剪力弯矩与分布荷载集间的关系
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§4–5 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 (relationships between load,shear force,and bending moment)
一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系(differential relationships between load, shear force, and bending moment)
例题1 ：一简支梁受两个力F 作用，如图 a 所示。已知 F= 25.3kN，有关尺寸如图所示。试用本节所述关系作此梁的剪力 图和弯矩图。
RA
F
A C
F
RB
B D
200
115
1265
解：1）、求梁的支反力
RA 23.6KΝ
RB 27 KN
RA F
A C
F
RB
B D
200
115
1265
将梁分为 AC，CD，DB 三段。每一段均属无载荷区段。
Fs(x)
M(x)
o
x
dFs(x) = q(x)
dx
dM(x) = Fs(x)
dx d2M(x)
= q(x) d2x
2、梁上无荷载区段，即 q(x) = 0 剪力图为一条水平直线 弯矩图为一斜直线
当 Fs(x) > 0 时，向右上方倾斜。 当 Fs(x) < 0 时，向右下方倾斜。
Fs(x)
o
M(x)
向下的均布 荷载
q<0
无荷载
集中力
F C
集中力偶 m C
剪力图的特征 向下倾斜的 直线
水平直线
在C处有突变
在C处无变化 C
弯矩图的特征 上凸的二次 抛物线
最大弯矩所在
截面的可能位 置
在Fs=0的截 面
一般斜直线 或
在C处有突变 在C处有转折
m
在剪力突变 在紧靠C的某
的截面
一侧截面
三、分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系 (integral relationships between load, shear force, and bending moment)
x
o
x
o
dFs(x) = q(x)
dx dM(x)
= Fs(x) dx d2M(x)
= q(x) d2x
M(x)
3、梁上最大弯矩 Mmax可能 发生在Fs(x) = 0 的截面上; 或 发生在集中力所在的截面上； 或集中力偶作用处；
最大剪力可能发生在集 中力所在的截面上；或分布 载荷发生变化的区段上。
115
1265
23.6
1.7 27
2、剪力图
AC段 ：水平直线 FsA右 = RA = 80 KN
CD段： 向右下方的斜直线
FsC RA 80KN FsD RB 80KN
DB段 ：水平直线
FsB左 RB 80KN FsB右 0
RA
q
RB
A
B
C
E
D
0.2
1.6
1
2
80KN
80KN
最大剪力发生在 AC 和 DB 段的任一横截面上。
等号右边积分的几何意义是，上述 A， B 两横截面间 分布荷载图的面积。
dM (x) Fs(x) dx
若横截面 A，B 间无集中力偶作用则得
MBaidu Nhomakorabea
B
M
A
b
a
Fs ( x)dx
式中，MA，MB 分别为在 x = a , x = b 处两个横截面 A 及 B 上的弯矩。
等号右边积分的几何意义是，A，B 两个横截面间 剪力图的面积。
y
m
n
m
n
q(x)
x dx
Fm x
m
Fs(x)
M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n Fs(x)+dFs(x)
写出平衡方程
m
Fs(x)
Y= 0
M(x)
Fs(x) - [Fs(x)+dFs(x)] + q(x)dx = 0
n
M(x)+dM(x)
C
得到
dFs(x) = q(x)
dx
m
q(x)
n Fs(x)+dFs(x)
设梁上作用有任意分布荷载
其集度
y
q = q(x)
规定：q(x)向上为正。
将 x 轴的坐标原点取在
q(x)
梁的左端。
Fm x
假想地用坐标为 x 和 x+dx的 两横截面 m-m 和 n-n 从梁 中取出 dx 一段。
m-m截面上内力为 Fs(x) ,M(x) x+dx 截面处 则分别为 Fs(x)+dFs(x) , M(x)+dM(x) 。 由于dx很小，略去q(x) 沿dx的变化
二、q(x)、Fs(x)图、 M（x）图三者间的关系 (relationships between load,shear force,and bending moment diagrams)
1、梁上有向下的均布荷载，即 q(x) < 0 Fs(x)图为一向右下方倾斜的直线 M(x)图为一向上凸的二次抛物线
RA
q
RB
A
B
C
E
D
Fsmax 80KN (,)
0.2
1.6
1
2
80KN
80KN
3、弯矩图 AC段：向上倾斜的直线
MA0 M C RA 0.2 16KN.m
2、剪力图 每段梁的剪力图均为水平直线 AC段：FsA右 = RA = 23.6KN CD段：Fs C右 = RA - F = -1.7KN DB段：FsD右 = - RB = - 27KN
FsB右 = 0
最大剪力发生在DB段中的 任一横截面上
Fsmax 27KN
RA
F
1
2
A
C
F
RB
3B D
200
dFs(x) q(x) dx
若在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面 A，B 间无集中力则
x2 dFs(x) x2 q(x)dx
x1
x1
Fs( x2
)
Fs(x1 )
x2 x1
q(x)dx
Fs Fs x2
x2 q(x)dx
x1
x1
Fs x2 FsX1
x2 q(x)dx
x1
式中，Fsx1 ，Fsx2 分别为在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面 上的剪力。
Mc 0
[M(x) dM(x) ] - M(x) - Fs(x) dx - q(x)dx dx 0
2
略去二阶无穷小量即得
dM (x) Fs(x) dx
dFs(x) = q(x)
dx dM(x)
= Fs(x) dx
d2M(x) = q(x)
d 2x
公式的几何意义
剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。
4、在集中力作用处剪力图有
突变，其突变值等于集中
力的值。弯矩图有转折。
dFs(x) = q(x)
dx
dM(x) = Fs(x)
dx d2M(x)
= q(x) d2x
5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶 的值，但剪力图无变化。
表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
一段梁上 的外力情 况
一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系(differential relationships between load, shear force, and bending moment)
例题1 ：一简支梁受两个力F 作用，如图 a 所示。已知 F= 25.3kN，有关尺寸如图所示。试用本节所述关系作此梁的剪力 图和弯矩图。
RA
F
A C
F
RB
B D
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解：1）、求梁的支反力
RA 23.6KΝ
RB 27 KN
RA F
A C
F
RB
B D
200
115
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将梁分为 AC，CD，DB 三段。每一段均属无载荷区段。
Fs(x)
M(x)
o
x
dFs(x) = q(x)
dx
dM(x) = Fs(x)
dx d2M(x)
= q(x) d2x
2、梁上无荷载区段，即 q(x) = 0 剪力图为一条水平直线 弯矩图为一斜直线
当 Fs(x) > 0 时，向右上方倾斜。 当 Fs(x) < 0 时，向右下方倾斜。
Fs(x)
o
M(x)
向下的均布 荷载
q<0
无荷载
集中力
F C
集中力偶 m C
剪力图的特征 向下倾斜的 直线
水平直线
在C处有突变
在C处无变化 C
弯矩图的特征 上凸的二次 抛物线
最大弯矩所在
截面的可能位 置
在Fs=0的截 面
一般斜直线 或
在C处有突变 在C处有转折
m
在剪力突变 在紧靠C的某
的截面
一侧截面
三、分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系 (integral relationships between load, shear force, and bending moment)
x
o
x
o
dFs(x) = q(x)
dx dM(x)
= Fs(x) dx d2M(x)
= q(x) d2x
M(x)
3、梁上最大弯矩 Mmax可能 发生在Fs(x) = 0 的截面上; 或 发生在集中力所在的截面上； 或集中力偶作用处；
最大剪力可能发生在集 中力所在的截面上；或分布 载荷发生变化的区段上。
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23.6
1.7 27
2、剪力图
AC段 ：水平直线 FsA右 = RA = 80 KN
CD段： 向右下方的斜直线
FsC RA 80KN FsD RB 80KN
DB段 ：水平直线
FsB左 RB 80KN FsB右 0
RA
q
RB
A
B
C
E
D
0.2
1.6
1
2
80KN
80KN
最大剪力发生在 AC 和 DB 段的任一横截面上。
等号右边积分的几何意义是，上述 A， B 两横截面间 分布荷载图的面积。
dM (x) Fs(x) dx
若横截面 A，B 间无集中力偶作用则得
MBaidu Nhomakorabea
B
M
A
b
a
Fs ( x)dx
式中，MA，MB 分别为在 x = a , x = b 处两个横截面 A 及 B 上的弯矩。
等号右边积分的几何意义是，A，B 两个横截面间 剪力图的面积。
y
m
n
m
n
q(x)
x dx
Fm x
m
Fs(x)
M(x)
n
M(x)+dM(x)
C
m
q(x)
n Fs(x)+dFs(x)
写出平衡方程
m
Fs(x)
Y= 0
M(x)
Fs(x) - [Fs(x)+dFs(x)] + q(x)dx = 0
n
M(x)+dM(x)
C
得到
dFs(x) = q(x)
dx
m
q(x)
n Fs(x)+dFs(x)
设梁上作用有任意分布荷载
其集度
y
q = q(x)
规定：q(x)向上为正。
将 x 轴的坐标原点取在
q(x)
梁的左端。
Fm x
假想地用坐标为 x 和 x+dx的 两横截面 m-m 和 n-n 从梁 中取出 dx 一段。
m-m截面上内力为 Fs(x) ,M(x) x+dx 截面处 则分别为 Fs(x)+dFs(x) , M(x)+dM(x) 。 由于dx很小，略去q(x) 沿dx的变化
二、q(x)、Fs(x)图、 M（x）图三者间的关系 (relationships between load,shear force,and bending moment diagrams)
1、梁上有向下的均布荷载，即 q(x) < 0 Fs(x)图为一向右下方倾斜的直线 M(x)图为一向上凸的二次抛物线
RA
q
RB
A
B
C
E
D
Fsmax 80KN (,)
0.2
1.6
1
2
80KN
80KN
3、弯矩图 AC段：向上倾斜的直线
MA0 M C RA 0.2 16KN.m
2、剪力图 每段梁的剪力图均为水平直线 AC段：FsA右 = RA = 23.6KN CD段：Fs C右 = RA - F = -1.7KN DB段：FsD右 = - RB = - 27KN
FsB右 = 0
最大剪力发生在DB段中的 任一横截面上
Fsmax 27KN
RA
F
1
2
A
C
F
RB
3B D
200
dFs(x) q(x) dx
若在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面 A，B 间无集中力则
x2 dFs(x) x2 q(x)dx
x1
x1
Fs( x2
)
Fs(x1 )
x2 x1
q(x)dx
Fs Fs x2
x2 q(x)dx
x1
x1
Fs x2 FsX1
x2 q(x)dx
x1
式中，Fsx1 ，Fsx2 分别为在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面 上的剪力。
Mc 0
[M(x) dM(x) ] - M(x) - Fs(x) dx - q(x)dx dx 0
2
略去二阶无穷小量即得
dM (x) Fs(x) dx
dFs(x) = q(x)
dx dM(x)
= Fs(x) dx
d2M(x) = q(x)
d 2x
公式的几何意义
剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。
4、在集中力作用处剪力图有
突变，其突变值等于集中
力的值。弯矩图有转折。
dFs(x) = q(x)
dx
dM(x) = Fs(x)
dx d2M(x)
= q(x) d2x
5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶 的值，但剪力图无变化。
表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
一段梁上 的外力情 况