两个基本计数原理(加法原理和乘法原理)ppt课件精选ppt
两个基本计数原理PPT优秀课件2
了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强
项专业，具体情况如下： A大学
解：选择一个专业可以有2类 生物学
B大学 数学
方法：第1类是从A大学选，有 化学
会计学
5种方法，第2类是从B大学选， 医学
有4种方法。根据分类加法计
数原理，共有
物理学
信息技术学 法学
N=m1+m2=5+4=9(种）
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
上海
b1 b2 b4 b3
b5
b6
按交通工具分类 第1类 6种
第2类 2种
a1
a2 共 6+2= 8种
枣庄
（一）分类加法计数原理：
完成一件事，有两类不同方案
在第一类方案中有m种不同的方法，
在第二类方案中有n种不同的方法。
那么完成这件事共有
( N=m+n
)
种不同的方法。
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
少种不同的挂法？
解：从3副画中选出2副分别挂在左、右墙上，可以分2 步来完成： 第1步，选挂在左墙上的，有3种方法， 第2步, 选挂在右墙上的，有2种方法。 根据分步乘法计数原理，共有
N=m1×m2 = 3×2 = 6（种）
计数原理-完整版课件
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
《两个计数原理》课件
概率计算问题
概率的基本性质
概率具有非负性、规范性、可加性等基本性质，用于描述随机事件发生的可能性。
概率计算方法
通过列举法、古典概型、几何概型等方法计算概率。
分步计数原理在概率计算问题中的应用
将复杂事件分解为若干个简单事件的组合，利用分步计数原理计算每个简单事件发生的概率，然后根据 概率的加法原则和乘法原则计算出复杂事件发生的概率。
04
两个计数原理的实例分析
排列组合实例
总结词
通过具体实例，理解排列与组合的概念及计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如不同颜色球的不同排列方式、不同组合的彩票中奖 概率等，来解释排列与组合的基本概念，以及如何使用计数原理进行计算。
概率计算实例
总结词
通过实例掌握概率计算的基本方 法。
详细描述
选择分步计数原理
当问题涉及多个独立步骤，且需要按照顺序逐步计算每一步 的数量时，应选择分步计数原理。例如，计算排列数时，需 要按照顺序计算从n个不同元素中取出k个元素的所有排列数 。
THANK YOU
感谢聆听
05
总结与思考
两个计数原理的异同点
相同点
两个计数原理都是用来解决计数问题，特别是涉及多个独立事件 的问题。
不同点
分类计数原理是针对完成某一任务的不同方式进行计数，而分步 计数原理则是针对完成某一任务的不同步骤进行计数。
两个计数原理的应用范围
分类计数原理
适用于问题涉及多种独立的方式或方法，需要分别计算每一种方式或方法的数量 ，然后求和得到总数。
分步计数原理的适用范围是：当完成 一个任务时，需要分成几个有序的步 骤，并且各个步骤之间有相互影响。
两个计数原理的对比
计数原理
第一章．计数原理一．两个基本计数原理分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…..在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+….mn种不同的方法。
分布计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1个有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，….做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+….+mn种不同的方法。
二．排列一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。
排列数三．组合一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合数㈠简单问题直接法例一．某班级有男生40人，女生20人，⑴从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？60⑵从中任选男女各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？800例二．五名学生报名参加思想体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？1024例三．七个人做两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，有多少种不同的坐法？5040㈡相邻问题捆绑法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法720⑵若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，则有多少种排法288㈢不相邻问题插空法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要互不相邻，有多少种排法1440⑵若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种排法144例二．8张椅子排成一排，有四个人就坐，每个人一个座位，恰有3个连续的空位的做法共有几种480例三．5名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有几种例四．七人排成一排，甲乙两人必须相邻，且甲乙都不与丙相邻，则有不同的排法几种？960㈣特殊元素或特殊位置的优先考虑例一．4个男生，3个女生排队，⑴甲不站中间也不站两端，共有多少种排法？2880⑵甲乙中间至少有2个人，有多少种排法2400⑶甲必须在已的右边，有多少种排法2520例二．从6人中选出4人分别到莨山，韶山，衡山，张家界4个旅游景点游览，要求每个景点只有一人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲不去衡山景点，乙不去韶山景点，则不同的安排方法有几种252例三．从6名运动员中选出4人参加4*100米接力，⑴若甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则有多少种排法252⑵若甲乙都不跑第一棒，则有多少种排法240⑶若甲乙不跑中间两棒，则有多少种排法144例四．将五列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道，b列车不停在第二轨道，那么不同的停车方法有几种78例五．要排出某一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术，6门课各一节的课程表，要求数学课排在前三节，英语课不排在第六节，则不同的排法有几种？288㈤涂色问题例一．在矩形的绿地四角各方一盆花，现有6种不同颜色的花，若要求同一边的两端摆放不同的颜色，则不同的摆放方式有多少种630例二．将三种作物种在5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法有多少种□□□□□42例三．在田字格中用四种颜色涂，要求相邻的格子颜色不能相同，有多少种不同的涂法㈥几何问题例一．平面内有12个点，任何3点不在同一直线上，以每3点为顶点画一个三角形，一共可画多少个三角形220例二．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得到多少个不同的三角形216例三．∠A的两条边除A点分别有3给点和四个点，则有这些点，共能构成多少个不同的三角形42例四．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作为三角形，其中直角三角形有多少个？48例五．共有11层台阶，一个人可以一次走一个台阶或两个台阶，⑴若他恰在第七步走完，共可以有多少种走法35⑵若他要在7步内走完，共可以有多少种走法41例六．甲乙丙3人到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上得人不区分站的位置，则不同的站法有几种？例七．某市有7条南北向街道，5条东西向街道，⑴图中共有多少个矩形210⑵从A点到B点最短路线的走法有多少种？210㈦分组分配例一．对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现，则这样的测试方法有几种可能576例二．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案有几种？90例三．从7名男运动员和5名女运动员中，选出4名进行男女混合双打乒乓球比赛，则不同的配组方法有几种420例四．共有8个人，其中6个人会英语，有5个人会法语，现从中选出6个人，3个人翻译英语，3个人翻译法语，共有多少种可能？55例五．若7个人身高都不同，从中取出6人，站成2排，每排3人，要求每一列前排比后排的人矮，共有几种站法？630㈦至多至少恰好间接法例一．袋中有5双不同的鞋子，从中取出4只⑴恰好有2双，共有几种可能？10⑵恰好有2只成双，共有几种可能120⑶至少有2只成双，有几种可能130⑷每只都不成双，有几种可能？80例二．将7名学生分配到甲乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方式有几种？112例三．设有编号12345的五个球和编号为12345的五个盒子，现将五个球放入盒子内，要求每个盒子内放一个球，⑴若恰有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法有几种20⑵若至多有两个球的编号与盒子相同，则这样的投放方法有多少种？109三个人站成一排，要调整位置，每个人都不站在自己的位置上，有2种方法。
两个计数原理PPT优秀课件1
答：最多可以给1053个程序命名。
例3.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表 示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成，那么能有多少种不同的RNA分子？
例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9， 问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步， 选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关， 分步乘法计数原理与分步有关。
分类计数原理
区别1 完成一件事，共有n类 办法，关键词“分类”
分步计数原理
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 区别2 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。 区别3
100 4 4 4 4 ＝ 4 种不同的RNA分子. 100 个 4
例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计 算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一 个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位，每个字节由８个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个 汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用 多少个字节表示？ 如00000000，10000000， 11111111.
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们的日常生活和数学学习中，经常会遇到需要计算各种可能性和数量的情况。
而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，为我们解决这些问题提供了重要的方法和思路。
让我们先来了解一下加法原理。
想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路线可以选择，分别是路线 1、路线 2 和路线 3。
那么，你从 A 地到 B 地一共有多少种走法呢？答案很简单，就是这三条路线的总和，也就是 3 种。
这就是加法原理的一个简单例子。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
再来看一个稍微复杂一点的例子。
假设你周末想去图书馆看书，图书馆有数学、语文、英语、历史和地理这五类书籍。
你决定只看一本，那么你有多少种选择呢？这里，因为你只能选择其中的一类书籍，而每一类书籍都算是一种选择，所以总的选择方法就是这五类书籍的总和，即 5 种。
接下来，我们说一说乘法原理。
假如你要从 A 地去 C 地，但是中间必须经过 B 地。
从 A 地到 B 地有 2 条路可以走，从 B 地到 C 地有 3条路可以走。
那么，从 A 地经过 B 地到 C 地一共有多少种走法呢？答案是 2×3 ＝ 6 种。
这就是乘法原理的体现。
乘法原理是指，如果完成一件事情需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
为了更好地理解乘法原理，我们再举一个例子。
你要参加一个活动，需要选择一套服装。
上衣有 3 种款式，裤子有 2 种款式。
《基本计数原理》课件
分布乘法计数原理的公式为
$n(A) = n(A_1) times n(A_2 | A_1) times n(A_3 | A_1, A_2) times ldots$
分布乘法计数原理的实例
假设有一个班级有30名学生，其中10名是男生，20名是女生。现在要选择一个 由3名学生组成的代表队，要求其中必须有1名男生和2名女生，问有多少种不同 的选择方式？
分类加法计数原理的数学表达式
$M = |A_1| + |A_2| + ldots + |A_n|$，其中$M$表示完成这件事情的总方法数 ，$|A_i|$表示第$i$个分类的方法数。
分类加法计数原理的实例
分类加法计数原理在排列组合中的应用
在排列组合中，分类加法计数原理常用于计算不同元素分组的方法数。例如，计算从$n$个不同元素中取出$k$ 个元素（不考虑顺序）的分组方法数，可以按照元素的性质进行分类，然后利用分类加法计数原理计算。
统计学
在统计学中，计数原理用于描述和预测数据 分布。
PART 02
分类加法计数原理
分类加法计数原理的概述
分类加法计数原理定义
对于具有两个或多个互斥的分类$A_1, A_2, ldots, A_n$，若完成一件事情，则 该事情可以由$A_1, A_2, ldots, A_n$中的某一类单独完成。因此，完成这件事 情的方法数等于各个分类方法数的和，即$n$个互斥的分类方法数之和。
随机试验
计数原理可以用于分析随机试验中的结果数量，例如在抛硬币试验中，可以用计数原理计算出现正面 的次数。
在组合数学中的应用
排列组合
计数原理是组合数学中的基本原理，可 以用于计算排列和组合的数量。例如， 通过计数原理可以计算从n个不同元素中 取出r个元素的组合数。
两个计数原理优秀课件
分类加法计数原理适用于问题的分类 比较明确且易于操作的情况；分步乘 法计数原理适用于问题的步骤比较清 晰且易于分解的情况。
联系
两个原理都是基于计数原理的基本思 想，即对问题进行分解或分步，然后 对每一部分或每一步进行计数，最后 将结果相加或相乘。
02
Байду номын сангаас
两个计数原理的应用
在排列组合中的应用
排列
在排列组合中，两个计数原理主要用于计算不同元素的排列 方式。具体来说，乘法原理用于计算在固定元素下，其他元 素的排列方式；加法原理则用于计算在元素可重复使用的情 况下，所有可能的排列方式。
02
两个计数原理的应用范 围广泛，包括统计学、 计算机科学、物理学、 生物学等众多领域。
03
两个计数原理有助于人 们更好地理解随机现象 ，预测和控制随机结果 ，为决策提供依据。
未来发展的趋势和展望
随着科技的不断进步，两个计数 原理的应用领域将不断扩大，特 别是在大数据和人工智能领域的
应用将更加广泛。
旅行
在制定旅行计划时，我们需要考虑多种交通工具的选择和行程路线的安排。这时 ，两个计数原理可以帮助我们计算出所有可能的行程组合，以便我们做出最佳的 选择。
03
两个计数原理的实例解析
总结词
排列组合是两个计数原理中的重要内容，通过实例解析可以帮助学生更好地理解。
详细描述
排列组合是组合学中的基本概念，通过实例解析可以帮助学生更好地理解排列组合的概念、性质和计 算方法。例如，在解析“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列”的问题时，可以通过实例解析 让学生理解排列的计算公式和性质，并掌握其应用。
04
两个计数原理的练习题及解 析
基础练习题及解析
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31
问题4：何时用加法原理、乘法原理呢?
加法原理
完成一件事情有n类方法,若每一类方 法中的任何一种方法均能将这件事情 从头至尾完成.
分类要做到“不重不漏”
乘法原理
完成一件事情有n个步骤,若每一步的 任何一种方法只能完成这件事的一部 分,并且必须且只需完成互相独立的 这n步后,才能完成这件事.
B
……
mn
乘法原理看成“串联电路”
A m1
B m2 …... mn
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28
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练习
如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到
丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地
到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的
走法？
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学案P47-s4
29
解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14
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学案P46-1
8
练习 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多 少种不同的挂法?
分 左边
两 步
甲
完
成乙
右边 乙 丙 甲 丙
第一步 第二步 3×2
甲
丙
乙
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9
例 2．解下列各题： (1) 要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上
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1
两个基本计数原理
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2
问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路，某人 要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有 2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同 的走法 ？
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3
问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路， 某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
种不同的走法。
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30
问题3：加法原理和乘法原理的共同点是什么？ 不同点什么？
加法原理
乘法原理
相同点
它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同 的方法
方式的不同
不 分类完成
分步完成
同
任何一类办法中的任 这些方法需要分步,各 何一个方法都能完成 个步骤顺次相依,且每
点 这件事
一步都完成了,才能完 成这件事情
甲地
乙地
丙地
这个问题与前一个问题不同．在这个问题中， 必须经过先从甲地到乙地、再从乙地到丙地两个步 骤，才能从甲地到丙地．
因为从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地有 2种走法，所以从甲地到丙地，共有不同的走法：
3×2＝6 （种）．
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二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。
做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法， 则完成这件事共有
A
B
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12
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13
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15
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说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
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5
问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有 2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同 的走法 ？
说明 N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
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7
例1.书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3 本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
日班和晚班，有多少种不同的选法？
(2) 有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛， 每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
(3) 有 4 名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军， 你有多少种不同的结果？（每个科目冠军只有 一人）
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学案P46-2
10
该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？
甲地
公路1 公路2 公路3
铁路1 铁路2
乙地
因为每一种走法都能完成从甲地到乙地这件 事，有3条公路，2条铁路，所以共有：
3＋2＝5 （种）
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4
一、分类计数原理 完成一件事，有n类办法.
在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类方法中有m2种不同的方法，……， 在第n类方法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有 :
(1)从书架中取1本书,有多少种不同取法? 有3类方法,根据分类加法计数原理 N=4+3+2=9
(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法? 分3步完成,根据分步乘法计数原理 N=4×3×2=24
解题关键：从总体上看做这件事情是“分类完成”,还 是“分步完成”.再根据其对应的计数原理计算.
实际问题
世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分 成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按 确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军， 此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多 少场比赛？前4名有多少不同的结果？
要回答这个问题，就要用到排列、组合的知 识．在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计 数原理与分步计数原理．
分类完成
分步完成
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解: 从总体上看由A到B的通电线路可分二类, 第一类, m1 = 4 条 第二类, m3 = 2×2 = 4, 条
所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N = 4 + 4 = 8 条不同的线路可通电.
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点评:
加法原理看成“并联电路”;
m1
A
m2
分步要做到“步骤完整”
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32
练习：
三个比赛项目，六人报名参加。 １）每人参加一项有多少种不同的方法？36 729 ２）每项１人，且每人至多参加一项，有多
少种不同的方法？ 654120