ∵⊙O 1和⊙O 2的半径均为2 ∴AO 1＝AO 2＝BO 1＝BO 2＝O 1O 2 ∴△AO 1O 2和△BO 1O 2均为等边三角形 ∴∠AO 1B ＝AO 2B ＝60°＋60°＝120° ∴ππ34236012021=⨯=AB O S 扇形 且O 1C ＝21O 1O 2＝1∴AB ＝2AC ＝2321222=-∴3321211=⨯⨯=∆AB O S ∴3-3421π=AB O S 弓形∴32-383-342221ππ===）（弓形重叠AB O S S【思路点拨】叶形图案的面积等于两个弓形面积的和【答案】32-38π8．如图，⊙O 的半径为5，直径AB ⊥CD ，以B 为圆心，BC 长为半径作⌒CED ，求⌒CED 与⌒CAD 围成的新月形ACED （阴影部分）的面积．C【知识点】圆周角定理，垂径定理，勾股定理，扇形的面积 【解题过程】解：连接BC 、BD ，∵直径AB ⊥CD ，根据圆周角定理和垂径定理得到△BCD 为等腰直角三角形 ∴BC＝2CD＝2•10＝ ∵新月形ACED （阴影部分）的面积＝S 半圆COD －S 弓形CED ， 而S 弓形CED ＝S扇形BCD －S △BCD ＝(2901251052536022ππ⋅⋅-⋅⋅=-∴S 新月形ACED ＝S 半圆COD －S 弓形CED =21255252522ππ⎛⎫⋅⋅--= ⎪⎝⎭【思路点拨】新月形面积＝扇形面积－弓形面积 【答案】25探究型 多维突破9．如图，将边长为cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O 经过的路线长是 cm ．（结果保留π）【知识点】弧长的计算、正方形的性质以及旋转的性质【解题过程】解：根据题意，画出正方形ABCD“滚动”时中心O 所经过的轨迹如下：∵正方形ABCD 的边长为cm ， ∴正方形的对角线长是1cm ，∵翻动一次中心经过的路线是半径是对角线的一半为半径，圆心角是90度的弧． ∴中心经过的路线长是：6180190⨯⨯π=3π cm 【思路点拨】为了方便理解，本题最好根据题意画出旋转过程中，点O 所经过的轨迹． 【答案】3π10． 如图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，（1）若在三角形三边上分别作如图（1）所示的半圆①、②、③，则这三个半圆的面积有什么关系？（2）若在三角形三边上分别作如图（2）所示的半圆①、②、③，且AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，求阴影部分的面积．（图1） （图2）【知识点】勾股定理、扇形面积 【数学思想】转化思想【解题过程】解：（1）∵△ABC 中，∠C ＝90° ∴222BC AC AB +=∵半圆①的面积＝228)2(21AC AC ππ=⨯半圆②的面积＝228)2(21BC BC ππ=⨯半圆③的面积＝228)2(21AB AB ππ=⨯∴半圆①的面积＋半圆②的面积＝28AC π＋28BC π＝2228)(8AB BC AC ππ=+∴半圆①的面积＋半圆②的面积＝半圆③的面积（2）∵阴影部分的面积＝半圆①的面积＋半圆②的面积＋△ABC 的面积－半圆③的面积 而由（1）可得：半圆①的面积＋半圆②的面积＝半圆③的面积 ∴阴影部分的面积＝△ABC 的面积 ∵AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，∠C ＝90°∴阴影部分的面积＝△ABC 的面积＝2248621cm =⨯⨯【思路点拨】首先分别表示出半圆①、②、③的面积，发现它们的半径与直角三角形的三边有关系，再联想到直角三角形的勾股定理．另外，本题（1）小问的结论与勾股定理中的“勾股树”有相似之处．【答案】（1）半圆①的面积＋半圆②的面积＝半圆③的面积 （2）224cm 自助餐1．半径为4，圆心角为300°的扇形面积为（ ）A ．π35B ．π310C ．π340D ．π38①②③【知识点】扇形面积的计算 【解题过程】根据扇形面积公式ππ34036043002=⨯⨯ 【思路点拨】注意正确应用扇形面积计算公式【答案】C2．如图，圆O 的半径是2，30ACB ∠=︒，则弧AB 的长是（ ）.A ．π32B ．π31C ．π34D ．π23【解题过程】解：∵30ACB ∠=︒∴∠AOB ＝60°∴根据弧长公式ππ32180260=⨯⨯ 【思路点拨】根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，先求出圆心角∠AOB 的度数，再计算弧长．【答案】A3． 若圆O 的半径为6，A 、B 是圆上一点两点，且弧AB （劣弧）的长为π3，则劣弧AB 对应的扇形面积是__________【知识点】扇形面积的计算【解题过程】根据扇形面积计算公式lR S 21=，可得ππ96321=⨯⨯=S 【思路点拨】注意正确应用扇形面积计算公式【答案】π94．在R t △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，两等圆⊙A 、⊙B 外切，则图中阴影部分的面积是__________【知识点】扇形面积计算、勾股定理【解题过程】解：∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6∴由勾股定理得AB ＝10∵两等圆⊙A 、⊙B 外切∴⊙A 、⊙B 半径为5 ∴阴影部分面积＝πππππ4255360905360536053602222=⨯=⨯∠+∠=⨯∠+⨯∠B A B A 【思路点拨】两个阴影部分的面积和相当于一个圆心角为90°的扇形的面积 【答案】π425 5．如图，在⊙O 中，直径AB =2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C =45°，则（1）BD 的长是 ； （2）求阴影部分的面积．【知识点】圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质【解题过程】解：（1）连接AD∵CA 切⊙O 于A∴∠A =90°又∵∠C =45°∴∠B =45°又∵∠ADB =90°∴△ABD 是等腰直角三角形设BD ＝AD ＝x∵直径AB=2∴2222=+x x 解得：2=x∴BD 的长是2（2）由（1）BD ＝AD∴弧BD ＝弧ADA AC∴弓形BD 的面积=弓形AD 的面积∴阴影部分的面积=△ACD 的面积∵CD =AD =BD =2，∴S △ACD =21CD ×AD =21×2×2=1， 即阴影部分的面积是1【思路点拨】观察图形，用代换的方法将阴影部分的面积转化为△ACD 的面积【答案】（1）2 （2）16．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 垂直平分OB 于点E ，点F 在AB 延长线上，∠AFC ＝30°.（1）求证：CF 为⊙O 的切线．（2）若半径ON ⊥AD 于点M ，CE ＝3，求图中阴影部分的面积．A【知识点】等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，圆切线的判定，圆的轴对称性，含30°角的直角三角形，扇形面积【解题过程】解：（1）证明：连接OC 、BC ，∵ CD 垂直平分OB∴ OC ＝BC ．∵ OB ＝OC∴ OB ＝OC ＝BC∴ △OCB 是等边三角形．∴ ∠BOC ＝60°∵ ∠CFO ＝30°∴ ∠OCE ＝90°∴ OC ⊥CF ．∵ OC 是⊙O 的半径∴ CF 是⊙O 的切线（2）连接OD ，F A由（1）可得∠COF ＝60°，由圆的轴对称性可得∠EOD ＝60°，DE ＝CE ＝3∴ ∠DOA ＝120°．∵ OM ⊥AD ，OA ＝OD∴ ∠DOM ＝60°∵在Rt △DOE 中，DE ＝3，∴由勾股定理OD ＝2∵在Rt △DOM 中，OD ＝2，∠DOM ＝60°，∴由勾股定理DM ＝3， OM ＝1∴2ODM ODN 60212S S S 136023ππ∆⋅⋅=-=-⋅阴影扇形 【思路点拨】（1） 要证CF 为⊙O 的切线，根据圆切线的判定只要证CF 垂直于过切点的半径，故作辅助线：连接OC ．又因为弦CD 垂直平分OB ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质OC ＝BC ，故作辅助线：连接BC ．这样即能证明△OCB 是等边三角形，从而即可在△OC Ｆ中应用三角形内角和定理证出∠OCE ＝90°，从而得证．（2）要求图中阴影部分的面积，只要用扇形ODN 的面积减去△ODM 的面积即可，故作辅助线：连接OD ．在Rt △DOE 和Rt △DOM 中，分别应用特殊三角形的勾股定理即可求出有关线段而求得阴影部分的面积．【答案】（1）见上面解题过程（2）2ODM ODN 60212S S S 136023ππ∆⋅⋅=-=-⋅阴影扇形。
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24．4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
1．经历弧长和扇形面积公式的探求过
程．
2．会利用弧长和扇形面积的计算公式
进行计算．
一、情境导入
在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？
二、合作探究 探究点一：弧长 【类型一】求弧长
在半径为1cm 的圆中，圆心角为
120°的扇形的弧长是________cm.
解析：根据弧长公式l ＝
n πr
180
，这里r
＝1，n ＝120，将相关数据代入弧长公式求解．即l ＝120·π·1180＝2
3
π.
方法总结：半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长为l ＝
n πR
180
，要求出弧长关
键弄清公式中各项字母的含义．
如图，⊙O 的半径为6cm ，直线AB
是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC ∥AO .若∠A ＝30°，则劣弧BC ︵
的长为________cm. 解析：
连接OB 、OC ，∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BO .∵∠A ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵BC ∥AO ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°.在等腰△OBC 中，∠BOC ＝180°－2∠OBC ＝180°－
2×60°＝60°.∴BC ︵的长为60×π×6
180
＝2
π.
方法总结：根据弧长公式l ＝n πR
180，求
弧长应先确定圆弧所在圆的半径R 和它所对
的圆心角n 的大小．
【类型二】利用弧长求半径或圆心角
(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π
2
，则该扇形的半径是________；
(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π
3
，那么此扇形的圆心角的大小为________．
解析：(1)若设扇形的半径为R ，则根据题意，得45×π×R 180＝π2
，解得R ＝2.
(2)根据弧长公式得
n ×π×1180
＝π
3
，解
得n ＝60，故扇形圆心角的大小为60°.
方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．
【类型三】求动点运行的弧形轨迹
如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线
l 上，AC ＝3，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°.若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所
经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．。