偏微分方程数值解PPT课件
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第十章 偏微分方程数值解法
第十章 偏微分方程数值解法偏微分方程问题，其求解十分困难。
除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。
因此，近似解法就显得更为重要。
本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。
§1 差分方法的基本概念1.1 几类偏微分方程的定解问题椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程),(2222y x f yu x u u =∂∂+∂∂=∆ 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称为调和方程2222=∂∂+∂∂=∆yux u u Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y ux u y x ϕ 其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩ称为定解区域，),(y x f ，),(y x ϕ分别为Ω，Γ上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示为),(),(y x u u y x ϕα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。
当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。
抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程220(0)u ua a t x∂∂-=>∂∂ 方程可以有两种不同类型的定解问题：初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂x x x u x t x u a tu )()0,(,0022ϕ初边值问题221200,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u ua t T x l t x u x x x lu t g t u l t g t t Tϕ⎧∂∂-=<<<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩其中)(x ϕ，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件)0()(),0()0(21g l g ==ϕϕ边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条件。
《偏微分方程》课件
非线性偏微 分方程：方 程中含有偏 导数，且偏 导数项的系 数不是常数
椭圆型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 是常数
抛物型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 不是常数
双曲型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 是常数，但 方程的解不 是实数
边界条件：确定求解区域和边界条件，如Dirichlet边界条件、 Neumann边界条件等
初值条件：确定求解区域的初值条件，如Cauchy问题、初边值问题等
稳定性和收敛性：分析求解方法的稳定性和收敛性，确保解的准确性和 可靠性
应用实例：通过具体实例，展示求解方法的应用和效果
课件结构
课件目录
偏微分方程的应用
物理领域：描述 流体力学、热力 学、电磁学等现 象
工程领域：解决 结构力学、材料 力学、电子工程 等问题
生物领域：模拟 生物系统的生长、 扩散、反应等过 程
经济领域：用于 金融、经济模型、 风险管理等方面
偏微分方程的求解方法
分析法：通过分析方程的性质，寻找解的性质和形式
数值法：通过数值计算，求解偏微分方程的数值解
偏微分方程的求解方法：展示偏微分方程的求解方法，如分离变量法、积分因子法等
公式素材
偏微分方程的 定义和性质
偏微分方程的 应用实例
偏微分方程的 求解方法
偏微分方程的 扩展和研究进
展
动画素材
动画类型：2D动画、3D动画、Flash动画等 动画内容：偏微分方程的求解过程、应用实例等 动画风格：简洁明了、生动有趣、易于理解 动画时长：根据课件内容需要，控制在5-10分钟以内
偏微分方程PPT课件
2偏微分方程数值解法引论精品PPT课件
u , y
u1
, u2
T
u
x x x
则方程组（2）可表示为
u
A
u
h
0
y x
（2）多维一阶方程组方程组
见8页
同理
u1
y
a1
u1 x
h1
0
u
p
y
ap
u p x
hp
0
（3）
可表示为
u
A
u
h
0
y x
（4）
其中
u1 y
,,
u p y
T
u , y
h1,, hp T h
n
考虑两个自变量的二阶偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
2b xy
c
y 2
d
x
e y
fu
g
线性: a,b,c,d ,e, f , g 是x,y的二元函数;
拟线性:
a, b, c, d , e,
f
,
g
是
x,
y, u,
u x
,
u y
的函数;
对于二阶线性偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
ui xk
1
p xi
ui ,
i 1, 2,（3 动量守恒）
3
uk
k1 xk
（0 质量守恒）
其中，u (u1, u2 , u3 )表示速度， 表示粘滞系数
（二）定解问题
1.
定解条件
边界条件 初始条件
2.定解问题 方程 定解条件
初值问题（Cauchy问题） 定解问题 边值问题（Drichlet / Numann / Robin）
偏微分方程数值解PPT课件
t
t
n j
tn j1
x x
EXCEL
0.01, x 0.1
t n1 j
t
n j
2(TW
t
n j
)
3
t
n j
t
n j1
x
t n1 j
0.02TW
0.68t
n j
0.3t
n j1
此微分方程，是在不考虑流体本身热传 导时的套管传热微分方程.由计算结果可 知，当计算的时间序列进行到72时，传 热过程已达到稳态，各点上的温度已不 随时间的增加而改变。如果改变套管长 度或传热系数，则达到稳态的时间亦会 改变。
b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0
• 物理实际问题的归类：
• 波动方程(双曲型）一维弦振动模型：
2u t 2
2
2u x 2
• 热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程
u t
2u x 2
• 拉普拉斯方程（椭圆型ux22）稳态y2u2 静 电0 场或稳态温度分布场）
第4页/共32页
un i 1
b
un i1
uin
x
f (ix, nt)
ui0
(i x )
un m1
umn
x
0
u0n 1(nt )
(i 1,2, ,m) (n 0,1, 2, ) (n 0,1,2, )
第13页/共32页
一维流动热传导方程
将上式进行处理得到：
un1 i
t
f
(ix, nt )
(a2
t (x)2
1的)偏t )
微
分
采
用
向
后
欧
偏微分方程数值解_图文_图文
估计误差
这种误差称为“局部截断误差”，如图。
局部截断误差是以点 的精确解 而产生的误差。
为出发值，用数值方法推进到下一个点
2.整体截断误差—收敛性
整体截断误差是以点 的初始值 为出发值，用数值方法推进i+1步到点
，所得的近似值 与精确值
的偏差：
称为整体截断误差。
特例，若不计初始误差，即 则
即 3.舍入误差—稳定性
五、线性多步（Linear Multistep Method）法
1. 预备知识：插值多项式
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况， 估算出函数在其他点处的近似值。
从几何上理解：对一维而言，已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式 曲线通过这些点。插值多项式一般常见的是拉格朗日插值多项式。
把
代入 中，有
经比较得到
取 为自由参数： 从而得到不同的但都是二阶的R-K方法，对应的有中点法、Heun（亨）法 以及改进的Euler法。
基于相同的过程，通过比较五次Taylor多项式，得到更加复杂的结果，给出了包含 13个未知数的11个方程。得到多组系数，其中常用的是以下四阶R-K法：
改进的Euler法、R-K法以及解析解的比较：
是待定的系数。
Euler法就是
的R-K法。
其系数的确定如下：将 展开成 的幂级数，并与微分方程的精确解
在点 的Taylor展开式相比较，使两者的前
项相同，这样确定的R-K法，
其局部截断误差为
，根据所得关于待定系数的方程组，求出它们的值后
代入公式，就成为一个 阶R-K方法。
例题 以二阶R-K法为例说明上述过程
2. Curtis F.Gerald and Patrick O., Applied Numerical Analysis, Person Education, Inc., 2004.
第5章偏微分方程值解ppt课件
t 2K 2t t (TW t ) u 2 rC P C P l l
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式
以三维空间为例，我们将离散化的应变量表示成， 它所表示的真正含义如下 :
uin , j , k u (t , x, y, z ) t nt , x ix , y jy , z kz
1、 波动方程
u 其中：u t 0 ( x), t
( x)
t 0
2 2u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x u ( x) u t 0 ( x), t t 0 u x 0 1 (t ), u x l 2 (t )
t nt , x ix , y jy , z kz 1 n n 1 u in, 2 u u j ,k i , j ,k i , j ,k
t u in1, j ,k 2u in, j ,k u in1, j ,k (x) 2 u in, j 1,k 2u in, j ,k u in1, j ,k (y ) 2 u in, j ,k 1 2u in, j ,k u in, j ,k 1 (z ) 2
同时将边界条件和初始条件也离散化，得到：
ui1 ui0 u ( jx), (ix) t n n u0 1 (nt ), um 2 (nt )
0 i
(i 1,2,, m) (n 1,2,)
（5-3）
由式（5-2），并结合式（5-3），就可以从n时刻的各 点u值，计算得到下一时刻的u值，这样层层递推， 就可以计算出任意时刻，任意位置的u值。
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式
以三维空间为例，我们将离散化的应变量表示成， 它所表示的真正含义如下 :
uin , j , k u (t , x, y, z ) t nt , x ix , y jy , z kz
1、 波动方程
u 其中：u t 0 ( x), t
( x)
t 0
2 2u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x u ( x) u t 0 ( x), t t 0 u x 0 1 (t ), u x l 2 (t )
t nt , x ix , y jy , z kz 1 n n 1 u in, 2 u u j ,k i , j ,k i , j ,k
t u in1, j ,k 2u in, j ,k u in1, j ,k (x) 2 u in, j 1,k 2u in, j ,k u in1, j ,k (y ) 2 u in, j ,k 1 2u in, j ,k u in, j ,k 1 (z ) 2
同时将边界条件和初始条件也离散化，得到：
ui1 ui0 u ( jx), (ix) t n n u0 1 (nt ), um 2 (nt )
0 i
(i 1,2,, m) (n 1,2,)
（5-3）
由式（5-2），并结合式（5-3），就可以从n时刻的各 点u值，计算得到下一时刻的u值，这样层层递推， 就可以计算出任意时刻，任意位置的u值。
《微分方程的数值解》课件
积分法：将微分方程离散化为积分方 程，然后求解
谱方法：将微分方程离散化为谱方程， 然后求解
边界元法：将微分方程离散化为边界 元方程，然后求解
有限元法：将微分方程离散化为有限 元方程，然后求解
网格法：将微分方程离散化为网格方 程，然后求解
数值解法的步骤
确定微分方程的初值 和边界条件
选择合适的数值解法， 如欧拉法、龙格-库塔 法等
实解
应用：广泛应 用于工程、物 理、化学等领
域
优缺点：优点 是计算速度快， 缺点是精度较
低
非线性方程的数值解法
牛顿法：通过迭 代求解非线性方 程
拟牛顿法：通过 迭代求解非线性 方程，比牛顿法 收敛更快
割线法：通过迭代 求解非线性方程， 适用于求解单变量 非线性方程
迭代法：通过迭 代求解非线性方 程，适用于求解 多维非线性方程
05 数值解法的实现
M AT L A B 编 程 实 现
MATLAB简介： MATLAB是一种高 级编程语言，广泛 应用于科学计算、 数据分析等领域
数值解法：包括欧 拉法、龙格-库塔 法、四阶龙格-库 塔法等
MATLAB实现：使 用MATLAB编写程 序，实现数值解法 的计算
示例代码：给出 MATLAB实现数值 解法的示例代码， 并解释其含义和作 用
设定时间步长和空间 步长
计算微分方程的解， 并进行误差分析
绘制解的图形，并进 行结果分析
对比不同数值解法的 优缺点，选择最优解 法
04 常用的数值解法
欧拉方法
基本思想：将微分 方程转化为差分方 程，然后求解差分 方程
优点：简单易行， 适用于初值问题
缺点：精度较低， 稳定性较差
改进方法：改进欧 拉方法，如改进欧 拉方法、龙格-库 塔方法等
谱方法：将微分方程离散化为谱方程， 然后求解
边界元法：将微分方程离散化为边界 元方程，然后求解
有限元法：将微分方程离散化为有限 元方程，然后求解
网格法：将微分方程离散化为网格方 程，然后求解
数值解法的步骤
确定微分方程的初值 和边界条件
选择合适的数值解法， 如欧拉法、龙格-库塔 法等
实解
应用：广泛应 用于工程、物 理、化学等领
域
优缺点：优点 是计算速度快， 缺点是精度较
低
非线性方程的数值解法
牛顿法：通过迭 代求解非线性方 程
拟牛顿法：通过 迭代求解非线性 方程，比牛顿法 收敛更快
割线法：通过迭代 求解非线性方程， 适用于求解单变量 非线性方程
迭代法：通过迭 代求解非线性方 程，适用于求解 多维非线性方程
05 数值解法的实现
M AT L A B 编 程 实 现
MATLAB简介： MATLAB是一种高 级编程语言，广泛 应用于科学计算、 数据分析等领域
数值解法：包括欧 拉法、龙格-库塔 法、四阶龙格-库 塔法等
MATLAB实现：使 用MATLAB编写程 序，实现数值解法 的计算
示例代码：给出 MATLAB实现数值 解法的示例代码， 并解释其含义和作 用
设定时间步长和空间 步长
计算微分方程的解， 并进行误差分析
绘制解的图形，并进 行结果分析
对比不同数值解法的 优缺点，选择最优解 法
04 常用的数值解法
欧拉方法
基本思想：将微分 方程转化为差分方 程，然后求解差分 方程
优点：简单易行， 适用于初值问题
缺点：精度较低， 稳定性较差
改进方法：改进欧 拉方法，如改进欧 拉方法、龙格-库 塔方法等
偏微分方程的数值解(差分法)
20世纪初期,英国科学家L.F. Richardson首先进行了
数值天气预报尝试。1922年,他在《Weather Prediction
by Numerical Process 》中,论述了数值预报的原理和可
能性,并且应用原始方程组,对欧洲地面气压场进行
了6小时预报。但结果很不理想：他预报气压在 6小
ijkvxyzuvwwuuwvu????????????????????????????????????????????wuuwvuijkyzzxxx????????????????????????????????????????????????????????????????21uvwvwudfuvwfvtxyzxyxzyzdypppxyyx????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????一
y f ( x x) f ( x) x x
y f ( x) f ( x x) 一阶向后差商为： x x
一阶中心差商为： y f ( x x) f ( x x)
x
2x
二阶差商多取中心式，即
2 y f ( x x) 2 f ( x) f ( x x) 2 x (x) 2
§2 差分原理
一.基本概念: 1.将连续求解域划分成差分网格（最简单的
差分网格是矩形网格），用有限个节点代
替原连续求解域；
2.用差商代替控制微分方程中的导数；
3.建立含有限个未知数的节点差分方程组； 4.代入初始和边界条件后求解差分方程组。
数值天气预报尝试。1922年,他在《Weather Prediction
by Numerical Process 》中,论述了数值预报的原理和可
能性,并且应用原始方程组,对欧洲地面气压场进行
了6小时预报。但结果很不理想：他预报气压在 6小
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y f ( x x) f ( x) x x
y f ( x) f ( x x) 一阶向后差商为： x x
一阶中心差商为： y f ( x x) f ( x x)
x
2x
二阶差商多取中心式，即
2 y f ( x x) 2 f ( x) f ( x x) 2 x (x) 2
§2 差分原理
一.基本概念: 1.将连续求解域划分成差分网格（最简单的
差分网格是矩形网格），用有限个节点代
替原连续求解域；
2.用差商代替控制微分方程中的导数；
3.建立含有限个未知数的节点差分方程组； 4.代入初始和边界条件后求解差分方程组。
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从（1）得到：
u(ti)u(ti1)hu(ti)O(h)
精选
14
从（2）得到：
u(ti)u(ti1)hu(ti)O(h)
从（1）-（2）得到：
u(ti)u(ti1)2 hu(ti1)O (h2)
从（1）+（2）得到：
u (ti)u (ti 1) 2 u h (2 ti) u (ti 1 ) O (h 2)
精选
15
对经典的初值问题
du
dt
f (t,u )
u ( 0 ) u 0
t (0,T)
满足Lipschitz条件
4
常微分方程的数值解
大气科学中
常微分方程和偏微分方程的关系
1. 大气行星边界层(近地面具有湍流运动特性的大 气薄层,1—1.5km), 埃克曼（V.W.Ekman）（瑞典） 螺线的导出；
2. 1963年，美国气象学家Lorenz在研究热对流的 不稳定问题时，使用高截断的谱方法，由 Boussinesq流体的闭合方程组得到了一个完全确 定的三阶常微分方程组，即著名的Lorenz系统。
2. Curtis F.Gerald and Patrick O., Applied Numerical Analysis, Person Education, Inc., 2004.
3. Eugenia Kalnay, Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability, the press Syndicate of the University of Cambridge,2003.
ìïïïïïïïïïíïïïïïïïïî
x1¢=
x
¢
2
=
x
¢
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
x
¢
4
=
x
¢
5
=
-
2 x1 + 4 x2 x3 + 9 x2 + 3 x1x3 5 x3 - 7 x1x2 + 5 x4 - x1x6 x5 - 3 x1x4
4 x4x5 Re
精选
11
欧拉法—折线法
• 常微分方程能直接进行积分的是少数，而多数是 借助于计算机来求常微分方程的近似解；
偏微分方程数值解 (Numerical Solution of
Partial Differential Equations)
主讲：王曰朋
eduwyp@
精选
1
参考数目
1. George J. Haltiner, Roger Terry Williams, Numerical Prediction and Dynamic 2. Meteorology(2nd Edition), the United States of America, 1979.
精选
6
50 40 30 20 10
0 -10 -20 -30
0
5
10
15 20 精选25 30 35
40 45
50
7
50 40 30 20 10
0 20
0
-20 30
20
10
精选
0
-10
-20
-30
8
精选
9
精选
10
Franceshini 将Navier-Stokes方程截断为五维的
截谱模型如下：
3. Charney, Fjortoft, and Von Neumann(1950),
借助于Princeton大学的的计算机(ENIAC)，利
用一个简单的正压涡度方程
（C.G.Rossby,1940）对500mb的天气形式作
精选
3
了24小时预报---成功；
The Electronic Numerical Integra精to选r and Computer (ENIAC).
精选
2
数值天气预报—PDE数值解
1. 挪威气象学家V.Bjerknes（1904）提出数值预 报的思想：通过求解一组方程的初值问题可以 预报将来某个时刻的天气—思想；
2. L.F.Richardson(1922)：开创了利用数值积分 进行预报天气的先例，由于一些原因（如，计 算稳定性问题“Courant,1928”）并没有取得预 期的效果—尝试；
4. Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press,1996.
5. 李荣华，冯国忱. 微分方程数值解. 北京：人民教育出版社，1980. 6. 徐长发，李红. 实用偏微分方程数值解法. 华中科技大学出版社，2003. 7. 沈桐立，田永祥等. 数值天气预报. 北京：气象出版社，2007.
u ( t h ) u ( t ) u ( t ) h 1 u ( t ) h 2 1 u ( t ) h 3 L 1 u ( n ) ( t ) h n O ( h n 1 ) （1）
2 ! 3 !
n !
u ( t h ) u ( t ) u ( t ) h 2 1 ! u ( t ) h 2 3 1 ! u ( t ) h 3 L n 1 ! u ( n ) ( t ) h n O ( h n 1 ) （2）
精选
12
2.差分格式求解 将积分方程通过差分方程转化为代数方程求
解，一般常用递推算法。
在常微分方程差分法中最简单的方法是 Euler方法，尽管在计算中不会使用，但从 中可领悟到建立差分格式的技术路线，下 面将对其作详细介绍:
精选
13
差分方法的基本思想“就是以差商 代替微商”
考虑如下两个Taylor公式：
• 有限差分法是常微分方程中数值解法中通 常有效 的方法；
• 建立差分算法的两个基本的步骤：
1. 建立差分格式，包括：a. 对解的存在域剖分； b. 采用不同的算法可得到不同的逼近误差—截断 误差（相容性）；c.数值解对真解的精度—整体 截断误差（收敛性）；d.数值解收敛于真解的速 度；e. 差分算法—舍人误差（稳定性）.
精选
5
Lorenz系统
dx / dt = a (y - x) dy / dt = x (b - z) - y dz / dt = xy - c z
其中，a=10,(Prandtl number); b=28(Rayleigh number); c=8/3; (x,y,z)_0=(0.01;0.01;1e-10)