计算机应用基础偏微分方程求解

r1 r2
（2）Neumann边界条件
nc uq ug
6.1 偏微分方程组求解
也称为第三类边界条件；当q=0时，则变为第二类边界 条件。对于偏微分方程组，Neumann边界条件为：
n n c c 1 2 1 1 u u 1 1 n n c c 1 2 2 2 u u 2 2 q q 1 2 u u 1 1 1 1 q q 1 2 u u 2 2 2 2 g g 1 2
其中 n为边界外法向单位向量，g, q, h, r为在边界 上定义的函数
（3）混合边界条件
n n c c 1 2 1 1 u u 1 1 n n c c 1 2 2 2 u u 2 2 q q 1 2 u u 1 1 q q 1 2 u u 2 2 2 2 g g 1 2 h h 1 2 1 1
>>x=0: 0.05: 1; t=0: 0.05: 2; m=0; sol=pdepe(m, @c7mpde, @c7mpic, @c7mpbc, x, t); surf(x, t, sol( :, :, 1))
6.1 偏微分方程组求解
求解函数：ME_5_1.m, 结果如下
6.2 二阶偏微分方程的求解
6.1 偏微分方程组求解
边界条件程序”c7mbc.m” function [pa, qa, pb, qb]=c7mpbc(xa, ua, xb, ub, t) pa=[0; ua(2)]; qa=[1; 0]; pb=[ub(1)-1; 0]; qb=[0; 1];
function u0=c7mpic(x) u0=[1; 0];
当A，B，C为常数时，称为拟线性偏微分方程，可 分为三类：
B24AC 0 椭圆型方程 B24AC0 抛物型方程 B24AC0 双曲型方程
6.1 偏微分方程组求解
二 偏微分方程边界条件：
（1）Dirichlet 边界条件
hu=r
也称为第一类边界条件，对于偏微分方程组， Dirichlet边界条件为
hh1121uu11hh1222uu22
一 椭圆型偏微分方程
6.2 二阶偏微分方程的求解
6.2 二阶偏微分方程的求解
adaptmesh 和assempde函数用于求解椭圆型偏微分方 程的解，调用格式如下：
[u, p, e, t]=adapmesh(g,b,c,a,f) g: 求解几何区域； b: 边界条件 u:解向量 p,e,t :网格数据
偏微分方程求解程序 “c7mpde”
function [c, f, s]=c7mpde(x, t, u, du) c=[1 ; 1] ; y=u(1)-u(2) ; F=exp(5.73*y)-exp(-11.46*y) ; s=F*[-1; 1] f=[0.024*du(1); 0.17*du(2)];
例6-3：求解热传导方程：
u t x 2u 2 y 2u 2 z2u 20, u0
Gx,y,z0x,y,z1
ME_6_2
6.2 二阶偏微分方程的求解
三 双曲型偏微分方程
6.3 偏微分方程求解工具箱
• 启动偏微分方程求解界面
– 在 MATLAB 下键入 pdetool
• 该界面分为四个部分
6.1 偏微分方程组求解
三 偏微分方程数值解法
1. 有限差分法 2. 正交配置法 3. MOL法 4. 有限元法
6.1 偏微分方程组求解
四 采用pdepe( )函数求解一维偏微分方程
6.1 偏微分方程组求解
边界条件的函数描述：
【例6-1】
6.1 偏微分方程组求解
6.1 偏微分方程组求解
6.1 偏微分方程组求解
6.3 偏微分方程求解工具箱
【例6-3】 求解椭圆型方程
x 2u 2 y 2u 22 5x5, 5y5
u100
x5 y5
采用工具箱求解
6.3 偏微分方程求解工具箱
6.3 偏微分方程求解工具箱
利用PDE工具箱命令行求解偏微分方程:
1. 问题定义及参数初始化 2. 网格化 3. 求解 4. 显示结果
6.2 二阶偏微分方程的求解
parabolic函数用于求解抛物型偏微分方程的解，调用格 式如下：
u1=parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d) b: 边界条件 u0: 初始条件 tlist；时间列表 u1:对应于tlist的解向量 p,e,t :网格数据
6.2 二阶偏微分方程的求解
– 菜单系统 – 工具栏 – 集合编辑 – 求解区域
6.3 偏微分方程求解工具箱
菜单栏
工具栏
6.3 偏微分方程求解工具箱
5.3 偏微分方程求解工具箱
工具箱求解步骤： 1. 用options设置应用模式（可选） 2. 用Draw建立几何模型 3. 用Boundary菜单设定边界条件 4. 用PDE定义偏微分方程的类型和系数 5. 用Mesh菜单进行三角形网格划分及细化 6. 用Slove进行偏微分方程求解 7. 用Plot以图形方式显示结果
第六章 偏微分方程求解
6.1 偏微分方程组求解 6.2 二阶偏微分方程的数学描述 6.3 偏微分方程的求解界面应用举例 6.4 偏微分方程在化工中的应用
6.1 偏微分方程组求解
一 偏微分方程的分类
A x 2 u 2 B x 2 u y C y 2 u 2 D u x E u y F f u x ,y ,u , u x , u x
u=assempde(b,p,e,t,c,a,f,u0) U0:初始条件，用于非线性方程求解
6.2 二阶偏微分方程的求解
例6-2，利用adaptmesh函数求解拉普拉斯方程，其 在弧上满足Dirichlet条件：
u=sin(2/3*atan2(y,x))
ME_6_3
6.2 二阶偏微分方程的求解
二 抛物线型偏微分方程
6.3 偏微分方程求解工具箱
例6-5 求解二维动态热传导方程
Tt x2T2 y2T2 ,
0x15,0y20,t0
初始条件 ut： 0 0,0x1,50y20
Leabharlann Baidu
边界条件 ux： 0 ux15uy0 uy2010,(0t 0)
ME_6_6.m
6.4 偏微分方程在化工中的应用
在一管式催化反应器中进行乙苯的催化脱氢反应，所用原料为 乙苯和水蒸汽的气体混合物。动力学方程为：