搜索与或图搜索实例算法
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AI03-2与或图搜索
E H 5 4
F I
G
反向更新代价 g(E)=5, g(D)=9, g(Q0)=10 g(I)=0, g(F)=1, g(D)=8, g(Q0)=9
3.3.3 启发式与或树搜索
例 3.18
A D Q0
B
C K L
E H 5 4
F I
J
G
反向更新代价 g(J)=0, g(K)=0, g(B)=2, g(A)=7, g(Q0)=8 g(L)=0, g(C)=1, g(A)=5, g(Q0)=6
Q21 Q22 Q23
Q’21 Q’22 Q’23
3.3.1 与或图
与或图/与或树
n0 n1 n2 n4 初始节点
n3
n5
n6
n8 目标 n7 目标
3.3.1 与或图
问题求解
状态图/或图
一个问题可以有几种求解方法 只要其中一种方法可以求解问题，则该问题被求解，方法之 间是"或"的关系
与图：
在用一种方法求解时，又可能需要求解几个子问题 这些子问题必须全部求解，才可能用该方法求解原始问题， 这些子问题之间是"与"的关系
3.3.3 启发式与或树搜索
例 3.18
A D Q0
B 3 3
C
E 3 2
F
左局部树： g(B)=3, g(C)=3, g(A)=8, g(Q0)=9 右局部树： g(E)=3, g(F)=2, g(D)=7, g(Q0)=8
希望树
3.3.3 启发式与或树搜索
例 3.18
A D Q0
B 3 3
C
3.3.3 启发式与或树搜索
例 3.18
A √ D √ √ K √ C √ L E H 5 4 F I Q0 √
人工智能第4章图搜索技术
OPEN表的首部，转步2。
例4.4 对于八数码问题，应用
深度优先搜索策略，可得如图4—
6所示的搜索树。
283
深度优先搜索亦称为纵向搜 1 4 765
索。由于一个有解的问题树可能
含有无穷分枝，深度优先搜索如
果误入无穷分枝(即深度无限,但
解不在该分支内)，则不可能找到
目标节点。所以，深度优先搜索
策略是不完备的。另外，应用此
例4.6 设A城是出发地，E城是目的地，边上的数字代表 两城之间的交通费。试求从A到E最小费用的旅行路线。
B 4
6
A
3
4
A
E
C 3
D1
3
4
D2 23
E1 3
C
D
2
(a)
E2
B2 6
深度优先搜索算法：
步1 把初始节点S0放入OPEN表中； 步2 若OPEN表为空，则搜索失败，退出。
步3 取OPEN表头节点N放入CLOSED表中，并冠以顺序编号n；
步4 若目标节点Sg=N，则搜索成功，结束。 步5 若N不可扩展，则转步2； 步6 扩展N，将其所有子节点配上指向N的返回指针依次放入
2831 14 765
第4章 图搜索技术
2 283
14 765
6 83
214 765
7 283 714 65
14 83 214 765
15 283 714 65
22 83 214 765
23 813 24 765
3 23 184 765
8 23
1 84 7 65
9 23 184 765
16 1 23
第4章 图搜索技术
步1 把S0放入OPEN表中，置S0的深度d(S0)=0； 步2 若OPEN表为空，则失败，退出。 步3 取OPEN表头节点N，放入CLOSED表中，并 冠以顺序编号n； 步4 若目标节点Sg=N，则成功，结束。 步5 若N的深度d(N)=dm(深度限制值)，或者若N无 子节点，则转步2； 步6 扩展N，将其所有子节点Ni配上指向N的返回 指针后依次放入OPEN表中前部，置d(Ni)=d(N)+1，转 步2。
例4.4 对于八数码问题，应用
深度优先搜索策略，可得如图4—
6所示的搜索树。
283
深度优先搜索亦称为纵向搜 1 4 765
索。由于一个有解的问题树可能
含有无穷分枝，深度优先搜索如
果误入无穷分枝(即深度无限,但
解不在该分支内)，则不可能找到
目标节点。所以，深度优先搜索
策略是不完备的。另外，应用此
例4.6 设A城是出发地，E城是目的地，边上的数字代表 两城之间的交通费。试求从A到E最小费用的旅行路线。
B 4
6
A
3
4
A
E
C 3
D1
3
4
D2 23
E1 3
C
D
2
(a)
E2
B2 6
深度优先搜索算法：
步1 把初始节点S0放入OPEN表中； 步2 若OPEN表为空，则搜索失败，退出。
步3 取OPEN表头节点N放入CLOSED表中，并冠以顺序编号n；
步4 若目标节点Sg=N，则搜索成功，结束。 步5 若N不可扩展，则转步2； 步6 扩展N，将其所有子节点配上指向N的返回指针依次放入
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第4章 图搜索技术
2 283
14 765
6 83
214 765
7 283 714 65
14 83 214 765
15 283 714 65
22 83 214 765
23 813 24 765
3 23 184 765
8 23
1 84 7 65
9 23 184 765
16 1 23
第4章 图搜索技术
步1 把S0放入OPEN表中，置S0的深度d(S0)=0； 步2 若OPEN表为空，则失败，退出。 步3 取OPEN表头节点N，放入CLOSED表中，并 冠以顺序编号n； 步4 若目标节点Sg=N，则成功，结束。 步5 若N的深度d(N)=dm(深度限制值)，或者若N无 子节点，则转步2； 步6 扩展N，将其所有子节点Ni配上指向N的返回 指针后依次放入OPEN表中前部，置d(Ni)=d(N)+1，转 步2。
第三章与或图搜索
例2
在边长为2的正方形内，任意放置5个点
，求证其中必存在两个点，它们之间的距
离不大于2。
.
问题可转化为：
.
在四个单位正方形内，
.
任意放置5个点，至少
.
.
有两个点在同一正方形内。
①I 1
III ③ 23 II
②
例3
假定我们已经会求 矩形的面积，现在要 求如图所示的五边形 的面积。
求解步骤：
求五边形面积
– 若干概念
终节点 可解节点 不可解节点 解图 耗散值 最佳解图 可解过程 不可解过程
与或图中某一个节点n到节点集N的一个解图类似于普 通图中的一条解路径。
解图的求法：从节点n开始，正确选择一个外向
连接符，在从该连接符所指的每一个后继节点出
发，继续选一个外向连接符，如此进行下去直到
由此产生的每一个后继节点成为集合N中的一个
MOVE(B,2,3) (3 3 1)
MtOVE(A,1
(2 2 2)
(2 1 3)
(3 1 1)
(3 3 2) (3 3 3)
(2 2 3)
(2 1 1)
(3 1 2)
采用归约法
– 要把所有圆盘移至柱3，必须先把C盘移至 柱3，而在移动C盘至柱3前，柱3必须为空。
– 只有把A、B移至柱2后，才能将C移到柱3。 – 在C移至柱3后，再解决将A、B移至柱3。
P6 BAD BCD DBA= DBC, BAAD, BCCD,
DB, BAD, BCD
DB=DB|T P2
P4 DBA= DBC
BAD= BCD| T
P1
BAD= 90°| BAAD, ... BCD= 90°| BCCD, ...
人工智能之与或图搜索问题
（3,1,1,1,1）
（2,2,1,1,1） 我方必胜
（2,1,1,1,1,1） 30
对于比较复杂的博弈问题，只能模拟人的思维 “向前看几步”，然后作出决策，选择最有利自 己的一步。即只能给出几层走法，然后按照一定 的估算办法，决定走一好招。
31
中国象棋
一盘棋平均走50步，总状态数约为10的161 次方。
(2,2,2,1,MAX)
(2,2,1,1,1,MIN)
(2,1,1,1,1,1,MAX)
注：如果MAX走红箭头的分法，必定获胜。 29
分钱币问题
对方先走
（7）
（6,1） （5,2）
（4,3）
（5,1,1） （4,2,1） （3,2,2）
（3,3,1）
（4,1,1,1） （3,2,1,1） （2,2,2,1）
6
普通图搜索的情况
s
n
f(n) = g(n) + h(n) 对n的评价实际是对从s到n这条路 径的评价
7
与或图: 对局部图的评价
初始节点
c
a b
目标
目标
8
两个过程
图生成过程，即扩展节点
从最优的局部途中选择一个节点扩展
计算耗散值的过程
对当前的局部图从新计算耗散值
9
n1 n3 n6
n7 目标
44
步2
Open为空，即已经扩展完节点
5、若CLOSED表为空，则转8；否则取出
CLOSED表中的第一个节点，记为 np；
45
6、若 np 属于MAX层，且对于它的属于MIN层
的子节点 nci 的 e ( nci )有值，则： e ( np ) =max { nci }
与或图
与或图的搜索 及应用
北京信息科技大学 孙骏 2014.05.13
与或图的搜索策略
1 与或图的一般搜索过程 2 与或图的广度优先搜索
3 与或图的深度优先搜索
4 与或图的有序搜索 5 博弈树的启发式搜索
1 与或图的一般搜索过程
与图: 把一个原问题分解为若干个子问题，P1，P2， P3，…可用“与图”表示；P1，P2，P3，…对应的子问
S0 2
A 6 t1 5 t2 E C 1 t3 2 F 3 1 2 B 2
D 1 G 1
t4 2 t5
解：左边解树， 按和代价：h(A)=11 h(S0)=13; 按最大代价：h(A)=6 h(S0)=8; 右边解树， 按和代价：h(G)=3, h(D)=4, h(B)=6, h(S0)=8; 按最大代价：h(G)=2, h(D)=3, h(B)=5, h(S0)=7
P
E
F
2
G
0 0 2 2 0 0
H
3
2
h(N)=2, h(P)=7, h(C)=3, h(A)=8 左子树h(S0)=9
3
2
2
2
三阶梵塔问题
1 2 3 1 2 3
A
A
B C
B C
初始配置
目标配置
问题描述: 采用三元组表示状态: S=(i,j,k) 其中，i, j, k分别表示金片C,B，A所在的钢针号。 初始状态（1，1，1），目标状态（3，3，3）
a
4-5=-1 b
5-4=1
5-5=0
5-5=0
6-6=0
程可用一个“与或图”来表示
P P1 P11 P12 P2 P31 P3 P32 P33
北京信息科技大学 孙骏 2014.05.13
与或图的搜索策略
1 与或图的一般搜索过程 2 与或图的广度优先搜索
3 与或图的深度优先搜索
4 与或图的有序搜索 5 博弈树的启发式搜索
1 与或图的一般搜索过程
与图: 把一个原问题分解为若干个子问题，P1，P2， P3，…可用“与图”表示；P1，P2，P3，…对应的子问
S0 2
A 6 t1 5 t2 E C 1 t3 2 F 3 1 2 B 2
D 1 G 1
t4 2 t5
解：左边解树， 按和代价：h(A)=11 h(S0)=13; 按最大代价：h(A)=6 h(S0)=8; 右边解树， 按和代价：h(G)=3, h(D)=4, h(B)=6, h(S0)=8; 按最大代价：h(G)=2, h(D)=3, h(B)=5, h(S0)=7
P
E
F
2
G
0 0 2 2 0 0
H
3
2
h(N)=2, h(P)=7, h(C)=3, h(A)=8 左子树h(S0)=9
3
2
2
2
三阶梵塔问题
1 2 3 1 2 3
A
A
B C
B C
初始配置
目标配置
问题描述: 采用三元组表示状态: S=(i,j,k) 其中，i, j, k分别表示金片C,B，A所在的钢针号。 初始状态（1，1，1），目标状态（3，3，3）
a
4-5=-1 b
5-4=1
5-5=0
5-5=0
6-6=0
程可用一个“与或图”来表示
P P1 P11 P12 P2 P31 P3 P32 P33
(搜索推理技术-与或树搜索)
7、无判断起始节点1可解
8、从OPEN中删除含有可解先辈节点的节点
删除
OPEN= { B, C, t1, 10, 11, 12, A, t2, t3 }
CLOSED= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } OPEN= {t1, 10, 11, 12, t2, t3}
CLOSED= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 说明：对于OPEN表中的叶节点直接移到 CLOSED表，不作任何处理
OPEN= {9, B, C, t1, 10, 11, 12, A} CLOSED= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
第九大循环（3、4、5、6、7、8步）： 3、从OPEN表中取出节点9，并送到CLOSED表 4、扩展节点9，生成后继节点 t2、t3，并送到 OPEN表的末端 5、有叶节点 6、实现可解标志过程（可以判断节点9、4、2可解）
即OPEN是堆栈
注意
由于深度限制，深度优先搜索算法有可能找不 到解
例：
深度界限为4
√
2
1
√
√
6
√
3
Ⅹ A √ √
7 √
C
Ⅹ
4
5
8
t
√
Ⅹ B
t
t
t
t
√
√
√
√
注：后生成的节点画在左边
课堂练习：用宽度和深度优先搜索算法找出解树
提示：对于宽度优先搜索，先生成的节点画在左；
对于深度优先搜索，后生成的节点画在左
CLOSED= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, t1, 10 }
搜索过程演示
√
第二章与或图搜索问题
15
耗散值（代价值）的计算：示例
• 解树：S0, A, t1和t2。S0, B, D, G, t4和t5。
S0
2
2
• 由左边的解树可得： • 和代价：h(A)=11,h(S0)=13
A
6
5
1
• 最大代价： h(A)=6,h(S0)=8
t1
t2
C
• 由右边的解树可得： • 和代价：h(G)=3,h(D)=4,h(B)=6,h(S0)=8
3
2
2
2
H(G)=7, h(H)=6, h(E)=7, h(D)=11, S0的右
子树算出的h(S0)＝12，而左子树的h(S0)＝9，
因此左子树为希望树
22
与或树的有序搜索：示例
S0
A
D
B L
C 3
M
E
F
2
G
H
0
0
2
2
3
2
2
2
h(L)=2, h(M)=6, h(B)=3, h(A)=8, L、B均为可解节点。但节
• 1. 把初始节点S0放入OPEN表。
• 2. 把OPEN表中的第一个节点（记为节点n)取出放入CLOSED 表。
• 3. 如果节点n可扩展，则作下列工作： • 3.1 扩展节点n，将其子节点放入OPEN 表的尾部，并为每
个子节点配置指向父节点的指针，以备标识过程使用。
• 3.2 考察这些子节点中有否终止节点。若有，则标识这些终 止节点为可解节点，并应用可解标识过程对其父节点、祖父 节点等先辈节点中的可解节点进行标识。如果初始节点S0也被 标识为可解节点，就得到了解树，搜索成果，退出搜索过程； 如辈果的不节能点确。定S0为可解节点，则从OPEN表中删去具有可解先
人工智能中图搜索算法(PDF 159页)
图4—5 八数码问题的广度优先搜索
第9页
第4章 图搜索技术
以上两个问题都是在某个有向图中寻找目标或路径问 题，这种问题图搜索问题。把描述问题的有向图称为状态 空间图，简称状态图。图中的节点代表问题中的一种格局， 一般称为问题的一个状态，边表示两个状态之间的联系。 在状态图中，从初始节点到目标节点的一条路径或者所找 到的目标节点，就是问题的解（路径解）。
谓搜索，顾名思义，就是从初始节点出发，沿着与之相连 的边试探地前进，寻找目标节点的过程(也可以反向进行)。 搜索过程中经过的节点和边，按原图的连接关系，形成树 型的有向图，称为搜索树。搜索过程应当随时记录搜索痕 迹。
1.搜索方式 用计算机来实现状态图的搜索，有两种最基本的方式： 树式搜索和线式搜索。 所谓树式搜索，形象地讲就是以“画树”的方式进行 搜索。 即从树根（初始节点）出发一笔一笔地描出来的。
状态图实际上是一类问题的抽象表示。事实上，有许
多智力问题(如梵塔问题、旅行商问题、八皇后问题、农
夫过河问题等)和实际问题（如路径规划、定理证明、演
绎推理、机器人行动规划等）都可以归结为在某一状态图
中寻找目标或路径的问题。因此，研究状态图搜索具有普
遍意义。
第10页
第4章 图搜索技术
4.1.2 状态图搜索 在状态图中寻找目标或路径的基本方法就是搜索。所
第4章 图搜索技术
3. 搜索算法 由于搜索的目的是为了寻找初始节点到目标节点 的路径，所以在搜索过程中就得随时记录搜索轨迹。 为此，我们用一个称为CLOSED表的动态数据结构来 专门记录考查过的节点。显然，对于树式搜索来说， CLOSED表中存储的正是一棵不断成长的搜索树；而 对于线式搜索来说，CLOSED表中存储的是一条不断 伸长的折线，它可能本身就是所求的路径(如果能找到 目标节点的话)。
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q=43 n0 初始节点
第二个大循环(扩展结点),直到n0是SOLVED: 1. 找到待扩展的局部图G’{n0,n1}
q=5 n1
连接符1
n2
连接符2
2. n=G’中非终结点, 此时n=n1
3. 扩展结点n=n1, 生成后继结点集合{n2,n3},
q(n2)=4, q(n3)=4, 都不是终结点,把结点加到
q(n4)=1, q(n5)=1, q(n1)=2, 都不是终结点, 把结点加到G中
n4
4. 小循环(修改结点耗散值),直到S为空: a. S={n=n0}
b. 保证n的后代不在S中
c. m=n0的连接符有两条,
n5
计算q1(m)=1+q(n1)=1+2=3
q2(m)=2+q(n5)+q(n4)=2+1+1=4
与或图: 对局部图的评价
初始节点
c
a b
目标
目标
与或图搜索:AO*算法
两个过程
• 图生成过程，即扩展节点
自顶向下, 从最优的局部途中选择一个节点扩展
• 计算耗散值的过程
自下向顶, 对当前的局部图重新计算耗散值
AO*算法搜索例子
n0 初始节点
n1
n2
n4
n3
n5
n6
n7 目标
n8
目标
其中： h(n0)=3 h(n1)=2 h(n2)=4 h(n3)=4 h(n4)=1 h(n5)=1 h(n6)=2 h(n7)=0 h(n8)=0
与或图搜索
与或图表示
弧线 与节 点
终结点
父பைடு நூலகம்点
或节
点
A
子节
点
N MH
BC D E FG
• 与或图是一个超图，节点间通过连 接符连接。
• K-连接符：
…... K个
与或图搜索问题
a 目标
初始节点s c
b 目标
n0→ {n7,n8}的3个解图
初始节 点n0
初始节 点n0
目标n7 (a)
目标n8
初始节 点n0
• 没有后裔的非终节点是不能解节点。
• 若非终节点有“或”子节点，当且仅当所有子节点均不能解时，该非终节点才不 能解。
• 若非终节点有“与”子节点时，当至少有一个子节点不能解时，该非终节点才不 能解。
耗散值的计算
1.若n是N的一个元素, 则k(n, N) =0 2.若n是一个外向连接符指向后继结点{n1,..ni}
…
AO*算法搜索例子
q=4q=5 n0
初始节点
q=5
n1
连接符1
连接符2
n2
n4
qq==12
n3
n5
n6 n8
n7
G={n0,n1,n2,n3,n4,n5} 第三个大循环(扩展结点),直到n0是SOLVED: 1. 找到待扩展的局部图G’{n0,n4,n5} 2. n=G’中非终结点, 此时n=n5 3. 扩展结点n=n5, 生成后继结点集合
目标n7
(c)
目标n8
目标n7
(b)
目标n8
无解节点
有解节点
终结点
t
t
t
t
t
t
能解节点（a） t
t t （b）
• 终节点是能解节点
• 若非终节点有“或”子节点时，当且仅当其子节点至少有一能解时，该非终节点 才能解。
• 若非终节点有“与”子节点时，当且仅当其子节点均能解时，该非终节点才能解。
不能解节点
{n6,n7,n8}, q(n6)=2, q(n7)=0, q(n8)=0 把结点加到G中 4. 小循环(修改结点耗散值),直到S为空: a. S={n=n5} b. 保证n的后代不在S中 c. m=n5的连接符有两条,
计算q1(m)=1+q(n6)=1+2=3 q2(m)=1+q(n7)+q(n8)=2+0+0=2
k(n, N) = Cn+k(n1, N)+…+k(ni, N) 其中：N为终节点集
Cn为连接符的耗散值
n
…...
n1 n2
ni
i个
目标n7
初始节 点n0
搜索解图耗散值的递归计算:
n0=2+k(4, N)+k(5, N)
n4
k(5, N)= min(2+k(7,N)+k(8,
n5
N),…)
=2
k(4, N)= min(1+k(5, N),
令q(m)=q(n0)=min(q1,q2)=3
d.修改指针到q1对应的连结符上去
e.如果n1为非SOLVED,则m=n0也为非
SOLVED
f.如果m=n0为SOLVED,或者q(m)被修改过,则
需要也对m的父结点进行修改, 即将m的父结点
加到S中
g.小循环结束
5.大循环结束
AO*算法搜索例子 G={n0,n1,n4,n5}
n4
G中 4. 小循环(修改结点耗散值),直到S为空:
a. S={n=n1}
n3
b. 保证n的后代不在S中
n5
c. m=n1的连接符有两条,
计算q1(m)=1+q(n3)=1+4=5
q2(m)=1+q(n2)=1+4=5
d继令.q修…cq1续.q改2(m(m小(指mm=)循)=针n)==环01到q1的+:(+qhn连2h(1n对接()n1=应符5)m=)的有+1inh+连两((q54结条=1),=符6,q计42上算)=去45.大fdeg行....循如令q修小修(环果q改循m改(结n指m环=,3束n即)结针非=1将到束)qS被O(mqn修L10=V对改)nE=应1D过m的,的则,i则n父连m(需q结结=1要点n,符q也1n2上也0对)=加去为m5到非的SS父中O结LV点ED进
令q(m)=q(n5)=min(q1,q2)=2 d.修改指针到q2对应的连结符上去 e.n7,n8为SOLVED,则m=n5也为SOLVED f. q(m=n5)被修改过,则需要也对m的父结点 进行修改, 即将m=n5的父结点n0加到S中 g.小循环结束 5.大循环结束
AO*算法搜索例子
q=5 n0
设：K连接符 的耗散值为K
AO*算法搜索例子
G中只有一个结点n0
第一个大循环(扩展结点),直到n0是SOLVED:
q=3 n0 初始节点
1. 找到待扩展的局部图G’{n0} 2. n=G’中任意结点, 此时n=n0
3. 扩展结点n=n0, 生成后继结点集合{n1,n4,n5},
n1
连接符1
连接符2
1+k(8,N))
目标n8
= min(3, 1)=1
N0= 2+1+2=5
(c)
(a)的解图耗散值为8
(b)的解图耗散值为7
具有最小耗散值的解图称为最佳解 图,其值也用h*(n)标记.上例中的 h*(n)=5
普通图搜索的情况
s
n f(n) = g(n) + h(n) 对n的评价实际是对从s经过n到目的地这条路径的评价
初始节点
q=5 n1
连接符1
n2
连接符2
q=1 n4
n3
q=2 n5
n6 n8