偏微分方程数值解法试题与答案

一．填空（1553=⨯分）
1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lm
R ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方
程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{}
)(,,),()(21
Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x
关于内积=1),(
g f _____________________是Hilbert 空间；
3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3
x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；
5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。

二．（13分）设有椭圆型方程边值问题
用1.0=h 作正方形网格剖分 。

（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2
h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题
x
u
t u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。

试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。

1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：
四．（12分）试讨论差分方程
()h
a h a r u u r u u k l k l k l k l ττ
+
-
=
-+=++++11,111
1
逼近微分方程
0=∂∂+∂∂x
u a t u 的截断误差阶R 。

思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。

思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格
式。

五．（12分）对抛物型方程
22x
u
t u ∂∂=∂∂，考虑Du Fort-Frankel 格式 试论证该格式是否总满足稳定性的Von-Neumann 条件？ 六． （12分）（1）由Green 第一公式推导Green 第二公式： （2） 对双调和方程边值问题
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=∂∂+∆=∂∂=∈=∆ΓΓΓ+Γ0
,),(][),(,),(),(),(2
1
2
1
212αϕαy x n u
u y x g n u y x g u G y x y x f u ，G ∂=Γ+Γ21
选择函数集合（空间）为：
推导相应的双线性泛函和线性泛函： 相应的虚功问题为： 极小位能问题为 七．（12分）设有常微分方程边值问题 将区间],[b a 作剖分：
1．若要求节点基函数为分段三次多项式且有一阶连续导数，试写出基函数所应满足的插值条
件： 2．画出基函数在],[b a 上的图形：
3．将有限元解*
h y 用基函数的形式表示出来：
八．（12分）设有常微分方程边值问题
1. 转化为相应的变分问题
选择函数集合（空间）为：
推导相应的双线性性泛函和线性泛函：
2. 将[1,0]二等分，采用线性元的有限元方法，导出有限元方程并求解。

参考解答
二．（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++1
.0)4(10)4(1
2031210012C D A A B c U U U U U h U U U U U h
即
⎩⎨
⎧=+-=++-801.148
.14D C A
C B A u u u u u u （2）⎩⎨⎧=-+=+-52
.02.42599
.02.42D C B D B A U U U U U U 或
⎩
⎨
⎧=+-=+-08.12.3404
.12.34D C B A U U U U
（3）⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----52.0599.0801.18.12.4210102.421401
0114
D C B A u u u u 或
三．
1
.125.05.025.0)1(2)1())1(01
000
101
200012101121=++=+-+-=+-=----U U U u r u r r u r ru u r u
四．Box 格式，二阶 五．练习题。

总满足。

六．1．在Green 第一公式()()⎰⎰⎰⎰⎰
Γ∂∂-+=
∆-G
G
y y x
x
vds n
u
d v u v
u vd u σσ中 ①将v u 与位置对换，并进一步换u u ∆-→ ②在原Green 公式中换u u ∆-→
2．取⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∈=ΓΓ+Γ212
2
1
2
1
,,g n u g u H u u H F
20H v ∈∀,由Green 第二公式有()()⇒=∆v f v u ,,2
()⎰⎰⎰∂∂∂∂+∆⋅∆=ΓG
ds n
v
n u d v u v u A 2
),(α
σ， =)(v F ⎰⎰
⎰
∂∂+G
ds n
v vd f ϕσ
虚工问题：求2
F H u ∈*
，使(
)()20,H v v F v u A ∈∀=*
极小位能：求2
F H u ∈*
，使()()()()u I u F u u A u I
F
H u 2
min ,2
1∈*
*
*
*
=-=
七．1．1,,2,1,0,,
0,1)(-=⎩⎨
⎧≠==n i i
j i
j A j i Λϕ
2．∑∑==+=n
i i
i
n
i i
i
h
x m x y x y 0
)1(0
**)()()(ϕ
ϕ
八．1. 取()(){}
()(){}010,,
11,00,11011
==∈===∈=y y H y y H y y H y y H E
,1
0H ∈∀η作内积 ()()ηη,,2x y y =+''-，分部积分
虚工问题：求
1E
H y ∈*，使()()1
0,H F y A ∈∀=*ηηη
极小位能：求
1
E
H y ∈*，使()()()()y I y F y y A y I E
H y 1
min ,2
1
∈****=-=
2. 构造分段线性的结点基函数,1ϕ并补充20,ϕϕ
则
21*
12
0*)(ϕϕϕ+==∑=*
y x y y i i i 有限元方程为：
),()(),(211*
111ϕϕϕϕϕA F y A -=
*1133y =25192+231311264
=
，*
10.47236y ≈ （理论解为：122()()21x x
y x e e x e
--=++++，(0.5)0.47636y =）。