高二数学学案：基本初等函数的导数公式
学案12：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课标要求1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．2．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．核心扫描1．对导数四则运算法则的考查．(重点)2．复合函数的考查常在解答题中出现．(重点)课前探究学习自学导引1．导数运算法则的定义域、值域满足什么关系？提示在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集．名师点睛1．运用导数运算法则的注意事项(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．(2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差， 即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f ′n (x )．②[ af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )； ③当f (x )＝1时，有⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”． 2．复合函数求导对于复合函数的求导法则，需注意以下几点：(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos u ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导运用熟练后，中间步骤可省略不写. 课堂讲练互动题型一 利用导数的运算法则求函数的导数例1：求下列函数的导数：(1)y ＝x ·tan x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝x sin x －2cos x； (5)y ＝x 5＋x 7＋x 9x ；(6)y ＝x －sin x 2cos x2.规律方法：解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前一般应先将函数化简，然后求导，以减少运算量． 变式1：求下列函数的导数：(1)y ＝5－4x 3； (2)y ＝3x 2＋x cos x ； (3)y ＝e x ·ln x ； (4)y ＝lg x －1x2.题型二 求复合函数的导数例2：求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x 2； (2)y ＝e 2x ＋1； (3)y ＝(x －2)2； (4)y ＝5log 2(2x ＋1)．规律方法：应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 变式2：求下列函数的导数：(1)y ＝ln(x ＋2)； (2)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x.题型三 求导法则的应用例3：求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．题后反思：点(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．变式3：若将本例改为求曲线y ＝x 3－2x 在点A (1，－1)处的切线方程，结果会怎样？方法技巧 数形结合思想在导数中的应用数形结合的原则：(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分析，在许多时候是很难完成的．(3)简单性原则：找到解题思路之后，至于用几何方法还是采用代数方法，则取决于哪种方法更为简单有效，“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果．示例：讨论关于x 的方程ln x ＝kx 解的个数．方法点评：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义 ，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．导数的这一几何意义为导数与解析几何的沟通搭建了一个平台．因此从某 种意义上说，导数也就是数形结合的桥梁.参考答案题型一 利用导数的运算法则求函数的导数例1：解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′(1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋x cos 2x.(2)法一 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11. 法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2 ＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.(4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x . (5)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x ＝x 2＋x 3＋x 4，∴y ′＝(x 2＋x 3＋x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3. (6)先使用三角公式进行化简，得 y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . 变式1：解：(1)y ′＝－12x 2；(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ； (3)y ′＝e x x ＋e x·ln x ；(4)y ′＝1x ln 10＋2x3. 题型二 求复合函数的导数例2：解：(1)设y ＝u －12，u ＝1－2x 2，则y ′＝⎝⎛⎭⎫u －12′(1－2x 2)′＝⎝⎛⎭⎫－12u －32·(－4x ) ＝－12(1－2x 2)－32(－4x )＝2x (1－2x 2)－32.(2)y ＝e u ，u ＝2x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1. (3)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′ ＝1－4×12x －12＝1－2x.法二 令u ＝x －2，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2(x －2)·(x －2)′ ＝2(x －2)⎝⎛⎭⎫12·1x －0＝1－2x . (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2. 变式2：解：(1)y ＝ln u ，u ＝x ＋2∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(x ＋2)′＝1u ·1＝1x ＋2.(2)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x .(3)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.题型三 求导法则的应用例3：解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝0x x y ='＝3x 20－2，故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ② 又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)． 解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.变式3：解：∵点A (1，－1)在曲线上，点A 是切点，∴在A 处的切线方程为x －y －2＝0.方法技巧 数形结合思想在导数中的应用示例：解：如图，方程ln x ＝kx 的解的个数就是直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 交点的个数． 设直线y ＝kx 与y ＝ln x 切于P (x 0，ln x 0) ，则kx 0＝ln x 0. ∵(ln x )′＝1x，∴k ＝1x 0，kx 0＝1＝ln x 0.∴x 0＝e ，k ＝1e.结合图象知：当k ≤0或k ＝1e 时，方程ln x ＝kx 有一解．当0<k <1e 时，方程ln x ＝kx 有两解．当k >1e 时，方程ln x ＝kx 无解．。
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》导学案
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》导学案导数是微积分中一个重要的概念，用来描述函数在其中一点处的变化率。
初等函数是指常见的基本函数，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
导数的运算法则是指导数在运算中的一些基本性质和规则。
下面将详细介绍初等函数的导数公式和导数的运算法则。
一、初等函数的导数公式1.基本初等函数的导数公式-常数函数的导数为0，即$C'(x)=0$，其中C为常数。
- 幂函数的导数公式：$(x^n)'=nx^{n-1}$，其中n为正整数。
- 指数函数的导数公式：$(a^x)'=a^x\ln a$，其中a为正实数。
- 对数函数的导数公式：$(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$，其中a为正实数，且a≠1-三角函数的导数公式：正弦函数的导数：$(\sin x)'=\cos x$；余弦函数的导数：$(\cos x)'=-\sin x$；正切函数的导数：$(\tan x)'=\sec^2 x$。
2.求导法则-基本求导法则：和差法则：$(u\pm v)'=u'+v'$；乘法法则：$(uv)'=u'v+uv'$；除法法则：$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$，其中v≠0。
-复合函数求导法则：若y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且有$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$。
二、导数的运算法则1.反函数的导数若函数y=f(x)在区间I上单调、连续并且可导，且此区间上f'(x)≠0，则它的反函数x=f^(-1)(y)在对应区间上连续并且可导，并且有$\left(f^{-1}(y)\right)'=\dfrac{1}{f'(x)}$。
高二数学322基本初等函数的求导公式
§3.2.2 （1）基本初等函数的求导公式一、知识与方法：1、基本初等函数的导数公式记忆：第一类为幂函数，1)'(-=a a ax x )0(≠a （注意幂函数a 为任意实数）； 第二类为指数函数，()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且，当e a =时，x e 的导数是)('x a 的一个特例； 第三类为对数函数，11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且，当e a =时，x ln 也是 对数函数的一个特例；第四类为三角函数，可记住正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦函数的相 反数，正切函数的导数是余弦函数平方的倒数，余切函数的导数是正弦函数的平方的倒数 的相反数。
2、利用公式求函数的导数，这就要求熟练掌握公式。
特别注意x a y =的导数与a x y = 的导数的区别，不要犯这样的错误：1)(-='x x xa a 。
二、针对性训练：1、3x y =的导数是 （ ）A ．3xB ．x 31 C ．3231--x D ．3231-x 2、32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ） A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 3、 下列各结论正确的是 ( )A ．3(log )'x =x 31 B ．(2)'x =2x C ．')(sin x =cosx D ． (cosx)'=sinx 4、 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为( )A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=5、函数()f x =x a (a>0且a ≠1),'(2)f =2a ,则a = ( )A ． 2 B. e C. 4 D. 2e6、曲线sin y x =, x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ 的一条切线m 平行于直线30x y --=, 则m 的方程为（ ） A. y=2πx, B.y x = C.1y x =+ D.不存在 7 、曲线x e y =在点)e (2,2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）A ．249e B ．22e C ．2e D ．2e 2 8、)()(),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n '='='==+， ，)(N n ∈则=')(2009x f （ ） x D x C x B xA cos .cos .sin .sin .-- 9、函数2y e =, 则'y =＿＿＿＿＿＿＿＿＿10、已知函数()sin ln f x x x =+，则()f x '= ．11、已知()f x lnx =, ()g x x =. 且'()'()0f x g x ->，则x 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿12、求函数的导数：)3)(2)(1(+++=x x x y13、物体的运动方程是1223-+=t t s （位移单位：m ，时间单位：s ），当2=t 时，求物体的瞬时速度及加速度.14、()ln f x x =,若4'()f x x a +≥恒成立，求a 的取值范围。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
讲解经济学中的温水煮青蛙现象。虽然每年只有8分钱，但在 不知不觉中物价已经让你承担不起。
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
c(x) 5284 (80 x 100) 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c'(x)
( 5284 100 x
)'
5284'(100
x) 5284 (100 x)2Βιβλιοθήκη (100x)'
0 (100 x) 5284 (1) (100 x)2
5284 (100 x)2
例2 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物价p(单位： 元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
p(t) p0 (1 5%)t
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t) 1.05t ln1.05 p'(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元 / 年)
解：因为 y (x3 2x 3)
(x3 ) (2x) (3) 3x2 2
所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y ' 3x2 2
既然导数可求，那可以求这个函数图像的切线吗？原来的旧方 法没用了吧！我们用几何画板画出此函数的图像。
2.已知函数y=xlnx (1)求这个函数的导数 (2)求这个函数在点x=1处的切线方程
基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.常数函数的导数公式常数函数f(x)=C的导数为f'(x)=0，其中C为常数。
2.幂函数的导数公式2.1 幂函数f(x) = x^n (n为实数) 的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
2.2特殊情况下，指数函数f(x)=e^x的导数为f'(x)=e^x。
3.指数函数的导数公式3.1e^x的导数为e^x。
3.2 a^x (a>0且a≠1) 的导数为a^x * ln(a)，其中ln(a)是以e为底的对数。
4.对数函数的导数公式4.1 ln(x) 的导数为1/x。
4.2 log_a(x) (a>0且a≠1) 的导数为1/(x * ln(a))。
5.三角函数的导数公式5.1 sin(x) 的导数为cos(x)。
5.2 cos(x) 的导数为-sin(x)。
5.3 tan(x) 的导数为sec^2(x)。
5.4 cot(x) 的导数为-csc^2(x)。
5.5 sec(x) 的导数为sec(x) * tan(x)。
5.6 csc(x) 的导数为-csc(x) * cot(x)。
6.反三角函数的导数公式6.1 arcsin(x) 的导数为1/√(1-x^2)。
6.2 arccos(x) 的导数为-1/√(1-x^2)。
6.3 arctan(x) 的导数为1/(1+x^2)。
6.4 arccot(x) 的导数为-1/(1+x^2)。
6.5 arcsec(x) 的导数为1/(x * √(x^2-1))。
6.6 arccsc(x) 的导数为-1/(x * √(x^2-1))。
这些是基本初等函数的导数公式，根据这些公式可以求解各种复杂函数的导数。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
x)'
0 5284 (1) 5284 (100 x)2 (100 x)2
c'(90) 52.84(元/吨)
c'(98) 1321(元/吨)
二、复合函数的概念
思考:如何求 y ln(x 2) 导数?
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那 么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合 函数，记作y=f(g(x)).
一、导数的运算法则
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数 (1)y=x3+sinx
y' 3x2 cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x2 2
法则2:
f (x) g(x)' f '(x) g(x) f (x) g'(x)
基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则
复习：
公式一: C= 0 (C为常数)
公式二: (x ) x1(是常数)
算一算：求下列函数的导数
(1) y=x4 ;
(2) y=x-5 ;
4x3
-5x-6
(3) y x ;
1
x
1 2
1 (4) y x2 ;
-2x-3
2
注意公式中,n的任意性.
公式三: (sin x) cos x
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log
x a
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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则说课稿 教案
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学目标】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．4．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax ＋b)的导数)．【教法指导】本节学习重点：函数的和、差、积、商的求导法则．本节学习难点：复合函数的求导法则．【教学过程】☆复习引入☆前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一导数的运算法则思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.例1 求下列函数的导数：(1)y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝3x－lg x.解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出 f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10， 利用函数差的求导法则可得(3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x ； (2)f (x )＝2－2sin 2x2.例2 求下列函数的导数：(1)f (x )＝x ·tan x ；(2)f (x )＝x －1x ＋1. 解 (1)f ′(x )＝(x ·tan x )′＝(x sin x cos x )′ ＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x ＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x . (2)∵f (x )＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴f ′(x )＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.探究点二 导数的应用 例2 (1)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．答案 3x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0. (2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．答案 (－2,15)(3)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327， 即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s. 反思与感悟 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，即k ＝y ′|x ＝x 0＝f ′(x 0)；瞬时速度是位移函数s (t )对时间t 的导数，即v ＝s ′|t ＝t 0.探究点三 复合函数的定义思考1 观察函数y ＝2x cos x 及y ＝ln(x ＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？ 答 y ＝2x cos x 是由u ＝2x 及v ＝cos x 相乘得到的；而y ＝ln(x ＋2)是由u ＝x ＋2与y ＝ln u (x >－2)经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．所以它们称为复合函数． 思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？思考3 在复合函数中，内层函数的值域A 与外层函数的定义域B 有何关系？答 A ⊆B .小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例3 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y ＝(3＋5x )2；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)；(3)y ＝cos 3x .解 (1)y ＝(3＋5x )2是由函数y ＝u 2，u ＝3＋5x 复合而成的；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u ，u ＝x 2－2x ＋5复合而成的；(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．小结 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u ，分别找出y 和u 的函数关系，u 和x 的函数关系．例4 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ；(3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝11－2x1－2x ； (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3)． (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．探究点五 导数的应用例5 求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．反思与感悟求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．。
人教版高中数学高二 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 精品导学案
§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课前预习学案一．预习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．预习内容1．基本初等函数的导数公式表2.（2）推论：[]'()cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ）三． 提出疑惑课内探究学案一． 学习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二． 学习过程（一）。
【复习回顾】复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =（二）。
【提出问题，展示目标】我们知道,函数*()()n y f x x n Q ==∈的导数为'1n y nx-=，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。
那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。
减。
乘。
除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。
（三）、【合作探究】1．（1）分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数． （1）2y x =与2xy =（2）3x y =与3log y x =2.（1推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ）提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+（2）sin y x x =⋅；（3）2(251)xy x x e =-+⋅；（4）4xx y =；【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．（四）．典例精讲例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是：解：变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%分析：净化费用的瞬时变化率就是： 解：比较上述运算结果，你有什么发现？三．反思总结：（1）分四组写出基本初等函数的导数公式表：（2）导数的运算法则：四．当堂检测1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）2xy e =（3）32234y x x =-- （4）3cos 4sin y x x =-2.求下列函数的导数（1）ln y x x = （2）ln xy x=课后练习与提高1．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为： A ()2(1)f x x =- B 2()2(1)f x x =- C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =-2．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =A18 B 14 C 12D 1 3.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1n n + D 14.曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为-------------------5.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为------------6.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式。