偏微分方程的解法
偏微分方程与常微分方程的解法
偏微分方程与常微分方程的解法在数学领域中，微分方程是一类重要的方程，常见的包括偏微分方程和常微分方程。
本文将介绍偏微分方程和常微分方程的解法。
一、偏微分方程的解法偏微分方程是涉及多个变量的方程，其中包含了未知函数的偏导数。
解决偏微分方程的方法有很多种，以下将介绍其中两种常见的解法。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的解偏微分方程的方法。
首先，将多变量的偏微分方程转化为一个或多个只包含一个变量的常微分方程。
然后，通过求解这些常微分方程，得到原偏微分方程的解。
举例来说，考虑一个常见的分离变量法的应用：热传导方程。
热传导方程描述了物质内部温度的变化情况。
假设我们要解决一维热传导方程，可以将变量分离为时间变量和空间变量。
通过引入一个分离常数，将方程转化为两个常微分方程，然后求解这两个方程得到温度分布的解析解。
2. 变量替换法变量替换法是解决偏微分方程的另一种常见方法。
该方法通过引入适当的变量替换，将原方程转化为一个更简单的形式。
通过这种变换，可以使得方程的求解更加容易。
以二阶线性偏微分方程为例，假设要解决的方程为：$$\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + \frac{{\partial^2 u}}{{\partialy^2}} = 0$$我们可以通过引入新的变量替换，例如令$v = \frac{{\partialu}}{{\partial x}}$，将原方程转化为两个常微分方程$\frac{{dv}}{{dx}} = 0$和$\frac{{dv}}{{dy}} = 0$。
然后，求解这两个方程，再回代求解原方程，得到偏微分方程的解。
二、常微分方程的解法常微分方程是只依赖一个自变量的方程，其中包含了未知函数的导数。
解决常微分方程的方法也有很多种，以下介绍其中两种常见的解法。
1. 分离变量法分离变量法同样可用于求解常微分方程。
通过将方程中的未知函数和自变量分离，将其转化为可分离变量的形式。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
偏微分方程解法
偏微分方程解法导言偏微分方程是数学中一个重要的研究领域，它涉及到物理、工程、经济等众多学科，对于解决现实世界中的问题起着至关重要的作用。
本文将深入探讨偏微分方程的解法，包括常见的求解方法和应用示例。
偏微分方程简介在分析偏微分方程之前，我们先了解一下什么是偏微分方程。
简单来说，偏微分方程是由未知函数及其偏导数构成的方程。
它包含多个自变量和多个偏导数，用于描述有多个变量的物理现象或者其他现象。
常见的偏微分方程求解方法分离变量法分离变量法是解偏微分方程的主要方法之一。
它的基本思想是将偏微分方程中的未知函数表示为多个单变量函数的乘积，然后进行求解。
具体步骤如下： 1. 分离变量：将未知函数表示为多个单变量函数的乘积。
2. 将方程化为两端只含单变量函数的方程。
3. 求解单变量函数的方程。
4. 将求解得到的单变量函数组合在一起，得到原方程的解。
特征线法特征线法是另一种常用的偏微分方程求解方法。
它的基本思想是通过引入曲线方程（特征线），将偏微分方程转化为常微分方程，然后再进行求解。
特征线法的步骤如下： 1. 引入曲线方程，将偏微分方程转化为常微分方程。
2. 求解常微分方程。
3. 将常微分方程的解代回原方程，得到原方程的解。
变换方法除了分离变量法和特征线法，还有一些其他的变换方法可以用来求解偏微分方程。
其中比较常用的有变换坐标法和变换函数法。
变换坐标法的基本思想是通过适当的坐标变换，将原方程转化为更简单的形式，然后再进行求解。
变换函数法的基本思想是通过引入新的未知函数，将原方程转化为只含有新未知函数的形式，然后再进行求解。
偏微分方程解法的应用示例偏微分方程解法广泛应用于各个领域，下面将简要介绍一些应用示例。
热传导方程热传导方程是物理学中的一个重要方程，它描述了热量在物体中的传导过程。
通过对热传导方程进行求解，可以得到物体温度分布随时间的变化规律，从而可以预测物体的热传导行为。
斯托克斯方程斯托克斯方程是流体力学中的一个基本方程，描述了流体在静止或者稳定的情况下的运动规律。
偏微分方程的解法
把通解代入初始条件易得: 把通解代入初始条件易得:
1 x f1 ( x ) − f 2 ( x ) = ∫ ψ ( x ') dx ' + C0 a x0
1 1 x f1 ( x ) = [ϕ ( x ) + ∫ ψ ( x ') dx ' + C ] 2 a x0 从中易解得: 从中易解得: 1 1 x f 2 ( x ) = [ϕ ( x ) − ∫ ψ ( x ') dx ' − C ] 2 a x0
u ( x, t ) = ∫ v ( x, t ;τ ) dτ
t 0
1 x + a(t −τ ) 而且 v ( x,τ ) = ∫x−a(t −τ ) f ( x ',τ ) dx ' 2a
12
根据以上分析，易得上述纯受迫振动的解为： 根据以上分析，易得上述纯受迫振动的解为：
1 t x+a(t −τ ) u(x, t) = ∫ ∫ f (ξ,τ )dξdτ 2a 0 x−a(t −τ )
i
n
(D D
x
y
= Dy Dx )
4
符号的不同可以划分方程的类型如下： 的不同可以划分方程的类型如下 根据 d i 符号的不同可以划分方程的类型如下： 有某些 d i 所有 d i
= 0，
抛物型； 抛物型； 椭圆型； 椭圆型； 双曲型； 双曲型； 超双曲型。 超双曲型。
≠ 0 ，且均同号， 且均同号，
1.行波法； 1.行波法； 行波法 2.分离变量法； 2.分离变量法； 分离变量法 3.幂级数解法； 3.幂级数解法； 幂级数解法 4.格林函数法； 4.格林函数法； 格林函数法 5.积分变换法； 5.积分变换法； 积分变换法 . 变换法； 变换法；
偏微分方程的几种解法
偏微分方程的几种解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
解决PDEs的问题是科学研究和工程实践中的一个关键任务。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法。
一、分离变量法分离变量法是解偏微分方程最常用的方法之一。
其基本思想是将未知函数表示为一系列互相独立的分离变量的乘积，然后将方程两边同时关于这些变量积分。
这样就可以得到一系列常微分方程，然后通过求解这些常微分方程得到原偏微分方程的解。
例如，对于二维的泊松方程（Poisson Equation）∇²u = f，可以假设u(x, y) = X(x)Y(y)，将其代入方程后得到两个常微分方程，然后分别求解这两个常微分方程，最后将其合并即可得到泊松方程的解。
分离变量法的优点是简单易行，适用于一些特定的偏微分方程。
但也存在一些限制，例如只适用于线性齐次方程、边界条件满足一定条件等。
二、变量替换法变量替换法是另一种常见的解偏微分方程的方法。
通过合适的变量替换，可以将原方程转化为一些形式简单的方程，从而更容易求解。
例如，对于热传导方程（Heat Equation）∂u/∂t = α∇²u，可以通过变量替换u(x, t) = v(x, t)exp(-αt)将其转化为∂v/∂t = α∇²v，然后再利用分离变量法或其他方法求解新方程。
变量替换法的优点是可以将一些复杂的偏微分方程转化为简单的形式，便于求解。
但需要根据具体问题选择合适的变量替换，有时可能会引入新的困难。
三、特征线法特征线法是解一阶偏微分方程的一种有效方法。
通过寻找方程的特征线，可以将方程转化为常微分方程，从而更容易求解。
例如，对于一维线性对流方程（Linear Convection Equation）∂u/∂t + c∂u/∂x = 0，其中c为常数，可以通过特征线法将其转化为沿着特征线的常微分方程du/dt = 0，然后求解得到解。
偏微分方程数值解法
偏微分方程数值解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象，其在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
然而，对于大多数偏微分方程而言，很难通过解析方法得到精确解，因此需要借助数值解法来求解。
本文将介绍几种常见的偏微分方程数值解法。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种常见且直观的偏微分方程数值解法。
其基本思想是将偏微分方程中的导数通过差分近似来表示，然后通过离散化的方式转化为代数方程组进行求解。
对于一维偏微分方程，可以通过将空间坐标离散化成一系列有限的格点，并使用中心差分格式来近似原方程中的导数项。
然后，将时间坐标离散化，利用差分格式逐步计算每个时间步的解。
最后，通过迭代计算所有时间步，可以得到整个时间域上的解。
对于二维或高维的偏微分方程，可以将空间坐标进行多重离散化，利用多维的中心差分格式进行近似，然后通过迭代计算得到整个空间域上的解。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是另一种重要的偏微分方程数值解法。
其基本思想是将求解区域分割成有限数量的子区域（单元），然后通过求解子区域上的局部问题来逼近整个求解区域上的解。
在有限元法中，首先选择适当的形状函数，在每个单元上构建近似函数空间。
然后，通过构建变分问题，将原偏微分方程转化为一系列代数方程。
最后，通过求解这些代数方程，可以得到整个求解区域上的解。
有限元法适用于各种复杂的边界条件和几何构型，因此在实际工程问题中被广泛应用。
三、谱方法（Spectral Methods）谱方法是一种基于特定基函数（如切比雪夫多项式、勒让德多项式等）展开解的偏微分方程数值解法。
与有限差分法和有限元法不同，谱方法在整个求解区域上都具有高精度和快速收敛的特性。
在谱方法中，通过选择适当的基函数，并利用其正交性质，可以将解在整个求解区域上展开为基函数系数的线性组合。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中一种重要的方程形式，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法，并对其原理和应用进行详细的讨论。
一、分离变量法分离变量法是求解偏微分方程中最常用的方法之一。
该方法的基本思想是将偏微分方程中的未知函数表示为多个单变量函数的乘积，然后通过分别求解这些单变量函数的常微分方程来得到原方程的解。
以下以一个简单的例子来说明该方法的具体步骤。
考虑一个常见的一维热传导方程：\[\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \alpha \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}}\]假设 u(x,t) 可以表示为两个单变量函数的乘积形式：u(x,t) =X(x)T(t)，将其代入原方程，可以得到如下的形式：\[\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{X(x)}\cdot\frac{{d^2X}}{{dx^2}} =\frac{1}{T(t)}\cdot\frac{{dT}}{{dt}} = -\lambda\]通过解这两个单变量函数所满足的常微分方程，可以得到 X(x) 和T(t) 的解，再将其组合即可得到原方程的通解。
二、变换方法变换方法是另一种重要的求解偏微分方程的技巧。
通过对原方程进行适当的变换，可以将其转化为常微分方程或者其他更容易求解的形式。
以下介绍两种常见的变换方法。
1. 傅立叶变换法傅立叶变换法被广泛应用于分析和求解各种偏微分方程。
通过将原方程进行傅立叶变换，可以将其转化为代数方程，并通过解代数方程来得到原方程的解。
具体来说，假设原方程为：\[L[u(x,t)] = f(x,t)\]将其进行傅立叶变换，可以得到：\[L[\hat{u}(k,\omega)] = \hat{f}(k,\omega)\]然后通过解代数方程来求得 \(\hat{u}(k,\omega)\)，再进行逆傅立叶变换即可得到 u(x,t) 的解。
偏微分方程的基本理论与解法
偏微分方程的基本理论与解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中非常重要的一个分支。
它描述了自然界中各种物理现象和工程问题中的变化和传播过程。
本文将介绍偏微分方程的基本理论和一些常见的解法。
一、偏微分方程的定义与分类偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的方程。
它的一般形式可以表示为F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn) = 0，其中u是未知函数，而∂u/∂xi表示对变量xi的偏导数。
根据方程中涉及的未知函数的个数以及偏导数的阶数，偏微分方程可以分为以下几类：1. 一阶偏微分方程：方程中包含一阶偏导数。
2. 二阶偏微分方程：方程中包含二阶偏导数。
3. 高阶偏微分方程：方程中包含高于二阶的偏导数。
4. 线性偏微分方程：方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是线性的。
5. 非线性偏微分方程：方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是非线性的。
二、偏微分方程的基本理论1. 解的存在性和唯一性：对于一些特定类型的偏微分方程，可以证明在一定的条件下，方程存在唯一的解。
这对于物理和工程问题的建模和求解非常重要。
2. 奇性理论：奇性现象是指当某些参数取特定值时，偏微分方程的解会发生突变。
奇性理论研究了这些特殊情况下方程解的行为。
3. 变分原理：变分原理是一种通过极小化能量泛函来求解偏微分方程的方法。
它是最优控制、计算物理等领域中的重要工具。
三、常见的偏微分方程解法1. 分离变量法：这是一种常见的求解线性偏微分方程的方法。
通过假设解可分离变量的形式，将方程转化为一系列常微分方程。
2. 特征线法：特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，通过引入一组参数，将方程转化为关于参数的常微分方程组。
3. 变换法：变换法通过引入适当的变换，将原方程转化为简单形式的偏微分方程，进而求解。
总结：本文简单介绍了偏微分方程的基本理论与解法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例 7.6 求解如下定解问题：
utt − a uxx = f (x, t),(−∞< x < ∞, t > 0) ut (x,0) =ψ (x) u(x,0) = ϕ(x),
2
本题可根据线性方程的性质,假定原问题的解可以表示为: 解: 本题可根据线性方程的性质,假定原问题的解可以表示为:
d’Alembert公式 公式
考察泛定方程的通解: 考察泛定方程的通解: 泛定方程 作一变换: 作一变换: x ' =
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
x + at ,则有 f1 ( x + at ) = f1 ( x ') .这表明在相对于
运动的坐标系中来看, 原来坐标轴以速度 a 运动的坐标系中来看,通解中的第一部分贡献是和 时间无关的;回到原来坐标系中观察, 时间无关的;回到原来坐标系中观察,则第一部分贡献的波形随时间变 轴正向移动.同理, 化以速度 a 沿 x 轴正向移动.同理,通解中第二部分可以看作另外一列 反向传播的行波的贡献. 反向传播的行波的贡献.
其中 F
( x )、G ( y ) 是任意两个独立的函数.
1 2
如果指定 F
( x ) =0，
特解. G ( y ) = 0 ; 则 u ( x, y ) = xy 2 − x 2 y 是原方程的一个特解 特解
一般地，一个 n 阶常微分方程的通解含有 n 常数。一 个 n 阶偏微分方程的通解含有 n 个任意函数。
9Leabharlann 原方程满足初始条件的 解可以表示为: 故原方程满足初始条件的特解可以表示为: 满足初始条件
1 1 x + at u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) ]+ ∫ ψ ( x ') dx ' 2 2a x − at
其中的 ϕ 为任意二次可微函数. ( x ) ,ψ ( x ) 为任意二次可微函数.
该体系在外力作用下开始振动，可以看作外界持续给体系 施加以冲量，体系的振动即为持续冲量效果的叠加。从这一思 路出发求解问题被称为冲量原理法 冲量原理法。 冲量原理法
11
∆τ
时间(足够短) 时间(足够短) 内,外力的冲量为
f ( x,τ ) ∆τ , τ
时刻该冲量在弦 时刻该冲量在弦 该冲量
中引起的振动可以由以下方程确定: 引起的振动可以由以下方程确定:
回 顾
1、定解问题的边界条件 2、定解问题的分类与适定性 3、二阶线性偏微分方程的有关概念 4、常系数线性偏微分方程的通解
1
方程的通解和特解
7.4 例子 7.4 二阶线性非齐次偏微方程 u xy
2
通解是 = 2 y − x 的通解 通解
1 2 u ( x, y ) = xy − x y + F ( x ) + G ( y ) , 2
f1 ( x ) + f 2 ( x ) = ϕ ( x )
把通解代入初始条件易得: 把通解代入初始条件易得:
1 x f1 ( x ) − f 2 ( x ) = ∫ ψ ( x ') dx ' + C0 a x0
1 1 x f1 ( x ) = [ϕ ( x ) + ∫ ψ ( x ') dx ' + C ] 2 a x0 从中易解得: 从中易解得: 1 1 x f 2 ( x ) = [ϕ ( x ) − ∫ ψ ( x ') dx ' − C ] 2 a x0
u2 是上述纯强迫振动问题的解. 是上述纯强迫振动问题的解.
15
求出问题的通解，然后再结合定解条件确定满足 相应初始条件和边界条件的特解，仅对非常有限的问 题适用，很多定解问题很难直接求出通解。更为普遍 的处理办法是把泛定方程和定解条件作为整体处理， 直接求出定解问题的解。
16
数 学 物 理 方 程 的 求 解
2
数学物理方程的分类
考察二元二次方程： 考察二元二次方程：
ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0
2 2
容易知道, 容易知道,若设 δ 知道
= b 2 − 4ac ,则分别当 δ > 0、δ = 0 和
平面上的双曲线、抛物线和椭圆。 δ < 0 时该方程分别对应于 xy 平面上的双曲线、抛物线和椭圆。
8
在本问题中，泛定方程是常系数的；根据前边的讨论， 在本问题中，泛定方程是常系数的；根据前边的讨论，该方程的附
λ 2 − a 2 = 0 ;且解为 λ = ± a .故原方程的通解可以表示为: 加方程为： 故原方程的通解可以表示为: 加方程为：
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
u = u1 + u2
是如下定解问题(弦的自由振动问题)的解: 其中 u1 是如下定解问题(弦的自由振动问题)的解:
utt − a 2u xx = 0, ( −∞ < x < ∞, t > 0 ) u ( x, 0 ) = ϕ ( x ) , ut ( x, 0 ) = ψ ( x )
13
例 7.5 求解如下定解问题：
utt − a uxx = x + at, u( x,0) = 0,
2
(−∞ < x < +∞, t > 0) ut ( x,0) = 0
解: 由上述讨论可知,该定解问题的解为: 由上述讨论可知,该定解问题的解为:
1 t x + a(t −τ ) u ( x, t ) = ∫0 ∫x−a(t −τ ) ( x '+ aτ ) dx ' dτ 2a 1 2 1 3 = xt + at 2 6
u xx + a 2u yy = bu x + cu y + du + f
u xx − a 2u yy = bu x + cu y + du + f
显然，弦的横振动方程和杆的纵振动方程是双曲型方程； 一维扩散和传导方程是抛物型方程；二维静电场方程是椭圆型 方程。
（三维波动方程、扩散和传导方程以及三维Poisson方程和Schrödinger方程 三维波动方程、扩散和传导方程以及三维Poisson方程和Schrödinger方程 Poisson方程和Schr 是什么类型的方程？） 是什么类型的方程？） 6
i
n
(D D
x
y
= Dy Dx )
4
符号的不同可以划分方程的类型如下： 的不同可以划分方程的类型如下 根据 d i 符号的不同可以划分方程的类型如下： 有某些 d i 所有 d i
= 0，
抛物型； 抛物型； 椭圆型； 椭圆型； 双曲型； 双曲型； 超双曲型。 超双曲型。
≠ 0 ，且均同号， 且均同号，
17
i =1 i =1
3
类似地， 类似地，二阶线性偏微分方程
∑a u
ij i, j
n
xi x j
+ ∑ bi u xi + cu + f = 0
i
n
一定可以改写为如下“形式”： 一定可以改写为如下“形式”
∑d u
i
n
i xi ' xi '
+ ∑ b 'i u xi ' + c ' u + f ' = 0
7
行波法 d’Alembert公式 公式
行波法是以自变量的线性组合作变量代换， 行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进 行求解的一种方法， 行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有 效. 一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为： 一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：
utt − a 2u xx = 0 u ( x, 0 ) = ϕ ( x ) ut ( x, 0 ) = ψ ( x )
一般地, 一般地,对于一个任意的二次函数
f ( x1 ,L , xn ) =
总可以化为如下标准形式： 总可以化为如下标准形式：
n n
i , j =1
∑ a x x + ∑b x + c
ij i j i =1 i i
n
n
f ( x1 ',L , xn ') = ∑ di x 'i2 + ∑ bi ' xi ' + c ' 二次型的主轴定理
1.行波法； 1.行波法； 行波法 2.分离变量法； 2.分离变量法； 分离变量法 3.幂级数解法； 3.幂级数解法； 幂级数解法 4.格林函数法； 4.格林函数法； 格林函数法 5.积分变换法； 5.积分变换法； 积分变换法 . 变换法； 变换法；
.变分法； .变分法； 变分法 . .数 .数 解法； 解法； 法
vtt − a 2 vxx = 0, ( −∞ < x < +∞,τ < t < τ + ∆τ ) v ( x,τ ) = 0, vt ( x,τ ) = f ( x,τ )
而原问题的解则可以看作持续冲量作用在弦中产生的振动的叠加, 而原问题的解则可以看作持续冲量作用在弦中产生的振动的叠加,即:
n − 1 个 d i 同号,另一个反号， 同号,另一个反号，
d i ≠ 0 ,正和负的个数都不止一个
由二次型的性质可知，上述分类方法在区域上任一点 总是可行的；但方程在不同的点可能属于不同的类型。
5
两个自变量的情形