基本初等函数的导数公式的推导过程
【高中数学】第5章 5.2.1 基本初等函数的导数

5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数素养目标学科素养1.能根据导数的定义推导常用函数的导数. 2.掌握基本初等函数的导数公式.(重点) 3.利用基本初等函数的导数公式解决有关问题.(难点)1.数学抽象; 2.逻辑推理; 3.数学运算情境导学高铁是目前非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s 关于时间t 的函数为s =f (t ),求它的瞬时速度,即f (t )的导数.根据导数的定义,运算比较复杂,是否有更好的求导方法呢?1.几个常用函数的导数 函数 用定义法求导数y =f (x )=cy ′=lim Δx →0ΔyΔx =lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx =lim Δx →0c -c Δx=0 y =f (x )=xy ′=lim Δx →0ΔyΔx =lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx =lim Δx →0(x +Δx )-x Δx=1 y =f (x )=x 2y ′=lim Δx →0ΔyΔx =lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx =lim Δx →0(x +Δx )2-x 2Δx=lim Δx →0(2x +Δx )=2xy =f (x )=x 3y ′=lim Δx →0ΔyΔx =lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx =lim Δx →0(x +Δx )3-x 3Δx=lim Δx →0[3x 2+3x ·Δx +(Δx )2]=3x 2y =f (x )=1xy ′=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx =lim Δx →01x +Δx -1x Δx =lim Δx →0⎝⎛⎭⎫-1x 2+x ·Δx =-1x 2 y =f (x )=xy ′=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0f (x +Δx )-f (x )Δx =lim Δx →0x +Δx -x Δx =lim Δx →01x +Δx +x =12x判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)若f (x )=2,则f ′(x )=2.( ) × 提示:f ′(x )=0.(2)若f (x )=x 2,则f ′(x )=2x 2.( ) × 提示:f ′(x )=2x .(3)若f (x )=x -1,则f ′(x )=-1x 2.(√)2.基本初等函数的导数公式(1)若f (x )=c (c 是常数),则f ′(x )=0;(2)若f (x )=x α(α∈Q ,且α≠0),则f ′(x )=αx α-1; (3)若f (x )=sin x ,则f ′(x )=cos x ; (4)若f (x )=cos x ,则f ′(x )=-sin x ;(5)若f (x )=a x (a >0,且a ≠1),则f ′(x )=a x ln_a ; 特别地,f (x )=e x ,则f ′(x )=e x ;(6)若f (x )=log a x (a >0,且a ≠1),则f ′(x )=1x ln a ;特别地,f (x )=ln x ,则f ′(x )=1x.判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)⎝⎛⎭⎫sin π3′=cos π3.( ) × 提示:∵sin π3=32(常数),∴⎝⎛⎭⎫sin π3′=0. (2)(2x )′=x 2x -1.( ) × 提示:(2x )′=2x ln2. (3)(ln x )′=1x.(√)1.函数f (x )=0的导数是(A) A .0 B .1 C .不存在D .不确定2.若函数f (x )=x ,则f ′(2)=( ) A .0B .1C .2D .不存在B 解析:f ′(x )=1,∴f ′(2)=1.3.若函数f (x )=x 2,则曲线y =f (x )在x =12处的切线斜率为( )A .0B .1C .12D .不存在B 解析:∵f ′(x )=2x ,∴k =f ′⎝⎛⎭⎫12=2×12=1. 4.若函数y =10x ,则y ′|x =1等于( ) A .110B .10C .10ln 10D .110ln 10C 解析:∵y ′=10x ln 10,∴y ′|x =1=10ln 10. 5.给出下列命题: ①若y =ln 2,则y ′=12;②若y =1x 2,则y ′|x =3=-227;③若y =2x ,则y ′=2x ln 2; ④若y =log 2x ,则y ′=1x ln 2. 其中正确命题的个数为( ) A .1 B .2 C .3D .4C 解析:对于①,y ′=0,故①错;对于②,∵y ′=-2x 3,∴y ′|x =3=-227,故②正确;显然③④正确,故选C .【例1】求下列函数的导数:(1)y =x 12;(2)y =1x 4;(3)y =5x 3;(4)y =7x ;(5)y =log 5x .解:(1)y ′=(x 12)′=12x 11.(2)y ′=⎝⎛⎭⎫1x 4′=(x -4)′=-4x -5=-4x 5. (3)y ′=(5x 3)′=(x 35)′=35x -25.(4)y ′=(7x )′=7x ln 7. (5)y ′=(log 5x )′=1x ln 5.1.若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解,公式法最简捷.2.对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.比如对带根号的函数,一般先将其转化为分数指数幂,再利用公式(x α)′=αx α-1进行求导.3.要特别注意“1x与ln x ”,“a x 与log a x ”,“sin x 与cos x ”的导数区别.若g (x )=log 3x, 则g ′(x )=1x ln 3.【例2】已知质点的运动方程是s =sin t . (1)求质点在t =π3时的速度;(2)求质点运动的加速度.解:(1)∵v (t )=s ′(t )=cos t , ∴v ⎝⎛⎭⎫π3=cos π3=12, 即质点在t =π3时的速度为12.(2)∵v (t )=cos t ,∴加速度a (t )=v ′(t )=(cos t )′=-sin t .1.速度是路程对时间的导数,加速度是速度对时间的导数.2.求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的步骤:(1)先求函数的导函数;(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.1.求函数f (x )=13x在(1,1)处的导数.解:∵f ′(x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′=(x -13)′=-13x -43=-133x 4,∴f ′(1)=-1331=-13.2.求函数f (x )=cos x 在⎝⎛⎭⎫π4,22处的导数.解:∵f ′(x )=-sin x , ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4=-sin π4=-22.探究题1 求过曲线f (x )=cos x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π3,12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程.解:因为f (x )=cos x , 所以f ′(x )=-sin x .则曲线f (x )=cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3,12的切线斜率为 f ′⎝⎛⎭⎫π3=-sin π3=-32, 所以所求直线的斜率为233,所求直线方程为y -12=233⎝⎛⎭⎫x -π3, 即y =233x -239π+12.探究题2 分别求双曲线y =1x 与抛物线y =x 2的交点处的切线方程.解:易求得双曲线y =1x与抛物线y =x 2的交点为(1,1).双曲线y =1x 在交点处的切线的斜率为y ′|x =1=-1,故切线方程为y -1=-(x -1),即x +y-2=0.抛物线y =x 2在交点处的切线的斜率为y ′|x =1=2,故切线方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0.求曲线方程或切线方程时,应注意:(1)切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程; (2)曲线在切点处的切线的斜率,即对应函数在该点处的导数. (3)必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切点.已知函数y =kx 是曲线y =ln x 的一条切线,则k =________. 1e解析:设切点为(x 0,y 0), ∵y ′=1x ,∴k =1x 0,∴y =1x 0·x .又点(x 0,y 0)在曲线y =ln x 上,∴y 0=ln x 0,∴ln x 0=x 0x 0,∴x 0=e ,∴k =1e.1.函数y =x 2在x =1处的导数是( ) A .0 B .1 C .2D .3C 解析:易得y ′=2x ,故函数y =x 2在x =1处的导数是2×1=2.故选C . 2.已知f (x )=ln x ,则f ′⎝⎛⎭⎫1e 的值为( ) A .1 B .-1 C .eD .1eC 解析:由f (x )=ln x ,则f ′(x )=1x.所以f ′⎝⎛⎭⎫1e =11e =e.故选C . 3.函数f (x )=x 3,f ′(x 0)=6,则x 0=( ) A . 2 B .- 2 C .±1D .±2D 解析:∵f ′(x )=3x 2,∴3x 20=6,∴x 0=±2.故选D . 4.(多选)下列结论正确的是( ) A .若f (x )=0,则f ′(x )=0 B .若f (x )=cos x ,则f ′(x )=sin x C .若f (x )=1x ,则f ′(x )=-1x 2D .若f (x )=ln x ,则f ′(x )=1xACD 解析:对A ,f (x )为常数,显然成立;对B ,f ′(x )=-sin x ,故B 错误;对C ,D ,显然都成立.故选ACD . 5.求下列函数的导数: (1)y =x 3; (2)y =cos ⎝⎛⎭⎫π2-x ; (3)y =(3)x .解:(1)y ′=(x 32)′=32x .(2)∵y =cos ⎝⎛⎭⎫π2-x =sin x , ∴y ′=(sin x )′=cos x .(3)y ′=[(3)x ]′=(3)x ln 3=12(3)x ln 3.1.由定义求出的常用函数的导数可作为公式直接使用. 2.熟记基本初等函数的导数公式.3.注意区别f (x )=a x (a >0,且a ≠1)及f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)的导数:(a x )′=a x ln a ,(log a x )′=1x ln a.课时分层作业(十四) 基本初等函数的导数 (60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 几个常用函数的导数公式的应用1.(5分)已知f (x )=x α(α∈Q *),若f ′(1)=14,则α等于( )A .13B .12C .18D .14D 解析:∵f (x )=x α, ∴f ′(x )=αx α-1, ∴f ′(1)=α=14.2.(5分)给出下列结论: ①若f (x )=1x 3,则f ′(x )=-3x 4;②若f (x )=3x ,则f ′(x )=133x ;③若f (x )=3,则f ′(1)=0. 其中正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3D .03.(5分)(多选)在曲线f (x )=1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A .(1,1)B .(-1,-1)C .⎝⎛⎭⎫-2,-12 D .⎝⎛⎭⎫-12,-2 AB 解析:切线的斜率k =tan 34π=-1,设切点为(x 0,y 0),则f ′(x 0)=-1,又f ′(x )=-1x 2,∴-1x 20=-1,∴x 0=1或-1,∴切点坐标为(1,1)或(-1,-1).故选AB .4.(5分)已知抛物线C :y =x 2,过第一象限的点(a ,a 2)作抛物线C 的切线l ,则直线l 与y 轴的交点的坐标为________.(0,-a 2) 解析:显然点(a ,a 2)为抛物线C :y =x 2上的点,∵y ′=2x ,∴直线l 的方程为y -a 2=2a (x -a ).令x =0,得y =-a 2,∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0,-a 2). 知识点2 基本初等函数的导数5.(5分)若函数f (x )=cos x ,则f ′⎝⎛⎭⎫π2=( ) A .0 B .1 C .-1D .π2C 解析:∵f ′(x )=-sin x , ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2=-sin π2=-1. 6.(5分)已知函数f (x )=2-x ,则f ′(x )=( ) A .-⎝⎛⎭⎫12x ln 2 B .⎝⎛⎭⎫12x ln 2 C .⎝⎛⎭⎫12x log 2e D .⎝⎛⎭⎫12x 1ln 2A 解析:∵f (x )=2-x =⎝⎛⎭⎫12x , ∴f ′(x )=⎝⎛⎭⎫12x ln 12=-⎝⎛⎭⎫12x ln 2. 7.(5分)给出下列结论:①(cos x )′=sin x ;②⎝⎛⎭⎫sin π3′=cos π3; ③若y =1x 2,则y ′=-1x; ④⎝⎛⎭⎫-1x ′=12x x. 其中正确的个数是( )A .0B .1C .2D .3B 解析:因为(cos x )′=-sin x ,所以①错误.sin π3=32,而⎝⎛⎭⎫32′=0,所以②错误.⎝⎛⎭⎫1x 2′=(x -2)′=-2x 3,所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x ′==12x x,所以④正确. 8.(5分)已知直线y =kx 是曲线y =3x 的切线,则k 的值为________.eln 3 解析:设切点为(x 0,y 0).因为y ′=3x ln 3,①所以k =3x 0ln 3,所以y =3x 0ln 3·x .又因为(x 0,y 0)在曲线y =3x 上,所以3x 0ln 3·x 0=3x 0,②所以x 0=1ln 3=log 3e. 所以k =eln 3.9.(5分)已知f (x )=x 2,g (x )=ln x ,若f ′(x )-g ′(x )=1,则x =________.1 解析:因为f (x )=x 2,g (x )=ln x ,所以f ′(x )=2x ,g ′(x )=1x且x >0, f ′(x )-g ′(x )=2x -1x=1,即2x 2-x -1=0,解得x =1或x =-12(舍去).故x =1. 10.(5分)直线y =12x +b 是曲线y =ln x (x >0)的一条切线,则实数b =________. ln 2-1 解析:设切点坐标为(x 0,y 0),则y 0=ln x 0.∵y ′=(ln x )′=1x, ∴1x 0=12, ∴x 0=2,y 0=ln 2.由ln 2=12×2+b ,得b =ln 2-1. 能力提升练能力考点 适度提升11.(5分)设f 0(x )=sin x ,f 1(x )=f ′0(x ),f 2(x )=f ′1(x ),…,f n +1(x )=f ′n (x ),n ∈N ,则f 2 020(x )=( )A .sin xB .-sin xC .cos xD .-cos xC 解析:f 0(x )=sin x ,f 1(x )=f ′0(x )=(sin x )′=cos x ,f 2(x )=f ′1(x )=(cos x )′=-sin x ,f 3(x )=f ′2(x )=(-sin x )′=-cos x ,f 4(x )=f ′3(x )=(-cos x )′=sin x ,所以4为最小正周期,故f 2 020(x )=f 4(x )=cos x .A .64B .32C .16D .813.(5分)点P 是f (x )=x 2上任意一点,则点P 到直线y =x -1的最短距离是________. 328 解析:与直线y =x -1平行的f (x )=x 2的切线的切点到直线y =x -1的距离最小.设切点为(x 0,y 0),则f ′(x 0)=2x 0=1,∴x 0=12,y 0=14.即P ⎝⎛⎭⎫12,14到直线y =x -1的距离最短. ∴d =⎪⎪⎪⎪12-14-112+12=328.14.(5分)下列结论正确的有________.①若f (x )=x 4,则f ′(2)=32;②若f (x )=1x,则f ′(2)=-22; ③若f (x )=1x 2·x,则f ′(1)=-52; ④若f (x )=x -5,则f ′(-1)=-5.①③④ 解析:对于①,f ′(x )=4x 3,f ′(2)=4×23=32,正确;15.(5分)曲线f (x )=ln x 在点M (e ,1)处的切线的斜率是______,切线方程为________.1e x -e y =0 解析:∵f ′(x )=(ln x )′=1x, ∴f ′(e)=1e.∴切线方程为y -1=1e (x -e),即x -e y =0. 16.(5分)已知f (x )=a 2(a 为常数),g (x )=ln x ,若2x [f ′(x )+1]-g ′(x )=1,则x =________.1 解析:因为f ′(x )=0,g ′(x )=1x(x >0), 所以2x [f ′(x )+1]-g ′(x )=2x -1x=1, 解得x =1或x =-12. 因为x >0,所以x =1.17.(10分)求下列函数的导数.(1)y =1x4; (2)y =x x ;(3)y =2sin x 2cos x 2. 解:(1)∵y =1x 4=x -4,∴y ′=-4x -5=-4x5.(3)∵y =2sin x 2cos x 2=sin x , ∴y ′=cos x .18.(10分)已知P (-1,1),Q (2,4)是曲线y =x 2上的两点.(1)求过点P ,Q 的曲线y =x 2的切线方程;(2)求与直线PQ 平行的曲线y =x 2的切线方程.解:(1)因为y ′=2x ,P (-1,1),Q (2,4)都是曲线y =x 2上的点.过P 点的切线的斜率k 1=-2,过Q 点的切线的斜率k 2=4,过P 点的切线方程为y -1=-2(x +1),即2x +y +1=0,过Q 点的切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0.(2)因为y ′=2x ,直线PQ 的斜率k =4-12+1=1, 设切点坐标为M (x 0,y 0),则切线的斜率k =2x 0=1,所以x 0=12,所以切点M ⎝⎛⎭⎫12,14, 与PQ 平行的切线方程为y -14=x -12, 即4x -4y -1=0.。
知识讲解-导数的计算-基础(1)

导数的计算【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式,并掌握其推导过程。
2. 熟记八个基本初等函数的导数公式,并能准确运用。
3. 能熟练运用四则运算的求导法则,4. 理解复合函数的结构规律,掌握求复合函数的求导法则:“由外及内,层层求导”.【要点梳理】知识点一:基本初等函数的导数公式(1)()f x C =(C 为常数),'()0f x = (2)()nf x x =(n 为有理数),1'()n f x n x -=⋅(3)()sin f x x =,'()cos f x x = (4)()cos f x x =,'()sin f x x =- (5)()xf x e =,'()xf x e =(6)()xf x a =,'()ln xf x a a =⋅(7)()ln f x x =,1'()f x x = (8)()log a f x x =,1'()log a f x e x =。
要点诠释:1.常数函数的导数为0,即C '=0(C 为常数).其几何意义是曲线()f x C =(C 为常数)在任意点处的切线平行于x 轴.2.有理数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的(n -1)次幂的乘积,即1()'nn x nx-=(n ∈Q ).特别地211'x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,=。
3.正弦函数的导数等于余弦函数,即(sin x )'=cos x .4.余弦函数的导数等于负的正弦函数,即(cos x )'=-sin x .5.指数函数的导数:()'ln xxa a a =,()'xxe e =. 6.对数函数的导数:1(log )'log a a x e x =,1(ln )'x x=. 有时也把1(log )'log a a x e x = 记作:1(log )'ln a x x a=以上常见函数的求导公式不需要证明,只需记住公式即可.知识点二:函数的和、差、积、商的导数运算法则:(1)和差的导数:[()()]''()'()f x g x f x g x ±=± (2)积的导数:[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+(3)商的导数:2()'()()()'()[]'()[()]f x f xg x f x g x g x g x ⋅-⋅=(()0g x ≠) 要点诠释:1. 上述法则也可以简记为:(ⅰ)和(或差)的导数:()'''u v u v ±=±, 推广:1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±.(ⅱ)积的导数:()'''u v u v uv ⋅=+, 特别地:()''cu cu =(c 为常数).(ⅲ)商的导数:2'''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠⎪⎝⎭, 两函数商的求导法则的特例 2()'()()()'()'(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦, 当()1f x =时,2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦. 这是一个函数倒数的求导法则.2.两函数积与商求导公式的说明(1)类比:()'''uv u v uv =+,2'''u u v uv v v -⎛⎫=⎪⎝⎭(v ≠0),注意差异,加以区分. (2)注意:'''u u v v ⎛⎫≠⎪⎝⎭且2'''u u v uv v v +⎛⎫≠ ⎪⎝⎭(v ≠0). 3.求导运算的技巧在求导数中,有些函数虽然表面形式上为函数的商或积,但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简(可能化去了商或积),然后进行求导,可避免使用积、商的求导法则,减少运算量.知识点三:复合函数的求导法则 1.复合函数的概念对于函数[()]y f x ϕ=,令()u x ϕ=,则()y f u =是中间变量u 的函数,()u x ϕ=是自变量x 的函数,则函数[()]y f x ϕ=是自变量x 的复合函数.要点诠释: 常把()u x ϕ=称为“内层”, ()y f u =称为“外层” 。
求导数公式

求导数公式24个基本求导公式可以分成三类。
第一类是导数的定义公式,即差商的极限. 再用这个公式推出17个基本初等函数的求导公式,这就是第二类。
最后一类是导数的四则运算法则和复合函数的导数法则以及反函数的导数法则,利用这些公式就可以推出所有可导的初等函数的导数。
1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]. 即函数差与自变量差的商在自变量差趋于0时的极限,就是导数的定义。
其它所有基本求导公式都是由这个公式引出来的。
包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数,一共有如下求导公式:2、f(x)=a的导数, f'(x)=0, a为常数. 即常数的导数等于0;这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。
就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。
可以根据幂函数的求导公式求得。
3、f(x)=x^n的导数, f'(x)=nx^(n-1), n为正整数. 即系数为1的单项式的导数,以指数为系数,指数减1为指数. 这是幂函数的指数为正整数的求导公式。
4、f(x)=x^a的导数, f'(x)=ax^(a-1), a为实数. 即幂函数的导数,以指数为系数,指数减1为指数.5、f(x)=a^x的导数, f'(x)=a^xlna, a>0且a不等于1. 即指数函数的导数等于原函数与底数的自然对数的积.6、f(x)=e^x的导数, f'(x)=e^x. 即以e为底数的指数函数的导数等于原函数.7、f(x)=log_a x的导数, f'(x)=1/(xlna), a>0且a 不等于1. 即对数函数的导数等于1/x与底数的自然对数的倒数的积.8、f(x)=lnx的导数, f'(x)=1/x. 即自然对数函数的导数等于1/x.9、(sinx)'=cosx. 即正弦的导数是余弦.10、(cosx)'=-sinx. 即余弦的导数是正弦的相反数.11、(tanx)'=(secx)^2. 即正切的导数是正割的平方.12、(cotx)'=-(cscx)^2. 即余切的导数是余割平方的相反数.13、(secx)'=secxtanx. 即正割的导数是正割和正切的积.14、(cscx)'=-cscxcotx. 即余割的导数是余割和余切的积的相反数.15、(arcsinx)'=1/根号(1-x^2).16、(arccosx)'=-1/根号(1-x^2).17、(arctanx)'=1/(1+x^2).18、(arccotx)'=-1/(1+x^2).最后是利用四则运算法则、复合函数求导法则以及反函数的求导法则,就可以实现求所有初等函数的导数。
1.2.1基本初等函数的导数公式

x
x
x
x x x x x x
x x x x
1
,
x x x
所以y lim y lim
x x0
x0
1 x x
1. x 2x
探究点2 基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)=c(c为常数),则 f ' (x) = 0 ; (2)若f(x)=xa (a∈Q*),则 f ' (x) = x1 ; (3)若f(x)=sin x,则 f ' (x) = cos x ; (4)若f(x)= cos x,则 f ' (x) = -sin x ; (5)若f(x)=ax,则 f ' (x) = axln a ;
(6)若f(x)=ex,则f′(x)=__e__x_;
1 (7)若f(x)=logax,则f′(x)=__x_l_n_a__;
1 (8)若f(x)=ln x,则f ′(x)=___x___.
解:由导数公式:p '(t) 1.05t ln1.05 所以p '(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元/年)
【总结提升】
(1)用导数的定义求导是求导数的基本方法, 但运算较繁.利用常用函数的导数公式,可以 简化求导过程,降低运算难度. (2)利用导数公式求导,应根据所给问题的特 征,恰当地选择求导公式,将题中函数的结构 进行调整.如将根式、分式转化为指数式,利 用幂函数的求导公式求导.
【总结提升】
(3) f ( x) ex x,则f '( x)等于 _e_x_+__1_;
f(' 1)等于 _e__+_1__
(4)曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n等于__3__.
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

第一章 导数及其应用
[解] ∵p0=1,∴p(t)=(1+5%)t=1.05t.
根据基本初等函数的导数公式表,有p′(t)=(1.05t)′=
1.05t·ln1.05. ∴p′(10)=1.0510·ln1.05≈0.08(元/年). 因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/ 年的速度上涨.
[点拨] 在第10个年头,商品的价格上涨的速度,即
(2)若f(x)=xn,则f′(x)=②________. (3)若f(x)=sin x,则f′(x)=③________. (4)若f(x)=cos x,则f′(x)=④________. (5)若f(x)=ax,则f′(x)=⑤________.
(6)若f(x)=ex,则f′(x)=⑥________.
第一章 导数及其应用
[分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后 再求导两种方法,要注意正确区分.
[解]
(1)y′=(tanx)′=(
sinx cosx
)′=
(sinx)′cosx-sinx(cosx)′ cos2x+sin2x 1 = (cosx)2 =cos2x. (cosx)2 (2)y′=(3x2+x· cosx)′=(3x2)′+(x· cosx)′=6x+ x′· cosx+x· (cosx)′=6x+cosx-xsinx. x x 1 2 (3)y′=[( x-2) -sin 2 · 2 ]′=[( x-2) ]′-( 2 cos
3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件

[解] (1)y′=12x3-6x2-18x,y′|x=1=-12, 所以曲线过点(1,-4)的切线斜率为-12, 所以所求切线方程为 y+4=-12(x-1), 即 y=-12x+8.
=6x3-4x2+9x-6, ∴y′=18x2-8x+9.
(3)解法一:y′=(xx+-11)′ =x-1′x+1x+-1x2-1x+1′ =x+1x+-1x2-1=x+212. 解法二:∵y=xx-+11=x+x+1-1 2=1-x+2 1,
∴y′=(1-x+2 1)′=(-x+2 1)′ =-2′x+1x+-122x+1′=x+212.
(8)若 f(x)=lnx,则 f′(x)=___x_____.
2.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′=__f′___x__g__x_+___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)-f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题,先假设存在,通过推理、计 算,看能否得出正确的结果,然后下结论,本题的难点在于 对式子的恒等变形.
练 3 在曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中,求斜率最 小的切线方程.
[解] y′=3x2+6x+6=3(x+1)2+3,∴当 x=-1 时, 切线的斜率最小,最小斜率为 3,此时,y=(-1)3+3×(- 1)2+6×(-1)-10=-14,切点为(-1,-14).∴切线方程 为 y+14=3(x+1),即 3x-y-11=0.
导数的基本公式14个推导

导数的基本公式14个推导导数是微积分中的一个重要概念,它描述了函数在某一点的变化率。
导数的基本公式有14个,它们可以通过推导得出。
在本文中,我们将简要介绍这些基本公式。
1. 常数函数的导数:对于任何常数c,常数函数f(x) = c的导数为0。
这是因为常数函数的斜率为零,即在任何点上它的变化率都为零。
2. 幂函数的导数:对于幂函数f(x) = x^n(其中n是常数),它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
这可以通过使用极限和基本的代数运算法则来推导。
3. 指数函数的导数:指数函数f(x) = e^x的导数为f'(x) = e^x。
这个公式的推导中需要使用指数函数的定义和一些性质。
4. 对数函数的导数:对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) =1/x。
这个公式可以通过使用指数函数的导数和链式法则来推导。
5. 三角函数的导数:三角函数(包括正弦、余弦和正切函数)的导数可按照以下规律推导得出:- 正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数f(x) = cos(x)的导数为f'(x) = -sin(x)。
- 正切函数f(x) = tan(x)的导数为f'(x) = sec^2(x)。
其中sec(x)表示secant函数,它是余弦函数的倒数。
6. 反三角函数的导数:反三角函数是三角函数的反函数,其导数可以按照以下规律推导得出:- 反正弦函数f(x) = arcsin(x)的导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
- 反余弦函数f(x) = arccos(x)的导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
- 反正切函数f(x) = arctan(x)的导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
7. 基本初等函数的求导规则:基本初等函数是由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数通过有限次的四则运算和复合运算(即求导运算)得到的函数。
基本初等函数的导数公式的推导过程

基本初等函数的导数公式推导过程、幂函数f x Q* )的导数公式推导过程命题若 f X x ( C*),则 f推导过程f x x f x limx 0x x x lim0xX0 11 2C x C x x C x lim0xX0 11 2 22C x x C x x C x x L C x lim0xXC1 x 1 x C2 x 2 x2 L C x limx 01 1 2lim C x C xx 0C1x 11x所以原命题得证.、正弦函数f x sinx的导数公式推导过程sin x limx 0 x sin x推导过程f xsin xcos x cosxsin x sin x lim x 0cosxsin x sin xcos x sin x lim x 0cosxsin x sinx cos x 1所以f lim cos x 0cosx sinx 1 2sin 2丄2lim x 0 2sin * x cosxcos-^2 22sin xsin2」2l l m0 2sin」cosxcos-^ sinxsin」2 2 2l l m0x 2sin cos2l l m0 cosx sin 20 时,sin2 2,所以此时x sin -2三、余弦函数f x cosx的导数公式推导过程cos x lim x 0x cosx l I m 0 l i m 0 2sin宁 x sin cosx 2 x . cos sinx 2l i m 0 2sin »sinx sin - 2l i m o sinsin xsin x四、指数函数 a * x ( a >0,且a 1)的导数公式推导过程推导过程f xf x x limx 0cosxcos x sinxsin x cosx limx 0cosxcos x cosx sinxsin x limx 0 cosx cos x 1 sinxsin x2sin 2丄cosx 2sin 丄 sin xcos-^ 2 2 2lim x 0 cosx 1 2sin 2—1 sinx 21,则 a x t 1,即x log a.且当x 0时,aU mt lOg a t 1lim t 01^lOg a t 1U m1 lOg a t 1「若 f x a x( a >0,且 a 1),贝U f x a x lna .f x x limx 0xx x x a a limx 0 xx x x a a a limx 0limx I0 .所以原极限可以表示为:1又因为lim t 1 e,所以t 01log a ex ln a a -lne a x ln a五、对数函数f x log a x ( a >0,且a 1 , x >0)的导数公式推导过程命题1 若 fx log a x ( a >0,且 a 1, x >0 ),贝U f x ----------------------------------x l n a 推导过程 f xf x x f x limx 0lim log a 1t 0x1又因为呵1 t : e ,所以1 , 1 lne 1lo g a e lim x 0log a X x xlog a x1 x xlim log a x 0x x1 1 x xlim xlog a x 0 x x x1 x x x lim — log ax 0 x x x1 x ,x x lim logx 0x x x x1 x x X lim log a x 0x xx1 x Xlim log a 1x 0 x x令t x 且当 x 0 时,t xf x0 •所以原极限可以表示为:x x ln a xln a 所以原命题得证.limx 0limx 0。
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基本初等函数的导数公式推导过程
一、幂函数()f x x α=(α∈Q *)的导数公式推导过程
命题
若()f x x α=(α∈Q *),则()1f x x αα-'=. 推导过程
()f x '
()()()()()()000112220011222011222011220
lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x
x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x αα
αααααα
αααααααααααααααααα
ααααααα∆→∆→--∆→--∆→--∆→--∆→+∆-=∆+∆-=∆+∆+∆++∆-=∆-+∆+∆++∆=∆∆+∆++∆=∆=+∆++()11
11
C x x
x ααααααα---∆== 所以原命题得证.
二、正弦函数()sin f x x =的导数公式推导过程 命题
推导过程
()f x '
()()
()()()()0000020lim
sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆∆+∆-=∆∆+∆-=∆∆+∆-=∆∆∆⎡∆⎤⎛⎫⎛⎫⋅+⋅-- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦=2
00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x ∆→∆→∆→∆→⎥∆∆∆∆⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=∆∆∆∆⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=∆∆∆⎛⎫+ ⎪⎝⎭=∆∆⎡⎤⎢⎥∆⎛⎫=+⋅⎢⎥ ⎪∆⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 当0x ∆→时,sin 22
x x ∆∆=,所以此时sin
212x
x ∆=∆. 所以()0lim cos cos 2x x f x x x ∆→∆⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭
,所以原命题得证. 三、余弦函数()cos f x x =的导数公式推导过程
命题
推导过程
()f x '
()()
()()()()0000020lim
cos cos lim cos cos sin sin cos lim cos cos cos sin sin lim cos cos 1sin sin lim cos 12sin 1sin 2sin cos 222lim x x x x x x f x x f x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆∆-∆-=∆∆--∆=∆∆--∆=∆⎡∆⎤∆∆⎛⎫⎛⎫⋅---⋅ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=()
2000002sin cos 2sin sin cos 222lim 2sin sin cos cos sin 222lim 2sin sin 22lim sin 2lim sin 22lim sin 2sin si x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→⎪∆∆∆∆⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭=∆∆∆∆⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=∆∆∆⎛⎫- ⎪⎝⎭=∆∆⎡⎤⎢⎥∆⎛⎫=-⋅⎢⎥ ⎪∆⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∆⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-=-n x
所以原命题得证.
四、指数函数()x f x a =(a >0,且1a ≠)的导数公式推导过程
命题
若()x f x a =(a >0,且1a ≠),则()ln x f x a a '=. 推导过程
()f x '
()()0000lim lim lim 1lim x x x x
x x x x
x x x x f x x f x x
a a x a a a x
a a x ∆→+∆∆→∆∆→∆∆→+∆-=∆-=∆⋅-=∆⎛⎫-=⋅ ⎪∆⎝⎭
令1x t a ∆=-,则1x a t ∆=+,即()log 1a x t ∆=+.且当0x ∆→时,
1x a ∆→,10x a ∆-→,即0t →.所以原极限可以表示为: ()f x '
()()()0010lim log 11lim 1log 11lim log 1x t a x t a x t t a t a t a t t a t →→→⎡⎤=⋅⎢⎥+⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
又因为()10lim 1e t
t t →+=,所以 ()f x '
1log e ln lne
ln x a x x a a a a a
=⋅
=⋅= 所以原命题得证.
五、对数函数()log a f x x =(a >0,且1a ≠,x >0)
的导数公式推导过程
命题
若()log a f x x =(a >0,且1a ≠,x >0),则()1ln f x x a '=. 推导过程
()f x '
()()()000000lim
log log lim 1lim log 11lim log 1lim log 1lim log lim x a a x a x a x a x a x x f x x f x x
x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆⎡+∆⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣⎦⎡+∆⎤⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡+∆⎤⎛⎫=⋅ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣
⎦⎧⎫⎡+∆⎤⎛⎫=⋅⎨⎬ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣⎦⎩
⎭=001log 1lim log 1x x a x x a x x x x x x x x ∆∆∆→⎡⎤+∆⎛⎫⎢⎥
⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎡⎤∆⎛⎫⎢⎥
=⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 令x t x
∆=.且当0x ∆→时,0t →.所以原极限可以表示为: ()f x '
()101lim log 1t a t t x →⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦
又因为()10lim 1e t
t t →+=,所以 ()f x '11lne 1log e ln ln a x x a x a =⋅=⋅= 所以原命题得证.。