偏微分方程数值解法的研究
双曲型偏微分方程组的数值解法研究
双曲型偏微分方程组的数值解法研究双曲型偏微分方程组是描述波动、传播、传输等现象的常见数学模型之一，在各个科学领域中都有广泛的应用。
双曲型偏微分方程组通常具有复杂的特征，其解析解往往难以求得，因此需要用数值方法求解。
本文将介绍双曲型偏微分方程组的数值解法，并分析其优缺点，以及应用举例。
双曲型偏微分方程组的数值解法可以分为两类，即有限差分方法和有限元方法。
有限差分方法是将区域分割成网格，通过在网格上构建差分格式来近似微分方程，进而求解数值解。
有限元方法则是利用变分原理，将微分方程转化为弱形式，再通过有限元空间的数值逼近来求解数值解。
下面我们将分别介绍这两类方法。
有限差分方法是求解偏微分方程最常用的数值方法之一。
这类方法的基本思想是将区域划分成网格，通过差分逼近微分算子，将微分方程转化为代数方程组，进而求解数值解。
通常有限差分方法分为显式和隐式两种。
显式差分方法是根据精确度和稳定性的需求，选择合适的差分格式，将数值解的某一时刻的计算公式，仅由该时刻之前的数值解和已知的初值组成，计算简单，但存在较为严格的稳定性限制。
隐式差分方法则以更加严格的精确性和稳定性为代价，使用迭代法求解非线性代数方程组，计算复杂，但稳定性更加优良。
有限差分是求解双曲型偏微分方程最常见的数值方法之一。
虽然有限差分法计算公式简单，但是稳定性限制较高，当空间步长、时间步长不足以满足稳定性条件时，容易产生不稳定性及不合理的解，这是有限差分法的致命弱点之一。
此时有限元法常被作为替代方法。
有限元方法是求解双曲型偏微分方程另一种常用的数值方法。
有限元法基于变分原理，把求解微分方程转化为求最小值问题。
首先，将问题的定义域划分为若干子区域，然后在每个子区域内选取适当的试函数，通过构造一个弱变分解，就可以得到一个线性代数方程组。
有限元法具有更广泛的适用范围，解高维复杂结构问题时可以体现其独特性。
虽然有限元法可以处理不规则区域，但是计算量较大，常会出现稳定性的问题。
偏微分方程数值解法及其在机械工程中的应用
偏微分方程数值解法及其在机械工程中的应用偏微分方程是描述自然界许多现象的重要数学工具，广泛应用于物理学、工程学等领域。
现代科技的发展，需要对偏微分方程进行数值求解，以获得实用的有效解答。
本文将介绍一些常用的偏微分方程数值解法，并探讨这些方法在机械工程中的应用。
一、偏微分方程的基本概念偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是描述函数的变化率与它的各个自变量之间关系的方程。
常见的偏微分方程包括波动方程、扩散方程和泊松方程等。
例如，波动方程可以写作：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u是波动的位移，t是时间，c是波速，∇²u是拉普拉斯算子，表示u各方向二阶偏导数的和。
二、偏微分方程数值求解方法由于偏微分方程通常难以解析求解，因此需要采用数值求解方法。
下面分别介绍有限差分法、有限元法和谱方法三种常用的数值解法。
1. 有限差分法有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）将偏微分方程中的微分算子用差分算子代替，将求解区域离散化为网格点，并在这些点上逐一求解。
基本思想是用中心差分公式近似求得函数在某点处的导数，然后用差分公式得到下一时刻的函数值。
有限差分法简单易行，计算效率高，但需要使用较大的网格才能保证精度。
2. 有限元法有限差分法只能适用于规则网格，而有限元法（Finite Element Method，简称FEM）即使在不规则网格上求解也很有优势。
有限元法将求解区域分成若干个小区域，每个小区域内的函数值近似为一些基函数在该区域内的系数之和。
给定问题的初始边界条件和偏微分方程，可以得到解方程所需的线性方程组，进而求出各个区域内的系数。
有限元法需要选择一组适当的基函数及其系数，计算量较大，但对不规则边界问题的求解有较好的适用性。
3. 谱方法谱方法（Spectral Method）是一种基于傅里叶变换思想的数值解法，将函数在某个特定的函数空间内展开为傅里叶级数，即用一些特定的基函数展开求和。
偏微分方程数值解法在计算机模拟中的应用研究
偏微分方程数值解法在计算机模拟中的应用研究第一章：绪论偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）作为数学的一门重要理论与研究领域，已广泛应用于多领域问题的数学建模与计算机模拟中。
在实际应用中，偏微分方程数值解法成为了解决复杂物理问题模拟的重要工具。
本文将从计算机模拟的角度，探讨偏微分方程数值解法在计算机模拟中的应用研究。
第二章：常用偏微分方程及其物理意义在物理问题的数学建模中，常用的偏微分方程有热传导方程、波动方程、扩散方程等。
这些方程可以描述不同的物理现象，如热传导、声波传播、扩散等。
在计算机模拟中，常用的偏微分方程数值解法包括有限差分法、有限元法、谱方法等，具体应用场景将在下一章中介绍。
第三章：偏微分方程数值解法在计算机模拟中的应用研究3.1 有限差分法在计算机模拟中的应用有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是偏微分方程数值解法的一种，通过使用连续函数微分运算的方式将偏微分方程转化为差分方程，然后进行计算。
有限差分法简单易实现，因此在计算机模拟中得到了广泛应用，可以应用于热传导、波动、扩散等物理现象的模拟计算。
3.2 有限元法在计算机模拟中的应用有限元法（Finite Element Method, FEM）是偏微分方程数值解法的另一种，通过将偏微分方程的求解区间划分为离散的单元，使用数学手段近似描述不连续的区域，然后进行高维积分得到数值解。
在计算机模拟中，有限元法应用广泛，如机械工程、航空航天工程、城市规划等领域均有应用。
3.3 谱方法在计算机模拟中的应用谱方法（Spectral Method, SM）是偏微分方程数值解法中的一种，通过将偏微分方程的连续化解决离散化所带来的误差问题，进而通过谱分析方法得到数值解。
谱方法具有高精度，精度不受解的奇异性及采样点数量的影响，因此在计算机模拟中常用于解决高精度的数学模型。
第四章：总结与展望本文从常用偏微分方程及其物理意义出发，详细介绍了偏微分方程数值解法在计算机模拟中的应用研究，包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
偏微分方程的数值解法研究
偏微分方程的数值解法研究偏微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是包含未知函数及其偏导数的方程。
这类方程在物理、工程、金融等领域中有着广泛的应用。
然而，由于偏微分方程的复杂性，往往难以找到解析解。
因此，数值解法成为解决偏微分方程的重要手段之一。
数值解法是通过离散化空间和时间，将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组，从而求得近似解。
常用的数值解法有有限差分法、有限元法和谱方法等。
有限差分法是最常用的数值解法之一。
它将求解区域划分为有限个网格点，并通过差分近似来逼近偏微分方程中的导数。
例如，对于一维热传导方程，我们可以将求解区域划分为若干个等距的网格点，然后利用中心差分公式来近似一阶导数。
通过迭代计算，可以逐步求得方程的数值解。
有限元法是另一种常用的数值解法。
它将求解区域划分为若干个小区域，称为有限元。
每个有限元内部的解通过插值函数来逼近，然后通过加权残差法将偏微分方程转化为代数方程组。
有限元法在处理复杂的几何形状和边界条件时具有优势，因此在工程领域得到广泛应用。
谱方法是一种基于傅里叶级数展开的数值解法。
它利用傅里叶级数的收敛性和正交性质，将未知函数展开为一系列基函数的线性组合。
通过选取适当的基函数和展开系数，可以将偏微分方程转化为代数方程组。
谱方法在处理高精度问题时具有优势，但对几何形状和边界条件的要求较高。
除了以上三种常见的数值解法，还有很多其他方法可以用于求解偏微分方程。
例如，有限体积法、边界元法等。
每种数值解法都有其适用的范围和优势，选择合适的方法需要根据具体问题的特点和求解要求进行综合考虑。
在实际应用中，数值解法的稳定性和收敛性是非常重要的考虑因素。
稳定性保证了数值解的长期行为是合理的，而收敛性则保证了数值解能够逼近真实解。
为了提高数值解法的稳定性和收敛性，常常需要选择合适的网格划分、时间步长和插值函数等参数，并进行误差估计和收敛性分析。
总之，偏微分方程的数值解法在科学计算和工程实践中发挥着重要作用。
偏微分方程数值解挑战偏微分方程的数值解法与稳定性分析
偏微分方程数值解挑战偏微分方程的数值解法与稳定性分析偏微分方程数值解挑战——偏微分方程的数值解法与稳定性分析偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）是数学中一个重要的研究领域，广泛应用于各个科学领域和工程实践中。
这些方程描述了动态系统中随时间、空间和其他自变量变化的物理规律，例如热传导、扩散、波动等。
然而，由于这些方程往往难以直接求解，研究者们发展了一系列数值方法来近似求解偏微分方程，并对其稳定性进行分析。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是最常见的数值解法之一，其基本思想是在求解区域上构建一个网格，将连续的偏微分方程离散化为差分方程，通过迭代求解差分方程来逼近真实解。
在空间上，可以采用中心差分、向前差分或向后差分等方法，以近似对应的偏导数；在时间上，通常采用欧拉显式格式或隐式格式来进行时间步进。
有限差分法简单易懂，适用于较为简单的情况，并且具有较好的稳定性。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种更为广泛适用的数值方法，其基本思想是将求解区域分割成多个小单元，通过在这些小单元上构造插值函数，将偏微分方程转化为代数方程组。
有限元法可以灵活地处理各种几何形状和边界条件，并且对于复杂问题具有较高的适用性。
通常，有限元法需要进行单元划分、构造刚度矩阵和质量矩阵，并通过求解线性或非线性代数方程组来得到数值解。
有限元法在实际工程问题中发挥着重要作用。
三、稳定性分析除了选择合适的数值方法，稳定性分析也是解偏微分方程数值解过程中必不可少的一步。
稳定性分析用于评估数值解法的解是否趋近于真实解，并且在数值计算过程中不会发散或发生不稳定的情况。
一种常用的稳定性条件是Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 条件，它要求数值方法中时间步长和空间步长之间满足一定关系，以确保数值解的稳定性。
高等数学中的偏微分方程数值解法
偏微分方程是数学中的一大重要分支，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
其求解方法可以分为解析解法和数值解法。
解析解法要求方程具有可积性，适用于一些简单的方程，但是对于复杂的方程往往无法得到解析解。
而数值解法通过将方程离散化，利用数值计算方法得到数值解，是一种弥补解析解法不足的重要手段。
在高等数学中，偏微分方程数值解法主要包括差分法、有限元法和有限差分法。
其中，差分法是最早应用于求解偏微分方程的数值方法之一。
差分法通过将偏微分方程中的导数用差商的形式来近似表示，将连续的问题转化为离散的问题，再通过计算机程序来进行求解。
差分法的优点是简单易懂、计算速度快，适用于一些较为简单的偏微分方程。
但是差分法的精度受到离散化步长的影响，不适用于一些对精度要求较高的问题。
有限元法是一种更为广泛应用的偏微分方程数值解法。
有限元法通过将求解区域分割成有限多个小区域，用简单形状的基函数来逼近真实解，再通过求解线性方程组得到数值解。
有限元法的优点在于适用于复杂的几何形状、能够处理不规则的边界条件，并且精度较高。
有限元法还具有较好的可扩展性，可以处理大规模的求解问题。
因此，有限元法在工程领域的应用非常广泛。
有限差分法是一种通过计算导数来逼近微分方程的数值解法。
有限差分法基于泰勒展开公式，将微分算子在某点处的展开为有限多个导数的差商的线性组合。
通过将微分算子离散化，可以将偏微分方程转化为代数方程组，再通过求解方程组来得到数值解。
有限差分法的优点在于简单易懂，计算速度较快。
但是由于差商的导数逼近误差，有限差分法的精度受到离散化步长的影响，需要选择合适的步长来保证精度。
总的来说，高等数学中的偏微分方程数值解法是研究偏微分方程数值计算的一大热点和难点。
不同的数值方法适用于不同的问题，需要根据具体情况来选择适合的数值方法。
在求解偏微分方程时，还需要注意数值误差对结果的影响，并通过适当选择离散化步长和网格数量等参数来提高数值解的精度。
随着计算机技术的发展，偏微分方程数值解法将会越来越广泛地应用于实际问题的求解中。
数学专业的偏微分方程数值解
数学专业的偏微分方程数值解数学作为一门基础学科，为多个学科领域的发展提供了理论支持和工具方法。
在数学的各个分支中，偏微分方程是一门研究重点。
偏微分方程广泛应用于物理、工程、经济等领域，而数值解是解决偏微分方程的一种重要方法。
本文将介绍数学专业的偏微分方程数值解的概念、方法和应用。
一、偏微分方程数值解的定义偏微分方程数值解是指通过数值计算方法来近似求解偏微分方程的解。
而偏微分方程是描述自变量的函数与自变量的偏导数之间关系的方程。
通常，偏微分方程数值解问题可以转化为网格、差分、插值等数值计算问题，通过计算机进行近似求解。
二、偏微分方程数值解的方法1. 有限差分法有限差分法是求解偏微分方程数值解最常用的方法之一。
该方法将偏微分方程所在范围划分为若干个网格点，通过有限差分近似偏导数，得到离散形式的方程组。
再通过数值计算方法求解离散方程组，得到偏微分方程的数值解。
2. 有限元法有限元法也是常用的偏微分方程数值解方法。
该方法将偏微分方程的求解区域划分为若干个有限元，通过近似变分原理和试验函数，得到离散化的代数方程组。
再通过数值计算方法求解代数方程组，得到偏微分方程的数值解。
3. 谱方法谱方法是一种基于函数空间的偏微分方程数值解方法。
该方法利用了函数在特定函数空间的展开形式，通过将偏微分方程化为代数方程组，再通过数值计算方法求解代数方程组，得到偏微分方程的数值解。
三、偏微分方程数值解的应用领域1. 物理学领域在物理学中，很多现象可以通过偏微分方程进行描述。
例如，热传导方程、波动方程和斯托克斯方程等都可以通过数值解法求解，用于模拟物理现象和预测实验结果。
2. 工程学领域工程学中的许多问题也可以转化为偏微分方程的数值解问题。
例如，热传导问题、流体力学问题以及结构力学问题等，通过数值解法可以得到工程实际运行中的响应和性能。
3. 经济学领域在经济学中，偏微分方程的数值解也有重要应用。
例如，布莱克-斯科尔斯期权定价模型就是基于偏微分方程的数值解方法，可以用于金融衍生品的定价和评估。
数值计算中的偏微分方程解法
数值计算中的偏微分方程解法偏微分方程在科学、工程和金融等领域都有广泛的应用。
在现实生活中，许多问题都涉及到偏微分方程的解法，比如天气预报、机器学习和金融衍生品定价等。
然而，解析解并不总是可行的，因此需要数值计算方法来解决这些问题。
在本文中，我们将探讨数值计算中的偏微分方程解法。
一、有限差分法有限差分法是偏微分方程数值解法中最基本的方法之一。
该方法通过将偏微分方程中的导数用差分近似公式表示出来，然后建立一个离散的空间和时间网格。
在网格上求解方程，得到数值解。
例如，考虑一个二维热传导方程：$$ \frac{\partial u}{\partial t}= \alpha \left( \frac{\partial ^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} \right) $$其中，$u(x,y,t)$是温度分布，$\alpha$是热传导系数。
我们可以将该方程在空间上进行离散化，用差分近似公式表示出导数。
以二阶中心差分为例，有：$$ \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Delta x^2} $$$$ \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} \approx \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta y^2} $$其中，$u_{i,j}$表示网格点$(i,j)$处的温度。
同样地，时间上也进行离散化，用前向差分公式表示导数，即：$$ \frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_{i,j}^{n+1}-u_{i,j}^n}{\Delta t} $$将上述离散化的结果代入方程中，可以得到：$$ \frac{u_{i,j}^{n+1}-u_{i,j}^n}{\Delta t}= \alpha\left( \frac{u_{i+1,j}^n-2u_{i,j}^n+u_{i-1,j}^n}{\Delta x^2}+\frac{u_{i,j+1}^n-2u_{i,j}^n+u_{i,j-1}^n}{\Delta y^2} \right) $$整理得到：$$ u_{i,j}^{n+1}= u_{i,j}^n+ \frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} (u_{i+1,j}^n-2u_{i,j}^n+u_{i-1,j}^n)+ \frac{\alpha \Delta t}{\Delta y^2} (u_{i,j+1}^n-2u_{i,j}^n+u_{i,j-1}^n) $$这样，我们就可以用迭代法求解上述方程，得到网格上的温度分布。
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ｋ＋１
ｕｊ
－
１ ２
ｋ
ｋ
（ｕｊ－１
＋ｕｊ＋１
）
＋ａ
ｋ
ｕｊ＋１
ｋ
－ｕｊ－１
＝０
τ
２ｈ
（９）
（３）Ｌ－Ｗ（Ｌａｘ－Ｗｅｎｄｒｏｆｆ）格式的差分方程可以写为：
ｋ＋１
ｕｊ
ｋ
＝ｕｊ
－
ａτ ２ｈ
ｋ
（ｕｊ＋１
ｋ
－ｕｊ－１
）＋
ａ２τ２ ２ｈ２
ｋ
ｋｋ
（ｕｊ＋１ －２ｕｊ ＋ｕｊ－１ ）
（１０）
（４）Ｂｅａｍ－Ｗａｒｍｉｎｇ 格式的差分方程可以写为［４］：
第 ２８ 卷 第 ９ 期（下） ２０１２ 年 ９ 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｆｅｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ． ２８ Ｎｏ． ９ Ｓｅｐ． ２０１２
偏微分方程数值解法的研究
王海林，徐 珊，宋论兵，高全归
存在如下关系［３］：
ｋ
鄣 鄣 ｕ（ｘｊ，ｔｋ＋１）－ｕ（ｘｊ，ｔｋ） ＝ τ
鄣ｕ 鄣ｔ
＋Ｏ（τ）
ｊ
（４）
ｋ
鄣 鄣 ｕ（ｘｊ＋１，ｔｋ）－ｕ（ｘｊ，ｔｋ） ｈ
＝
鄣ｕ 鄣ｘ
＋Ｏ（ｈ）
ｊ
（５）
ｋ
ｋ
在此记［ｕ］ｊ ＝ｕ（ｘｊ，ｔｋ），ｕｊ 表示 ｕ（ｘｊ，ｔｋ）的近似值，这样就可以
用差商代替（１）式中的微商，即可以得到相应的差分方程，
（２）
ｕ（－ｌ，ｔ）＝ｕ（ｌ，ｔ）＝０ ｔ∈［０，Ｔ］
（３）
要利用数值方法求解上述定解问题，首先需要对定解
区域离散化，用平行直线族 ｘｊ＝ｊｈ，ｔｋ＝ｋτ，把区域 Ｄ 划分成若
干个小矩形，其中 ｈ，τ 称为空间步长和时间步长，ｈτ 称为网
格比（如果为二阶的网格比可表为
τ ｈ２
等）．接下来对微分方
程离散化，由泰勒级数展开可知，在接点（ｊ，ｋ）处微商和差商
业 出 版 社 ,2004. 〔2〕徐长发,李红.偏微分方程数值解法[M].武 汉:华 中 科 技 大
学 出 版 社 ,2000. 〔3〕陆金甫,关治.偏微分方程数值解法[M].北 京:清 华 大 学 出
版 社 ,2004. 〔4〕LeVeque R J. Numerical Methods for Conservation
－１－
图 ３ Ｌ－Ｆ 格式
图１
其中实线代表网格比为
τ ｈ
＝１．１，
虚线代表网格比为
τ ｈ
＝０．９，点线代表网格比为
τ ｈ
＝１．０
由上面的计算可知网格比会影响方程数值解的稳定性．
这里只是直观的给出方程数值解的稳定性的状况．数值解的
稳定性的分析可以采用 Ｆｏｕｒｉｅｒ 方法，Ｈｉｒｔ 启示性方法，能量
有时候也称为差分格式：
ｋ＋１ ｋ
ｋ
ｋ
ｕｊ －ｕｊ ＋ａ ｕｊ＋１ －ｕｊ ＝０
τ
ｈ
（６）
最后将边界条件和初始条件离散化后就可以做数值计
算了．
2 网格比对偏微分方程数值解的稳定性影响
为了计算方便，取方程（１）中的 ａ＝１，这样方程（１）对应
的差分方程可以写为：
ｋ＋１ ｋ
ｋ
ｋ
ｕｊ －ｕｊ ＋ ｕｊ＋１ －ｕ下的偏微分方程数值解
对于不同的差分格式下的偏微分方程的数值解依然采
用方程（１），分别采用下面的四种差分格式做差分：
（１）迎风格式的差分方程可以写为：
ｋ＋１ ｋ
ｋｋ
ｕｊ
－ｕｊ τ
＋ａ
ｕｊ
－ｕｊ－１ ｈ
＝０
（８）
（２）Ｌ－Ｆ（Ｌａｘ－Ｆｒｉｅｄｒｉｃｈｓ）格式的差分方程可以写为：
图 ４ Ｌ－Ｗ 格式
图 ５ Ｂｅａｍ－Ｗａｒｍｉｎｇ 格式 图 ４，图 ５ 出现了震荡，图 ２，图 ３ 比较平滑，这是由于差分 格式不同所导致的． 4 结论与讨论
从上面的计算可知，运用有限差分法求解偏微分方程， 网格比会对方程的解的稳定性存在影响．而不同的差分格式 会使得方程的解存在微小差异，并且其稳定状况也不一样， 因而，在解决实际问题的过程中，求解偏微分方程的需要注 意选择合适的网格比及适当的差分方法，这样对于偏微分 方程的求解是有帮助的． — ——— — —— —— —— —— —— —— —— 参考文献： 〔1〕周 煦.计 算 机 数 值 计 算 方 法 及 程 序 设 计[M].北 京:机 械 工
ｋ＋１
ｕｊ
ｋ
＝ｕｊ
－ａ
τ ｈ
ｋ
（ｕｊ
ｋ
－ｕｊ－１
）－
ａτ ２ｈ
ｋ
ｋ
ｋ
（ｕｊ －２ｕｊ－１ ＋ｕｊ－２ ）
（１１）
图 ２ 迎风格式
图 ２、图 ３、图 ４、图 ５ 分别为上述四种差分格式对应的
数值解的函数图象．计算过程中取
ｈ＝０．０１，网格比取
τ ｈ
＝０．５，
上图为对时间计算 １００ 步后所得到的函数图象，由图可知，
τ
ｈ
（７）
鄣１， ｘ≤０
取函数 φ（ｘ）＝
，对上述定解问题进行数值解，
０， ｘ＞０
分别取网格比为
τ ｈ
＝１．１，ｈτ
＝１．０，ｈτ
＝０．９，可得如图 １ 的函
数图象．
由图可见，当网格比为
τ ｈ
＝１．１ 时方程的解不稳定，网格
比为
τ ｈ
＝０．９
和
τ ｈ
＝１．０ 时方程的解相对比较稳定．
基 金 项 目 ：玉 溪 师 范 学 院 大 学 生 创 新 性 实 验 计 划 项 目 （2011B17）
计算问题的方法，为了解决一些复杂的计算问题，数值计算
方法便出现了．而偏微分方程的数值解是其中一个非常重要
的分支，例如要准确预测天气的变化情况，就要求解成千上
万个偏微分方程组［１］，人工求解是很不现实的，因而，偏微分
方程的数值解就显得相当重要了．偏微分方程的数值解法主
要有三种，有限差分法，变分法，有限元方法，使用最普遍的
是有限差分法．而有限差分法在求解偏微分方程的时候会存
在不稳定性，所以，需要分析有限差分法求解偏微分方程的
稳定性，差分方程的稳定性是指研究差分方程在右端自由
项无误差的情况下，初值干扰对差分方程解的影响，它反映
了差分解是否连续依赖于初值的情形［２］，有限差分法又存在
很多种差分格式．本文将从两个方面讨论偏微分方程的数值
Laws. Basel: Birkhauser Verlag, 1990.
－２－
随着科学技术和社会的发展，大量复杂的计算问题不
断出现在人们面前．在计算机没有问世之前，为了解决某些
复杂的计算问题，不少科学家献出了大半生，甚至毕生的精
力，１８６７ 年法国天文学家达拉姆尼（Ｄａｌａｍｎｙ）花了整整 ２０
年的时间，求解了一个天体运动的摄动级数展开式［１］．但这并
不是解决复杂问题的好方法，于是人们开始研究解决复杂
解法．本文的第一部分将对有限差分法做个简单介绍，第二
部分将给出网格比对稳定性的影响，第三部分将给出具体
的差分格式对数值解的影响，第四部分内容为本文的结论
与讨论．
1 有限差分法简介
考虑偏微分方程中最简单的一维对流方程的初边值问
题：
鄣ｕ 鄣ｘ
＋ａ
鄣ｕ 鄣ｘ
＝０
（ｘ，ｔ）∈Ｄ
（１）
ｕ（ｘ，０）＝φ（ｘ）
ｘ∈（－ｌ，ｌ）
（玉溪师范学院 物理系，云南 玉溪 ６５３１００）
摘 要：本文将从两个方面来讨论偏微分方程的数值解法，其一为网格比对数值解法的影响，其二为不同差分格式对偏 微分方程数值解法的影响，这两个方面都会影响偏微分方程数值解的结果．
关键词：偏 微 分 方 程 ；数 值 解 ；稳 定 性 中图分类号：Ｏ１７５．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－ ２６０Ｘ（２０１２）０９－ ０００１－ ０２