2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学创新班高一(上)期中数学试卷

2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学创新班高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={﹣1，2，2m ﹣1}，B={2，m 2}．若B ⊆A ．则实数m= ． 2．（5分）函数的最小正周期为 ．3．（5分）若幂函数f （x ）的图象过点，则f （x ）= ．4．（5分）函数的定义域为 ．5．（5分）已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为 cm 2． 6．（5分）已知向量=（1，），=（﹣，1），则和的夹角等于 ．7．（5分）已知函数f （x ）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x ≥0，都有f （x +2）=f （x ）且当x ∈[0，2）时，f （x ）=log 2（x +1），则f （﹣2010）+f （2011）的值为 ． 8．（5分）函数的图象如图所示，若AB=5，则f （x ）在[2016，2019]上的单调增区间为 ．9．（5分）等比数列{a n }的公比大于1，a 5﹣a 1=15，a 4﹣a 2=6，则a 3= ． 10．（5分）如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D 是边BC 上一点，=2，则•= ．11．（5分）已知x，y∈R，且x2+y2=2，|x|≠|y|，则的最小值是．12．（5分）在数列{a n}中，a2=1010，a n+1﹣a n≤n，a n+2﹣a n≥2n+1，则的值为．13．（5分）已知函数f（x）=，x1，x2，x3，x4，x5是方程f（x）=m的五个不等的实数根，则x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是．14．（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0，m∈R}．（1）若m=3，求（∁R A）∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．16．（14分）在△ABC中，C﹣A=，sinB=．（1）求sinA的值；（2）设AC=，求△ABC的面积．17．（14分）已知数列{a n}满足，，数列{b n}满足．（1）求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}中的最大项和最小项．18．（16分）已知，，且．（1）求的最值；（2）若，求实数k的取值范围．19．（16分）如图，公园内有一块边长为2a的正三角形ABC空地，拟改建成花园，并在其中建一直道DE方便花园管理．设D、E分别在AB、AC上，且DE均分三角形ABC的面积．（1）设AD=x（x≥a），DE=y，试将y表示为x的函数关系式；（2）若DE是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，DE的位置应在哪里？若DE 是参观路线，希望其最长，DE的位置应在哪里？20．（16分）已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为A n与B n，对任意n∈N*，a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）．（1）若，求B n；（2）若对任意n∈N*，都有a n=B n．①当b1=2时，求数列{nb n}的前n项和C n；②是否存在两个整数s，t（1＜s＜t），使成等差数列？若存在，求出s，t的值，若不存在，请说明理由．2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学创新班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={﹣1，2，2m﹣1}，B={2，m2}．若B⊆A．则实数m=1．【分析】根据集合间的包含关系，确定集合B中元素m2的取值，即得m的值．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，2m﹣1}，B={2，m2}，且B⊆A；∴m2=2m﹣1，或m2=﹣1（舍去）；解得m=1；当m=1时，A={﹣1，1，2}，B={1，2}满足条件；∴m=1；故答案为：1．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，函数的定义域和值域，难度中档．2．（5分）函数的最小正周期为π．【分析】根据函数y=cos（x+）的最小正周期为2π，结合余弦函数的图象，即求出函数的最小正周期．【解答】解：根据函数y=cos（x+）的最小正周期为2π，结合余弦函数的图象知，函数的最小正周期为π．故答案为：π．【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．3．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则f（x）=x﹣2．【分析】设出幂函数的解析式，然后把点的坐标代入求出幂指数即可．【解答】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点，则，所以，α=﹣2．所以f（x）=x﹣2．故答案为x﹣2．【点评】本题考查了幂函数的概念，是会考常见题型，此题是基础题．4．（5分）函数的定义域为．x≥0，故有log2x≤=，由此求【分析】由函数的解析式可得1﹣2log得x的范围，即可得到函数的定义域．x≥0，∴log2x≤=，【解答】解：∵函数，∴1﹣2log∴0＜x≤，故函数的定义域为，故答案为．【点评】本题主要考查求函数的定义域，对数函数的单调性的应用，属于基础题．5．（5分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为2πcm2．【分析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，∴半径r=，∴这条弧所在的扇形面积为S=cm2．故答案为：2π【点评】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，比较基础．6．（5分）已知向量=（1，），=（﹣，1），则和的夹角等于．【分析】直接利用向量的数量积求解向量的夹角即可．【解答】解：向量=（1，），=（﹣，1），得到cos===0．所以和的夹角：；故答案为：．【点评】本题考查了平面向量数量积公式的运用；属于基础题．7．（5分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f （x+2）=f（x）且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2010）+f（2011）的值为1．【分析】通过x≥0，都有f（x+2）=f（x），可得当x≥0时函数的周期为T=2，然后由函数为偶函数可得f（﹣2 010）+f（2 011）=f（0）+f（1），代入可求．【解答】解：由对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），∴函数的周期为T=2∵函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，x∈[0，2），f（x）=log2（x+1）∴f（﹣2010）+f（2011）=f（2010）+f（2011）=f（0）+f（1）=log21+log2（1+1）=1．故答案为：1【点评】本题考查了函数性质：函数的奇偶性、函数的周期的综合运用，及转化的思想在解题中的运用，解答本题的关键是熟练掌握函数的性质及一些常用的反映函数性质的结论．8．（5分）函数的图象如图所示，若AB=5，则f（x）在[2016，2019]上的单调增区间为[2018，2019] ．【分析】设A（x1，2），B（x2，﹣2），由函数图象可得（x2﹣x1）2+42=52，解得：x2﹣x1=3，利用T=2×3=，即可解得ω的值，进而利用正弦函数的单调性即可计算得解．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ），图象中AB两点距离为5，设A（x1，2），B（x2，﹣2），∴（x2﹣x1）2+42=52，解得：x2﹣x1=3，∴函数的周期T=2×3=，解得：ω=．∴f（x）=2sin（x+），令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：6k ﹣4≤x≤6k﹣1，k∈Z，当k=337时，x∈[2018，2021]时单调递增，∴f（x）在[2016，2019]上的单调增区间为：[2018，2019]．故答案为：[2018，2019]．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．9．（5分）等比数列{a n}的公比大于1，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3=4．【分析】根据等比数列的通项公式为a n=a1q n﹣1求出a1和q得到通项公式即可求出a3．【解答】解：∵等比数列的通项公式为a n=a1q n﹣1由a5﹣a1=15，a4﹣a2=6得：a1q4﹣a1=15，a1q3﹣a1q=6解得：q=2或q=则a3=a1q2=4或﹣4∵等比数列{a n}的公比大于1，则a3=a1q2=4故答案为4【点评】考查学生利用等比数列性质的能力．10．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，=2，则•=．【分析】法一：选定基向量，将两向量，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求出的值．法二：由余弦定理得可得分别求得，又夹角大小为∠ADB，，所以=．【解答】解：法一：选定基向量，，由图及题意得，=∴=（）（）=+==法二：由题意可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+1+2=7，∴BC=，∴cosB===AD==，∵，∴=．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查余弦定理和向量数量积的应用．向量和三角函数的综合题是高考热点，要给予重视．11．（5分）已知x，y∈R，且x2+y2=2，|x|≠|y|，则的最小值是1．【分析】由==，转化为二次函数可得求解得最值．【解答】解：由=∵x2+y2=2，|x|≠|y|，设x2=t，（0≤t）∴则==∵0≤t∴（t﹣1）2≤1．故≥1．故答案为：1．【点评】本题主要考查函数最值的求解，转化思想利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．12．（5分）在数列{a n}中，a2=1010，a n+1﹣a n≤n，a n+2﹣a n≥2n+1，则的值为1009．【分析】根据数列的递推公式可得a n+1﹣a n=2n+1，再根据迭代法即可求出a2018，即可求出答案【解答】解：∵a n+1﹣a n≤n，∴a n+2﹣a n+1≤n+1，∴a n+2﹣a n+1+a n+1﹣a n≤n+n+1，∴a n+2﹣a n≤2n+1∵a n+2﹣a n≥2n+1，∴a n+2﹣a n=2n+1，∴a2018=（a2018﹣a2016）+（a2016﹣a2014）+…+（a4﹣a2）+a2，=4（1008+1007+…+1）+1008+1010，=4×+2×1009=2106×1009+2×1009=2018×1009，∴=1009，故答案为：1009【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）已知函数f（x）=，x1，x2，x3，x4，x5是方程f（x）=m的五个不等的实数根，则x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是（π，10）．【分析】作出函数f（x）的图象，根据函数图象的对称性，即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示：则x1与x4关于原点对称，x2与x3关于原点对称，所以x1+x4=0，x2+x3=0，10＞x5＞π．所以10＞x1+x2+x3+x4+x5＞π．故答案为：（π，10）．【点评】本题考查函数和方程的转化思想，考查数形结合思想方法，注意运用对称性是解题的关键，属于中档题．14．（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0，m∈R}．（1）若m=3，求（∁R A）∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．【分析】（1）求出m=3时集合B，化简集合A，根据补集与交集的对应写出（∁R A）∩B；（2）由A∪B=A知B⊆A，讨论B=∅和B≠∅时，求出对应m的取值范围．【解答】解：（1）当m=3时，B={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0，m∈R}={x|（x﹣2）（x﹣7）＜0}=（2，7）；…（2分）而A={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}=（﹣3，3），于是∁R A=（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞），…（4分）所以（∁R A）∩B=[3，7）；…（6分）（2）A∪B=A，则B⊆A，若B=∅，则m﹣1=2m+1，解得m=﹣2 …（8分）若B≠∅，由B⊆A得，解得﹣2＜m≤1；…（12分）综上得实数m的取值范围是[﹣2，1]．…（14分）【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题．16．（14分）在△ABC中，C﹣A=，sinB=．（1）求sinA的值；（2）设AC=，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知和三角形的内角和定理得到A与B的关系式及A的范围，然后两边取余弦并把sinB的值代入，利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于sinA的方程，求出方程的解即可得到sinA的值；（2）先根据同角三角函数间的关系由sinA求出cosA，然后由C与A的关系式表示出C，两边取正弦得到sinC与cosA相等，即可求出sinC，根据面积公式求出即可．【解答】解：（1）由C﹣A=和A+B+C=π，得B=﹣2A，0＜A＜．故sinB=cos2A，即1﹣2sin2A=，sinA=．（2）由（1）得sinC=sin（A+）=cosA==．又由正弦定理，得BC=3，=．所以S△ABC【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式、诱导公式及三角形的面积公式和正弦定理，是一道综合题．做题时应注意角度的变换．17．（14分）已知数列{a n}满足，，数列{b n}满足．（1）求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}中的最大项和最小项．=2﹣（n∈N•），化【分析】（1）通过，推出a n+1简b n﹣b n得到所以{b n}是以为首项，1为公差的等差数列．+1（2）求出b n=b1+（n﹣1）=n﹣，推出a n=+1=．利用数列的单调性推出数列{a n}的最大项，最小项即可．=2﹣（n∈【解答】解：（1）由，，得a n+1N•）b n+1﹣b n==…（4分）又b1=，所以{b n}是以为首项，1为公差的等差数列…（6分）（2）因为b n=b1+（n﹣1）=n﹣，所以a n=+1=．…（9分）1≤n≤3时数列{a n}单调递减且a n＜1，n≥4时数列{a n}单调递减且a n＞1所以数列{a n}的最大项为a4=3，最小项为a3=﹣1．…（14分）【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的判断，数列的函数的特征，考查计算能力．18．（16分）已知，，且．（1）求的最值；（2）若，求实数k的取值范围．【分析】（1）根据向量的数量积运算和三角函数的化简可得=cosθ﹣，再根据函数，利用导数求出函数的最值，（2）将已知等式平方，得到关于k，θ的等式，利用三角函数的有界性，列出关于k的不等式，解不等式求出k的范围．【解答】解：（1）∵，，∴•=cos cos﹣sin sin=cos2θ，∴|+|2=2+2cos2θ=2+2（2cos2θ﹣1）=4cos2θ，∵，∴≤cosθ≤1，∴|+|=2cosθ，∴===cosθ﹣，设cosθ=t，则t∈[，1]，则y=t﹣，则y′=1+＞0，∴y=t﹣在[，1]为增函数，∴﹣≤y≤，故的最大值为，最小值为﹣；（2）由，∴k2++2k•=3（+k2﹣2k•），∴k2+1+2kcos2θ=3（1+k2）﹣6kcos2θ，∴cos2θ=，∵，∴﹣≤cos2θ≤1，不等式﹣≤≤1，解得2﹣≤k≤2+，或k=﹣1，故实数k的取值范围是[2﹣.2+]∪{﹣1}【点评】本题主要考查向量的数量积运算、向量模的运算．向量和三角函数的综合题，属于中档题．19．（16分）如图，公园内有一块边长为2a的正三角形ABC空地，拟改建成花园，并在其中建一直道DE方便花园管理．设D、E分别在AB、AC上，且DE均分三角形ABC的面积．（1）设AD=x（x≥a），DE=y，试将y表示为x的函数关系式；（2）若DE是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，DE的位置应在哪里？若DE 是参观路线，希望其最长，DE的位置应在哪里？=S△ABC求得x和AE的关系，进而根据余弦定理把x 【分析】（1）先根据S△ADE和AE的关系代入求得x和y的关系．（2）根据均值不等式求得y的最小值，求得等号成立时的x的值，判断出DE∥BC，且DE=a．进而可得函数f（x）的解析式，根据其单调性求得函数的最大值．【解答】解：（1）因为DE均分三角形ABC的面积，所以，即．在△ADE中，由余弦定理得．因为0≤AD≤2a，0≤AE≤2a，所以解得a≤x≤2a．故y关于x的函数关系式为．（2）令t=x2，则a2≤t≤2a2，且．设．若a2≤t1＜t2≤2a2，则所以f（t）在[a2，2a2]上是减函数．同理可得f（t）在[2a2，4a2]上是增函数．于是当t=2a2即时，，此时DE∥BC，且．当t=a2或t=4a2即x=a或2a时，，此时DE为AB或AC上的中线．故当取且DE∥BC时，DE最短；当D与B重合且E为AC中点，或E与C 重合且D为AB中点时，DE最长．【点评】本题主要考查了基本不等式，以及函数的单调型求最值，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属于综合题．20．（16分）已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为A n与B n，对任意n∈N*，a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）．（1）若，求B n；（2）若对任意n∈N*，都有a n=B n．①当b1=2时，求数列{nb n}的前n项和C n；②是否存在两个整数s，t（1＜s＜t），使成等差数列？若存在，求出s，t的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由，得a n=2n﹣1，从而数列{b n}是以2为首项，1为公差的等差数列，由此能求出B n．﹣B n=2（b n+1﹣b n），从而=2，进而数列{b n}是以2为首项，2为（2）①B n+1公比的等比数列，，由此利用错位相减法能求出数列{nb n}的前n项和C n．②由，得，，从而==2﹣，假设存在两个整数s，t（1＜s＜t），使，，成等差数列，则，由此能推导出不存在两个整数s，t（1＜s＜t），使成等差数列．【解答】解：（1）因为，所以，即a n=2n﹣1，…（2分）故b n﹣b n=（a n+1﹣a n）=1，+1所以数列{b n}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以B n=2n+=．…（4分）﹣B n=2（b n+1﹣b n），即b n+1=2（b n+1﹣b n），b n+1=2b n，（2）①依题意B n+1又因为b1=2，所以b n≠0，所以=2，所以数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，…（6分），2C n=1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×24+n×2n+1，错位相减得：﹣C n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1，所以．…（10分）②由题意B1≠0，所以b1≠0，由①，得，，所以==2﹣，…（12分）假设存在两个整数s，t（1＜s＜t），使，，成等差数列，即成等差数列，即=，即，因为1+＞1，所以＞1，即2s＜2s+1，令h（s）=2s﹣2s﹣1（s≥2，s∈N*），则h（s+1）﹣h（s）=2s﹣2＞0，所以h（s）递增，若s≥3，则h（s）≥h（3）+1＞0，不满足2s＜2s+1，所以s=2，…（14分）代入=，得2t﹣3t﹣1=0，（t≥3），当t=3时，不符合要求；当t≥4时，令g（t）=2t﹣3t﹣1（t≥3，t∈N*），则同理可证g（t）递增，所以g（t）≥g（4）=3＞0，所以不符合要求．所以不存在两个整数s，t（1＜s＜t），使成等差数列．…（16分）【点评】本题考查数列的前n项和公式的求法，考查满足等差数列的整数值是否存在的判断与求法，考查等差数列、等比数列、错位相减法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．。