偏微分方程数值解法答案

1. 课本2p 有证明

2. 课本812,p p 有说明

3. 课本1520,p p 有说明

4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ϕϕϕ是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可

表为1n

n i i i u c ϕ==∑

，则,11

11()(,)(,)(,)(,)22j n

n

n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ϕϕϕ===-=-∑∑是

12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ϕϕϕϕ=，令

()

0n j

J u c ∂=∂，从而得到12,...n c c c 满足1

(,)(,),1,2...n

i

j

i

j i a c

f j n ϕϕϕ===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1

n

n i i i u c ϕ==∑，

从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法

简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1

n

n i i

i u c ϕ

==

∑，

利用,11

11()(,)(,)(,)(,)22j n

n

n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ϕϕϕ===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程

Galerkin 法：为求得1

n

n i i

i u c ϕ

==

∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,)

n a u V f V =，对任

意

n

V u ∈或（取

,1j V j n

ϕ=≤≤）

1

(,)(,),1,2...n

i

j

i

j i a c

f j n ϕϕϕ===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1

n

n i i i u c ϕ==∑的过程称

Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程：

1

(,)(,)n

i

j

i

j i a c

f ϕϕϕ==∑

5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构

造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用

有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。

6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点01......i n a x x x x b =<<<<=得到相邻节点1,i i

x x -

之间的小区间1[,]i i i I x x -=，1i i i h x x -=-，由节点上的一组值0120,,...l u u u u =，按线性插值公式1

1()i i n i i i i

x x x x u x u u h h ----=

+○

1 ,1,2...i x I i n ∈=确定试探空间n u ，令1

()i i i

x x F x h ξ--==

○2 把

i

I 变到ξ轴上的参考但愿[0,1]令

01()1,()N N ξξξξ

=-=则：

011()()()n i i

U x N u N u ξξ-=+，

i x I ∈○3将○1

带入该函数

22

1()(2)2b a J u pu qu fu dx '=

+-⎰得到：

2222

1111()(2)()22i i n n

b n n

n n a I I i i J u pu qu fu dx pu qu dx fu dx ==''=+-=+-∑∑⎰⎰⎰

带入○

2可得 21

211101101()1()[()()(()())2n i i n i i i i i i i i i

u u J u p x h h q x h N u N u d h ξξξξξ

----=-=++++∑⎰

1

10110

1

()(()())n

i i i i i i h f x h N u N u d ξξξξ

--=-++∑⎰○

4 令

1,11,1()

0n j j j jj j j j j j j

J u a u a u a u b u --++∂=++-=∂○

5 其中

111,11011

1,111011

1

12,11111100

[()]()(1)][()]()(1)][()]()][()]()(1)]j j j

j j j j j

j j j j j i j j j j j j j j j j j j j j i j j a h p x h h q x h d a h p x h h q x h d a h p x h h q x h d h p x h h q x h d b ξξξξξ

ξξξξξξξξξξξξξ

-----++++----++++=-+++-=-+++-=-++++-+++-=⎰⎰⎰⎰11111

00()()(1)j j j

j j j h f x h d h f x h d ξξξξξξ

-++⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪

⎪+++-⎩⎰⎰从而得到

12,,...,n

u u u 的线性方程组！

7.矩形剖分假定区域C1可以分割成为有限个互不重叠的矩形的和，且每个小矩形的边和坐

标轴平行，任意两个矩形或者不相交或者有公共的边和公共的顶点，成如此的分割为矩形剖